🔥

Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος

Εισαγωγή στην κβαντομηχανική, νόμος Wien, υπόθεση Planck

Γιατί με νοιάζει;

Οι θερμικές κάμερες «βλέπουν» ανθρώπους στο σκοτάδι, τα θερμόμετρα αυτιού μετρούν πυρετό σε ένα δευτερόλεπτο και οι αστρονόμοι βρίσκουν τη θερμοκρασία ενός άστρου από το χρώμα του. Όλα στηρίζονται στην ακτινοβολία του μέλανος σώματος. Για να την εξηγήσει, ο Planck αναγκάστηκε το 1900 να «κόψει» την ενέργεια σε κβάντα.

Το πρόβλημα που γέννησε την κβαντική φυσική

Ζέστανε ένα κομμάτι σίδερο: στους $500°C$ κοκκινίζει αμυδρά, στους $1000°C$ λάμπει πορτοκαλί, και αν μπορούσες να το πας στους $6000°C$ θα έλαμπε λευκό σαν τον Ήλιο. Κάθε θερμό σώμα εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, και το χρώμα της «προδίδει» τη θερμοκρασία του.

Για να μελετήσουν το φαινόμενο καθαρά, οι φυσικοί όρισαν ένα ιδανικό σώμα: το μέλαν σώμα απορροφά όλη την ακτινοβολία που πέφτει πάνω του — και γι' αυτό, όταν θερμαίνεται, είναι και ο τέλειος εκπομπός. Καλή προσέγγιση μέλανος σώματος είναι μια μικρή οπή σε κλειστή κοιλότητα: ό,τι ακτίνα μπει, «παγιδεύεται» μέσα.

Στα τέλη του 19ου αιώνα τα πειράματα έδωσαν τις καμπύλες ακτινοβολίας του μέλανος σώματος: διαγράμματα της έντασης της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε συνάρτηση με το μήκος κύματος, για διάφορες θερμοκρασίες.

Τι δείχνουν οι καμπύλες

Το μέλαν σώμα εκπέμπει σε όλο το φάσμα των μηκών κύματος, αλλά όχι ομοιόμορφα: το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας συγκεντρώνεται γύρω από ένα μήκος κύματος $\lambda_{max}$ , όπου η καμπύλη παρουσιάζει κορυφή.
Όσο ανεβαίνει η θερμοκρασία, η κορυφή ψηλώνει (εκπέμπεται περισσότερη ενέργεια) και μετατοπίζεται προς μικρότερα μήκη κύματος — δηλαδή προς μεγαλύτερες συχνότητες. Γι' αυτό το σίδερο από κόκκινο γίνεται πορτοκαλί και μετά λευκό.

Η μετατόπιση της κορυφής περιγράφεται από τον νόμο μετατόπισης του Wien:

$\lambda_{max} \cdot T = \sigma\tau\alpha\theta. \approx 2{,}9 \times 10^{-3}\ m \cdot K$

Κόλπο μνήμης

Στα άστρα τα χρώματα είναι ανάποδα από τις βρύσες. Στη βρύση το κόκκινο σημαίνει ζεστό και το μπλε κρύο, ενώ ένα κόκκινο άστρο είναι ψυχρό και ένα γαλαζωπό θερμό. Νόμος του Wien: μεγαλύτερη $T$ → μικρότερο $\lambda_{max}$ → προς το μπλε.

Γρήγορος έλεγχος

Το αστέρι Α έχει $\lambda_{max} = 400\ nm$ και το αστέρι Β έχει $\lambda_{max} = 600\ nm$ . Ποιο έχει μεγαλύτερη επιφανειακή θερμοκρασία;

Μέθοδος: ασκήσεις με τον νόμο του Wien

Μετάτρεψε τη θερμοκρασία σε Kelvin: $T = \theta + 273$ .
Μετάτρεψε το μήκος κύματος σε m ( $1\ nm = 10^{-9}\ m$ , $1\ \mu m = 10^{-6}\ m$ ).
Εφάρμοσε $\lambda_{max}T = 2{,}9 \times 10^{-3}\ m \cdot K$ για το άγνωστο μέγεθος.
Για σύγκριση δύο σωμάτων χρησιμοποίησε λόγο: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{max,2}}{\lambda_{max,1}}$ — η σταθερά απαλείφεται.
Κατάταξε το $\lambda_{max}$ στο φάσμα (ορατό περίπου $400$ – $700\ nm$ ).

Άσκηση: (α) Η ακτινοβολία του Ήλιου έχει μέγιστο στο $\lambda_{max} \approx 500\ nm$ . Να εκτιμηθεί η θερμοκρασία της επιφάνειάς του. (β) Σε ποιο μήκος κύματος εκπέμπει κυρίως το ανθρώπινο σώμα ( $37°C$ ); Δίνεται $\lambda_{max}T = 2{,}9 \times 10^{-3}\ m \cdot K$ .

Λύση:

(α) $T = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-7}} = 5800\ K$ .

(β) $T = 37 + 273 = 310\ K$ , οπότε $\lambda_{max} = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{310} \approx 9{,}4 \times 10^{-6}\ m \approx 9{,}4\ \mu m$ — στο υπέρυθρο. Γι' αυτό οι θερμικές κάμερες «βλέπουν» τους ανθρώπους στο σκοτάδι, ενώ τα μάτια μας όχι.

Γρήγορος έλεγχος

Η απόλυτη θερμοκρασία ενός μέλανος σώματος διπλασιάζεται. Το μήκος κύματος $\lambda_{max}$ στο οποίο εκπέμπει μέγιστη ένταση:

Άσκηση τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Δύο αστέρια Α και Β συμπεριφέρονται ως μέλανα σώματα, με $\lambda_{max,A} = 300\ nm$ και $\lambda_{max,B} = 900\ nm$ . Να βρεθεί ο λόγος $\frac{T_A}{T_B}$ και να αιτιολογηθεί ποιο είναι θερμότερο.

Λύση: Από τον νόμο του Wien, $\lambda_{max,A}T_A = \lambda_{max,B}T_B$ , άρα

$\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_{max,B}}{\lambda_{max,A}} = \frac{900}{300} = 3$

Θερμότερο είναι το Α: η κορυφή του βρίσκεται σε μικρότερο μήκος κύματος (στο υπεριώδες), ενώ του Β στο υπέρυθρο.

Γρήγορος έλεγχος

Μέλαν σώμα έχει θερμοκρασία $T = 2900\ K$ . Το $\lambda_{max}$ της ακτινοβολίας του είναι ( $\lambda_{max}T = 2{,}9 \times 10^{-3}\ m \cdot K$ ):

Ήξερες ότι;

Το πιο τέλειο μέλαν σώμα που έχει μετρηθεί είναι… ολόκληρο το Σύμπαν. Η κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου, το «απομεινάρι» της Μεγάλης Έκρηξης, ακολουθεί με εκπληκτική ακρίβεια την καμπύλη μέλανος σώματος θερμοκρασίας $2{,}7\ K$ . Ο νόμος του Wien δίνει $\lambda_{max} = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{2{,}7} \approx 1\ mm$ , δηλαδή μικροκύματα. Οι μετρήσεις του δορυφόρου COBE τιμήθηκαν με Νόμπελ Φυσικής το 2006.

Η αποτυχία της κλασικής φυσικής

Η κλασική θεωρία περιέγραφε την εκπομπή με ταλαντούμενα φορτία στα άτομα του σώματος, που μπορούν να έχουν οποιαδήποτε ενέργεια και να την εκπέμπουν συνεχώς. Όμως οι θεωρητικές καμπύλες που προέκυπταν δεν συμφωνούσαν με τα πειραματικά αποτελέσματα: στα μικρά μήκη κύματος η κλασική πρόβλεψη εκτοξευόταν στο άπειρο αντί να πέφτει στο μηδέν — μια κατάρρευση που έμεινε στην ιστορία ως «υπεριώδης καταστροφή». Καμία διόρθωση μέσα στην κλασική φυσική δεν έσωζε την κατάσταση.

Η επαναστατική υπόθεση του Planck (1900)

Ο Planck βρήκε τύπο που ταίριαζε τέλεια στις πειραματικές καμπύλες, αλλά το τίμημα ήταν βαρύ για την κλασική σκέψη. Έπρεπε να δεχτεί ότι:

Η ενέργεια ενός ταλαντούμενου ατόμου συχνότητας $f$ δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, παρά μόνο τις διακριτές τιμές

$E_n = nhf, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

με $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ τη σταθερά του Planck.

Τα άτομα εκπέμπουν ή απορροφούν ενέργεια μόνο κατά διακριτά ποσά — κάνουν «ενεργειακά άλματα» από μια επιτρεπόμενη τιμή σε άλλη, εκπέμποντας ή απορροφώντας κβάντα ενέργειας $hf$ .

Αυτή η κβάντωση ήταν ο σπόρος απ' όπου φύτρωσαν τα φωτόνια του Einstein και ολόκληρη η κβαντική φυσική.

Παρατήρησε πώς η ενέργεια ανεβοκατεβαίνει σε διακριτά «σκαλοπάτια» αντί για συνεχή ράμπα: θα ανακαλύψεις ακριβώς την ιδέα του Planck — ο ταλαντωτής επιτρέπεται να έχει μόνο ενέργειες nhf, και κάθε εκπομπή ακτινοβολίας είναι ένα άλμα κατά ένα κβάντο hf.

Άσκηση (κβάντωση Planck): Ατομικός ταλαντωτής έχει συχνότητα $f = 5 \times 10^{14}\ Hz$ ( $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ ). (α) Πόσο είναι το κβάντο ενέργειας; (β) Ποιες είναι οι τρεις μικρότερες επιτρεπόμενες ενέργειες; (γ) Ο ταλαντωτής έχει ενέργεια $E_3$ και εκπέμπει ένα κβάντο. Ποια ενέργεια έχει μετά;

Λύση:

(α) $hf = 6{,}63 \times 10^{-34} \cdot 5 \times 10^{14} \approx 3{,}3 \times 10^{-19}\ J$ .

(β) $E_n = nhf$ : $E_1 \approx 3{,}3 \times 10^{-19}\ J$ , $E_2 \approx 6{,}6 \times 10^{-19}\ J$ , $E_3 \approx 9{,}9 \times 10^{-19}\ J$ . Καμία τιμή ανάμεσά τους δεν επιτρέπεται.

(γ) $E_3 - hf = E_2 \approx 6{,}6 \times 10^{-19}\ J$ : η ενέργεια αλλάζει με «σκαλοπάτια» ίσα με $hf$ , όχι συνεχώς.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Η ακτινοβολία του άστρου Σείριος έχει μέγιστη ένταση στο $\lambda_{max} \approx 290\ nm$ . (α) Να βρείτε τη θερμοκρασία της επιφάνειάς του. (β) Να τη συγκρίνετε με του Ήλιου ( $\lambda_{max} \approx 500\ nm$ ). (γ) Ένας ατομικός ταλαντωτής στην επιφάνεια του άστρου ταλαντώνεται με τη συχνότητα που αντιστοιχεί στο $\lambda_{max}$ . Πόσο είναι το κβάντο ενέργειάς του σε eV; ( $\lambda_{max}T = 2{,}9 \times 10^{-3}\ m \cdot K$ , $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ , $c = 3 \times 10^8\ m/s$ , $1\ eV = 1{,}6 \times 10^{-19}\ J$ )

Δεδομένα: $\lambda_{max,\Sigma} = 2{,}9 \times 10^{-7}\ m$ , $\lambda_{max,H} = 5 \times 10^{-7}\ m$ , σταθερές. Ζητούμενα: $T_\Sigma$ , $\frac{T_\Sigma}{T_H}$ , $hf$ .

Λύση:

(α) $T_\Sigma = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{2{,}9 \times 10^{-7}} = 10^4\ K$ .

(β) $\frac{T_\Sigma}{T_H} = \frac{\lambda_{max,H}}{\lambda_{max,\Sigma}} = \frac{500}{290} \approx 1{,}7$ : ο Σείριος είναι περίπου $1{,}7$ φορές θερμότερος και φαίνεται γαλαζωπός.

(γ) $f = \frac{c}{\lambda_{max}} = \frac{3 \times 10^8}{2{,}9 \times 10^{-7}} \approx 1{,}03 \times 10^{15}\ Hz$ και $hf \approx 6{,}63 \times 10^{-34} \cdot 1{,}03 \times 10^{15} \approx 6{,}9 \times 10^{-19}\ J \approx 4{,}3\ eV$ .

Απάντηση: $T_\Sigma = 10\,000\ K$ · περίπου $1{,}7$ φορές θερμότερος από τον Ήλιο· κβάντο $\approx 4{,}3\ eV$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σύμφωνα με την υπόθεση του Planck, ένα ταλαντούμενο άτομο συχνότητας $f$ μπορεί να έχει ενέργεια:

Στα σωστού–λάθους: (1) το μέλαν σώμα ΔΕΝ είναι αναγκαστικά μαύρο — ο Ήλιος είναι σχεδόν μέλαν σώμα· «μέλαν» σημαίνει τέλειος απορροφητής (άρα και τέλειος εκπομπός)· (2) με αύξηση της θερμοκρασίας το λ_max ΜΙΚΡΑΙΝΕΙ (Wien), δεν μεγαλώνει· (3) η υπόθεση του Planck αφορά κβάντωση της ενέργειας των ταλαντωτών, E_n = nhf — το φωτόνιο ως σωματίδιο του φωτός το εισήγαγε αργότερα ο Einstein.

Πρόκληση

Γιατί η λάμπα πυράκτωσης «σπαταλά»; Δίνεται $\lambda_{max}T = 2{,}9 \times 10^{-3}\ m \cdot K$ . (α) Η αντίσταση μιας ηλεκτρικής εστίας «κοκκινίζει» στους $727°C$ . Σε ποιο μήκος κύματος εκπέμπει μέγιστη ένταση, και γιατί τη βλέπουμε κόκκινη; (β) Το νήμα βολφραμίου μιας λάμπας πυράκτωσης έχει θερμοκρασία περίπου $2900\ K$ . Πού είναι το $\lambda_{max}$ ; (γ) Τι θερμοκρασία θα χρειαζόταν για μέγιστο στα $580\ nm$ (κίτρινο), και γιατί αυτό είναι αδύνατο για νήμα βολφραμίου, που λιώνει στους $3700\ K$ περίπου;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $T = 727 + 273 = 1000\ K$ , άρα $\lambda_{max} = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{1000} = 2{,}9 \times 10^{-6}\ m = 2900\ nm$ : υπέρυθρο. Η εστία εκπέμπει κυρίως αόρατη ακτινοβολία· μόνο η «ουρά» της καμπύλης φτάνει στο κόκκινο άκρο του ορατού, γι' αυτό τη βλέπουμε αμυδρά κόκκινη.

(β) $\lambda_{max} = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{2900} = 10^{-6}\ m = 1000\ nm$ : πάλι υπέρυθρο! Το μεγαλύτερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας γίνεται θερμική ακτινοβολία, όχι ορατό φως.

(γ) $T = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{580 \times 10^{-9}} = 5000\ K$ , πολύ πάνω από το σημείο τήξης του βολφραμίου. Κανένα νήμα δεν αντέχει να λάμπει «σαν τον Ήλιο».

Απάντηση: (α) $2900\ nm$ , υπέρυθρο· (β) $1000\ nm$ , υπέρυθρο· (γ) $5000\ K$ . Γι' αυτό οι λάμπες πυράκτωσης αντικαταστάθηκαν από LED, που δεν παράγουν φως με θέρμανση.

Συνηθισμένα λάθη

Βαθμοί Κελσίου στον νόμο του Wien. Η θερμοκρασία μπαίνει πάντα σε Kelvin.
Λάθος δύναμη του δέκα. Γράψε τα nm ως $10^{-9}\ m$ πριν διαιρέσεις· ένα λάθος εκθέτη σε «στέλνει» σε άλλη περιοχή του φάσματος.
«Θερμότερο ⇒ μεγαλύτερο $\lambda_{max}$ ». Ισχύει το αντίθετο: $\lambda_{max} \sim \frac{1}{T}$ .
Planck ≠ Einstein. Ο Planck κβάντωσε την ενέργεια των ταλαντωτών ( $E_n = nhf$ )· τα φωτόνια ως σωματίδια του φωτός τα εισήγαγε ο Einstein.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μέλαν σώμα: απορροφά όλη την ακτινοβολία που δέχεται — και είναι ο τέλειος εκπομπός.
Οι καμπύλες ακτινοβολίας έχουν κορυφή στο $\lambda_{max}$ , που μετατοπίζεται προς μικρότερα μήκη κύματος όσο αυξάνεται η $T$ .
Νόμος του Wien: $\lambda_{max}T \approx 2{,}9 \times 10^{-3}\ m \cdot K$ (με $T$ σε Kelvin).
Η κλασική φυσική απέτυχε στα μικρά μήκη κύματος («υπεριώδης καταστροφή»).
Planck: $E_n = nhf$ , εκπομπή και απορρόφηση σε κβάντα $hf$ .

Το πρόβλημα που γέννησε την κβαντική φυσική

Ζέστανε ένα κομμάτι σίδερο: στους

500°C

κοκκινίζει αμυδρά, στους

1000°C

λάμπει πορτοκαλί, και αν μπορούσες να το πας στους

6000°C

θα έλαμπε λευκό σαν τον Ήλιο. Κάθε θερμό σώμα εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, και το χρώμα της «προδίδει» τη θερμοκρασία του.