🌊

Μηχανικά Κύματα

Εγκάρσια & διαμήκη, υ = λf, εξίσωση αρμονικού κύματος

Γιατί με νοιάζει;

Σε έναν σεισμό το έδαφος κάτω από τα πόδια σου κουνιέται από ένα ρήγμα που απέχει δεκάδες χιλιόμετρα, χωρίς να έρθει από εκεί ούτε ένας κόκκος χώμα. Αυτό είναι το μυστικό κάθε κύματος: ταξιδεύει ενέργεια, όχι ύλη. Η νότα μιας κιθάρας είναι στάσιμο κύμα στη χορδή, και τα ακουστικά με ακύρωση θορύβου «σβήνουν» τον θόρυβο με συμβολή. Εδώ μαθαίνεις τη γλώσσα όλων αυτών.

Μηχανικά κύματα

Το μηχανικό κύμα μεταφέρει ενέργεια και ορμή μέσα σε ένα ελαστικό μέσο — όχι ύλη! Στα εγκάρσια κύματα τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης (π.χ. χορδή), στα διαμήκη παράλληλα σε αυτή (π.χ. ήχος).

Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής συνδέει τα τρία βασικά μεγέθη: $\upsilon = \lambda f$ . Η ταχύτητα διάδοσης $\upsilon$ εξαρτάται μόνο από το μέσο, η συχνότητα $f$ μόνο από την πηγή — άρα όταν το κύμα αλλάζει μέσο, αλλάζει το $\lambda$ , ποτέ το $f$ .

Πώς γεννιέται και τι μεταφέρει ένα κύμα

Όταν η πηγή (π.χ. το άκρο μιας τεντωμένης χορδής) αρχίζει να ταλαντώνεται, «τραβά» το διπλανό σημείο του μέσου, εκείνο το επόμενο κ.ο.κ. Κάθε σημείο επαναλαμβάνει την κίνηση της πηγής με καθυστέρηση. Σε χρόνο μίας περιόδου $T$ η διαταραχή προχωρά κατά ένα μήκος κύματος $\lambda$ , οπότε

$\upsilon = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$

Το μήκος κύματος $\lambda$ είναι η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων που ταλαντώνονται συμφασικά (π.χ. δύο διαδοχικών «κορυφών»).
Το κύμα μεταφέρει ενέργεια και ορμή, όχι ύλη: κάθε σημείο μένει γύρω από τη θέση ισορροπίας του.
Αρμονικό λέγεται το κύμα όταν η πηγή κάνει ΑΑΤ: τότε όλα τα σημεία κάνουν ΑΑΤ με το ίδιο πλάτος $A$ και την ίδια περίοδο $T$ (θεωρούμε ότι το μέσο δεν απορροφά ενέργεια).

$y = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right), \quad \upsilon = \lambda f$

Διαβάζοντας την εξίσωση του κύματος

Η εξίσωση $y = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ περιγράφει κύμα που διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα $x$ , όταν η πηγή ( $x = 0$ ) ξεκινά τη στιγμή $t = 0$ από τη θέση ισορροπίας κινούμενη προς τη θετική φορά. Τι μας λέει:

Για σταθερό $x$ παίρνουμε την ταλάντωση ενός σημείου του μέσου: όλα τα σημεία κάνουν ΑΑΤ με το ίδιο $A$ και την ίδια $T$ με την πηγή.
Το σημείο στη θέση $x$ αρχίζει να ταλαντώνεται μόλις φτάσει εκεί το κύμα, τη στιγμή $t = \frac{x}{\upsilon}$ · πριν από αυτήν μένει ακίνητο ( $y = 0$ ).
Η φάση $\varphi = 2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ μικραίνει όσο απομακρυνόμαστε από την πηγή. Δύο σημεία που απέχουν $\Delta x$ έχουν διαφορά φάσης $\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$ : για $\Delta x = \lambda$ είναι συμφασικά, για $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ σε αντίθεση φάσης.
Η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου, $\upsilon_y = \omega A\,\sigma\upsilon\nu\varphi$ , είναι άλλο μέγεθος από την ταχύτητα διάδοσης $\upsilon = \lambda f$ : η πρώτη αλλάζει συνεχώς, η δεύτερη είναι σταθερή.

Κόλπο μνήμης

«Μείον = μετά». Στο $y = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ το «μείον» σημαίνει ότι το σημείο στη θέση $x$ κάνει ό,τι έκανε η πηγή, αλλά μετά από καθυστέρηση $\frac{x}{\upsilon}$ . Άρα το κύμα πηγαίνει προς τη θετική φορά. Με «συν» στη θέση του «μείον», το κύμα τρέχει προς την αρνητική φορά.

Γρήγορος έλεγχος

Σε αρμονικό κύμα με $\lambda = 2\ m$ , δύο σημεία της διεύθυνσης διάδοσης απέχουν $0{,}5\ m$ . Η διαφορά φάσης των ταλαντώσεών τους είναι:

Στιγμιότυπο και διάγραμμα $y$ – $t$

Δύο διαφορετικές «φωτογραφίες» του ίδιου κύματος:

Στιγμιότυπο (διάγραμμα $y$ – $x$ για σταθερό $t_1$ ): δείχνει το σχήμα του μέσου εκείνη τη στιγμή. Είναι ημιτονοειδές με «περίοδο» στον χώρο το $\lambda$ και εκτείνεται μέχρι το σημείο $x = \upsilon t_1$ όπου έχει φτάσει το κύμα· πιο πέρα $y = 0$ .
Διάγραμμα $y$ – $t$ ενός σημείου (σταθερό $x_1$ ): δείχνει την ταλάντωση του σημείου. Είναι μηδέν μέχρι τη στιγμή $t = \frac{x_1}{\upsilon}$ και μετά ημιτονοειδές με περίοδο $T$ .

Στο στιγμιότυπο, το «μέτωπο» του κύματος (το πιο απομακρυσμένο σημείο που μόλις ξεκινά) κάνει ό,τι έκανε η πηγή τη στιγμή $t = 0$ : ξεκινά από τη θέση ισορροπίας προς τη θετική φορά. Η φάση της πηγής τη στιγμή $t_1$ είναι $2\pi\frac{t_1}{T}$ — όσα «μήκη κύματος» χωράνε στο στιγμιότυπο, τόσες ταλαντώσεις έχει κάνει η πηγή.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα αρμονικό κύμα περνά από τον αέρα σε άλλο μέσο όπου διαδίδεται πιο αργά. Τι συμβαίνει στη συχνότητα και στο μήκος κύματος;

Ήξερες ότι;

Το «κύμα» που κάνουν οι θεατές στις κερκίδες μελετήθηκε επιστημονικά (περιοδικό Nature, 2002): κινείται με περίπου $12\ m/s$ , δηλαδή γύρω στις $20$ θέσεις το δευτερόλεπτο, και συνήθως κάνει τον γύρο του γηπέδου δεξιόστροφα. Κανείς θεατής δεν αλλάζει θέση· «ταξιδεύει» μόνο η διαταραχή, ακριβώς όπως σε ένα μηχανικό κύμα.

Μέθοδος: ασκήσεις με την εξίσωση κύματος

Φέρε την εξίσωση στη μορφή $y = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ και διάβασε $A$ , $T$ , $\lambda$ · μετά $f = \frac{1}{T}$ και $\upsilon = \lambda f$ .
Για σημείο στη θέση $x_1$ : βρες πότε ξεκινά, $t_1 = \frac{x_1}{\upsilon}$ , και γράψε την ταλάντωσή του $y_1 = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x_1}{\lambda}\right)$ για $t \ge t_1$ .
Για την κατάσταση σε δεδομένη στιγμή: υπολόγισε πρώτα τη φάση $\varphi$ , μετά $y = A\eta\mu\varphi$ και $\upsilon_y = \omega A\sigma\upsilon\nu\varphi$ .
Σύγκρινε σημεία με $\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$ .
Για στιγμιότυπο τη στιγμή $t_1$ : το κύμα έχει φτάσει ως $x = \upsilon t_1$ και πιο πέρα $y = 0$ .

Άσκηση: Αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση $y = 0{,}2\,\eta\mu\,2\pi\left(5t - \frac{x}{2}\right)$ (S.I.). Να βρεθούν τα $A$ , $T$ , $f$ , $\lambda$ και η ταχύτητα διάδοσης.

Λύση: Συγκρίνουμε με τη γενική μορφή $y = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ :

$A = 0{,}2\ m$
$\frac{1}{T} = 5 \Rightarrow T = 0{,}2\ s$ και $f = 5\ Hz$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda = 2\ m$
$\upsilon = \lambda f = 2 \cdot 5 = 10\ m/s$

Αν το κύμα συμβάλει με το ανάκλασμά του και δημιουργηθεί στάσιμο, δύο διαδοχικοί δεσμοί θα απέχουν $\frac{\lambda}{2} = 1\ m$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ελαστική χορδή κατά τη θετική φορά του άξονα $x$ με εξίσωση $y = 0{,}05\,\eta\mu\,2\pi(10t - 2x)$ (S.I.). Η πηγή βρίσκεται στο $x = 0$ και ξεκινά να ταλαντώνεται τη στιγμή $t = 0$ .

(α) Να βρεθούν $A$ , $T$ , $\lambda$ και η ταχύτητα διάδοσης. (β) Πότε αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Κ με $x_K = 1\ m$ ; (γ) Να βρεθούν η απομάκρυνση και η ταχύτητα ταλάντωσης του Κ τη στιγμή $t = 0{,}35\ s$ . (δ) Ποια είναι η διαφορά φάσης των Κ και Λ, με $x_\Lambda = 1{,}25\ m$ ;

Δεδομένα: η εξίσωση του κύματος, $x_K = 1\ m$ , $x_\Lambda = 1{,}25\ m$ . Ζητούμενα: $A$ , $T$ , $\lambda$ , $\upsilon$ , $t_K$ , $y_K$ , $\upsilon_K$ , $\Delta\varphi$ .

Λύση:

(α) Από σύγκριση: $A = 0{,}05\ m$ , $\frac{1}{T} = 10 \Rightarrow T = 0{,}1\ s$ , $\frac{1}{\lambda} = 2 \Rightarrow \lambda = 0{,}5\ m$ , οπότε $\upsilon = \frac{\lambda}{T} = 5\ m/s$ .

(β) $t_K = \frac{x_K}{\upsilon} = \frac{1}{5} = 0{,}2\ s$ .

(γ) Τη στιγμή $0{,}35\ s > 0{,}2\ s$ το Κ ήδη ταλαντώνεται, με φάση $\varphi_K = 2\pi(10 \cdot 0{,}35 - 2 \cdot 1) = 2\pi \cdot 1{,}5 = 3\pi\ rad$ . Άρα $y_K = 0{,}05\,\eta\mu 3\pi = 0$ και

$\upsilon_K = \omega A\,\sigma\upsilon\nu 3\pi = -(2\pi \cdot 10)(0{,}05) = -\pi\ m/s \approx -3{,}14\ m/s$

Το Κ περνά από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς την αρνητική φορά, με τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης — που δεν ισούται με την ταχύτητα διάδοσης $5\ m/s$ .

(δ) $\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda} = 2\pi \cdot \frac{0{,}25}{0{,}5} = \pi\ rad$ : τα Κ, Λ ταλαντώνονται σε αντίθεση φάσης (απέχουν $\frac{\lambda}{2}$ ).

Απάντηση: $A = 0{,}05\ m$ , $T = 0{,}1\ s$ , $\lambda = 0{,}5\ m$ , $\upsilon = 5\ m/s$ · $t_K = 0{,}2\ s$ · $y_K = 0$ , $\upsilon_K = -\pi\ m/s$ · $\Delta\varphi = \pi\ rad$ .

Άσκηση (στιγμιότυπο): Η πηγή Ο εγκάρσιου αρμονικού κύματος σε χορδή αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή $t = 0$ από τη θέση ισορροπίας προς τα θετικά, με $A = 0{,}04\ m$ και $T = 0{,}2\ s$ . Το κύμα διαδίδεται με $\upsilon = 2\ m/s$ . (α) Μέχρι πού έχει φτάσει το κύμα τη στιγμή $t_1 = 0{,}5\ s$ ; (β) Πόσα μήκη κύματος περιέχει το στιγμιότυπο; (γ) Ποια είναι τότε η απομάκρυνση του σημείου Μ με $x_M = 0{,}3\ m$ ;

Λύση: $\lambda = \upsilon T = 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4\ m$ .

(α) $x = \upsilon t_1 = 2 \cdot 0{,}5 = 1\ m$ .

(β) $\frac{1}{0{,}4} = 2{,}5$ μήκη κύματος — όσες και οι ταλαντώσεις της πηγής ( $\frac{t_1}{T} = 2{,}5$ ).

(γ) Φάση του Μ: $\varphi_M = 2\pi\left(\frac{0{,}5}{0{,}2} - \frac{0{,}3}{0{,}4}\right) = 2\pi(2{,}5 - 0{,}75) = 3{,}5\pi\ rad$ . Άρα $y_M = 0{,}04\,\eta\mu(3{,}5\pi) = 0{,}04 \cdot (-1) = -0{,}04\ m$ : το Μ βρίσκεται στην αρνητική ακραία θέση.

Γρήγορος έλεγχος

Σε εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πόσος χρόνος χρειάζεται για να πάει ένα σημείο του μέσου από την ανώτερη ακραία θέση του στην κατώτερη;

Πρόκληση

Δύο σημεία, μία φωτογραφία. Σε χορδή διαδίδεται αρμονικό κύμα προς τη θετική φορά με $y = 0{,}1\,\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{0{,}4} - \frac{x}{0{,}8}\right)$ (S.I.). Τη στιγμή που το σημείο Κ ( $x_K = 0{,}2\ m$ ) βρίσκεται για πρώτη φορά στη θετική ακραία θέση, (α) ποια χρονική στιγμή είναι; (β) πού βρίσκεται και πώς κινείται το σημείο Λ με $x_\Lambda = 0{,}4\ m$ ; (γ) πόσο διάστημα έχει διανύσει ως τότε η πηγή;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$T = 0{,}4\ s$ , $\lambda = 0{,}8\ m$ , $\upsilon = 2\ m/s$ .

(α) Το Κ ξεκινά στο $t = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1\ s$ και φτάνει στο $+A$ μετά από $\frac{T}{4} = 0{,}1\ s$ : $t_1 = 0{,}2\ s$ . (Έλεγχος: $\varphi_K = 2\pi(0{,}5 - 0{,}25) = \frac{\pi}{2}$ ✓.)

(β) Το κύμα έχει φτάσει ακριβώς ως $x = \upsilon t_1 = 0{,}4\ m$ : το Λ είναι το μέτωπο, με $y_\Lambda = 0$ , και μόλις ξεκινά προς τα θετικά ( $\varphi_\Lambda = 2\pi(0{,}5 - 0{,}5) = 0$ ).

(γ) Σε $t_1 = 0{,}2\ s = \frac{T}{2}$ η πηγή έκανε μισή ταλάντωση: διάστημα $2A = 0{,}2\ m$ .

Απάντηση: $t_1 = 0{,}2\ s$ · το Λ στη θέση ισορροπίας, ξεκινά προς τα θετικά· $0{,}2\ m$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ταχύτητα διάδοσης = ταχύτητα σημείου. Το $\upsilon = \lambda f$ είναι σταθερό· το $\upsilon_y = \omega A\sigma\upsilon\nu\varphi$ μεταβάλλεται, με μέγιστο $\omega A$ .
Σημείο που «ταλαντώνεται» πριν φτάσει το κύμα. Για $t < \frac{x}{\upsilon}$ είναι $y = 0$ — έλεγξε πάντα ότι η φάση βγαίνει μη αρνητική.
Αλλαγή μέσου αλλάζει τη συχνότητα. Η $f$ μένει ίδια· αλλάζουν $\upsilon$ και $\lambda$ .
Το κύμα μεταφέρει ύλη. Μεταφέρει ενέργεια και ορμή· τα σημεία μένουν γύρω από τη θέση ισορροπίας τους.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εγκάρσια (ταλάντωση ⊥ διάδοση) και διαμήκη (ταλάντωση ∥ διάδοση)· μεταφέρουν ενέργεια, όχι ύλη.
$\upsilon = \lambda f$ : την ταχύτητα την ορίζει το μέσο, τη συχνότητα η πηγή.
$y = A\eta\mu\,2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ για $t \ge \frac{x}{\upsilon}$ · «μείον» σημαίνει διάδοση προς τα θετικά.
$\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$ : συμφασικά για $\Delta x = \lambda$ , αντίθεση φάσης για $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ .
Στιγμιότυπο ( $y$ – $x$ ) ≠ διάγραμμα $y$ – $t$ ενός σημείου.

Μηχανικά κύματα

Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής συνδέει τα τρία βασικά μεγέθη:

\upsilon = \lambda f

. Η ταχύτητα διάδοσης

\upsilon

εξαρτάται μόνο από το μέσο, η συχνότητα

f

μόνο από την πηγή — άρα όταν το κύμα αλλάζει μέσο, αλλάζει το

\lambda

, ποτέ το

f

Μηχανικά Κύματα

Μηχανικά κύματα

Πώς γεννιέται και τι μεταφέρει ένα κύμα

Διαβάζοντας την εξίσωση του κύματος

Στιγμιότυπο και διάγραμμα yyy–ttt

Μέθοδος: ασκήσεις με την εξίσωση κύματος

Μηχανικά Κύματα

Μηχανικά κύματα

Πώς γεννιέται και τι μεταφέρει ένα κύμα

Διαβάζοντας την εξίσωση του κύματος

Στιγμιότυπο και διάγραμμα yyy–ttt

Μέθοδος: ασκήσεις με την εξίσωση κύματος

Στιγμιότυπο και διάγραμμα $y$ – $t$

Στιγμιότυπο και διάγραμμα $y$ – $t$