🎯

Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις & Συντονισμός

Διεγέρτης, ιδιοσυχνότητα, καμπύλη συντονισμού

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί ένα ποτήρι μπορεί να σπάσει από μια νότα; Γιατί οι στρατιώτες «σπάνε» το βήμα τους πάνω σε γέφυρα; Γιατί σπρώχνεις την κούνια μόνο τη σωστή στιγμή; Όλα είναι το ίδιο φαινόμενο: ο συντονισμός. Είναι από τα αγαπημένα θέματα Σωστού–Λάθους και Θέματος Β των Πανελλαδικών.

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

Για να μη σβήσει μια ταλάντωση, κάποιος πρέπει να αναπληρώνει την ενέργεια που χάνεται — όπως όταν σπρώχνεις ρυθμικά μια κούνια. Το σύστημα που προσφέρει την ενέργεια λέγεται διεγέρτης, και η ταλάντωση εξαναγκασμένη.

Δύο έννοιες-κλειδιά:

Ιδιοσυχνότητα $f_0$ : η συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα το σύστημα (π.χ. για μάζα–ελατήριο $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ ). Εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά του συστήματος.
Συχνότητα διεγέρτη $f$ : τη διαλέγει ο διεγέρτης, όχι το σύστημα.

Στην κατάσταση που μελετάμε, το σώμα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη $f$ — όχι με την $f_0$ ! Το πλάτος όμως της ταλάντωσης εξαρτάται από το πόσο κοντά βρίσκεται η $f$ στην $f_0$ .

Γιατί το σώμα «υπακούει» στον διεγέρτη

Μόλις συνδέσουμε τον διεγέρτη, για λίγο η κίνηση είναι ακανόνιστη (μεταβατικό στάδιο). Γρήγορα όμως αποκαθίσταται μια σταθερή κατάσταση: το σώμα ταλαντώνεται με τη συχνότητα $f$ του διεγέρτη και με σταθερό πλάτος.

Το πλάτος μένει σταθερό γιατί σε κάθε περίοδο η ενέργεια που προσφέρει ο διεγέρτης ισούται με την ενέργεια που χάνεται λόγω της απόσβεσης. Άρα:

η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης την ορίζει ο διεγέρτης,
το πλάτος εξαρτάται από τη συχνότητα $f$ του διεγέρτη (πόσο απέχει από την $f_0$ ) και από τη σταθερά απόσβεσης $b$ .

Αν σταματήσει ο διεγέρτης, η ταλάντωση γίνεται φθίνουσα και σβήνει με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Γρήγορος έλεγχος

Σύστημα μάζας–ελατηρίου με ιδιοσυχνότητα $f_0 = 2\ Hz$ εξαναγκάζεται σε ταλάντωση από διεγέρτη συχνότητας $f = 5\ Hz$ . Με ποια συχνότητα ταλαντώνεται το σώμα;

Συντονισμός

Όταν η συχνότητα του διεγέρτη πλησιάσει την ιδιοσυχνότητα, $f = f_0$ , το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται μέγιστο. Το φαινόμενο λέγεται συντονισμός: τότε η ενέργεια μεταφέρεται από τον διεγέρτη στο σύστημα κατά τον βέλτιστο τρόπο.

Όσο μικρότερη είναι η σταθερά απόσβεσης $b$ , τόσο μεγαλύτερο είναι το πλάτος στον συντονισμό και τόσο πιο «οξεία» η καμπύλη πλάτους–συχνότητας. Γι' αυτό:

Στην κούνια σπρώχνεις με τον «ρυθμό» της (στην $f_0$ της) και το πλάτος μεγαλώνει συνεχώς.
Στους σεισμούς, αν η συχνότητα των δονήσεων πλησιάσει την ιδιοσυχνότητα ενός κτιρίου, οι ταλαντώσεις του ενισχύονται επικίνδυνα — οι μηχανικοί σχεδιάζουν ώστε η $f_0$ να απέχει από τις σεισμικές συχνότητες και προσθέτουν αποσβεστήρες.
Στρατιώτες περνούν γέφυρες χωρίς βηματισμό, μήπως η συχνότητα του βήματος συντονίσει τη γέφυρα.

$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \text{συντονισμός:}\ f_{\delta\iota\varepsilon\gamma} = f_0 \ \Rightarrow\ A = A_{max}$

Δες το σύστημα μάζας–ελατηρίου να ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητά του: αυτή η «φυσική» συχνότητα $f_0$ είναι που, αν τη χτυπήσει ο διεγέρτης, θα ανακαλύψεις πόσο εκρηκτικά μεγαλώνει το πλάτος — αυτό είναι ο συντονισμός.

Κόλπο μνήμης

Η κούνια είναι όλη η θεωρία σε ένα παιχνίδι. Αν σπρώχνεις όποτε θέλεις (τυχαία $f$ ), η κούνια κινείται με τον δικό σου ρυθμό αλλά με μικρό πλάτος. Αν σπρώχνεις στον ρυθμό της κούνιας ( $f = f_0$ ), κάθε ώθηση προσθέτει ενέργεια τη σωστή στιγμή και το πλάτος γίνεται μέγιστο.

Γρήγορος έλεγχος

Σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό. Αν μειώσουμε τη σταθερά απόσβεσης $b$ (κρατώντας τα υπόλοιπα ίδια), το πλάτος της ταλάντωσης θα:

Γρήγορος έλεγχος

Αυξάνουμε σιγά-σιγά τη συχνότητα $f$ του διεγέρτη από τιμή μικρότερη της ιδιοσυχνότητας $f_0$ σε τιμή μεγαλύτερη από αυτήν. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης:

Μέθοδος: ασκήσεις εξαναγκασμένης ταλάντωσης

Υπολόγισε την ιδιοσυχνότητα $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ (εξαρτάται μόνο από το σύστημα).
Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι πάντα η συχνότητα $f$ του διεγέρτη.
Για συντονισμό απαίτησε $f = f_0$ : είτε ρυθμίζεις τον διεγέρτη, είτε αλλάζεις το σύστημα ( $m$ ή $k$ ) ώστε η $f_0$ να «πέσει» πάνω στην $f$ .
Για τη μεταβολή του πλάτους όταν αλλάζει η $f$ : αν η $f$ πλησιάζει την $f_0$ το πλάτος αυξάνεται, αν απομακρύνεται μειώνεται.
Μικρότερο $b$ → μεγαλύτερο πλάτος στον συντονισμό και πιο οξεία καμπύλη.

Άσκηση: Σώμα μάζας $m = 0{,}5\ kg$ είναι δεμένο σε ελατήριο $k = 50\ N/m$ και εξαναγκάζεται σε ταλάντωση από διεγέρτη. (α) Ποια είναι η ιδιοσυχνότητα; (β) Αν ο διεγέρτης έχει συχνότητα $2\ Hz$ , με ποια συχνότητα ταλαντώνεται το σώμα; (γ) Αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη από $1\ Hz$ σε $2\ Hz$ , πώς μεταβάλλεται το πλάτος;

Λύση:

(α) $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{50}{0{,}5}} = \frac{10}{2\pi} \approx 1{,}59\ Hz$ .

(β) Με $2\ Hz$ , τη συχνότητα του διεγέρτη.

(γ) Από $1\ Hz$ ως $1{,}59\ Hz$ η $f$ πλησιάζει την $f_0$ και το πλάτος αυξάνεται ως τη μέγιστη τιμή του (συντονισμός)· από $1{,}59\ Hz$ ως $2\ Hz$ απομακρύνεται και το πλάτος μειώνεται.

Άσκηση: Διεγέρτης σταθερής συχνότητας $f = 1\ Hz$ εξαναγκάζει σε ταλάντωση σώμα μάζας $2\ kg$ δεμένο σε ελατήριο $k = 200\ N/m$ . Πόση μάζα πρέπει να προσθέσουμε στο σώμα για να έρθει το σύστημα σε συντονισμό; ( $\pi^2 \approx 10$ )

Λύση: Αρχικά $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{200}{2}} = \frac{10}{2\pi} \approx 1{,}6\ Hz > f$ . Για να μειωθεί η ιδιοσυχνότητα πρέπει να αυξηθεί η μάζα. Συντονισμός όταν

$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}} = f \Rightarrow M = \frac{k}{4\pi^2 f^2} = \frac{200}{40 \cdot 1} = 5\ kg$

Άρα προσθέτουμε $\Delta m = 5 - 2 = 3\ kg$ . Προσοχή: αλλάζοντας τη μάζα αλλάζει η $f_0$ — η συχνότητα ταλάντωσης μένει $1\ Hz$ και πριν και μετά.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β/Γ): Σύστημα μάζας–ελατηρίου με $m = 1\ kg$ και $k = 400\ N/m$ εξαναγκάζεται σε ταλάντωση από διεγέρτη μεταβλητής συχνότητας. (α) Για ποια συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος γίνεται μέγιστο; (β) Όταν ο διεγέρτης έχει συχνότητα $\frac{5}{\pi}\ Hz$ , ποια είναι η περίοδος της ταλάντωσης; (γ) Αντικαθιστούμε το ελατήριο με άλλο, σταθεράς $k' = 100\ N/m$ . Αν κρατήσουμε τον διεγέρτη στα $\frac{5}{\pi}\ Hz$ , θα αυξηθεί ή θα μειωθεί το πλάτος σε σχέση με το (β);

Δεδομένα: $m = 1\ kg$ , $k = 400\ N/m$ , $f = \frac{5}{\pi}\ Hz$ , $k' = 100\ N/m$ . Ζητούμενα: $f_{\sigma\upsilon\nu\tau}$ , $T$ , μεταβολή πλάτους.

Λύση:

(α) Συντονισμός για $f = f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{400}{1}} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3{,}18\ Hz$ .

(β) Το σώμα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη: $T = \frac{1}{f} = \frac{\pi}{5} \approx 0{,}63\ s$ .

(γ) Με το νέο ελατήριο $f_0' = \frac{1}{2\pi}\sqrt{100} = \frac{5}{\pi}\ Hz$ — ίση με τη συχνότητα του διεγέρτη. Το σύστημα έρχεται σε συντονισμό και το πλάτος αυξάνεται (γίνεται μέγιστο), παρότι το ελατήριο είναι «μαλακότερο».

Απάντηση: $f = \frac{10}{\pi}\ Hz$ · $T = \frac{\pi}{5}\ s$ · το πλάτος αυξάνεται, γιατί τώρα $f = f_0'$ .

Ήξερες ότι;

Η πεζογέφυρα Millennium του Λονδίνου έκλεισε μόλις δύο μέρες μετά τα εγκαίνιά της, τον Ιούνιο του 2000, γιατί άρχισε να ταλαντώνεται πλευρικά. Οι πεζοί, για να κρατήσουν την ισορροπία τους, συγχρόνιζαν άθελά τους το βήμα τους με την ταλάντωση και την ενίσχυαν ακόμη περισσότερο. Η γέφυρα ξανάνοιξε το 2002, αφού τοποθετήθηκαν δεκάδες αποσβεστήρες.

Στα σωστού–λάθους πέφτουν πάντα τα ίδια «δολώματα»: (1) στη φθίνουσα, η περίοδος μένει σταθερή για ορισμένο b — μειώνεται το πλάτος, όχι η συχνότητα· (2) στην εξαναγκασμένη, η συχνότητα ταλάντωσης είναι ΠΑΝΤΑ του διεγέρτη· (3) στον συντονισμό μέγιστο γίνεται το ΠΛΑΤΟΣ (και η μεταφορά ενέργειας), ενώ $f = f_0$ . Και θυμήσου: λόγος διαδοχικών πλατών σταθερός $= e^{-\Lambda T}$ .

Πρόκληση

Το αυτοκίνητο στα «κυματάκια». Χωματόδρομος έχει ράχες ανά $d = 5\ m$ . Το αμάξωμα αυτοκινήτου συμπεριφέρεται σαν σύστημα μάζας–ελατηρίου με $m = 1000\ kg$ και ιδιοσυχνότητα $f_0 = 1\ Hz$ . (α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να αποφεύγει να κινείται ο οδηγός; (β) Αν μπουν επιβάτες συνολικής μάζας $320\ kg$ , πώς αλλάζει αυτή η «επικίνδυνη» ταχύτητα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Κινούμενο με ταχύτητα $\upsilon$ , το αυτοκίνητο συναντά μία ράχη κάθε $\frac{d}{\upsilon}$ δευτερόλεπτα: οι ράχες δρουν σαν διεγέρτης συχνότητας $f = \frac{\upsilon}{d}$ . Συντονισμός όταν $f = f_0$ : $\upsilon = f_0 d = 5\ m/s = 18\ km/h$ .

(β) Η ιδιοσυχνότητα $f_0 \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ : $f_0' = 1 \cdot \sqrt{\frac{1000}{1320}} \approx 0{,}87\ Hz$ , οπότε $\upsilon' = f_0' d \approx 4{,}35\ m/s \approx 15{,}7\ km/h$ .

Απάντηση: Γύρω στα $18\ km/h$ άδειο, γύρω στα $16\ km/h$ φορτωμένο. Γι' αυτό σε τέτοιους δρόμους το αυτοκίνητο «χορεύει» σε μια συγκεκριμένη ταχύτητα και ηρεμεί αν πας πιο αργά ή πιο γρήγορα.

Συνηθισμένα λάθη

Εξαναγκασμένη με την ιδιοσυχνότητα. Το σύστημα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη· η $f_0$ καθορίζει μόνο πότε το πλάτος γίνεται μέγιστο.
«Μεγαλύτερη $f$ , μεγαλύτερο πλάτος». Το πλάτος μεγαλώνει όσο η $f$ πλησιάζει την $f_0$ , από όποια πλευρά κι αν έρχεται.
Ιδιοσυχνότητα που αλλάζει με τον διεγέρτη. Η $f_0$ αλλάζει μόνο αν αλλάξει το σύστημα ( $m$ , $k$ ).
Συντονισμός χωρίς απόσβεση. Το πλάτος στον συντονισμό είναι πεπερασμένο γιατί υπάρχει απόσβεση· όσο μικρότερο το $b$ , τόσο μεγαλύτερο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εξαναγκασμένη ταλάντωση: ο διεγέρτης αναπληρώνει τις απώλειες· σε σταθερή κατάσταση το πλάτος είναι σταθερό.
Συχνότητα ταλάντωσης = συχνότητα διεγέρτη $f$ · ιδιοσυχνότητα $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ = χαρακτηριστικό του συστήματος.
Συντονισμός για $f = f_0$ : μέγιστο πλάτος και βέλτιστη μεταφορά ενέργειας.
Μικρότερο $b$ → ψηλότερη και οξύτερη καμπύλη συντονισμού.
Εφαρμογές: κούνια, σεισμοί και κτίρια, γέφυρες, αμορτισέρ.

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

Δύο έννοιες-κλειδιά:

Ιδιοσυχνότητα

f_0

: η συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα το σύστημα (π.χ. για μάζα–ελατήριο

f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

). Εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά του συστήματος.

Συχνότητα διεγέρτη

f

: τη διαλέγει ο διεγέρτης, όχι το σύστημα.

Στην κατάσταση που μελετάμε, το σώμα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη

f

— όχι με την

f_0

! Το πλάτος όμως της ταλάντωσης εξαρτάται από το πόσο κοντά βρίσκεται η

f

στην

f_0