📉

Φθίνουσες Ταλαντώσεις

Δύναμη αντίστασης −bυ, A = A₀e^{−Λt}, απώλεια ενέργειας

Γιατί με νοιάζει;

Τα αμορτισέρ του αυτοκινήτου υπάρχουν για να «σβήνουν» ταλαντώσεις. Ψηλά κτίρια έχουν τεράστιους αποσβεστήρες, για να μη λικνίζονται επικίνδυνα στον άνεμο και στους σεισμούς. Κι ένα ποτήρι κρασιού μπορεί να σπάσει από μια δυνατή νότα, αν η νότα έχει ακριβώς τη σωστή συχνότητα. Απόσβεση και συντονισμός εξηγούν πότε θέλουμε μια ταλάντωση και πότε τη φοβόμαστε.

Γιατί σταματούν οι ταλαντώσεις;

Σπρώξε μια κούνια και άφησέ την: λίγο-λίγο οι αιωρήσεις της μικραίνουν μέχρι να σταματήσει. Στην πραγματικότητα καμία ταλάντωση δεν είναι αμείωτη — ο αέρας, οι τριβές και οι αντιστάσεις «ροκανίζουν» συνεχώς την ενέργειά της.

Μια ταλάντωση που το πλάτος της μειώνεται με τον χρόνο λέγεται φθίνουσα ταλάντωση. Στο σχολικό μοντέλο μελετάμε την περίπτωση όπου, εκτός από τη δύναμη επαναφοράς, ασκείται και δύναμη αντίστασης ανάλογη της ταχύτητας και αντίθετης φοράς:

$F_{\alpha\nu\tau} = -b\upsilon$

Η σταθερά $b$ λέγεται σταθερά απόσβεσης: εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος και από τις ιδιότητες του μέσου (π.χ. στο νερό η απόσβεση είναι πολύ μεγαλύτερη απ' ό,τι στον αέρα).

Σύρε τη σταθερά απόσβεσης b και παρατήρησε: θα ανακαλύψεις ότι το πλάτος σβήνει εκθετικά «αγκαλιασμένο» από δύο καμπύλες-φακέλους, ενώ για μικρό b η περίοδος μένει πρακτικά ίδια — μόνο το ύψος των κορυφών αλλάζει.

Πώς μειώνεται το πλάτος

Για μικρή απόσβεση το πλάτος δεν πέφτει γραμμικά αλλά εκθετικά:

$A = A_0 e^{-\Lambda t}$

όπου $A_0$ το αρχικό πλάτος και $\Lambda$ θετική σταθερά που εξαρτάται από το $b$ . Η σχέση αυτή κρύβει μια πολύ εξεταζόμενη ιδιότητα: σε ίσους χρόνους το πλάτος πολλαπλασιάζεται επί τον ίδιο αριθμό. Δηλαδή ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών (ανά μία περίοδο) είναι σταθερός:

$\frac{A_1}{A_0} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{A_3}{A_2} = e^{-\Lambda T} = \sigma\tau\alpha\theta.$

Επίσης, για ορισμένη τιμή του $b$ , η περίοδος διατηρείται σταθερή όσο σβήνει η ταλάντωση (για μικρές αποσβέσεις είναι πρακτικά ίση με την περίοδο της αμείωτης). Όσο μεγαλώνει το $b$ , το πλάτος σβήνει πιο γρήγορα — και για πολύ μεγάλο $b$ η κίνηση γίνεται απεριοδική: το σώμα επιστρέφει στη θέση ισορροπίας χωρίς να ταλαντωθεί καθόλου.

$F_{\alpha\nu\tau} = -b\upsilon, \qquad A = A_0e^{-\Lambda t}, \qquad \frac{A_{n+1}}{A_n} = e^{-\Lambda T}, \qquad E = E_0e^{-2\Lambda t}$

Κόλπο μνήμης

Η απόσβεση «κόβει» ποσοστό, όχι ποσό, όπως ο χρόνος υποδιπλασιασμού στη ραδιενέργεια. Σε ίσους χρόνους το πλάτος πολλαπλασιάζεται πάντα με τον ίδιο αριθμό. Και επειδή $E \propto A^2$ , η ενέργεια υποδιπλασιάζεται στον μισό χρόνο από όσο το πλάτος.

Γρήγορος έλεγχος

Σε φθίνουσα ταλάντωση με $A = A_0 e^{-\Lambda t}$ το αρχικό πλάτος είναι $16\ cm$ . Μετά από χρόνο $t_1$ το πλάτος έχει γίνει $8\ cm$ . Ποιο θα είναι το πλάτος μετά από συνολικό χρόνο $2t_1$ ;

Πού «χάνεται» ενέργεια πιο γρήγορα

Η δύναμη αντίστασης $F_{\alpha\nu\tau} = -b\upsilon$ είναι πάντα αντίθετη της ταχύτητας, οπότε το έργο της είναι πάντα αρνητικό. Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρεί ενέργεια είναι

$\left|\frac{\Delta E}{\Delta t}\right| = |F_{\alpha\nu\tau}|\,|\upsilon| = b\upsilon^2$

Άρα η ενέργεια χάνεται πιο γρήγορα όταν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας (μέγιστη ταχύτητα) και καθόλου στις ακραίες θέσεις ( $\upsilon = 0$ ). Επίσης, καθώς σβήνει η ταλάντωση και οι ταχύτητες μικραίνουν, οι απώλειες σε joule ανά περίοδο μικραίνουν — γι' αυτό το πλάτος δεν πέφτει γραμμικά.

Πού πάει η ενέργεια

Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι $E = \frac{1}{2}DA^2$ — ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους. Καθώς το πλάτος μικραίνει, η ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα μέσω της δύναμης αντίστασης.

Προσοχή σε μια κλασική παγίδα: αν το πλάτος υποδιπλασιαστεί, η ενέργεια υποτετραπλασιάζεται, γιατί $E \sim A^2$ . Οι αποσβέσεις δεν είναι πάντα «εχθρός»: στα αμορτισέρ του αυτοκινήτου θέλουμε μεγάλη απόσβεση, ώστε το αμάξωμα να ηρεμεί σχεδόν αμέσως μετά από κάθε σαμαράκι αντί να χοροπηδά.

Γρήγορος έλεγχος

Σε φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος έχει γίνει το $\frac{1}{3}$ του αρχικού. Η ενέργεια της ταλάντωσης έχει γίνει:

Ήξερες ότι;

Όταν χτυπάς μια χορδή κιθάρας, ο ήχος σβήνει σε λίγα δευτερόλεπτα, αλλά η νότα (η συχνότητα) δεν αλλάζει όσο σβήνει. Είναι ακριβώς αυτό που λέει η θεωρία: σε μια φθίνουσα ταλάντωση μειώνεται το πλάτος (η ένταση), ενώ η περίοδος μένει πρακτικά σταθερή.

Μέθοδος: ασκήσεις φθίνουσας ταλάντωσης

Γράψε $A = A_0e^{-\Lambda t}$ και αντικατάστησε τα γνωστά ζεύγη $(t, A)$ .
Για το $\Lambda$ πάρε λογαρίθμους: $\Lambda = \frac{1}{t}\ln\frac{A_0}{A}$ .
Για πλάτη σε ίσα χρονικά διαστήματα χρησιμοποίησε τον σταθερό λόγο: αν σε χρόνο $\tau$ το πλάτος πολλαπλασιάζεται επί $\kappa$ , σε χρόνο $n\tau$ γίνεται $\kappa^n A_0$ .
Για την ενέργεια: $E = \frac{1}{2}DA^2$ , άρα $\frac{E}{E_0} = \left(\frac{A}{A_0}\right)^2 = e^{-2\Lambda t}$ .
Θερμότητα από τη δύναμη αντίστασης: $Q = E_0 - E$ .

Άσκηση (τύπου Πανελληνίων): Σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος $A = A_0 e^{-\Lambda t}$ και $A_0 = 8\ cm$ . Τη χρονική στιγμή $t_1 = 4\ s$ το πλάτος είναι $4\ cm$ . Να βρεθούν: (α) η σταθερά $\Lambda$ , (β) το πλάτος τη στιγμή $t_2 = 12\ s$ .

Λύση:

(α) $4 = 8e^{-4\Lambda} \Rightarrow e^{-4\Lambda} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4\Lambda = \ln 2 \Rightarrow \Lambda = \frac{\ln 2}{4}\ s^{-1}$ .

(β) Τα $12\ s$ είναι τρία διαστήματα των $4\ s$ , και σε καθένα το πλάτος υποδιπλασιάζεται:

$A = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1\ cm$

Εναλλακτικά: $A = 8e^{-12\Lambda} = 8(e^{-4\Lambda})^3 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1\ cm$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β/Γ): Σώμα δεμένο σε ελατήριο σταθεράς $k = 100\ N/m$ εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με $A = A_0e^{-\Lambda t}$ . Το αρχικό πλάτος είναι $A_0 = 10\ cm$ και μετά από μία περίοδο $A_1 = 8\ cm$ . (α) Τι ποσοστό της ενέργειας χάθηκε στην πρώτη περίοδο; (β) Ποιο είναι το πλάτος μετά από δύο περιόδους; (γ) Πόση θερμότητα παράχθηκε συνολικά στις δύο πρώτες περιόδους;

Δεδομένα: $D = k = 100\ N/m$ , $A_0 = 0{,}1\ m$ , $A_1 = 0{,}08\ m$ . Ζητούμενα: ποσοστό απώλειας, $A_2$ , $Q$ .

Λύση:

(α) $E_0 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}1^2 = 0{,}5\ J$ και $E_1 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}08^2 = 0{,}32\ J$ . Χάθηκαν $0{,}18\ J$ , δηλαδή το $36\%$ — ενώ το πλάτος μειώθηκε μόνο κατά $20\%$ , γιατί $\frac{E_1}{E_0} = 0{,}8^2 = 0{,}64$ .

(β) Ο λόγος διαδοχικών πλατών είναι σταθερός, $\frac{A_1}{A_0} = 0{,}8$ , άρα $A_2 = 0{,}8 \cdot 8 = 6{,}4\ cm$ .

(γ) $E_2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}064^2 = 0{,}2048\ J$ , οπότε $Q = E_0 - E_2 = 0{,}5 - 0{,}2048 \approx 0{,}295\ J$ .

Απάντηση: $36\%$ · $6{,}4\ cm$ · $\approx 0{,}295\ J$ .

Άσκηση: Σε φθίνουσα ταλάντωση $A_0 = 0{,}2\ m$ και $\Lambda = 0{,}1\ s^{-1}$ . (α) Σε πόσο χρόνο υποδιπλασιάζεται το πλάτος; (β) Σε πόσο χρόνο υποδιπλασιάζεται η ενέργεια; ( $\ln 2 \approx 0{,}693$ )

Λύση:

(α) $\frac{A_0}{2} = A_0e^{-\Lambda t} \Rightarrow \Lambda t = \ln 2 \Rightarrow t = \frac{0{,}693}{0{,}1} \approx 6{,}93\ s$ . Εκείνη τη στιγμή η ενέργεια είναι ήδη $\frac{E_0}{4}$ .

(β) $\frac{E}{E_0} = e^{-2\Lambda t} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{2\Lambda} \approx 3{,}47\ s$ — ο μισός χρόνος, αφού η ενέργεια «σβήνει» με διπλάσιο ρυθμό από το πλάτος.

Γρήγορος έλεγχος

Σε φθίνουσα ταλάντωση με $A = A_0e^{-\Lambda t}$ το πλάτος υποδιπλασιάζεται κάθε $4\ s$ . Κάθε πόσο χρόνο υποδιπλασιάζεται η ενέργεια της ταλάντωσης;

Γρήγορος έλεγχος

Σε φθίνουσα ταλάντωση με $A = A_0e^{-\Lambda t}$ , το πλάτος χρειάζεται χρόνο $t_1$ για να πέσει από $A_0$ σε $\frac{A_0}{2}$ . Πόσο χρόνο χρειάζεται για να πέσει από $\frac{A_0}{2}$ σε $\frac{A_0}{4}$ ;

Πρόκληση

Το 20% που «τρώει» την ταλάντωση. Σε φθίνουσα ταλάντωση με $A = A_0e^{-\Lambda t}$ και περίοδο $T = 0{,}5\ s$ , το πλάτος μειώνεται κατά $20\%$ σε κάθε περίοδο. (α) Μετά από πόσες πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος πέφτει για πρώτη φορά κάτω από το μισό του αρχικού; (β) Τι ποσοστό της αρχικής ενέργειας χάνεται στην 1η περίοδο, και τι στη 2η; (γ) Βρες τη σταθερά $\Lambda$ ( $\ln 1{,}25 \approx 0{,}223$ ).

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο λόγος διαδοχικών πλατών είναι σταθερός: $\frac{A_{n+1}}{A_n} = 0{,}8$ , άρα μετά από $n$ περιόδους $A_n = 0{,}8^n A_0$ .

(α) $0{,}8^2 = 0{,}64$ , $0{,}8^3 = 0{,}512$ , $0{,}8^4 \approx 0{,}41$ . Το πλάτος πέφτει κάτω από το μισό μετά από 4 ταλαντώσεις, όχι μετά από $2{,}5$ όπως θα γινόταν αν η μείωση ήταν γραμμική.

(β) $E \propto A^2$ : μετά από 1 περίοδο $E_1 = 0{,}64E_0$ , άρα χάθηκε το $36\%$ . Μετά από 2 περιόδους $E_2 = 0{,}8^4E_0 \approx 0{,}41E_0$ , άρα στη 2η περίοδο χάθηκε $0{,}64 - 0{,}41 = 0{,}23$ , δηλαδή περίπου το $23\%$ της αρχικής ενέργειας.

(γ) $e^{-\Lambda T} = 0{,}8 \Rightarrow \Lambda = \frac{1}{T}\ln\frac{1}{0{,}8} = \frac{\ln 1{,}25}{0{,}5} \approx 0{,}446\ s^{-1}$ .

Απάντηση: (α) 4 ταλαντώσεις· (β) $36\%$ και περίπου $23\%$ · (γ) $\Lambda \approx 0{,}45\ s^{-1}$ . Κάθε περίοδος «κόβει» το ίδιο ποσοστό, οπότε οι απώλειες σε joule μικραίνουν από περίοδο σε περίοδο.

Συνηθισμένα λάθη

Γραμμική μείωση πλάτους. Σε ίσους χρόνους το πλάτος πολλαπλασιάζεται επί τον ίδιο αριθμό — δεν μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.
Ενέργεια ανάλογη του πλάτους. Είναι ανάλογη του $A^2$ : $20\%$ μείωση πλάτους σημαίνει $36\%$ απώλεια ενέργειας.
Περίοδος που «μικραίνει» με το πλάτος. Για ορισμένο $b$ η περίοδος μένει σταθερή.
Λάθος πρόσημο στη θερμότητα. Η θερμότητα είναι $Q = E_{\alpha\rho\chi} - E_{\tau\varepsilon\lambda} > 0$ , ίση με την απόλυτη τιμή του έργου της δύναμης αντίστασης.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Φθίνουσα με $F_{\alpha\nu\tau} = -b\upsilon$ : $A = A_0e^{-\Lambda t}$ , με σταθερό λόγο διαδοχικών πλατών $e^{-\Lambda T}$ .
Σε ίσους χρόνους το πλάτος πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό· $\Lambda = \frac{1}{t}\ln\frac{A_0}{A}$ .
Για ορισμένο $b$ η περίοδος μένει σταθερή· για πολύ μεγάλο $b$ η κίνηση γίνεται απεριοδική.
$E \sim A^2$ , άρα $E = E_0e^{-2\Lambda t}$ · η απώλεια γίνεται θερμότητα με ρυθμό $b\upsilon^2$ .

Γιατί σταματούν οι ταλαντώσεις;

F_{\alpha\nu\tau} = -b\upsilon

Η σταθερά

b

λέγεται σταθερά απόσβεσης: εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος και από τις ιδιότητες του μέσου (π.χ. στο νερό η απόσβεση είναι πολύ μεγαλύτερη απ' ό,τι στον αέρα).