🍎

Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα

ΣF = mα, μάζα ως μέτρο της αδράνειας, μονάδα Newton, δυναμική σε μία διάσταση

Γιατί ένα άδειο καρότσι του σούπερ μάρκετ «πετάει» με ένα σπρώξιμο, ενώ το γεμάτο θέλει προσπάθεια;

Με το ίδιο σπρώξιμο, το άδειο καρότσι αποκτά γρήγορα ταχύτητα, ενώ το γεμάτο «κολλάει». Κι αν σπρώξεις πιο δυνατά, αλλάζει πιο γρήγορα ταχύτητα και το γεμάτο. Δύναμη, μάζα και επιτάχυνση συνδέονται με μία από τις πιο διάσημες εξισώσεις της Φυσικής, τον 2ο νόμο του Νεύτωνα. Με αυτόν, κάθε άσκηση δυναμικής γίνεται άσκηση κινηματικής.

Ο 2ος νόμος: ΣF = mα

Όταν η συνισταμένη δεν είναι μηδέν, το σώμα αποκτά επιτάχυνση με την ίδια κατεύθυνση:

$\Sigma F = m \alpha$

Η μάζα $m$ είναι το μέτρο της αδράνειας: όσο μεγαλύτερη, τόσο πιο δύσκολα αλλάζει η ταχύτητα του σώματος. Από τον νόμο προκύπτει και η μονάδα: $1 \ \text{N} = 1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ .

Δηλαδή $1 \ \text{N}$ είναι η δύναμη που δίνει σε μάζα $1 \ \text{kg}$ επιτάχυνση $1 \ \text{m/s}^2$ . Πρόσεξε δύο λεπτομέρειες: στον νόμο μπαίνει η συνισταμένη όλων των δυνάμεων, όχι μία από αυτές, και η επιτάχυνση έχει πάντα την κατεύθυνση της $\Sigma F$ — όχι αναγκαστικά της ταχύτητας.

Μεγάλωσε τη δύναμη και παρατήρησε το σημείο (ΣF, α) να γλιστρά πάνω σε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων: διπλάσια ΣF δίνει διπλάσια α — ευθεία αναλογία με κλίση 1/m, άρα όσο μεγαλύτερη η μάζα, τόσο πιο «δύσκολη» η επιτάχυνση.

$\Sigma F = m \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \frac{\Sigma F}{m}, \qquad 1 \ \text{N} = 1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$

Γρήγορος έλεγχος

Σε σώμα μάζας $4 \ \text{kg}$ ασκούνται δύο αντίρροπες οριζόντιες δυνάμεις, $F_1 = 20 \ \text{N}$ και $F_2 = 8 \ \text{N}$ (χωρίς τριβές). Η επιτάχυνσή του είναι:

Ήξερες ότι;

Ο Νεύτωνας δεν έγραψε ποτέ « $F = m\alpha$ ». Στο έργο του Principia (1687) διατύπωσε τον 2ο νόμο με λόγια και γεωμετρικά σχήματα, μιλώντας για τη μεταβολή της «ποσότητας κίνησης». Τη γνωστή αλγεβρική μορφή τη διαμόρφωσαν αργότερα άλλοι, κυρίως ο Λέοναρντ Όιλερ τον 18ο αιώνα.

Μέθοδος: προβλήματα δυναμικής σε μία διάσταση

Απομόνωσε το σώμα και σχεδίασε όλες τις δυνάμεις: βάρος, κάθετη $N$ , τριβή, τάσεις νημάτων, εξωτερικές δυνάμεις.
Όρισε θετική φορά — συνήθως τη φορά της κίνησης.
Στον άξονα όπου δεν υπάρχει κίνηση γράψε $\Sigma F = 0$ : δίνει το $N$ και από εκεί την τριβή $T = \mu N$ .
Στον άξονα της κίνησης γράψε $\Sigma F = m\alpha$ και βρες το $\alpha$ .
Με γνωστό $\alpha$ πέρασε στις εξισώσεις της ΕΟΕΚ. Αν αλλάξουν οι δυνάμεις (π.χ. καταργείται η $F$ ), ξεκινά νέα φάση με νέο $\alpha$ .

Παράδειγμα (λείο δάπεδο): Σε κιβώτιο μάζας $m = 5 \ \text{kg}$ , που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη $F = 20 \ \text{N}$ . α) Ποια είναι η επιτάχυνσή του; β) Πόση ταχύτητα έχει και πόσο έχει μετατοπιστεί τη στιγμή $t = 3 \ \text{s}$ ;

Λύση: Κατακόρυφα το βάρος εξουδετερώνεται από την κάθετη δύναμη $N$ · οριζόντια δρα μόνο η $F$ .

α) $\alpha = \frac{\Sigma F}{m} = \frac{20}{5} = 4 \ \text{m/s}^2$ .

β) ΕΟΜΚ από ηρεμία: $\upsilon = \alpha t = 4 \cdot 3 = 12 \ \text{m/s}$ και $\Delta x = \frac{1}{2}\alpha t^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 18 \ \text{m}$ .

Παράδειγμα (κατακόρυφη κίνηση): Κιβώτιο μάζας $m = 2 \ \text{kg}$ ανυψώνεται με σχοινί που του ασκεί κατακόρυφη δύναμη $F = 30 \ \text{N}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). α) Ποια είναι η επιτάχυνσή του; β) Πόση δύναμη πρέπει να ασκεί το σχοινί ώστε το κιβώτιο να ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα;

Λύση: Θετική φορά προς τα πάνω. Δυνάμεις: $F$ προς τα πάνω και $w = mg = 20 \ \text{N}$ προς τα κάτω.

α) Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα:

$\Sigma F = F - w = 30 - 20 = 10 \ \text{N} \Rightarrow \alpha = \frac{10}{2} = 5 \ \text{m/s}^2$

με φορά προς τα πάνω.

β) Σταθερή ταχύτητα σημαίνει $\alpha = 0$ , άρα $\Sigma F = 0$ και $F = w = 20 \ \text{N}$ — όχι «λίγο μεγαλύτερη από το βάρος», αλλά ακριβώς ίση (1ος νόμος).

Γρήγορος έλεγχος

Η ίδια συνισταμένη δύναμη ασκείται σε δύο σώματα Α και Β. Το Α αποκτά επιτάχυνση $6 \ \text{m/s}^2$ και το Β $2 \ \text{m/s}^2$ . Ο λόγος των μαζών $\frac{m_A}{m_B}$ είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Κιβώτιο μάζας $m = 10 \ \text{kg}$ ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τη στιγμή $t = 0$ του ασκείται οριζόντια δύναμη $F_1 = 30 \ \text{N}$ . Τη στιγμή $t_1 = 4 \ \text{s}$ η $F_1$ καταργείται και ασκείται αντίρροπη οριζόντια δύναμη $F_2 = 20 \ \text{N}$ , μέχρι το κιβώτιο να σταματήσει.

Δεδομένα: $m = 10 \ \text{kg}$ , $F_1 = 30 \ \text{N}$ , $t_1 = 4 \ \text{s}$ , $F_2 = 20 \ \text{N}$ , $\upsilon_0 = 0$ .

Ζητούμενα: α) η επιτάχυνση, η ταχύτητα και η μετατόπιση τη στιγμή $t_1$ , β) η επιβράδυνση στη δεύτερη φάση, γ) πότε σταματά και η συνολική μετατόπιση.

Λύση: α) $\alpha_1 = \frac{F_1}{m} = \frac{30}{10} = 3 \ \text{m/s}^2$ , $\upsilon_1 = 3 \cdot 4 = 12 \ \text{m/s}$ και $\Delta x_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 16 = 24 \ \text{m}$ .

β) $\alpha_2 = \frac{F_2}{m} = 2 \ \text{m/s}^2$ , αντίρροπη της ταχύτητας.

γ) Σταματά $\frac{12}{2} = 6 \ \text{s}$ μετά το $t_1$ , δηλαδή τη στιγμή $t = 10 \ \text{s}$ , έχοντας διανύσει $\Delta x_2 = \frac{\upsilon_1^2}{2\alpha_2} = \frac{144}{4} = 36 \ \text{m}$ . Συνολικά $\Delta x = 24 + 36 = 60 \ \text{m}$ .

Απάντηση: α) $3 \ \text{m/s}^2$ , $12 \ \text{m/s}$ , $24 \ \text{m}$ β) $2 \ \text{m/s}^2$ γ) $t = 10 \ \text{s}$ , $60 \ \text{m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα κινείται προς τα δεξιά, ενώ η συνισταμένη των δυνάμεων πάνω του είναι σταθερή και δείχνει προς τα αριστερά. Τότε το σώμα:

Πρόκληση

Η ζυγαριά στο ασανσέρ. Μαθητής μάζας $m = 60 \ \text{kg}$ στέκεται σε ζυγαριά μπάνιου μέσα σε ασανσέρ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Η ζυγαριά μετράει τη δύναμη $N$ που της ασκεί ο μαθητής και τη «μεταφράζει» σε κιλά διαιρώντας με $10$ . Τι δείχνει όταν το ασανσέρ (α) ανεβαίνει επιταχυνόμενο με $\alpha = 2 \ \text{m/s}^2$ , (β) κινείται με σταθερή ταχύτητα, (γ) κατεβαίνει επιταχυνόμενο με $\alpha = 2 \ \text{m/s}^2$ , (δ) πέφτει ελεύθερα;

Δεδομένα: $m = 60 \ \text{kg}$ , $w = mg = 600 \ \text{N}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Στον μαθητή ασκούνται το βάρος $w$ (κάτω) και η κάθετη δύναμη $N$ από τη ζυγαριά (πάνω). Κατά τον 3ο νόμο, ίση $N$ ασκεί ο μαθητής στη ζυγαριά, άρα αυτή είναι η ένδειξη.

(α) Θετικά προς τα πάνω: $N - w = m\alpha \Rightarrow N = 600 + 60 \cdot 2 = 720 \ \text{N}$ → δείχνει $72 \ \text{kg}$ .

(β) $\alpha = 0 \Rightarrow N = w = 600 \ \text{N}$ → δείχνει $60 \ \text{kg}$ .

(γ) Θετικά προς τα κάτω: $w - N = m\alpha \Rightarrow N = 600 - 120 = 480 \ \text{N}$ → δείχνει $48 \ \text{kg}$ .

(δ) $\alpha = g$ : $w - N = mg \Rightarrow N = 0$ → δείχνει $0$ !

Απάντηση: $72$ , $60$ , $48$ και $0 \ \text{kg}$ . Η μάζα του μαθητή δεν άλλαξε ποτέ· άλλαξε μόνο η δύναμη που χρειάζεται για να έχει τη δεδομένη επιτάχυνση.

Πριν γράψεις οποιαδήποτε εξίσωση, σχεδίασε το σώμα και ΟΛΕΣ τις δυνάμεις που δέχεται (βάρος, κάθετη $N$ , τριβή, εξωτερικές) — το περίφημο διάγραμμα ελευθέρου σώματος πιάνει μονάδες στο Θέμα Δ. Μετά δούλεψε ανά άξονα: κατακόρυφα συνήθως $\Sigma F = 0$ (δίνει το $N$ ), οριζόντια $\Sigma F = m\alpha$ . Και έλεγχος λογικής στο τέλος: επιταχυνόμενο σώμα σημαίνει $\Sigma F$ ομόρροπη της ταχύτητας, επιβραδυνόμενο αντίρροπη.

Συνηθισμένα λάθη

Μία δύναμη αντί για τη συνισταμένη: στο $\Sigma F = m\alpha$ μπαίνει το άθροισμα όλων των δυνάμεων με πρόσημα. Διόρθωση: σχεδίασε πρώτα όλες τις δυνάμεις.
«Η $\alpha$ είναι πάντα ομόρροπη της $\upsilon$ »: η επιτάχυνση ακολουθεί τη $\Sigma F$ . Διόρθωση: αντίρροπη $\Sigma F$ σημαίνει επιβράδυνση.
$N = w$ και όταν υπάρχει κατακόρυφη επιτάχυνση: στο ασανσέρ που επιταχύνεται $N \neq mg$ . Διόρθωση: γράψε τον 2ο νόμο και στον κατακόρυφο άξονα.
Μάζα σε γραμμάρια: Διόρθωση: στο S.I. η μάζα μπαίνει σε kg ( $500 \ \text{g} = 0{,}5 \ \text{kg}$ ).

Σύνοψη — τι κρατάμε

2ος νόμος: $\Sigma F = m\alpha$ · η επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης.
$1 \ \text{N} = 1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ · η μάζα μετρά την αδράνεια.
Ίδια δύναμη σε μεγαλύτερη μάζα δίνει μικρότερη επιτάχυνση.
Με γνωστή $\alpha$ περνάς στις εξισώσεις της ΕΟΜΚ· αν αλλάξουν οι δυνάμεις, ξεκινά νέα φάση.

🍎

Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα

ΣF = mα, μάζα ως μέτρο της αδράνειας, μονάδα Newton, δυναμική σε μία διάσταση

Γιατί ένα άδειο καρότσι του σούπερ μάρκετ «πετάει» με ένα σπρώξιμο, ενώ το γεμάτο θέλει προσπάθεια;

Ο 2ος νόμος: ΣF = mα

Όταν η συνισταμένη δεν είναι μηδέν, το σώμα αποκτά επιτάχυνση με την ίδια κατεύθυνση:

$\Sigma F = m \alpha$

y = 1.5x \Rightarrow f(1) = 1.5,\; f(2) = 3

α = 1.5

Όταν το x διπλασιάζεται (1 → 2), το y διπλασιάζεται (1.5 → 3) — ο λόγος y/x μένει σταθερός, ίσος με α.

$\Sigma F = m \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \frac{\Sigma F}{m}, \qquad 1 \ \text{N} = 1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Μέθοδος: προβλήματα δυναμικής σε μία διάσταση

Απομόνωσε το σώμα και σχεδίασε όλες τις δυνάμεις: βάρος, κάθετη $N$ , τριβή, τάσεις νημάτων, εξωτερικές δυνάμεις.
Όρισε θετική φορά — συνήθως τη φορά της κίνησης.
Στον άξονα όπου δεν υπάρχει κίνηση γράψε $\Sigma F = 0$ : δίνει το $N$ και από εκεί την τριβή $T = \mu N$ .
Στον άξονα της κίνησης γράψε $\Sigma F = m\alpha$ και βρες το $\alpha$ .
Με γνωστό $\alpha$ πέρασε στις εξισώσεις της ΕΟΕΚ. Αν αλλάξουν οι δυνάμεις (π.χ. καταργείται η $F$ ), ξεκινά νέα φάση με νέο $\alpha$ .

Λύση: Κατακόρυφα το βάρος εξουδετερώνεται από την κάθετη δύναμη $N$ · οριζόντια δρα μόνο η $F$ .

α) $\alpha = \frac{\Sigma F}{m} = \frac{20}{5} = 4 \ \text{m/s}^2$ .

β) ΕΟΜΚ από ηρεμία: $\upsilon = \alpha t = 4 \cdot 3 = 12 \ \text{m/s}$ και $\Delta x = \frac{1}{2}\alpha t^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 18 \ \text{m}$ .

Λύση: Θετική φορά προς τα πάνω. Δυνάμεις: $F$ προς τα πάνω και $w = mg = 20 \ \text{N}$ προς τα κάτω.

α) Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα:

$\Sigma F = F - w = 30 - 20 = 10 \ \text{N} \Rightarrow \alpha = \frac{10}{2} = 5 \ \text{m/s}^2$

με φορά προς τα πάνω.

Γρήγορος έλεγχος

Δεδομένα: $m = 10 \ \text{kg}$ , $F_1 = 30 \ \text{N}$ , $t_1 = 4 \ \text{s}$ , $F_2 = 20 \ \text{N}$ , $\upsilon_0 = 0$ .

Λύση: α) $\alpha_1 = \frac{F_1}{m} = \frac{30}{10} = 3 \ \text{m/s}^2$ , $\upsilon_1 = 3 \cdot 4 = 12 \ \text{m/s}$ και $\Delta x_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 16 = 24 \ \text{m}$ .

β) $\alpha_2 = \frac{F_2}{m} = 2 \ \text{m/s}^2$ , αντίρροπη της ταχύτητας.

Απάντηση: α) $3 \ \text{m/s}^2$ , $12 \ \text{m/s}$ , $24 \ \text{m}$ β) $2 \ \text{m/s}^2$ γ) $t = 10 \ \text{s}$ , $60 \ \text{m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πρόκληση

Δεδομένα: $m = 60 \ \text{kg}$ , $w = mg = 600 \ \text{N}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Θετικά προς τα πάνω: $N - w = m\alpha \Rightarrow N = 600 + 60 \cdot 2 = 720 \ \text{N}$ → δείχνει $72 \ \text{kg}$ .

(β) $\alpha = 0 \Rightarrow N = w = 600 \ \text{N}$ → δείχνει $60 \ \text{kg}$ .

(γ) Θετικά προς τα κάτω: $w - N = m\alpha \Rightarrow N = 600 - 120 = 480 \ \text{N}$ → δείχνει $48 \ \text{kg}$ .

(δ) $\alpha = g$ : $w - N = mg \Rightarrow N = 0$ → δείχνει $0$ !

Συνηθισμένα λάθη

Μία δύναμη αντί για τη συνισταμένη: στο $\Sigma F = m\alpha$ μπαίνει το άθροισμα όλων των δυνάμεων με πρόσημα. Διόρθωση: σχεδίασε πρώτα όλες τις δυνάμεις.
«Η $\alpha$ είναι πάντα ομόρροπη της $\upsilon$ »: η επιτάχυνση ακολουθεί τη $\Sigma F$ . Διόρθωση: αντίρροπη $\Sigma F$ σημαίνει επιβράδυνση.
$N = w$ και όταν υπάρχει κατακόρυφη επιτάχυνση: στο ασανσέρ που επιταχύνεται $N \neq mg$ . Διόρθωση: γράψε τον 2ο νόμο και στον κατακόρυφο άξονα.
Μάζα σε γραμμάρια: Διόρθωση: στο S.I. η μάζα μπαίνει σε kg ( $500 \ \text{g} = 0{,}5 \ \text{kg}$ ).

Σύνοψη — τι κρατάμε

2ος νόμος: $\Sigma F = m\alpha$ · η επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης.
$1 \ \text{N} = 1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ · η μάζα μετρά την αδράνεια.
Ίδια δύναμη σε μεγαλύτερη μάζα δίνει μικρότερη επιτάχυνση.
Με γνωστή $\alpha$ περνάς στις εξισώσεις της ΕΟΜΚ· αν αλλάξουν οι δυνάμεις, ξεκινά νέα φάση.