Μαγνητικό Πεδίο & Νόμος Biot–Savart
Ένταση B, μαγνητικές γραμμές, πεδίο στοιχείου ρεύματος
Το σέλας στους πόλους είναι φορτισμένα σωματίδια από τον Ήλιο, που το μαγνητικό πεδίο της Γης τα οδηγεί προς τους πόλους. Τα ηχεία του κινητού σου κινούν τη μεμβράνη τους με δύναμη Laplace. Και οι μεγάλοι επιταχυντές στρίβουν πρωτόνια σε κύκλους με μαγνήτες. Όλα αυτά περιγράφονται με λίγους τύπους: το πεδίο ενός ρεύματος, τη δύναμη Lorentz και τη δύναμη Laplace.
Το «αόρατο» πεδίο γύρω από τα ρεύματα
Κόλλησε έναν μαγνήτη στο ψυγείο: κάτι τον τραβάει πριν καν ακουμπήσει. Αυτό το «κάτι» είναι το μαγνητικό πεδίο — μια ιδιότητα του χώρου γύρω από μαγνήτες αλλά και γύρω από ρευματοφόρους αγωγούς. Το 1820 ο Oersted παρατήρησε ότι μια πυξίδα εκτρέπεται όταν τη φέρουμε κοντά σε καλώδιο που διαρρέεται από ρεύμα: τα κινούμενα φορτία δημιουργούν μαγνητικό πεδίο.
Το πεδίο περιγράφεται από το διάνυσμα της έντασης , με μονάδα το Tesla (). Το χαρτογραφούμε με τις μαγνητικές (δυναμικές) γραμμές: σε κάθε σημείο, το είναι εφαπτόμενο στη γραμμή που περνά από εκεί. Όπου οι γραμμές πυκνώνουν, το πεδίο είναι ισχυρότερο. Αν παντού το έχει ίδιο μέτρο και κατεύθυνση, το πεδίο λέγεται ομογενές (ΟΜΠ) — οι γραμμές του είναι παράλληλες και ισαπέχουσες.
Ο νόμος των Biot και Savart
Λίγους μήνες μετά το πείραμα του Oersted, οι Biot και Savart μέτρησαν πώς εξαρτάται το πεδίο ενός ρεύματος από την απόσταση και τη γεωμετρία. Ο νόμος τους δίνει το πεδίο που δημιουργεί ένα στοιχείο ρεύματος: ένα πολύ μικρό κομμάτι αγωγού μήκους που διαρρέεται από ρεύμα . Σε σημείο Σ που απέχει από το στοιχείο, το μέτρο του στοιχειώδους πεδίου είναι:
όπου η γωνία ανάμεσα στη διεύθυνση του στοιχείου ρεύματος και στην ευθεία που το συνδέει με το σημείο. Η διεύθυνση του είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν το στοιχείο και το σημείο, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού.
Παρατήρησε τα «δομικά υλικά» του νόμου:
- — εξασθενεί με το τετράγωνο της απόστασης, όπως ο νόμος του Coulomb.
- — το πεδίο μεγιστοποιείται κάθετα στο στοιχείο () και μηδενίζεται στην προέκταση του στοιχείου ( ή ).
Αθροίζοντας τις συνεισφορές όλων των στοιχείων ενός πραγματικού κυκλώματος προκύπτουν οι γνωστοί τύποι: για τον απείρου μήκους ευθύγραμμο αγωγό, στο κέντρο κυκλικού αγωγού, στο εσωτερικό σωληνοειδούς.
Παρατήρησε τις μαγνητικές γραμμές γύρω από το ρευματοφόρο σύρμα: θα ανακαλύψεις ότι το συνολικό πεδίο είναι το «άθροισμα» των κάθετων συνεισφορών ΔB που προβλέπει ο νόμος Biot–Savart για κάθε στοιχείο ρεύματος — γι' αυτό οι γραμμές τυλίγονται κυκλικά γύρω από τον αγωγό.
Σημείο Σ βρίσκεται πάνω στην προέκταση ενός στοιχείου ρεύματος (δηλαδή ). Το πεδίο που δημιουργεί το στοιχείο στο Σ είναι:
Μέθοδος: εφαρμογή του νόμου Biot–Savart
- Σχεδίασε το στοιχείο με τη φορά του ρεύματος και το ευθύγραμμο τμήμα που το ενώνει με το σημείο Σ (μήκος ).
- Βρες τη γωνία ανάμεσα στη διεύθυνση του στοιχείου και στην ευθεία στοιχείου–σημείου.
- Υπολόγισε , με όλα τα μήκη σε .
- Διεύθυνση: κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν το στοιχείο και το σημείο· φορά με τον κανόνα του δεξιού χεριού.
- Για πολλά στοιχεία πρόσθεσε διανυσματικά. Αν όλα δίνουν πεδίο στην ίδια διεύθυνση (π.χ. στο κέντρο κυκλικού αγωγού), τα μέτρα απλώς αθροίζονται.
Άσκηση (στοιχείο ρεύματος): Στοιχείο αγωγού μήκους διαρρέεται από ρεύμα . Να βρεθεί το πεδίο που δημιουργεί σε σημείο που απέχει , όταν η ευθεία στοιχείου–σημείου σχηματίζει με το στοιχείο γωνία (α) , (β) , (γ) ().
Λύση:
(α) .
(β) Με το πεδίο διπλασιάζεται: — η μέγιστη τιμή.
(γ) Με : — το σημείο βρίσκεται στην προέκταση του στοιχείου.
Άσκηση: Ένα στοιχείο ρεύματος δημιουργεί πεδίο σε σημείο Α που απέχει από αυτό, πάνω στην κάθετο στο στοιχείο. Πόσο πεδίο δημιουργεί σε σημείο Β που απέχει , όταν η ευθεία στοιχείου–Β σχηματίζει με το στοιχείο γωνία ;
Λύση: Για το Α είναι . Διαιρώντας κατά μέλη:
Άρα . Ο διπλασιασμός της απόστασης «κόβει» το πεδίο στο και η πλάγια γωνία στο μισό ακόμη.
Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β/Γ): Κυκλικός αγωγός ακτίνας διαρρέεται από ρεύμα (). (α) Πόση γωνία σχηματίζει κάθε στοιχείο του κύκλου με την ακτίνα προς το κέντρο; (β) Πόσο πεδίο δημιουργεί στο κέντρο ένα στοιχείο ; (γ) Να δείξετε ότι όλα τα στοιχεία μαζί δίνουν και να το υπολογίσετε.
Δεδομένα: , , . Ζητούμενα: , , στο κέντρο.
Λύση:
(α) Το στοιχείο είναι εφαπτόμενο στον κύκλο και η ακτίνα κάθετη στην εφαπτομένη: .
(β) .
(γ) Όλα τα στοιχεία απέχουν από το κέντρο, έχουν και δίνουν πεδίο στην ίδια διεύθυνση (κάθετη στο επίπεδο του κύκλου). Άρα τα μέτρα αθροίζονται, με :
Έλεγχος: στοιχεία επί το καθένα ✓.
Απάντηση: · · .
Σε σημείο που απέχει από ένα στοιχείο ρεύματος, πάνω στην κάθετο σε αυτό, το στοιχειώδες πεδίο είναι . Σε σημείο της ίδιας καθέτου που απέχει , το πεδίο του στοιχείου είναι:
Ποια είναι η διεύθυνση του στοιχειώδους πεδίου που δημιουργεί ένα στοιχείο ρεύματος σε ένα σημείο Σ;
Το μαγνητικό πεδίο της Γης στην επιφάνειά της είναι μόλις –. Ένας μαγνήτης ψυγείου φτάνει περίπου τα , ενώ οι ιατρικοί τομογράφοι MRI δουλεύουν συνήθως με ή — δεκάδες χιλιάδες φορές το γήινο πεδίο.
Ποιο κομμάτι του σύρματος «μετράει»; Ευθύγραμμος αγωγός μεγάλου μήκους διαρρέεται από ρεύμα . Σημείο Σ απέχει από τον αγωγό, με πόδι καθέτου το Ο. (α) Πόσο πεδίο δίνει στο Σ ένα στοιχείο στο Ο; (β) Πόσο δίνει ένα ίδιο στοιχείο στη θέση όπου η ευθεία προς το Σ σχηματίζει με τον αγωγό; (γ) Προστίθενται ή αφαιρούνται οι συνεισφορές;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
(α) Στο Ο: , , .
(β) Με η απόσταση είναι : . Γενικά : τα μακρινά στοιχεία συνεισφέρουν ελάχιστα.
(γ) Όλα τα στοιχεία του αγωγού και το Σ βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, άρα όλα δίνουν πεδίο κάθετο σε αυτό, με την ίδια φορά: οι συνεισφορές προστίθενται. Η άθροισή τους δίνει το του επόμενου κεφαλαίου.
Απάντηση: · · προστίθενται.
- Biot–Savart με . Για το στοιχείο ρεύματος · το ισχύει για ολόκληρο ευθύγραμμο αγωγό.
- Λάθος γωνία. Η είναι η γωνία του στοιχείου με την ευθεία στοιχείου–σημείου· στην προέκταση .
- Πεδίο «ακτινικό». Το είναι κάθετο στο επίπεδο στοιχείου–σημείου, όχι κατά μήκος της .
- Μονάδες. και σε μέτρα: , .
- Τα κινούμενα φορτία (ρεύματα) δημιουργούν μαγνητικό πεδίο με ένταση σε Tesla.
- Μαγνητικές γραμμές: εφαπτόμενες στο , πυκνότερες όπου το πεδίο είναι ισχυρότερο· ομογενές πεδίο = παράλληλες ισαπέχουσες γραμμές.
- Biot–Savart: , .
- κάθετο στο επίπεδο στοιχείου–σημείου, μηδέν στην προέκταση του στοιχείου.
- Το πεδίο ενός κυκλώματος είναι το διανυσματικό άθροισμα των συνεισφορών όλων των στοιχείων του.