🎱

Κρούσεις & Διατήρηση Ορμής

Είδη κρούσεων, πλαστική κρούση, απώλεια κινητικής ενέργειας

Γιατί με νοιάζει;

Στο μπιλιάρδο, όταν η λευκή χτυπά κεντρικά μια ακίνητη μπάλα, συχνά σταματά επί τόπου και η άλλη φεύγει με την ταχύτητά της. Στα crash tests, τα αυτοκίνητα σχεδιάζονται να «τσαλακώνονται», ώστε η κινητική ενέργεια να γίνει παραμόρφωση και θερμότητα αντί για τραυματισμό. Η διατήρηση της ορμής εξηγεί και τα δύο. Και οι κρούσεις είναι αγαπημένο κομμάτι των Θεμάτων Γ και Δ, συχνά μαζί με ταλάντωση.

Ορμή και η διατήρησή της

Η ορμή ενός σώματος είναι το διανυσματικό μέγεθος $\vec{p} = m\vec{\upsilon}$ — έχει πάντα την κατεύθυνση της ταχύτητας.

Στην κρούση, οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων είναι εσωτερικές και τεράστιες σε σχέση με τις εξωτερικές, ενώ η διάρκεια είναι αμελητέα. Γι' αυτό σε κάθε κρούση το σύστημα θεωρείται μονωμένο και η ολική ορμή του διατηρείται — ελαστική ή μη, πάντα!

Γιατί η ορμή διατηρείται σε κάθε κρούση

Κατά την κρούση τα δύο σώματα ασκούν το ένα στο άλλο δυνάμεις ίσες και αντίθετες (3ος νόμος του Newton), για τον ίδιο χρόνο $\Delta t$ . Από $\Delta\vec{p} = \vec{F}\Delta t$ :

$\Delta\vec{p}_1 = \vec{F}_{21}\Delta t = -\vec{F}_{12}\Delta t = -\Delta\vec{p}_2 \quad\Rightarrow\quad \Delta\vec{p}_{o\lambda} = 0$

Οι εξωτερικές δυνάμεις (βάρος, τριβή) είναι πεπερασμένες, ενώ η κρούση διαρκεί ελάχιστα: η ώθησή τους στη διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Γι' αυτό γράφουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για τις ταχύτητες ακριβώς πριν και ακριβώς μετά την κρούση — ακόμη κι αν υπάρχει τριβή ή βαρύτητα.

$\vec{p}_{\text{πριν}} = \vec{p}_{\text{μετά}} \quad \Rightarrow \quad m_1\vec{\upsilon}_1 + m_2\vec{\upsilon}_2 = m_1\vec{\upsilon}_1' + m_2\vec{\upsilon}_2'$

Είδη κρούσεων

Ελαστική: διατηρείται και η ολική κινητική ενέργεια ( $K_{\text{πριν}} = K_{\text{μετά}}$ )
Ανελαστική: μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα/παραμόρφωση
Πλαστική: τα σώματα ενώνονται σε ένα συσσωμάτωμα — η «πιο ανελαστική» κρούση

Στην πλαστική, το συσσωμάτωμα κινείται με $V = \frac{m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2}{m_1 + m_2}$ . Η κινητική ενέργεια ποτέ δεν διατηρείται στην πλαστική κρούση.

Κεντρική, έκκεντρη, πλάγια — και τι «χάνεται»

Ανάλογα με τις διευθύνσεις των ταχυτήτων πριν την κρούση:

Κεντρική: οι ταχύτητες των κέντρων μάζας βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία — την ευθεία που ενώνει τα κέντρα. Η κίνηση μένει μονοδιάστατη.
Έκκεντρη: οι ταχύτητες είναι παράλληλες, αλλά όχι πάνω στην ευθεία των κέντρων.
Πλάγια: οι ταχύτητες σχηματίζουν γωνία· η διατήρηση της ορμής γράφεται τότε διανυσματικά, χωριστά σε κάθε άξονα.

Επειδή η ολική ορμή διατηρείται, οι μεταβολές ορμής των δύο σωμάτων είναι αντίθετες: $\Delta\vec{p}_1 = -\Delta\vec{p}_2$ (όπως αντίθετες είναι και οι δυνάμεις που ασκεί το ένα στο άλλο). Η κινητική ενέργεια που χάνεται σε ανελαστική ή πλαστική κρούση γίνεται θερμότητα:

$Q = K_{\text{πριν}} - K_{\text{μετά}}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε κεντρική κρούση δύο σωμάτων Α και Β, οποιουδήποτε είδους, ποια σχέση ισχύει πάντα;

Σύγκρινε τις μπάλες πριν και μετά τη σύγκρουση: το άθροισμα $m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2$ μένει αναλλοίωτο σε κάθε περίπτωση — δες όμως ότι μόνο στην ελαστική διατηρείται και η κινητική ενέργεια.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα μάζας $2\ kg$ με ταχύτητα $6\ m/s$ συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας $4\ kg$ . Η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι:

Μέθοδος: προβλήματα με κρούση

Χώρισε το πρόβλημα σε φάσεις: πριν την κρούση, η κρούση, μετά την κρούση.
Πριν και μετά: με κινηματική ή ενέργεια (ΘΜΚΕ, ΑΔΜΕ, ΑΑΤ) βρες τις ταχύτητες ακριβώς πριν και ακριβώς μετά.
Στην κρούση: όρισε θετική φορά και γράψε ΑΔΟ με πρόσημα.
Ελαστική ⇒ πρόσθεσε ΑΔΚΕ (ή τους έτοιμους τύπους, μόνο αν το δεύτερο σώμα ηρεμεί)· πλαστική ⇒ κοινή ταχύτητα $V$ .
Αν ζητείται η απώλεια ενέργειας: $Q = K_{\text{πριν}} - K_{\text{μετά}}$ , ως ποσοστό $\frac{Q}{K_{\text{πριν}}} \cdot 100\%$ .
Αν μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ταλαντώνεται, βρες ξανά θέση ισορροπίας, $\omega$ και πλάτος για τη νέα μάζα.

Άσκηση: Σώμα μάζας $2\ kg$ κινείται με $3\ m/s$ και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας $1\ kg$ που κινείται αντίθετα με $6\ m/s$ . (α) Πόση είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος; (β) Πόση θερμότητα αναπτύσσεται;

Λύση: Θετική η φορά του πρώτου σώματος.

(α) ΑΔΟ: $2 \cdot 3 + 1 \cdot (-6) = 3V \Rightarrow V = 0$ : το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο.

(β) $K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 36 = 9 + 18 = 27\ J$ , $K_{\mu\varepsilon\tau\alpha} = 0$ , άρα $Q = 27\ J$ — όλη η κινητική ενέργεια, αφού η ολική ορμή ήταν μηδέν.

Άσκηση: Σφαίρα μάζας $1\ kg$ κινείται με $8\ m/s$ και συγκρούεται κεντρικά με ακίνητη σφαίρα μάζας $3\ kg$ . Μετά την κρούση η πρώτη σφαίρα κινείται αντίθετα με $1\ m/s$ . (α) Πόση είναι η ταχύτητα της δεύτερης; (β) Είναι η κρούση ελαστική; (γ) Πόση θερμότητα αναπτύχθηκε;

Λύση:

(α) ΑΔΟ: $1 \cdot 8 = 1 \cdot (-1) + 3\upsilon_2' \Rightarrow \upsilon_2' = 3\ m/s$ .

(β) $K_{\pi\rho\iota\nu} = 32\ J$ , $K_{\mu\varepsilon\tau\alpha} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 = 0{,}5 + 13{,}5 = 14\ J$ : η κινητική ενέργεια μειώθηκε, άρα η κρούση είναι ανελαστική (όχι πλαστική, γιατί τα σώματα δεν κινούνται μαζί).

(γ) $Q = 32 - 14 = 18\ J$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Δ): Σώμα Σ₁ μάζας $m_1 = 1\ kg$ ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς $k = 100\ N/m$ που έχει το φυσικό του μήκος. Σώμα Σ₂ μάζας $m_2 = 1\ kg$ κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με $\upsilon_2 = 4\ m/s$ και συγκρούεται πλαστικά με το Σ₁. (α) Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος. (β) Πόση ενέργεια έγινε θερμότητα; (γ) Να βρεθούν η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος.

Δεδομένα: $m_1 = m_2 = 1\ kg$ , $k = 100\ N/m$ , $\upsilon_2 = 4\ m/s$ , πλαστική. Ζητούμενα: $V$ , $Q$ , $T$ , $A$ .

Λύση:

(α) ΑΔΟ: $m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V \Rightarrow V = \frac{1 \cdot 4}{2} = 2\ m/s$ .

(β) $K_{\text{πριν}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^2 = 8\ J$ και $K_{\text{μετά}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2^2 = 4\ J$ , άρα $Q = 4\ J$ — το $50\%$ .

(γ) Η κρούση γίνεται στη θέση φυσικού μήκους, που είναι και θέση ισορροπίας του συσσωματώματος (οριζόντιο ελατήριο)· άρα $V = \upsilon_{max}$ . Με $D = k$ :

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ rad/s, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi\sqrt{2}}{5}\ s \approx 0{,}89\ s$

$A = \frac{V}{\omega} = \frac{2}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5}\ m \approx 0{,}28\ m$

Έλεγχος ενέργειας: $\frac{1}{2}kA^2 = 50 \cdot \frac{2}{25} = 4\ J = K_{\text{μετά}}$ ✓.

Απάντηση: $V = 2\ m/s$ , $Q = 4\ J$ , $T \approx 0{,}89\ s$ , $A \approx 0{,}28\ m$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα ίσης μάζας. Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας γίνεται θερμότητα;

Ήξερες ότι;

Οι αερόσακοι ενός αυτοκινήτου φουσκώνουν μέσα σε μερικές δεκάδες χιλιοστά του δευτερολέπτου. Δεν μειώνουν τη μεταβολή της ορμής του επιβάτη — αυτή είναι ίδια, αφού από μια ταχύτητα καταλήγει σε ηρεμία. Αυξάνουν όμως τον χρόνο στον οποίο γίνεται, οπότε η μέση δύναμη $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ μικραίνει πολύ.

Πρόκληση

Το βαλλιστικό εκκρεμές. Πώς μετράς την ταχύτητα ενός βλήματος χωρίς χρονόμετρο; Βλήμα μάζας $m = 0{,}02\ kg$ σφηνώνεται σε ξύλινο κύβο μάζας $M = 1{,}98\ kg$ που κρέμεται ακίνητος από αβαρές νήμα. Το συσσωμάτωμα ανεβαίνει κατά $h = 0{,}2\ m$ ( $g = 10\ m/s^2$ ). (α) Με τι ταχύτητα κινήθηκε το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση; (β) Πόση ήταν η ταχύτητα του βλήματος; (γ) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας έγινε θερμότητα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Δύο φάσεις, κρούση και ανύψωση, με διαφορετική αρχή διατήρησης η καθεμία.

(α) Μετά την κρούση διατηρείται η μηχανική ενέργεια (η τάση του νήματος είναι κάθετη στην ταχύτητα και δεν παράγει έργο): $\frac{1}{2}(m + M)V^2 = (m + M)gh \Rightarrow V = \sqrt{2gh} = \sqrt{4} = 2\ m/s$ .

(β) Στην πλαστική κρούση διατηρείται μόνο η ορμή: $m\upsilon = (m + M)V \Rightarrow \upsilon = \frac{2 \cdot 2}{0{,}02} = 200\ m/s$ .

(γ) $K_{\text{πριν}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}02 \cdot 200^2 = 400\ J$ και $K_{\text{μετά}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2^2 = 4\ J$ . Θερμότητα $Q = 396\ J$ , δηλαδή $\frac{396}{400} = 99\%$ .

Απάντηση: $2\ m/s$ , $200\ m/s$ , $99\%$ . Γενικά το ποσοστό είναι $\frac{M}{m + M}$ : όσο πιο βαρύς ο στόχος, τόσο μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας γίνεται θερμότητα. Η ΑΔΜΕ δεν «περνά» ποτέ μέσα από πλαστική κρούση.

Η ορμή είναι διάνυσμα: όρισε θετική φορά πριν γράψεις οτιδήποτε και βάλε πρόσημα στις ταχύτητες. Χρυσός κανόνας: διατήρηση ορμής ⇒ ΠΑΝΤΑ σε κάθε κρούση, διατήρηση κινητικής ενέργειας ⇒ ΜΟΝΟ στην ελαστική.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένα πρόσημα. Ταχύτητα αντίθετη στη θετική φορά μπαίνει στην ΑΔΟ με «−»· αλλιώς βγαίνουν λάθος ακόμη και τα μέτρα.
ΑΔΜΕ στην πλαστική κρούση. Εκεί χάνεται κινητική ενέργεια· διατηρείται μόνο η ορμή.
Έτοιμοι τύποι ελαστικής με κινούμενο στόχο. Οι $\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ , $\upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ ισχύουν μόνο για $\upsilon_2 = 0$ · αλλιώς λύσε το σύστημα ΑΔΟ–ΑΔΚΕ.
Παλιά θέση ισορροπίας μετά την κρούση. Σε κατακόρυφο ελατήριο η πρόσθεση μάζας $m_2$ μετακινεί τη θέση ισορροπίας κατά $\frac{m_2 g}{k}$ — τότε η $V$ δεν είναι η $\upsilon_{max}$ της νέας ταλάντωσης.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σε κάθε κρούση: $\vec{p}_{\pi\rho\iota\nu} = \vec{p}_{\mu\varepsilon\tau\alpha}$ και $\Delta\vec{p}_1 = -\Delta\vec{p}_2$ (3ος νόμος του Newton).
Ελαστική: διατηρείται και η $K$ · ανελαστική: χάνεται μέρος της· πλαστική: τα σώματα ενώνονται.
Πλαστική: $V = \frac{m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2}{m_1 + m_2}$ και $Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\alpha}$ .
Κεντρική: ταχύτητες στην ευθεία των κέντρων· έκκεντρη: παράλληλες· πλάγια: τυχαίες διευθύνσεις.
Η ΑΔΜΕ δεν «περνά» μέσα από πλαστική κρούση — χωρίζουμε το πρόβλημα σε φάσεις.

Ορμή και η διατήρησή της

Η ορμή ενός σώματος είναι το διανυσματικό μέγεθος

\vec{p} = m\vec{\upsilon}

— έχει πάντα την κατεύθυνση της ταχύτητας.