⚡

Δύναμη Lorentz

Δύναμη πεδίου σε κινούμενο φορτίο, κανόνας τριών δαχτύλων

Γιατί με νοιάζει;

Το σέλας, οι παλιές τηλεοράσεις καθοδικού σωλήνα, οι επιταχυντές σωματιδίων: παντού ένα μαγνητικό πεδίο «στρίβει» κινούμενα φορτία χωρίς να τα επιταχύνει ούτε να τα φρενάρει. Η δύναμη Lorentz έχει μια μοναδική ιδιότητα: δεν παράγει ποτέ έργο. Αυτή η μία φράση λύνει μισά Σωστό–Λάθος των Πανελλαδικών.

Δύναμη σε κινούμενο φορτίο: η δύναμη Lorentz

Το μαγνητικό πεδίο δεν «βλέπει» τα ακίνητα φορτία. Όταν όμως ένα φορτίο $q$ κινείται με ταχύτητα $\upsilon$ μέσα σε πεδίο $B$ , δέχεται τη δύναμη Lorentz:

$F_L = B|q|\upsilon\,\eta\mu\varphi$

όπου $\varphi$ η γωνία μεταξύ $\vec{\upsilon}$ και $\vec{B}$ . Η διεύθυνσή της είναι κάθετη και στην ταχύτητα και στο πεδίο — τη βρίσκουμε με τον κανόνα των τριών δαχτύλων του δεξιού χεριού (για θετικό φορτίο: αντίχειρας $\to \vec{\upsilon}$ , δείκτης $\to \vec{B}$ , μέσος $\to \vec{F}$ · για αρνητικό, αντιστρέφουμε τη φορά).

Δύο κρίσιμες ειδικές περιπτώσεις:

Αν $\vec{\upsilon} \parallel \vec{B}$ ( $\varphi = 0$ ή $180°$ ): $F_L = 0$ — το φορτίο συνεχίζει ευθύγραμμα ομαλά.
Επειδή πάντα $\vec{F}_L \perp \vec{\upsilon}$ , η δύναμη Lorentz δεν παράγει έργο: αλλάζει μόνο την κατεύθυνση της ταχύτητας, ποτέ το μέτρο της. Η κινητική ενέργεια του φορτίου μένει σταθερή!

$F_L = B|q|\upsilon\,\eta\mu\varphi, \qquad F_{L,max} = B|q|\upsilon\ (\varphi = 90°), \qquad F_L = 0\ (\vec{\upsilon} \parallel \vec{B})$

Ηλεκτρική ή μαγνητική δύναμη;

Οι δύο δυνάμεις διαφέρουν σε τρία κρίσιμα σημεία:

Σε ποια φορτία ασκείται: η ηλεκτρική σε όλα (ακίνητα και κινούμενα)· η μαγνητική μόνο σε κινούμενα, και όχι όταν κινούνται παράλληλα στις γραμμές.
Διεύθυνση: η ηλεκτρική είναι κατά μήκος του $\vec{E}$ · η μαγνητική κάθετη και στο $\vec{B}$ και στην $\vec{\upsilon}$ .
Έργο: η ηλεκτρική μπορεί να αλλάξει την κινητική ενέργεια· η μαγνητική ποτέ.

Από τη σχέση $F_L = B|q|\upsilon$ προκύπτει και ο ορισμός της μονάδας: $1\ T$ είναι η ένταση πεδίου που ασκεί δύναμη $1\ N$ σε φορτίο $1\ C$ που κινείται κάθετα στις γραμμές με $1\ m/s$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω σωματίδια δεν δέχεται δύναμη από ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο;

Μέθοδος: δύναμη Lorentz

Βρες τη γωνία $\varphi$ ανάμεσα στην $\vec{\upsilon}$ και το $\vec{B}$ (όχι με το επίπεδο ή το όριο του πεδίου).
Μέτρο: $F_L = B|q|\upsilon\,\eta\mu\varphi$ , με το $|q|$ σε απόλυτη τιμή.
Κατεύθυνση: κανόνας τριών δαχτύλων του δεξιού χεριού για θετικό φορτίο· αντίθετη φορά για αρνητικό.
Ενέργεια: $W_{F_L} = 0$ , άρα αν δρα μόνο μαγνητικό πεδίο, $|\vec{\upsilon}|$ και $K$ μένουν σταθερά.
Σε σωματίδια (ηλεκτρόνια, πρωτόνια, ιόντα) το βάρος είναι αμελητέο μπροστά στη δύναμη Lorentz.

Άσκηση: Πρωτόνιο ( $q = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ ) κινείται με ταχύτητα $\upsilon = 2 \times 10^6\ m/s$ σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ . Πόση δύναμη δέχεται όταν η ταχύτητα σχηματίζει με τις γραμμές γωνία (α) $30°$ , (β) $90°$ , (γ) $0°$ ;

Λύση:

(α) $F_L = 0{,}5 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 2 \times 10^6 \cdot 0{,}5 = 8 \times 10^{-14}\ N$ .

(β) $F_L = 1{,}6 \times 10^{-13}\ N$ (μέγιστη).

(γ) $F_L = 0$ : το πρωτόνιο συνεχίζει ευθύγραμμα ομαλά.

Άσκηση: Ηλεκτρόνιο ( $m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\ kg$ , $|q| = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ ) κινείται κάθετα σε ΟΜΠ $B = 0{,}01\ T$ με $\upsilon = 10^7\ m/s$ . Να συγκριθεί η δύναμη Lorentz με το βάρος του ( $g = 10\ m/s^2$ ).

Λύση: $F_L = B|q|\upsilon = 0{,}01 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 10^7 = 1{,}6 \times 10^{-14}\ N$ . Βάρος: $w = 9{,}1 \times 10^{-30}\ N$ . Λόγος $\frac{F_L}{w} \approx 1{,}8 \times 10^{15}$ : γι' αυτό σε όλες τις ασκήσεις με σωματίδια το βάρος παραλείπεται.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β/Γ): Σωμάτιο α ( $m = 6{,}4 \times 10^{-27}\ kg$ , $q = 3{,}2 \times 10^{-19}\ C$ ) μπαίνει με ταχύτητα $\upsilon = 10^6\ m/s$ κάθετα στις γραμμές ΟΜΠ $B = 0{,}2\ T$ . (α) Να βρείτε τη δύναμη Lorentz. (β) Να βρείτε την επιτάχυνσή του και να εξηγήσετε τι αλλάζει στην ταχύτητα. (γ) Πόση είναι η κινητική του ενέργεια $1\ \mu s$ αργότερα; (δ) Πόση θα ήταν η δύναμη αν έμπαινε υπό γωνία $30°$ με τις γραμμές;

Δεδομένα: $m$ , $q$ , $\upsilon = 10^6\ m/s$ , $B = 0{,}2\ T$ , $\varphi = 90°$ . Ζητούμενα: $F_L$ , $\alpha$ , $K$ , $F_L'$ .

Λύση:

(α) $F_L = Bq\upsilon = 0{,}2 \cdot 3{,}2 \times 10^{-19} \cdot 10^6 = 6{,}4 \times 10^{-14}\ N$ .

(β) $\alpha = \frac{F_L}{m} = \frac{6{,}4 \times 10^{-14}}{6{,}4 \times 10^{-27}} = 10^{13}\ m/s^2$ . Επειδή είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα, αλλάζει μόνο την κατεύθυνσή της (κεντρομόλος επιτάχυνση).

(γ) $W_{F_L} = 0$ , άρα $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2 = \frac{1}{2} \cdot 6{,}4 \times 10^{-27} \cdot 10^{12} = 3{,}2 \times 10^{-15}\ J$ — όση και αρχικά, οποιαδήποτε στιγμή.

(δ) $F_L' = F_L\,\eta\mu 30° = 3{,}2 \times 10^{-14}\ N$ .

Απάντηση: $6{,}4 \times 10^{-14}\ N$ · $10^{13}\ m/s^2$ , αλλάζει μόνο η κατεύθυνση· $3{,}2 \times 10^{-15}\ J$ · $3{,}2 \times 10^{-14}\ N$ .

Στις Πανελλήνιες, τρεις «χρυσοί» έλεγχοι: (1) η δύναμη Lorentz ΔΕΝ παράγει έργο — αν μια άσκηση ζητά μεταβολή κινητικής ενέργειας φορτίου μόνο σε μαγνητικό πεδίο, η απάντηση είναι μηδέν· (2) η περίοδος $T = \frac{2\pi m}{B|q|}$ είναι ανεξάρτητη από υ και R — κλασικό σωστό/λάθος· (3) στον ευθύγραμμο αγωγό $B \sim \frac{1}{r}$ , όχι $\frac{1}{r^2}$ — μην το μπερδεύεις με τον νόμο του Coulomb. Και πάντα ξεκαθάριζε αν το φορτίο είναι θετικό ή αρνητικό πριν εφαρμόσεις τον κανόνα των τριών δαχτύλων.

Γρήγορος έλεγχος

Φορτισμένο σωματίδιο κινείται μόνο υπό την επίδραση ομογενούς μαγνητικού πεδίου. Μετά από χρόνο $\Delta t$ , η κινητική του ενέργεια:

Γρήγορος έλεγχος

Πρωτόνιο και ηλεκτρόνιο κινούνται με την ίδια ταχύτητα $\vec{\upsilon}$ κάθετα στο ίδιο ΟΜΠ. Τι ισχύει για τις δυνάμεις Lorentz που δέχονται;

Ήξερες ότι;

Οι παλιές τηλεοράσεις καθοδικού σωλήνα (CRT) «ζωγράφιζαν» την εικόνα με μια δέσμη ηλεκτρονίων που την κατηύθυναν σε κάθε σημείο της οθόνης πηνία εκτροπής, δηλαδή μαγνητικά πεδία. Γι' αυτό ένας μαγνήτης κοντά σε τέτοια οθόνη παραμόρφωνε την εικόνα και τα χρώματα.

Πρόκληση

Ο επιλογέας ταχυτήτων. Σε μια περιοχή υπάρχουν ταυτόχρονα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο $E = 2 \times 10^4\ V/m$ και ΟΜΠ $B = 0{,}1\ T$ , κάθετα μεταξύ τους. Θετικά ιόντα μπαίνουν κάθετα και στα δύο πεδία, με τέτοια φορά ώστε η ηλεκτρική και η μαγνητική δύναμη να είναι αντίθετες. (α) Ποια ιόντα περνούν χωρίς εκτροπή; (β) Προς τα πού εκτρέπονται τα ταχύτερα; (γ) Εξαρτάται το αποτέλεσμα από τη μάζα ή το φορτίο;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Χωρίς εκτροπή όταν $F_{\eta\lambda} = F_L$ : $qE = qB\upsilon \Rightarrow \upsilon = \frac{E}{B} = \frac{2 \times 10^4}{0{,}1} = 2 \times 10^5\ m/s$ .

(β) Για $\upsilon > \frac{E}{B}$ η μαγνητική δύναμη ( $\propto \upsilon$ ) υπερισχύει της ηλεκτρικής (ανεξάρτητη της $\upsilon$ ): εκτρέπονται προς τη φορά της $F_L$ . Τα πιο αργά προς τη φορά της ηλεκτρικής.

(γ) Όχι: το $q$ απλοποιείται και η μάζα δεν εμφανίζεται. Περνά κάθε ιόν με $\upsilon = \frac{E}{B}$ .

Απάντηση: $\upsilon = 2 \times 10^5\ m/s$ · προς τη μαγνητική δύναμη· όχι. Έτσι «καθαρίζεται» η δέσμη πριν μπει σε φασματογράφο μάζας.

Συνηθισμένα λάθη

Κανόνας τριών δαχτύλων σε αρνητικό φορτίο χωρίς αντιστροφή. Για ηλεκτρόνιο η δύναμη είναι αντίθετη από αυτήν που δίνει ο κανόνας.
Συνημίτονο αντί για ημίτονο. $F_L = B|q|\upsilon\,\eta\mu\varphi$ : μέγιστη κάθετα, μηδέν παράλληλα.
Έργο της Lorentz. Είναι πάντα μηδέν — την ταχύτητα κατά μέτρο την αλλάζει μόνο ένα ηλεκτρικό πεδίο.
Δύναμη σε ακίνητο φορτίο. Ακίνητο φορτίο δεν δέχεται μαγνητική δύναμη, όσο ισχυρό κι αν είναι το πεδίο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$F_L = B|q|\upsilon\,\eta\mu\varphi$ , με $\varphi$ τη γωνία $\vec{\upsilon}$ – $\vec{B}$ .
Κάθετη σε $\vec{\upsilon}$ και $\vec{B}$ · φορά με κανόνα τριών δαχτύλων (αντίστροφα για αρνητικό φορτίο).
$\vec{\upsilon} \parallel \vec{B}$ ή ακίνητο φορτίο ⇒ $F_L = 0$ .
$W_{F_L} = 0$ : σταθερό μέτρο ταχύτητας και σταθερή κινητική ενέργεια.
Επιλογέας ταχυτήτων: περνούν αναλλοίωτα τα φορτία με $\upsilon = \frac{E}{B}$ .

Δύναμη σε κινούμενο φορτίο: η δύναμη Lorentz

Το μαγνητικό πεδίο δεν «βλέπει» τα ακίνητα φορτία. Όταν όμως ένα φορτίο

q

κινείται με ταχύτητα

\upsilon

μέσα σε πεδίο

B

, δέχεται τη δύναμη Lorentz:

F_L = B|q|\upsilon\,\eta\mu\varphi

όπου

\varphi

η γωνία μεταξύ

\vec{\upsilon}

και

\vec{B}

. Η διεύθυνσή της είναι κάθετη και στην ταχύτητα και στο πεδίο — τη βρίσκουμε με τον κανόνα των τριών δαχτύλων του δεξιού χεριού (για θετικό φορτίο: αντίχειρας

\to \vec{\upsilon}

, δείκτης

\to \vec{B}

, μέσος

\to \vec{F}

· για αρνητικό, αντιστρέφουμε τη φορά).

Δύο κρίσιμες ειδικές περιπτώσεις:

Αν

\vec{\upsilon} \parallel \vec{B}

(

\varphi = 0

180°

F_L = 0

— το φορτίο συνεχίζει ευθύγραμμα ομαλά.

Επειδή πάντα

\vec{F}_L \perp \vec{\upsilon}

, η δύναμη Lorentz δεν παράγει έργο: αλλάζει μόνο την κατεύθυνση της ταχύτητας, ποτέ το μέτρο της. Η κινητική ενέργεια του φορτίου μένει σταθερή!