🎸

Στάσιμα Κύματα

Δεσμοί & κοιλίες, πλάτος σημείων, χορδή με ακλόνητα άκρα

Γιατί με νοιάζει;

Κάθε νότα κιθάρας, βιολιού ή πιάνου είναι ένα στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή. Όταν πιέζεις την ταστιέρα, κονταίνεις τη χορδή και αλλάζεις ποια στάσιμα «χωράνε» σε αυτήν — άρα και τη νότα. Στις Πανελλαδικές τα στάσιμα πέφτουν συχνά ως Θέμα Β ή Γ με πλάτη σημείων, φάσεις και πλήθος δεσμών.

Στάσιμα κύματα

Όταν δύο όμοια κύματα (ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα) διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις στο ίδιο μέσο, η επαλληλία τους δημιουργεί στάσιμο κύμα:

Κοιλίες: σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος $2A$ , στις θέσεις $x = \kappa\frac{\lambda}{2}$
Δεσμοί: σημεία που μένουν διαρκώς ακίνητα, στις θέσεις $x = (2\kappa + 1)\frac{\lambda}{4}$

Η απόσταση δύο διαδοχικών δεσμών (ή κοιλιών) είναι $\frac{\lambda}{2}$ . Προσοχή: το στάσιμο δεν είναι κύμα — δεν μεταφέρει ενέργεια από σημείο σε σημείο!

$y = 2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\,\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$

Από πού βγαίνει η εξίσωση του στάσιμου

Δύο όμοια κύματα διαδίδονται αντίθετα: $y_1 = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ και $y_2 = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)$ . Με την αρχή της επαλληλίας και την ταυτότητα $\eta\mu\alpha + \eta\mu\beta = 2\,\sigma\upsilon\nu\frac{\alpha - \beta}{2}\,\eta\mu\frac{\alpha + \beta}{2}$ :

$y = y_1 + y_2 = 2A\,\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\,\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$

Ο χρονικός παράγοντας $\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$ είναι κοινός για όλα τα σημεία: γι' αυτό δεν «ταξιδεύει» τίποτα. Ο χωρικός παράγοντας $2A\,\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}$ ορίζει το πλάτος κάθε σημείου:

κοιλία όταν $\left|\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right| = 1 \Rightarrow x = \kappa\frac{\lambda}{2}$ ,
δεσμός όταν $\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda} = 0 \Rightarrow x = (2\kappa + 1)\frac{\lambda}{4}$ .

Αυτή η εξίσωση ισχύει όταν στη θέση $x = 0$ σχηματίζεται κοιλία.

Πλάτος σημείων, φάσεις και χορδή με ακλόνητα άκρα

Από την εξίσωση του στάσιμου, κάθε σημείο κάνει ΑΑΤ με την ίδια $T$ αλλά με δικό του πλάτος:

$A' = \left|2A\,\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$

μέγιστο ( $2A$ ) στις κοιλίες και μηδέν στους δεσμούς.

Όλα τα σημεία ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς ταλαντώνονται συμφασικά: φτάνουν μαζί στις ακραίες θέσεις και περνούν μαζί από τη θέση ισορροπίας.
Σημεία εκατέρωθεν ενός δεσμού ταλαντώνονται σε αντίθεση φάσης.
Η ενέργεια μένει «εγκλωβισμένη» ανάμεσα στους δεσμούς — δεν ρέει κατά μήκος του μέσου.

Σε χορδή μήκους $L$ με ακλόνητα άκρα τα δύο άκρα είναι αναγκαστικά δεσμοί, οπότε στάσιμο σχηματίζεται μόνο όταν το μήκος χωράει ακέραιο πλήθος «ατράκτων» μήκους $\frac{\lambda}{2}$ :

$L = N\frac{\lambda}{2}, \quad N = 1, 2, 3, \ldots$

Γρήγορος έλεγχος

Σε στάσιμο κύμα, δύο σημεία Μ και Ν (που δεν είναι δεσμοί) βρίσκονται ανάμεσα στους ίδιους δύο διαδοχικούς δεσμούς. Τα Μ και Ν ταλαντώνονται:

Μέθοδος: ασκήσεις στάσιμου κύματος

Διάβασε από την εξίσωση $y = 2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$ τα $2A$ , $\lambda$ , $T$ .
Πλάτος σημείου: $A' = \left|2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$ — προσοχή, με απόλυτη τιμή.
Θέσεις δεσμών/κοιλιών: λύσε $\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda} = 0$ ή $\pm 1$ και μέτρησε όσες πέφτουν στο ζητούμενο διάστημα.
Φάσεις: ίδιο πρόσημο του $\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}$ ⇒ συμφασικά· αντίθετο ⇒ αντίθεση φάσης.
Χορδή με ακλόνητα άκρα: $L = N\frac{\lambda}{2}$ (N κοιλίες, $N + 1$ δεσμοί μαζί με τα άκρα) και $f_N = N\frac{\upsilon}{2L}$ .
Μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης σημείου: $\omega A'$ · της κοιλίας $\omega \cdot 2A$ .

Άσκηση (στάσιμο): Δύο όμοια κύματα πλάτους $A = 0{,}02\ m$ , με $\lambda = 0{,}4\ m$ και $T = 0{,}2\ s$ , σχηματίζουν στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση $x = 0$ . (α) Να γραφτεί η εξίσωση του στάσιμου. (β) Να βρεθεί το πλάτος του σημείου με $x = 0{,}05\ m$ . (γ) Πόσοι δεσμοί υπάρχουν από $x = 0$ έως $x = 1\ m$ ; (δ) Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης μιας κοιλίας;

Λύση:

(α) $\frac{2\pi}{\lambda} = 5\pi\ rad/m$ και $\frac{2\pi}{T} = 10\pi\ rad/s$ , οπότε

$y = 0{,}04\,\sigma\upsilon\nu(5\pi x)\,\eta\mu(10\pi t)\ (S.I.)$

(β) $A' = |0{,}04\,\sigma\upsilon\nu(5\pi \cdot 0{,}05)| = 0{,}04\,\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{4} = 0{,}02\sqrt{2} \approx 0{,}028\ m$ .

(γ) Δεσμοί στις θέσεις $x = (2\kappa + 1)\frac{\lambda}{4} = (2\kappa + 1) \cdot 0{,}1\ m$ : $0{,}1$ , $0{,}3$ , $0{,}5$ , $0{,}7$ , $0{,}9\ m$ — δηλαδή 5 δεσμοί (ο επόμενος, στο $1{,}1\ m$ , είναι εκτός).

(δ) $\upsilon_{max} = \omega \cdot 2A = 10\pi \cdot 0{,}04 = 0{,}4\pi \approx 1{,}26\ m/s$ .

Άσκηση: Στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση $y = 0{,}1\,\sigma\upsilon\nu(2\pi x)\,\eta\mu(20\pi t)$ (S.I.), με κοιλία στο $x = 0$ . Να βρεθούν: (α) το πλάτος και το μήκος κύματος των κυμάτων που το δημιουργούν και η ταχύτητα διάδοσής τους, (β) η απόσταση δύο διαδοχικών δεσμών, (γ) η φάση του σημείου με $x = 0{,}4\ m$ σε σχέση με την κοιλία στο $x = 0$ .

Λύση:

(α) $2A = 0{,}1 \Rightarrow A = 0{,}05\ m$ · $\frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi \Rightarrow \lambda = 1\ m$ · $\omega = 20\pi \Rightarrow f = 10\ Hz$ · $\upsilon = \lambda f = 10\ m/s$ .

(β) $\frac{\lambda}{2} = 0{,}5\ m$ .

(γ) $\sigma\upsilon\nu(2\pi \cdot 0{,}4) = \sigma\upsilon\nu(0{,}8\pi) < 0$ , ενώ στο $x = 0$ το συνημίτονο είναι $+1$ . Αντίθετα πρόσημα ⇒ αντίθεση φάσης (ανάμεσά τους υπάρχει δεσμός, στο $x = 0{,}25\ m$ ).

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Χορδή μήκους $L = 1{,}2\ m$ με ακλόνητα άκρα. Τα κύματα διαδίδονται σε αυτή με $\upsilon = 24\ m/s$ και πλάτος $A = 5\ mm$ . Διεγείρουμε τη χορδή και σχηματίζεται στάσιμο κύμα με 4 δεσμούς (μαζί με τα άκρα). (α) Να βρείτε το μήκος κύματος και τη συχνότητα. (β) Να βρείτε τη θεμελιώδη συχνότητα της χορδής (1 κοιλία). (γ) Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης μιας κοιλίας.

Δεδομένα: $L = 1{,}2\ m$ , $\upsilon = 24\ m/s$ , $A = 5 \times 10^{-3}\ m$ , 4 δεσμοί. Ζητούμενα: $\lambda$ , $f$ , $f_1$ , $\upsilon_{max,\kappa}$ .

Λύση:

(α) 4 δεσμοί ⇒ 3 κοιλίες ⇒ $L = 3\frac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = 0{,}8\ m$ . $f = \frac{\upsilon}{\lambda} = \frac{24}{0{,}8} = 30\ Hz$ .

(β) Με μία κοιλία $L = \frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 2{,}4\ m$ και $f_1 = \frac{24}{2{,}4} = 10\ Hz$ . (Έλεγχος: $f_N = N f_1$ , $30 = 3 \cdot 10$ ✓.)

(γ) Η κοιλία έχει πλάτος $2A = 0{,}01\ m$ : $\upsilon_{max} = 2\pi f \cdot 2A = 2\pi \cdot 30 \cdot 0{,}01 = 0{,}6\pi \approx 1{,}88\ m/s$ .

Απάντηση: $\lambda = 0{,}8\ m$ , $f = 30\ Hz$ , $f_1 = 10\ Hz$ , $\upsilon_{max} = 0{,}6\pi\ m/s$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε στάσιμο κύμα, πόση είναι η απόσταση ανάμεσα σε έναν δεσμό και την πλησιέστερη κοιλία;

Γρήγορος έλεγχος

Σε χορδή με ακλόνητα άκρα σχηματίζεται στάσιμο με 2 κοιλίες στα $200\ Hz$ . Χωρίς να αλλάξει η ταχύτητα διάδοσης, σε ποια συχνότητα θα σχηματιστεί στάσιμο με 3 κοιλίες;

Ήξερες ότι;

Όταν ένας κιθαρίστας ακουμπά ελαφρά τη χορδή ακριβώς στη μέση της χωρίς να την πιέσει (το λεγόμενο «αρμονικό»), επιβάλλει εκεί δεσμό. Επιβιώνουν μόνο τα στάσιμα που έχουν δεσμό στο μέσο, οπότε ακούγεται νότα μία οκτάβα ψηλότερα (διπλάσια συχνότητα), με χαρακτηριστικό «καμπανιστό» ήχο.

Πρόκληση

Η χορδή της κιθάρας. Χορδή μήκους $L = 0{,}9\ m$ με ακλόνητα άκρα ταλαντώνεται με συχνότητα $f = 100\ Hz$ και σχηματίζει στάσιμο κύμα με 3 κοιλίες. Τα δύο κύματα που το δημιουργούν έχουν πλάτος $A = 2\ mm$ . (α) Βρες το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης. (β) Πόσους δεσμούς έχει η χορδή, μαζί με τα άκρα; (γ) Ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου που απέχει $0{,}1\ m$ από μια κοιλία; (δ) Με την ίδια ταχύτητα διάδοσης, ποια είναι η αμέσως μεγαλύτερη συχνότητα που δίνει στάσιμο κύμα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Τα άκρα είναι δεσμοί και κάθε κοιλία «πιάνει» μισό μήκος κύματος: $L = 3 \cdot \frac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2 \cdot 0{,}9}{3} = 0{,}6\ m$ . Άρα $\upsilon = \lambda f = 0{,}6 \cdot 100 = 60\ m/s$ .

(β) Οι $3$ κοιλίες βρίσκονται ανάμεσα σε $4$ δεσμούς: τους δύο στα άκρα και δύο ενδιάμεσους.

(γ) Με το $x$ μετρημένο από την κοιλία: $A' = \left|2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right| = 4\ mm \cdot \left|\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi \cdot 0{,}1}{0{,}6}\right| = 4\ mm \cdot \sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{3} = 2\ mm$ .

(δ) Στάσιμο σε χορδή με ακλόνητα άκρα σχηματίζεται όταν $L = n\frac{\lambda}{2}$ , δηλαδή $f_n = n\frac{\upsilon}{2L} = n \cdot \frac{60}{1{,}8} = n \cdot \frac{100}{3}\ Hz$ . Για $n = 3$ παίρνουμε τα $100\ Hz$ ✓, και για $n = 4$ : $f_4 = \frac{400}{3} \approx 133\ Hz$ .

Απάντηση: $\lambda = 0{,}6\ m$ , $\upsilon = 60\ m/s$ · $4$ δεσμοί· πλάτος $2\ mm$ · $\approx 133\ Hz$ , με $4$ κοιλίες. Όσο περισσότερες κοιλίες, τόσο πιο «ψηλή» η νότα.

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος αποστάσεις. Δεσμός–δεσμός $\frac{\lambda}{2}$ , δεσμός–κοιλία $\frac{\lambda}{4}$ · πλάτος $2A$ έχουν μόνο οι κοιλίες.
Η $\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$ στο στάσιμο. Εκεί τα σημεία είναι μόνο συμφασικά ή σε αντίθεση φάσης.
Ξεχασμένη απόλυτη τιμή στο πλάτος. $A' = \left|2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$ — το πλάτος δεν είναι ποτέ αρνητικό.
Το στάσιμο μεταφέρει ενέργεια. Η ενέργεια μένει εγκλωβισμένη ανάμεσα στους δεσμούς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στάσιμο = επαλληλία δύο όμοιων κυμάτων που διαδίδονται αντίθετα.
$y = 2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$ : κάθε σημείο κάνει ΑΑΤ με πλάτος $\left|2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$ .
Κοιλίες στο $x = \kappa\frac{\lambda}{2}$ , δεσμοί στο $x = (2\kappa + 1)\frac{\lambda}{4}$ · δεσμός–δεσμός $\frac{\lambda}{2}$ .
Ανάμεσα σε δύο δεσμούς συμφασικά, εκατέρωθεν δεσμού αντίθεση φάσης.
Χορδή με ακλόνητα άκρα: $L = N\frac{\lambda}{2}$ , $f_N = N\frac{\upsilon}{2L}$ .

🎸

Στάσιμα Κύματα

Δεσμοί & κοιλίες, πλάτος σημείων, χορδή με ακλόνητα άκρα

Γιατί με νοιάζει;

Στάσιμα κύματα

Κοιλίες: σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος $2A$ , στις θέσεις $x = \kappa\frac{\lambda}{2}$
Δεσμοί: σημεία που μένουν διαρκώς ακίνητα, στις θέσεις $x = (2\kappa + 1)\frac{\lambda}{4}$

$y = 2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\,\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$

Από πού βγαίνει η εξίσωση του στάσιμου

$y = y_1 + y_2 = 2A\,\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\,\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$

κοιλία όταν $\left|\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right| = 1 \Rightarrow x = \kappa\frac{\lambda}{2}$ ,
δεσμός όταν $\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda} = 0 \Rightarrow x = (2\kappa + 1)\frac{\lambda}{4}$ .

Αυτή η εξίσωση ισχύει όταν στη θέση $x = 0$ σχηματίζεται κοιλία.

Πλάτος σημείων, φάσεις και χορδή με ακλόνητα άκρα

Από την εξίσωση του στάσιμου, κάθε σημείο κάνει ΑΑΤ με την ίδια $T$ αλλά με δικό του πλάτος:

$A' = \left|2A\,\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$

μέγιστο ( $2A$ ) στις κοιλίες και μηδέν στους δεσμούς.

Όλα τα σημεία ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς ταλαντώνονται συμφασικά: φτάνουν μαζί στις ακραίες θέσεις και περνούν μαζί από τη θέση ισορροπίας.
Σημεία εκατέρωθεν ενός δεσμού ταλαντώνονται σε αντίθεση φάσης.
Η ενέργεια μένει «εγκλωβισμένη» ανάμεσα στους δεσμούς — δεν ρέει κατά μήκος του μέσου.

$L = N\frac{\lambda}{2}, \quad N = 1, 2, 3, \ldots$

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: ασκήσεις στάσιμου κύματος

Διάβασε από την εξίσωση $y = 2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$ τα $2A$ , $\lambda$ , $T$ .
Πλάτος σημείου: $A' = \left|2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$ — προσοχή, με απόλυτη τιμή.
Θέσεις δεσμών/κοιλιών: λύσε $\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda} = 0$ ή $\pm 1$ και μέτρησε όσες πέφτουν στο ζητούμενο διάστημα.
Φάσεις: ίδιο πρόσημο του $\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}$ ⇒ συμφασικά· αντίθετο ⇒ αντίθεση φάσης.
Χορδή με ακλόνητα άκρα: $L = N\frac{\lambda}{2}$ (N κοιλίες, $N + 1$ δεσμοί μαζί με τα άκρα) και $f_N = N\frac{\upsilon}{2L}$ .
Μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης σημείου: $\omega A'$ · της κοιλίας $\omega \cdot 2A$ .

Λύση:

(α) $\frac{2\pi}{\lambda} = 5\pi\ rad/m$ και $\frac{2\pi}{T} = 10\pi\ rad/s$ , οπότε

$y = 0{,}04\,\sigma\upsilon\nu(5\pi x)\,\eta\mu(10\pi t)\ (S.I.)$

(β) $A' = |0{,}04\,\sigma\upsilon\nu(5\pi \cdot 0{,}05)| = 0{,}04\,\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{4} = 0{,}02\sqrt{2} \approx 0{,}028\ m$ .

(δ) $\upsilon_{max} = \omega \cdot 2A = 10\pi \cdot 0{,}04 = 0{,}4\pi \approx 1{,}26\ m/s$ .

Λύση:

(α) $2A = 0{,}1 \Rightarrow A = 0{,}05\ m$ · $\frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi \Rightarrow \lambda = 1\ m$ · $\omega = 20\pi \Rightarrow f = 10\ Hz$ · $\upsilon = \lambda f = 10\ m/s$ .

(β) $\frac{\lambda}{2} = 0{,}5\ m$ .

Δεδομένα: $L = 1{,}2\ m$ , $\upsilon = 24\ m/s$ , $A = 5 \times 10^{-3}\ m$ , 4 δεσμοί. Ζητούμενα: $\lambda$ , $f$ , $f_1$ , $\upsilon_{max,\kappa}$ .

Λύση:

(α) 4 δεσμοί ⇒ 3 κοιλίες ⇒ $L = 3\frac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = 0{,}8\ m$ . $f = \frac{\upsilon}{\lambda} = \frac{24}{0{,}8} = 30\ Hz$ .

(β) Με μία κοιλία $L = \frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 2{,}4\ m$ και $f_1 = \frac{24}{2{,}4} = 10\ Hz$ . (Έλεγχος: $f_N = N f_1$ , $30 = 3 \cdot 10$ ✓.)

(γ) Η κοιλία έχει πλάτος $2A = 0{,}01\ m$ : $\upsilon_{max} = 2\pi f \cdot 2A = 2\pi \cdot 30 \cdot 0{,}01 = 0{,}6\pi \approx 1{,}88\ m/s$ .

Απάντηση: $\lambda = 0{,}8\ m$ , $f = 30\ Hz$ , $f_1 = 10\ Hz$ , $\upsilon_{max} = 0{,}6\pi\ m/s$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε στάσιμο κύμα, πόση είναι η απόσταση ανάμεσα σε έναν δεσμό και την πλησιέστερη κοιλία;

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(β) Οι $3$ κοιλίες βρίσκονται ανάμεσα σε $4$ δεσμούς: τους δύο στα άκρα και δύο ενδιάμεσους.

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος αποστάσεις. Δεσμός–δεσμός $\frac{\lambda}{2}$ , δεσμός–κοιλία $\frac{\lambda}{4}$ · πλάτος $2A$ έχουν μόνο οι κοιλίες.
Η $\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$ στο στάσιμο. Εκεί τα σημεία είναι μόνο συμφασικά ή σε αντίθεση φάσης.
Ξεχασμένη απόλυτη τιμή στο πλάτος. $A' = \left|2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$ — το πλάτος δεν είναι ποτέ αρνητικό.
Το στάσιμο μεταφέρει ενέργεια. Η ενέργεια μένει εγκλωβισμένη ανάμεσα στους δεσμούς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στάσιμο = επαλληλία δύο όμοιων κυμάτων που διαδίδονται αντίθετα.
$y = 2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\eta\mu\frac{2\pi t}{T}$ : κάθε σημείο κάνει ΑΑΤ με πλάτος $\left|2A\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi x}{\lambda}\right|$ .
Κοιλίες στο $x = \kappa\frac{\lambda}{2}$ , δεσμοί στο $x = (2\kappa + 1)\frac{\lambda}{4}$ · δεσμός–δεσμός $\frac{\lambda}{2}$ .
Ανάμεσα σε δύο δεσμούς συμφασικά, εκατέρωθεν δεσμού αντίθεση φάσης.
Χορδή με ακλόνητα άκρα: $L = N\frac{\lambda}{2}$ , $f_N = N\frac{\upsilon}{2L}$ .