🔧

Ροπή Δύναμης

τ = F·d, μοχλοβραχίονας, πρόσημα ροπών, ζεύγος δυνάμεων

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί ένα μπουλόνι που δεν ξεβιδώνει με ένα κοντό κλειδί υποχωρεί αμέσως με ένα μακρύ; Γιατί το πόμολο είναι στην άκρη της πόρτας; Επειδή αυτό που «στρίβει» τα σώματα δεν είναι σκέτη η δύναμη αλλά η ροπή της. Χωρίς ροπές δεν λύνεται καμία άσκηση ισορροπίας ή στροφορμής.

Στροφική κίνηση και ροπή

Το στερεό σώμα, εκτός από μεταφορική, μπορεί να κάνει και στροφική κίνηση γύρω από άξονα, με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ και γωνιακή επιτάχυνση $\alpha_{\text{γων}}$ . Κάθε σημείο του σε απόσταση $r$ από τον άξονα έχει γραμμική ταχύτητα $\upsilon = \omega r$ .

Το μέγεθος που «στρίβει» τα σώματα δεν είναι σκέτη η δύναμη αλλά η ροπή της: $\tau = F \cdot d$ , όπου $d$ ο μοχλοβραχίονας — η κάθετη απόσταση του άξονα από τον φορέα της δύναμης. Γι' αυτό σπρώχνεις την πόρτα μακριά από τους μεντεσέδες: ίδια δύναμη, μεγαλύτερο $d$ , μεγαλύτερη ροπή!

Κόλπο μνήμης

Ο μοχλοβραχίονας μετριέται «ως τη γραμμή, όχι ως το σημείο»: προέκτεινε τον φορέα της δύναμης και φέρε κάθετη από τον άξονα. Δοκίμασέ το σε μια πόρτα: σπρώξε κοντά στους μεντεσέδες ή σπρώξε πλάγια στο πόμολο, και θα νιώσεις πόσο «μικραίνει» η ροπή.

Πρόσημα ροπών και ζεύγος δυνάμεων

Η ροπή ως προς άξονα είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο περιστροφής· στις ασκήσεις αρκεί ένα πρόσημο: συνήθως θετική η ροπή που τείνει να στρέψει το σώμα αριστερόστροφα και αρνητική η δεξιόστροφη. Μηδενική ροπή έχει μια δύναμη όταν ο φορέας της περνά από τον άξονα ( $d = 0$ ).

Αν η δύναμη ασκείται σε απόσταση $r$ από τον άξονα και σχηματίζει γωνία $\varphi$ με την ευθεία άξονα–σημείου εφαρμογής, ο μοχλοβραχίονας είναι $d = r\,\eta\mu\varphi$ , άρα $\tau = Fr\,\eta\mu\varphi$ .

Ζεύγος δυνάμεων είναι δύο αντίθετες δυνάμεις με παράλληλους φορείς που απέχουν απόσταση $d$ . Η συνισταμένη τους είναι μηδέν, η ροπή τους όμως όχι:

$\tau_{\text{ζεύγους}} = F \cdot d$

και — το σημαντικό — είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. Γι' αυτό το ζεύγος μόνο στρέφει, δεν μετατοπίζει (τιμόνι, κλειδί βρύσης).

$\tau = F \cdot d = Fr\,\eta\mu\varphi, \qquad \tau_{\zeta\varepsilon\upsilon\gamma o\upsilon\varsigma} = F \cdot d, \qquad \Sigma\tau = \tau_1 + \tau_2 + \ldots \ (\text{με πρόσημα})$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο αντίθετες δυνάμεις μέτρου $10\ N$ με παράλληλους φορείς που απέχουν $0{,}3\ m$ ασκούνται σε σώμα. Η συνολική τους ροπή ως προς σημείο Ο έξω από τους φορείς, που απέχει $1\ m$ από τον πλησιέστερο φορέα, έχει μέτρο:

Μέθοδος: υπολογισμός συνολικής ροπής

Διάλεξε τον άξονα (ή το σημείο) ως προς τον οποίο υπολογίζεις και μια θετική φορά περιστροφής.
Για κάθε δύναμη βρες τον μοχλοβραχίονα: κάθετη απόσταση του άξονα από τον φορέα της ( $d = r\,\eta\mu\varphi$ ).
Δυνάμεις με φορέα που περνά από τον άξονα έχουν $\tau = 0$ .
Βάλε πρόσημο σε κάθε ροπή (αριστερόστροφη $+$ , δεξιόστροφη $-$ ) και άθροισε αλγεβρικά.
Το βάρος ομογενούς σώματος ασκείται στο κέντρο μάζας του (στο μέσο ομογενούς ράβδου).

Άσκηση: Με κλειδί μήκους $0{,}3\ m$ ασκούμε δύναμη $50\ N$ στην άκρη του. (α) Πόση είναι η ροπή όταν η δύναμη είναι κάθετη στο κλειδί; (β) Πόση όταν σχηματίζει $60°$ με το κλειδί; (γ) Πόση ελάχιστη δύναμη χρειάζεται για ροπή $20\ N \cdot m$ με το ίδιο κλειδί;

Λύση:

(α) $\tau = Fr = 50 \cdot 0{,}3 = 15\ N \cdot m$ .

(β) $\tau = Fr\,\eta\mu 60° = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13\ N \cdot m$ .

(γ) Ελάχιστη δύναμη όταν είναι κάθετη στην άκρη: $F_{min} = \frac{20}{0{,}3} \approx 66{,}7\ N$ . Με διπλάσιο κλειδί θα αρκούσαν τα μισά.

Άσκηση: Πόρτα πλάτους $0{,}9\ m$ στρέφεται γύρω από τους μεντεσέδες. Ένα παιδί σπρώχνει κάθετα στο πόμολο (στην άκρη) με $20\ N$ προς τα μέσα, ενώ ένας ενήλικας σπρώχνει κάθετα, στο μέσο της πόρτας, με $30\ N$ από την άλλη πλευρά. Προς τα πού θα κινηθεί η πόρτα;

Λύση: Ροπές ως προς τους μεντεσέδες: παιδί $20 \cdot 0{,}9 = 18\ N \cdot m$ , ενήλικας $30 \cdot 0{,}45 = 13{,}5\ N \cdot m$ , αντίθετης φοράς. Συνολική ροπή $4{,}5\ N \cdot m$ προς τη φορά του παιδιού: η πόρτα ανοίγει προς τα μέσα, παρότι ο ενήλικας σπρώχνει με μεγαλύτερη δύναμη.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β/Γ): Ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους $2\ m$ βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα στο άκρο Α. Της ασκούνται οριζόντιες δυνάμεις: $F_1 = 10\ N$ στο Β, κάθετα στη ράβδο (αριστερόστροφη ροπή)· $F_2 = 20\ N$ στο μέσο Μ, κάθετα στη ράβδο (δεξιόστροφη)· $F_3 = 30\ N$ στο Β, κατά μήκος της ράβδου προς το Α. (α) Να βρείτε τη συνολική ροπή ως προς το Α. (β) Μετακινούμε την $F_2$ σε σημείο που απέχει $0{,}5\ m$ από το Α. Πόση γίνεται η συνολική ροπή; (γ) Στην περίπτωση (β), πόση δύναμη $F_4$ στο Β, υπό γωνία $30°$ με τη ράβδο, πρέπει να προσθέσουμε ώστε η συνολική ροπή να γίνει ξανά μηδέν;

Δεδομένα: $l = 2\ m$ , $F_1 = 10\ N$ , $F_2 = 20\ N$ , $F_3 = 30\ N$ . Ζητούμενα: $\Sigma\tau_{(A)}$ , $\Sigma\tau'_{(A)}$ , $F_4$ .

Λύση: Θετική η αριστερόστροφη φορά.

(α) $\tau_1 = +10 \cdot 2 = 20\ N \cdot m$ , $\tau_2 = -20 \cdot 1 = -20\ N \cdot m$ , $\tau_3 = 0$ (ο φορέας περνά από το Α). $\Sigma\tau = 0$ .

(β) $\tau_2' = -20 \cdot 0{,}5 = -10\ N \cdot m$ , άρα $\Sigma\tau' = 20 - 10 = +10\ N \cdot m$ (αριστερόστροφη).

(γ) Η $F_4$ πρέπει να δίνει δεξιόστροφη ροπή $10\ N \cdot m$ : $F_4 \cdot 2 \cdot \eta\mu 30° = 10 \Rightarrow F_4 = 10\ N$ .

Απάντηση: $0$ · $+10\ N \cdot m$ · $F_4 = 10\ N$ , με κατάλληλη (δεξιόστροφη) φορά.

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια ράβδο που στρέφεται γύρω από άξονα ασκείται δύναμη της οποίας ο φορέας περνά από τον άξονα. Η ροπή της ως προς τον άξονα είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Θέλουμε να στρέψουμε μια πόρτα με τη μικρότερη δυνατή δύναμη. Πού και πώς πρέπει να την ασκήσουμε;

Ήξερες ότι;

Τα μπουλόνια των τροχών ενός αυτοκινήτου σφίγγονται συνήθως με ροπή της τάξης των $100\ N \cdot m$ , και τα συνεργεία χρησιμοποιούν δυναμόκλειδο, που «κλικάρει» όταν φτάσει τη ρυθμισμένη ροπή. Με κλειδί μήκους $0{,}5\ m$ αυτό αντιστοιχεί σε δύναμη περίπου $200\ N$ στην άκρη του — όσο το βάρος σώματος $20\ kg$ .

Πρόκληση

Το τιμόνι. Ο οδηγός κρατά τιμόνι διαμέτρου $0{,}4\ m$ με τα δύο χέρια σε αντιδιαμετρικά σημεία και ασκεί με το καθένα δύναμη $20\ N$ εφαπτομενικά, σε αντίθετες κατευθύνσεις. (α) Πόση είναι η συνολική δύναμη και πόση η ροπή; (β) Υπολόγισε τη ροπή ως προς το σημείο όπου πιάνει το ένα χέρι — βγαίνει η ίδια; (γ) Με ένα μόνο χέρι, πόση δύναμη χρειάζεται για την ίδια ροπή ως προς τον άξονα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Οι δυνάμεις είναι αντίθετες, άρα $\Sigma\vec{F} = 0$ · αποτελούν ζεύγος με απόσταση φορέων $0{,}4\ m$ : $\tau = 20 \cdot 0{,}4 = 8\ N \cdot m$ .

(β) Ως προς το ένα χέρι: η δύναμή του έχει ροπή μηδέν, η άλλη απέχει $0{,}4\ m$ : $\tau = 20 \cdot 0{,}4 = 8\ N \cdot m$ — ίδια, όπως πρέπει για ζεύγος.

(γ) Με ένα χέρι σε απόσταση $0{,}2\ m$ από τον άξονα: $F \cdot 0{,}2 = 8 \Rightarrow F = 40\ N$ . Τότε όμως $\Sigma\vec{F} \ne 0$ και ο άξονας πρέπει να ασκεί αντίθετη δύναμη.

Απάντηση: $\Sigma F = 0$ , $\tau = 8\ N \cdot m$ · ναι, $8\ N \cdot m$ · $40\ N$ . Γι' αυτό οδηγούμε με τα δύο χέρια: καθαρή περιστροφή, χωρίς να «σπρώχνουμε» τον άξονα.

Συνηθισμένα λάθη

Μοχλοβραχίονας = απόσταση από το σημείο εφαρμογής. Είναι η κάθετη απόσταση του άξονα από τον φορέα: για πλάγια δύναμη $d = r\,\eta\mu\varphi$ .
Συνημίτονο αντί για ημίτονο. Με $\varphi$ τη γωνία δύναμης–ευθείας άξονα, μπαίνει $\eta\mu\varphi$ .
Ροπές χωρίς πρόσημα. Αντίρροπες ροπές αφαιρούνται.
$\Sigma F = 0 \Rightarrow \Sigma\tau = 0$ . Το ζεύγος δυνάμεων έχει μηδενική συνισταμένη και μη μηδενική ροπή.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ροπή: $\tau = F \cdot d$ , με $d$ την κάθετη απόσταση άξονα–φορέα· $\tau = Fr\,\eta\mu\varphi$ .
Φορέας που περνά από τον άξονα ⇒ $\tau = 0$ .
Πρόσημα: συνήθως $+$ η αριστερόστροφη, $-$ η δεξιόστροφη· η συνολική ροπή είναι αλγεβρικό άθροισμα.
Ζεύγος: $\Sigma\vec{F} = 0$ , $\tau = F \cdot d$ ως προς οποιοδήποτε σημείο — μόνο στρέφει.

Στροφική κίνηση και ροπή

Το στερεό σώμα, εκτός από μεταφορική, μπορεί να κάνει και στροφική κίνηση γύρω από άξονα, με γωνιακή ταχύτητα

\omega

και γωνιακή επιτάχυνση

\alpha_{\text{γων}}

. Κάθε σημείο του σε απόσταση

r

από τον άξονα έχει γραμμική ταχύτητα

\upsilon = \omega r

Το μέγεθος που «στρίβει» τα σώματα δεν είναι σκέτη η δύναμη αλλά η ροπή της:

\tau = F \cdot d

, όπου

d

ο μοχλοβραχίονας — η κάθετη απόσταση του άξονα από τον φορέα της δύναμης. Γι' αυτό σπρώχνεις την πόρτα μακριά από τους μεντεσέδες: ίδια δύναμη, μεγαλύτερο

d

, μεγαλύτερη ροπή!