〽️

Εναλλασσόμενο Ρεύμα & Ενεργές Τιμές

i = Iημωt, ενεργός ένταση και τάση

Γιατί με νοιάζει;

Στη θερμάστρα γράφει « $230\ V$ », όμως η τάση στην πρίζα φτάνει σε κάθε κύκλο σχεδόν τα $325\ V$ . Ποιο νούμερο είναι το «αληθινό»; Εδώ μαθαίνεις τις ενεργές τιμές: το μέτρο που σου λέει πόση θερμότητα δίνει μια συσκευή, πότε θα πέσει η ασφάλεια και πόσα θα πληρώσεις στον λογαριασμό.

Το ρεύμα που αλλάζει φορά 100 φορές το δευτερόλεπτο

Η μπαταρία του κινητού σου δίνει συνεχές ρεύμα: σταθερή φορά, σταθερή τιμή. Η πρίζα του σπιτιού όμως δίνει εναλλασσόμενο (AC): η τάση της ανεβοκατεβαίνει αρμονικά και αλλάζει πολικότητα 100 φορές το δευτερόλεπτο. Γιατί; Επειδή, όπως είδαμε, οι γεννήτριες με στρεφόμενο πλαίσιο παράγουν φυσικά ημιτονοειδή τάση — και αυτή μεταφέρεται και μετασχηματίζεται πολύ πιο εύκολα από τη συνεχή.

Εναλλασσόμενη τάση:

$\upsilon = V\eta\mu(\omega t)$

Αν τη συνδέσουμε σε ωμικό αντιστάτη $R$ , ο νόμος του Ohm ισχύει σε κάθε στιγμή:

$i = \frac{\upsilon}{R} = \frac{V}{R}\eta\mu(\omega t) = I\eta\mu(\omega t), \quad I = \frac{V}{R}$

Τάση και ρεύμα στον ωμικό καταναλωτή είναι συμφασικά: μηδενίζονται και μεγιστοποιούνται μαζί. Τα $V, I$ λέγονται πλάτη (μέγιστες τιμές), ενώ $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ είναι η γωνιακή συχνότητα. Στην Ελλάδα $f = 50\ Hz$ , άρα $T = 0{,}02\ s$ .

Ακολούθησε το στρεφόμενο πλαίσιο και τη γραφική της τάσης που γεννά: θα ανακαλύψεις ότι κάθε πλήρης στροφή του «τυπώνει» ακριβώς μία περίοδο του ημιτόνου — η συχνότητα του ρεύματος της πρίζας είναι κυριολεκτικά στροφές γεννήτριας ανά δευτερόλεπτο.

Γρήγορος έλεγχος

Στο ελληνικό δίκτυο η συχνότητα είναι $f = 50\ Hz$ . Πόσες φορές μηδενίζεται το ρεύμα σε κάθε δευτερόλεπτο;

Ενεργές τιμές: το «δίκαιο μέτρο» του AC

Πώς συγκρίνεις ένα ρεύμα που συνεχώς αλλάζει με ένα σταθερό συνεχές; Με το θερμικό αποτέλεσμα. Ορίζουμε:

Ενεργός ένταση $I_{\varepsilon\nu}$ ενός εναλλασσόμενου ρεύματος είναι η ένταση του συνεχούς ρεύματος που, περνώντας από τον ίδιο αντιστάτη, θα παρήγαγε το ίδιο ποσό θερμότητας στον ίδιο χρόνο.

Για ημιτονοειδές ρεύμα αποδεικνύεται:

$I_{\varepsilon\nu} = \frac{I}{\sqrt{2}}, \quad V_{\varepsilon\nu} = \frac{V}{\sqrt{2}}$

Τα «230 V» της πρίζας είναι ενεργός τιμή — το πλάτος είναι $V = 230\sqrt{2} \approx 325\ V$ ! Τα όργανα μέτρησης (αμπερόμετρα, βολτόμετρα AC) δείχνουν πάντα ενεργές τιμές, και ο νόμος του Ohm ισχύει και με αυτές: $V_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}R$ .

Δες πώς το περιστρεφόμενο διάνυσμα «προβάλλει» το ημίτονο που διαγράφει η εναλλασσόμενη τάση: θα ανακαλύψεις γιατί η μέση τιμή του ημιτόνου είναι μηδέν, ενώ του τετραγώνου του δεν είναι — εκεί κρύβεται το $\sqrt{2}$ των ενεργών τιμών.

Απόδειξη: γιατί $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Σε αντιστάτη $R$ με $i = I\eta\mu\omega t$ η στιγμιαία θερμική ισχύς είναι $p = i^2R = I^2R\,\eta\mu^2\omega t$ . Με την ταυτότητα

$\eta\mu^2\omega t = \frac{1 - \sigma\upsilon\nu 2\omega t}{2}$

και επειδή η μέση τιμή του $\sigma\upsilon\nu 2\omega t$ σε μία περίοδο είναι μηδέν, η μέση τιμή του $\eta\mu^2\omega t$ είναι $\frac{1}{2}$ . Άρα σε χρόνο μίας περιόδου η θερμότητα είναι $Q = \frac{1}{2}I^2RT$ .

Το συνεχές ρεύμα $I_{\varepsilon\nu}$ που δίνει την ίδια θερμότητα: $I_{\varepsilon\nu}^2RT = \frac{1}{2}I^2RT \Rightarrow I_{\varepsilon\nu} = \frac{I}{\sqrt{2}}$ . Με τον ίδιο συλλογισμό $V_{\varepsilon\nu} = \frac{V}{\sqrt{2}}$ . Προσοχή: αυτό ισχύει για ημιτονοειδή ρεύματα.

$i = I\eta\mu(\omega t), \quad I = \frac{V}{R}, \qquad I_{\varepsilon\nu} = \frac{I}{\sqrt{2}}, \quad V_{\varepsilon\nu} = \frac{V}{\sqrt{2}}, \quad V_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}R$

Γρήγορος έλεγχος

Η τάση του δικτύου είναι $V_{\varepsilon\nu} = 230\ V$ . Η μέγιστη τιμή της τάσης στην πρίζα είναι περίπου:

Κόλπο μνήμης

Η ενεργός τιμή είναι περίπου το 70% του πλάτους, αφού $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$ . Στην πρίζα: $230\ V$ ενεργός τιμή ↔ περίπου $325\ V$ πλάτος. Κανόνας ελέγχου: «το πλάτος είναι πάντα το μεγαλύτερο νούμερο». Αν βρεις ενεργό τιμή μεγαλύτερη από το πλάτος, πολλαπλασίασες με $\sqrt{2}$ αντί να διαιρέσεις.

Γρήγορος έλεγχος

Συνεχές ρεύμα $2\ A$ και εναλλασσόμενο ρεύμα με πλάτος $2\ A$ διαρρέουν τον ίδιο αντιστάτη για τον ίδιο χρόνο. Ο λόγος $\frac{Q_{\text{συνεχούς}}}{Q_{\text{εναλλασσόμενου}}}$ των θερμοτήτων είναι:

Μέθοδος: εναλλασσόμενο ρεύμα και ενεργές τιμές

Από την εξίσωση $\upsilon = V\eta\mu\omega t$ ή $i = I\eta\mu\omega t$ διάβασε το πλάτος και το $\omega$ · $f = \frac{\omega}{2\pi}$ , $T = \frac{1}{f}$ .
Ενδείξεις οργάνων και «ονομαστικές» τάσεις ( $230\ V$ ) είναι ενεργές· πλάτος $=$ ενεργός $\cdot\sqrt{2}$ .
Νόμος του Ohm σε κάθε στιγμή, για πλάτη και για ενεργές τιμές.
Στιγμιαίες τιμές: υπολόγισε τη φάση $\omega t$ σε rad, μετά ημίτονο.
Χρονικές στιγμές: λύσε $\eta\mu\omega t = \frac{i}{I}$ και κράτα τη μικρότερη θετική λύση.

Άσκηση: Αντιστάτης διαρρέεται από ρεύμα $i = 5\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.). (α) Ποια είναι η ενεργός ένταση και η συχνότητα; (β) Πόση είναι η ένταση τη στιγμή $t = \frac{1}{600}\ s$ ; (γ) Ποια στιγμή η ένταση γίνεται για πρώτη φορά ίση με την ενεργό;

Λύση:

(α) $I_{\varepsilon\nu} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3{,}54\ A$ , $f = \frac{100\pi}{2\pi} = 50\ Hz$ .

(β) $i = 5\,\eta\mu\frac{\pi}{6} = 2{,}5\ A$ .

(γ) $5\,\eta\mu(100\pi t) = \frac{5}{\sqrt{2}} \Rightarrow \eta\mu(100\pi t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 100\pi t = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{400}\ s = 2{,}5\ ms$ .

Άσκηση: Βολτόμετρο AC συνδεδεμένο στα άκρα αντιστάτη $R = 40\ \Omega$ δείχνει $120\ V$ , ενώ η συχνότητα είναι $50\ Hz$ . (α) Τι δείχνει ένα αμπερόμετρο σε σειρά με τον αντιστάτη; (β) Να γραφτούν οι εξισώσεις τάσης και ρεύματος.

Λύση:

(α) Τα όργανα δείχνουν ενεργές τιμές: $I_{\varepsilon\nu} = \frac{120}{40} = 3\ A$ .

(β) $V = 120\sqrt{2} \approx 170\ V$ , $I = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\ A$ , $\omega = 100\pi\ rad/s$ : $\upsilon = 120\sqrt{2}\,\eta\mu(100\pi t)$ και $i = 3\sqrt{2}\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.) — συμφασικά.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Γεννήτρια με πλαίσιο $N = 200$ σπειρών, εμβαδού $A = 0{,}05\ m^2$ και αμελητέας αντίστασης στρέφεται με $f = 50\ Hz$ σε ΟΜΠ $B = 0{,}1\ T$ και τροφοδοτεί αντιστάτη $R = 50\ \Omega$ . (α) Να βρείτε το πλάτος και την ενεργό τιμή της τάσης. (β) Να γράψετε την εξίσωση του ρεύματος (με $\Phi$ μέγιστη στο $t = 0$ ). (γ) Τι δείχνει αμπερόμετρο σε σειρά με τον αντιστάτη; (δ) Αν η συχνότητα περιστροφής υποδιπλασιαστεί, τι θα δείχνει;

Δεδομένα: $N = 200$ , $A = 0{,}05\ m^2$ , $B = 0{,}1\ T$ , $f = 50\ Hz$ , $R = 50\ \Omega$ . Ζητούμενα: $V$ , $V_{\varepsilon\nu}$ , $i(t)$ , $I_{\varepsilon\nu}$ , $I_{\varepsilon\nu}'$ .

Λύση:

(α) $\omega = 100\pi\ rad/s$ , $V = NBA\omega = 200 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}05 \cdot 100\pi = 100\pi \approx 314\ V$ και $V_{\varepsilon\nu} = \frac{100\pi}{\sqrt{2}} \approx 222\ V$ .

(β) $I = \frac{V}{R} = 2\pi\ A$ : $i = 2\pi\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.).

(γ) $I_{\varepsilon\nu} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi \approx 4{,}44\ A$ .

(δ) Μισή $\omega$ ⇒ μισό πλάτος τάσης ⇒ μισό ρεύμα: $\approx 2{,}22\ A$ (και η συχνότητα γίνεται $25\ Hz$ ).

Απάντηση: $V = 100\pi\ V$ , $V_{\varepsilon\nu} \approx 222\ V$ · $i = 2\pi\,\eta\mu(100\pi t)$ · $\approx 4{,}44\ A$ · $\approx 2{,}22\ A$ .

Ήξερες ότι;

Η Ευρώπη χρησιμοποιεί δίκτυο $50\ Hz$ και η Βόρεια Αμερική $60\ Hz$ . Η Ιαπωνία έχει και τα δύο: το ανατολικό μέρος της (Τόκιο) δουλεύει στα $50\ Hz$ και το δυτικό (Οσάκα) στα $60\ Hz$ , επειδή τον 19ο αιώνα αγόρασαν γεννήτριες από τη Γερμανία και από τις ΗΠΑ αντίστοιχα. Σταθμοί μετατροπής συχνότητας ενώνουν σήμερα τα δύο δίκτυα.

Πρόκληση

Πάνω από την ενεργό τιμή. Στο δίκτυο των $230\ V$ (ενεργός τιμή, $50\ Hz$ ), για πόσο χρόνο μέσα σε κάθε περίοδο η απόλυτη τιμή της στιγμιαίας τάσης ξεπερνά τα $230\ V$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$|\upsilon| > V_{\varepsilon\nu} = \frac{V}{\sqrt{2}}$ σημαίνει $|\eta\mu\omega t| > \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Σε μία περίοδο αυτό συμβαίνει για $\omega t \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)$ και $\omega t \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right)$ : συνολικό «εύρος» φάσης $\pi$ , δηλαδή το μισό της περιόδου.

Με $T = 20\ ms$ : $10\ ms$ σε κάθε περίοδο.

Απάντηση: $10\ ms$ ανά περίοδο — ακριβώς τον μισό χρόνο. Η ενεργός τιμή δεν είναι «μέση» τιμή της τάσης· είναι η τιμή με το ίδιο θερμικό αποτέλεσμα.

Συνηθισμένα λάθη

Ενεργός τιμή μεγαλύτερη από το πλάτος. Η ενεργός είναι πάντα το $\approx 71\%$ του πλάτους: διαιρείς με $\sqrt{2}$ , δεν πολλαπλασιάζεις.
Σύγχυση $f$ και $\omega$ . Στο $\eta\mu(100\pi t)$ είναι $\omega = 100\pi\ rad/s$ , άρα $f = 50\ Hz$ — όχι $100\pi\ Hz$ .
Μηδενισμοί ανά δευτερόλεπτο = $f$ . Το ρεύμα μηδενίζεται $2f$ φορές το δευτερόλεπτο (δύο φορές ανά περίοδο).
Ενεργός τιμή = μέση τιμή. Η μέση τιμή του ημιτονοειδούς ρεύματος σε μία περίοδο είναι μηδέν· η ενεργός ορίζεται από το θερμικό αποτέλεσμα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εναλλασσόμενη τάση $\upsilon = V\eta\mu\omega t$ · σε ωμικό αντιστάτη $i = I\eta\mu\omega t$ με $I = \frac{V}{R}$ , συμφασικά.
Ενεργός ένταση: η σταθερή ένταση με το ίδιο θερμικό αποτέλεσμα, $I_{\varepsilon\nu} = \frac{I}{\sqrt{2}}$ · ομοίως $V_{\varepsilon\nu} = \frac{V}{\sqrt{2}}$ .
Τα όργανα AC δείχνουν ενεργές τιμές· $V_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}R$ .
Δίκτυο: $230\ V$ ενεργός, πλάτος $\approx 325\ V$ , $f = 50\ Hz$ , $T = 20\ ms$ .

Το ρεύμα που αλλάζει φορά 100 φορές το δευτερόλεπτο

Εναλλασσόμενη τάση:

\upsilon = V\eta\mu(\omega t)

Αν τη συνδέσουμε σε ωμικό αντιστάτη

R

, ο νόμος του Ohm ισχύει σε κάθε στιγμή:

i = \frac{\upsilon}{R} = \frac{V}{R}\eta\mu(\omega t) = I\eta\mu(\omega t), \quad I = \frac{V}{R}

Τάση και ρεύμα στον ωμικό καταναλωτή είναι συμφασικά: μηδενίζονται και μεγιστοποιούνται μαζί. Τα

V, I

λέγονται πλάτη (μέγιστες τιμές), ενώ

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

είναι η γωνιακή συχνότητα. Στην Ελλάδα

f = 50\ Hz

, άρα

T = 0{,}02\ s

Ενεργές τιμές: το «δίκαιο μέτρο» του AC

Πώς συγκρίνεις ένα ρεύμα που συνεχώς αλλάζει με ένα σταθερό συνεχές; Με το θερμικό αποτέλεσμα. Ορίζουμε:

Ενεργός ένταση

I_{\varepsilon\nu}

ενός εναλλασσόμενου ρεύματος είναι η ένταση του συνεχούς ρεύματος που, περνώντας από τον ίδιο αντιστάτη, θα παρήγαγε το ίδιο ποσό θερμότητας στον ίδιο χρόνο.

Για ημιτονοειδές ρεύμα αποδεικνύεται:

I_{\varepsilon\nu} = \frac{I}{\sqrt{2}}, \quad V_{\varepsilon\nu} = \frac{V}{\sqrt{2}}

Τα «230 V» της πρίζας είναι ενεργός τιμή — το πλάτος είναι

V = 230\sqrt{2} \approx 325\ V

! Τα όργανα μέτρησης (αμπερόμετρα, βολτόμετρα AC) δείχνουν πάντα ενεργές τιμές, και ο νόμος του Ohm ισχύει και με αυτές:

V_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}R

Εναλλασσόμενο Ρεύμα & Ενεργές Τιμές

Το ρεύμα που αλλάζει φορά 100 φορές το δευτερόλεπτο

Ενεργές τιμές: το «δίκαιο μέτρο» του AC

Απόδειξη: γιατί 12\frac{1}{\sqrt{2}}2​1​

Μέθοδος: εναλλασσόμενο ρεύμα και ενεργές τιμές

Εναλλασσόμενο Ρεύμα & Ενεργές Τιμές

Το ρεύμα που αλλάζει φορά 100 φορές το δευτερόλεπτο

Ενεργές τιμές: το «δίκαιο μέτρο» του AC

Απόδειξη: γιατί 12\frac{1}{\sqrt{2}}2​1​

Μέθοδος: εναλλασσόμενο ρεύμα και ενεργές τιμές

Απόδειξη: γιατί $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Απόδειξη: γιατί $\frac{1}{\sqrt{2}}$