〰️

Επαλληλία & Συμβολή Κυμάτων

Αρχή επαλληλίας, σύγχρονες πηγές, ενίσχυση & απόσβεση

Γιατί με νοιάζει;

Τα ακουστικά με ενεργή ακύρωση θορύβου «σβήνουν» τον θόρυβο προσθέτοντας έναν… ακόμη ήχο. Στις λίμνες, δύο πέτρες που πέφτουν μαζί φτιάχνουν ένα σχέδιο από ακίνητες και «τρελά» κινούμενες γραμμές. Και τα δύο εξηγούνται από έναν απλό κανόνα: όταν συναντιούνται κύματα, οι απομακρύνσεις προστίθενται.

Επαλληλία και συμβολή

Όταν δύο κύματα συναντιούνται, η συνολική απομάκρυνση κάθε σημείου είναι το άθροισμα των απομακρύνσεων που θα προκαλούσε το καθένα χωριστά — αυτή είναι η αρχή της επαλληλίας. Τα κύματα διασχίζουν το ένα το άλλο και συνεχίζουν ανεπηρέαστα!

Για δύο σύγχρονες πηγές, σε σημείο με αποστάσεις $r_1, r_2$ από αυτές:

Ενίσχυση (πλάτος $2A$ ): $|r_1 - r_2| = N\lambda$ , $N = 0, 1, 2, \ldots$
Απόσβεση (πλάτος $0$ ): $|r_1 - r_2| = (2N + 1)\frac{\lambda}{2}$

Παρακολούθησε δύο κύματα να συναντιούνται: εκεί που «συμφωνούν» οι κορυφές το πλάτος διπλασιάζεται (ενίσχυση), ενώ όπου κορυφή συναντά κοιλάδα το μέσο μένει ακίνητο (απόσβεση).

Συμβολή στην επιφάνεια υγρού: γιατί ισχύουν οι συνθήκες

Δύο σύγχρονες πηγές $\Pi_1$ , $\Pi_2$ (ίδια συχνότητα, ίδια φάση, ίδιο πλάτος $A$ ) δημιουργούν κυκλικά κύματα στην επιφάνεια υγρού. Ένα σημείο Σ απέχει $r_1$ και $r_2$ από τις πηγές.

Κάθε κύμα φτάνει στο Σ με φάση $2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{r}{\lambda}\right)$ , οπότε οι δύο ταλαντώσεις του Σ διαφέρουν κατά

$\Delta\varphi = 2\pi\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$

Αν $\Delta\varphi = 2N\pi$ (δηλαδή $|r_1 - r_2| = N\lambda$ ), οι ταλαντώσεις είναι συμφασικές και το Σ ταλαντώνεται με πλάτος $2A$ (ενίσχυση).
Αν $\Delta\varphi = (2N + 1)\pi$ , είναι σε αντίθεση φάσης και το Σ μένει ακίνητο (απόσβεση).
Για ενδιάμεσες τιμές το πλάτος είναι μεταξύ $0$ και $2A$ .

Τα σημεία ενίσχυσης βρίσκονται πάνω σε υπερβολές με εστίες τις πηγές, το ίδιο και τα σημεία απόσβεσης. Η μεσοκάθετος του $\Pi_1\Pi_2$ ( $r_1 = r_2$ ) είναι πάντα γραμμή ενίσχυσης. Η συμβολή δεν «χάνει» ενέργεια: ό,τι λείπει από τα σημεία απόσβεσης βρίσκεται στα σημεία ενίσχυσης.

$\text{ενίσχυση: } |r_1 - r_2| = N\lambda, \qquad \text{απόσβεση: } |r_1 - r_2| = (2N + 1)\frac{\lambda}{2}, \qquad N = 0, 1, 2, \ldots$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σύγχρονες πηγές παράγουν κύματα μήκους κύματος $\lambda$ . Σε σημείο με $|r_1 - r_2| = 1{,}5\lambda$ τι θα παρατηρήσουμε;

Μέθοδος: ασκήσεις συμβολής

Βρες το μήκος κύματος: $\lambda = \frac{\upsilon}{f}$ .
Για σημείο Σ υπολόγισε $\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$ : ακέραιος ⇒ ενίσχυση ( $2A$ ), μισός ακέραιος ⇒ απόσβεση ( $0$ ).
Χρονική εξέλιξη: για $t < \frac{r_{min}}{\upsilon}$ το Σ είναι ακίνητο· ανάμεσα στο $\frac{r_{min}}{\upsilon}$ και το $\frac{r_{max}}{\upsilon}$ ταλαντώνεται μόνο με το ένα κύμα (πλάτος $A$ )· μετά ταλαντώνεται με το πλάτος της συμβολής.
Πλήθος σημείων ενίσχυσης πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα $\Pi_1\Pi_2$ (απόσταση $d$ ): ισχύει $|r_1 - r_2| \le d$ , οπότε μετράς τους ακέραιους $N$ με $N\lambda < d$ (και από τις δύο μεριές της μεσοκαθέτου, συν το μέσο).
Γειτονικά σημεία ενίσχυσης πάνω στο $\Pi_1\Pi_2$ απέχουν $\frac{\lambda}{2}$ .

Άσκηση (συμβολή): Δύο σύγχρονες πηγές στην επιφάνεια υγρού ταλαντώνονται με συχνότητα $f = 5\ Hz$ και πλάτος $A$ · τα κύματα διαδίδονται με $\upsilon = 0{,}5\ m/s$ και θεωρούμε ότι το πλάτος τους δεν μειώνεται. Πώς ταλαντώνονται, αφού φτάσουν και τα δύο κύματα, τα σημεία Ρ ( $r_1 = 0{,}40\ m$ , $r_2 = 0{,}25\ m$ ) και Σ ( $r_1 = 0{,}50\ m$ , $r_2 = 0{,}30\ m$ );

Λύση: $\lambda = \frac{\upsilon}{f} = \frac{0{,}5}{5} = 0{,}1\ m$ .

Ρ: $|r_1 - r_2| = 0{,}15\ m = 1{,}5\lambda = (2 \cdot 1 + 1)\frac{\lambda}{2}$ ⇒ απόσβεση: το Ρ μένει ακίνητο.
Σ: $|r_1 - r_2| = 0{,}20\ m = 2\lambda$ ⇒ ενίσχυση: το Σ ταλαντώνεται με πλάτος $2A$ .

Προσοχή στον χρόνο: μέχρι να φτάσει και το κύμα της πιο μακρινής πηγής, το σημείο ταλαντώνεται μόνο με πλάτος $A$ .

Άσκηση: Δύο σύγχρονες πηγές απέχουν $d = 0{,}25\ m$ και παράγουν κύματα με $\lambda = 0{,}1\ m$ . Πόσα σημεία ενίσχυσης και πόσα σημεία απόσβεσης υπάρχουν πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις πηγές (χωρίς τις πηγές);

Λύση: Για σημείο του τμήματος $|r_1 - r_2| < d = 0{,}25\ m$ .

Ενίσχυση: $|r_1 - r_2| = N \cdot 0{,}1 < 0{,}25 \Rightarrow N = 0, 1, 2$ . Το $N = 0$ δίνει το μέσο, τα $N = 1, 2$ δίνουν δύο σημεία το καθένα (ένα σε κάθε μεριά): 5 σημεία ενίσχυσης.
Απόσβεση: $|r_1 - r_2| = (2N + 1) \cdot 0{,}05 < 0{,}25 \Rightarrow 0{,}05,\ 0{,}15$ (το $0{,}25$ δεν είναι μικρότερο): δύο τιμές, δύο σημεία η καθεμία: 4 σημεία απόσβεσης.

Τα σημεία ενίσχυσης και απόσβεσης εναλλάσσονται, με απόσταση $\frac{\lambda}{4}$ ανάμεσα σε ενίσχυση και διπλανή απόσβεση.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Δύο σύγχρονες πηγές $\Pi_1$ , $\Pi_2$ στην επιφάνεια υγρού ξεκινούν τη στιγμή $t = 0$ να ταλαντώνονται με $y = 0{,}02\,\eta\mu(10\pi t)$ (S.I.). Τα κύματα διαδίδονται με $\upsilon = 0{,}5\ m/s$ χωρίς απώλειες. Σημείο Σ απέχει $r_1 = 0{,}4\ m$ και $r_2 = 0{,}3\ m$ . (α) Να βρείτε το μήκος κύματος. (β) Να εξηγήσετε πώς κινείται το Σ στα διάφορα χρονικά διαστήματα. (γ) Να βρείτε το πλάτος και τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του Σ μετά την άφιξη και των δύο κυμάτων.

Δεδομένα: $A = 0{,}02\ m$ , $\omega = 10\pi\ rad/s$ , $\upsilon = 0{,}5\ m/s$ , $r_1 = 0{,}4\ m$ , $r_2 = 0{,}3\ m$ . Ζητούμενα: $\lambda$ , κίνηση του Σ, $A_\Sigma$ , $\upsilon_{max}$ .

Λύση:

(α) $f = \frac{\omega}{2\pi} = 5\ Hz$ , $\lambda = \frac{\upsilon}{f} = 0{,}1\ m$ .

(β) Το κύμα της $\Pi_2$ φτάνει στο $t_2 = \frac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6\ s$ και της $\Pi_1$ στο $t_1 = \frac{0{,}4}{0{,}5} = 0{,}8\ s$ . Για $0 \le t < 0{,}6\ s$ το Σ είναι ακίνητο· για $0{,}6\ s \le t < 0{,}8\ s$ ταλαντώνεται μόνο με το κύμα της $\Pi_2$ , με πλάτος $0{,}02\ m$ · για $t \ge 0{,}8\ s$ ταλαντώνεται λόγω συμβολής.

(γ) $|r_1 - r_2| = 0{,}1\ m = 1 \cdot \lambda$ : ενίσχυση, $A_\Sigma = 2A = 0{,}04\ m$ και $\upsilon_{max} = \omega A_\Sigma = 10\pi \cdot 0{,}04 = 0{,}4\pi \approx 1{,}26\ m/s$ .

Απάντηση: $\lambda = 0{,}1\ m$ · ακίνητο ως $0{,}6\ s$ , πλάτος $2\ cm$ ως $0{,}8\ s$ , μετά πλάτος $4\ cm$ με $\upsilon_{max} = 0{,}4\pi\ m/s$ .

Γρήγορος έλεγχος

Κατά τη συμβολή δύο κυμάτων, σε ένα σημείο απόσβεσης η ενέργεια που φέρνουν τα δύο κύματα:

Γρήγορος έλεγχος

Σημείο Σ στην επιφάνεια υγρού ισαπέχει από δύο σύγχρονες πηγές ( $r_1 = r_2$ ). Μετά την άφιξη των κυμάτων, το Σ:

Ήξερες ότι;

Τα ακουστικά ενεργής ακύρωσης θορύβου έχουν μικρόφωνα που «ακούν» τον εξωτερικό θόρυβο και ένα κύκλωμα που παράγει σχεδόν αμέσως ήχο με την αντίθετη φάση. Στο αυτί οι δύο ήχοι συμβάλλουν αποσβεστικά. Η τεχνική δουλεύει καλύτερα σε χαμηλές, σταθερές συχνότητες, όπως ο βόμβος μιας μηχανής αεροπλάνου, γιατί εκεί το μήκος κύματος είναι μεγάλο και η φάση προβλέπεται εύκολα.

Στις ασκήσεις συμβολής υπολόγισε τον λόγο $\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$ : ακέραιος ⇒ ενίσχυση, μισό ακεραίου (0,5, 1,5, …) ⇒ απόσβεση. Και στα στάσιμα μην μπερδεύεις: δεσμός–δεσμός $\frac{\lambda}{2}$ , δεσμός–διπλανή κοιλία $\frac{\lambda}{4}$ .

Πρόκληση

Αλλάζοντας συχνότητα. Δύο σύγχρονες πηγές στο υγρό παράγουν κύματα με $\upsilon = 0{,}6\ m/s$ . Σημείο Σ έχει $r_1 = 0{,}50\ m$ και $r_2 = 0{,}35\ m$ . (α) Ποιες είναι οι δύο μικρότερες συχνότητες των πηγών για τις οποίες το Σ είναι σημείο απόσβεσης; (β) Ποια είναι η μικρότερη μη μηδενική συχνότητα για την οποία είναι σημείο ενίσχυσης;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$|r_1 - r_2| = 0{,}15\ m$ και $\lambda = \frac{\upsilon}{f}$ .

(α) Απόσβεση: $0{,}15 = (2N + 1)\frac{\upsilon}{2f} \Rightarrow f = (2N + 1)\frac{0{,}6}{0{,}3} = (2N + 1) \cdot 2\ Hz$ . Άρα $f = 2\ Hz$ ( $N = 0$ ) και $f = 6\ Hz$ ( $N = 1$ ).

(β) Ενίσχυση: $0{,}15 = N\frac{\upsilon}{f} \Rightarrow f = N \cdot 4\ Hz$ . Η μικρότερη μη μηδενική: $f = 4\ Hz$ .

Απάντηση: $2\ Hz$ και $6\ Hz$ για απόσβεση· $4\ Hz$ για ενίσχυση. Αλλάζοντας συχνότητα το ίδιο σημείο περνά από απόσβεση σε ενίσχυση και ξανά σε απόσβεση.

Συνηθισμένα λάθη

Σύγκριση της διαφοράς $|r_1 - r_2|$ με το $\lambda$ χωρίς να τη διαιρέσεις. Υπολόγισε πάντα τον λόγο $\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$ .
Ενίσχυση από την πρώτη στιγμή. Μέχρι να φτάσει και το δεύτερο κύμα, το σημείο ταλαντώνεται με πλάτος $A$ .
Σημεία απόσβεσης = χαμένη ενέργεια. Η ενέργεια ανακατανέμεται στα σημεία ενίσχυσης.
Μέτρηση των πηγών ως σημείων ενίσχυσης. Όταν ζητούνται σημεία «μεταξύ» των πηγών, οι πηγές εξαιρούνται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αρχή επαλληλίας: οι απομακρύνσεις προστίθενται και τα κύματα συνεχίζουν ανεπηρέαστα.
Σύγχρονες πηγές: $\Delta\varphi = 2\pi\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$ .
Ενίσχυση ( $2A$ ) για $|r_1 - r_2| = N\lambda$ , απόσβεση ( $0$ ) για $|r_1 - r_2| = (2N + 1)\frac{\lambda}{2}$ .
Η μεσοκάθετος των πηγών είναι γραμμή ενίσχυσης· οι γραμμές ενίσχυσης/απόσβεσης είναι υπερβολές.
Η συμβολή ανακατανέμει την ενέργεια, δεν τη χάνει.

〰️

Επαλληλία & Συμβολή Κυμάτων

Αρχή επαλληλίας, σύγχρονες πηγές, ενίσχυση & απόσβεση

Γιατί με νοιάζει;

Επαλληλία και συμβολή

Για δύο σύγχρονες πηγές, σε σημείο με αποστάσεις $r_1, r_2$ από αυτές:

Ενίσχυση (πλάτος $2A$ ): $|r_1 - r_2| = N\lambda$ , $N = 0, 1, 2, \ldots$
Απόσβεση (πλάτος $0$ ): $|r_1 - r_2| = (2N + 1)\frac{\lambda}{2}$

y = y_1 + y_2 \quad A_{o\lambda} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\,\sigma\upsilon\nu\varphi} = 2

A₂ = 1φ = 0π

Συμφασικά κύματα (φ≈0): κορυφή συναντά κορυφή — ενισχυτική συμβολή, το πλάτος γίνεται A₁+A₂.

Συμβολή στην επιφάνεια υγρού: γιατί ισχύουν οι συνθήκες

Κάθε κύμα φτάνει στο Σ με φάση $2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{r}{\lambda}\right)$ , οπότε οι δύο ταλαντώσεις του Σ διαφέρουν κατά

$\Delta\varphi = 2\pi\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$

Αν $\Delta\varphi = 2N\pi$ (δηλαδή $|r_1 - r_2| = N\lambda$ ), οι ταλαντώσεις είναι συμφασικές και το Σ ταλαντώνεται με πλάτος $2A$ (ενίσχυση).
Αν $\Delta\varphi = (2N + 1)\pi$ , είναι σε αντίθεση φάσης και το Σ μένει ακίνητο (απόσβεση).
Για ενδιάμεσες τιμές το πλάτος είναι μεταξύ $0$ και $2A$ .

$\text{ενίσχυση: } |r_1 - r_2| = N\lambda, \qquad \text{απόσβεση: } |r_1 - r_2| = (2N + 1)\frac{\lambda}{2}, \qquad N = 0, 1, 2, \ldots$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σύγχρονες πηγές παράγουν κύματα μήκους κύματος $\lambda$ . Σε σημείο με $|r_1 - r_2| = 1{,}5\lambda$ τι θα παρατηρήσουμε;

Μέθοδος: ασκήσεις συμβολής

Βρες το μήκος κύματος: $\lambda = \frac{\upsilon}{f}$ .
Για σημείο Σ υπολόγισε $\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$ : ακέραιος ⇒ ενίσχυση ( $2A$ ), μισός ακέραιος ⇒ απόσβεση ( $0$ ).
Χρονική εξέλιξη: για $t < \frac{r_{min}}{\upsilon}$ το Σ είναι ακίνητο· ανάμεσα στο $\frac{r_{min}}{\upsilon}$ και το $\frac{r_{max}}{\upsilon}$ ταλαντώνεται μόνο με το ένα κύμα (πλάτος $A$ )· μετά ταλαντώνεται με το πλάτος της συμβολής.
Πλήθος σημείων ενίσχυσης πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα $\Pi_1\Pi_2$ (απόσταση $d$ ): ισχύει $|r_1 - r_2| \le d$ , οπότε μετράς τους ακέραιους $N$ με $N\lambda < d$ (και από τις δύο μεριές της μεσοκαθέτου, συν το μέσο).
Γειτονικά σημεία ενίσχυσης πάνω στο $\Pi_1\Pi_2$ απέχουν $\frac{\lambda}{2}$ .

Λύση: $\lambda = \frac{\upsilon}{f} = \frac{0{,}5}{5} = 0{,}1\ m$ .

Ρ: $|r_1 - r_2| = 0{,}15\ m = 1{,}5\lambda = (2 \cdot 1 + 1)\frac{\lambda}{2}$ ⇒ απόσβεση: το Ρ μένει ακίνητο.
Σ: $|r_1 - r_2| = 0{,}20\ m = 2\lambda$ ⇒ ενίσχυση: το Σ ταλαντώνεται με πλάτος $2A$ .

Λύση: Για σημείο του τμήματος $|r_1 - r_2| < d = 0{,}25\ m$ .

Ενίσχυση: $|r_1 - r_2| = N \cdot 0{,}1 < 0{,}25 \Rightarrow N = 0, 1, 2$ . Το $N = 0$ δίνει το μέσο, τα $N = 1, 2$ δίνουν δύο σημεία το καθένα (ένα σε κάθε μεριά): 5 σημεία ενίσχυσης.
Απόσβεση: $|r_1 - r_2| = (2N + 1) \cdot 0{,}05 < 0{,}25 \Rightarrow 0{,}05,\ 0{,}15$ (το $0{,}25$ δεν είναι μικρότερο): δύο τιμές, δύο σημεία η καθεμία: 4 σημεία απόσβεσης.

Λύση:

(α) $f = \frac{\omega}{2\pi} = 5\ Hz$ , $\lambda = \frac{\upsilon}{f} = 0{,}1\ m$ .

(γ) $|r_1 - r_2| = 0{,}1\ m = 1 \cdot \lambda$ : ενίσχυση, $A_\Sigma = 2A = 0{,}04\ m$ και $\upsilon_{max} = \omega A_\Sigma = 10\pi \cdot 0{,}04 = 0{,}4\pi \approx 1{,}26\ m/s$ .

Απάντηση: $\lambda = 0{,}1\ m$ · ακίνητο ως $0{,}6\ s$ , πλάτος $2\ cm$ ως $0{,}8\ s$ , μετά πλάτος $4\ cm$ με $\upsilon_{max} = 0{,}4\pi\ m/s$ .

Γρήγορος έλεγχος

Κατά τη συμβολή δύο κυμάτων, σε ένα σημείο απόσβεσης η ενέργεια που φέρνουν τα δύο κύματα:

Γρήγορος έλεγχος

Σημείο Σ στην επιφάνεια υγρού ισαπέχει από δύο σύγχρονες πηγές ( $r_1 = r_2$ ). Μετά την άφιξη των κυμάτων, το Σ:

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$|r_1 - r_2| = 0{,}15\ m$ και $\lambda = \frac{\upsilon}{f}$ .

(α) Απόσβεση: $0{,}15 = (2N + 1)\frac{\upsilon}{2f} \Rightarrow f = (2N + 1)\frac{0{,}6}{0{,}3} = (2N + 1) \cdot 2\ Hz$ . Άρα $f = 2\ Hz$ ( $N = 0$ ) και $f = 6\ Hz$ ( $N = 1$ ).

(β) Ενίσχυση: $0{,}15 = N\frac{\upsilon}{f} \Rightarrow f = N \cdot 4\ Hz$ . Η μικρότερη μη μηδενική: $f = 4\ Hz$ .

Συνηθισμένα λάθη

Σύγκριση της διαφοράς $|r_1 - r_2|$ με το $\lambda$ χωρίς να τη διαιρέσεις. Υπολόγισε πάντα τον λόγο $\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$ .
Ενίσχυση από την πρώτη στιγμή. Μέχρι να φτάσει και το δεύτερο κύμα, το σημείο ταλαντώνεται με πλάτος $A$ .
Σημεία απόσβεσης = χαμένη ενέργεια. Η ενέργεια ανακατανέμεται στα σημεία ενίσχυσης.
Μέτρηση των πηγών ως σημείων ενίσχυσης. Όταν ζητούνται σημεία «μεταξύ» των πηγών, οι πηγές εξαιρούνται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αρχή επαλληλίας: οι απομακρύνσεις προστίθενται και τα κύματα συνεχίζουν ανεπηρέαστα.
Σύγχρονες πηγές: $\Delta\varphi = 2\pi\frac{|r_1 - r_2|}{\lambda}$ .
Ενίσχυση ( $2A$ ) για $|r_1 - r_2| = N\lambda$ , απόσβεση ( $0$ ) για $|r_1 - r_2| = (2N + 1)\frac{\lambda}{2}$ .
Η μεσοκάθετος των πηγών είναι γραμμή ενίσχυσης· οι γραμμές ενίσχυσης/απόσβεσης είναι υπερβολές.
Η συμβολή ανακατανέμει την ενέργεια, δεν τη χάνει.