⛸️

Στροφορμή & Διατήρηση Στροφορμής

L = mυr, Στ = ΔL/Δt, αρχή διατήρησης της στροφορμής

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί ένας κομήτης σχεδόν «σέρνεται» μακριά από τον Ήλιο και τρέχει σαν τρελός όταν περνά κοντά του; Γιατί ο παγοδρόμος στριφογυρίζει πιο γρήγορα όταν μαζεύει τα χέρια; Η απάντηση είναι ένα διατηρούμενο μέγεθος, η στροφορμή — το στροφικό «δίδυμο» της ορμής.

Στροφορμή υλικού σημείου (εξεταστέα ύλη)

Για υλικό σημείο μάζας $m$ που κινείται σε κύκλο ακτίνας $r$ με ταχύτητα $\upsilon$ , η στροφορμή ως προς το κέντρο του κύκλου είναι

$L = m\upsilon r$

με μονάδα το $kg \cdot m^2/s$ . Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς, με φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού: τα δάχτυλα κατά τη φορά περιστροφής, ο αντίχειρας δείχνει το $\vec{L}$ .

Αρχή διατήρησης της στροφορμής: αν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η στροφορμή του μένει σταθερή. Αυτό συμβαίνει όταν η δύναμη που δέχεται ένα σώμα περνά πάντα από το ίδιο σημείο — π.χ. ο πλανήτης που έλκεται από τον Ήλιο ή το σφαιρίδιο δεμένο σε νήμα που περνά από τρύπα. Στα σημεία όπου η ταχύτητα είναι κάθετη στην απόσταση από το κέντρο, $m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2$ : πιο κοντά στο κέντρο σημαίνει πιο γρήγορα.

$L = m\upsilon r, \qquad \Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}, \qquad \Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0 \ \Rightarrow\ L = \sigma\tau\alpha\theta. \ \Rightarrow\ m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2$

Ροπή και ρυθμός μεταβολής της στροφορμής

Όπως η συνισταμένη δύναμη ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής ( $\Sigma F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ ), έτσι και η συνολική εξωτερική ροπή ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής:

$\Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}$

Άρα:

Ροπή «ομόρροπη» της στροφορμής την αυξάνει, αντίρροπη τη μειώνει.
Αν $\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0$ , τότε $\Delta L = 0$ : η στροφορμή διατηρείται — είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής.

Σημαντική περίπτωση: κεντρική δύναμη, δηλαδή δύναμη που περνά πάντα από το ίδιο σημείο Ο (βαρυτική έλξη από τον Ήλιο, τάση νήματος που περνά από τρύπα). Ως προς το Ο έχει μηδενική ροπή, άρα η στροφορμή ως προς το Ο διατηρείται — ακόμη κι αν το μέτρο της ταχύτητας αλλάζει.

Γρήγορος έλεγχος

Σφαιρίδιο κινείται σε κύκλο ακτίνας $r$ με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Αν κινούνταν με την ίδια ταχύτητα σε κύκλο ακτίνας $2r$ , η στροφορμή του ως προς το κέντρο θα ήταν:

Μέθοδος: στροφορμή υλικού σημείου

Όρισε το σημείο (ή τον άξονα) ως προς το οποίο μετράς τη στροφορμή.
Σε κυκλική κίνηση ή σε σημεία όπου $\vec{\upsilon} \perp \vec{r}$ : $L = m\upsilon r$ .
Έλεγξε αν υπάρχει εξωτερική ροπή ως προς το σημείο: κεντρική δύναμη ⇒ $\Sigma\tau = 0$ ⇒ διατήρηση.
Διατήρηση: $m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2$ (στα σημεία όπου η ταχύτητα είναι κάθετη στην ακτίνα).
Η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται απαραίτητα: υπολόγισέ τη χωριστά και βρες το έργο με ΘΜΚΕ.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (στροφορμή): Σφαιρίδιο μάζας $m = 0{,}2\ kg$ κινείται κυκλικά πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο σε νήμα που περνά από μικρή τρύπα στο κέντρο της τροχιάς. Αρχικά $r_1 = 0{,}5\ m$ και $\upsilon_1 = 2\ m/s$ . Τραβάμε αργά το νήμα από κάτω, ώστε η ακτίνα να γίνει $r_2 = 0{,}25\ m$ . (α) Να βρεθεί η αρχική στροφορμή. (β) Να εξηγηθεί γιατί η στροφορμή διατηρείται και να βρεθεί η νέα ταχύτητα. (γ) Πόσο έργο προσφέραμε τραβώντας το νήμα; (δ) Πόση γίνεται η τάση του νήματος;

Λύση:

(α) $L_1 = m\upsilon_1 r_1 = 0{,}2 \cdot 2 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\ kg \cdot m^2/s$ .

(β) Βάρος και κάθετη αντίδραση αλληλοαναιρούνται, και η τάση του νήματος περνά πάντα από την τρύπα: $\Sigma\tau = 0$ ως προς τον κατακόρυφο άξονα, άρα η στροφορμή διατηρείται:

$m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2 \Rightarrow \upsilon_2 = \upsilon_1\frac{r_1}{r_2} = 2 \cdot 2 = 4\ m/s$

(γ) ΘΜΚΕ: $W = K_2 - K_1 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot (4^2 - 2^2) = 1{,}2\ J$ . Η στροφορμή διατηρείται, η κινητική ενέργεια όχι.

(δ) Η τάση παίζει ρόλο κεντρομόλου: $T_2 = \frac{m\upsilon_2^2}{r_2} = \frac{0{,}2 \cdot 16}{0{,}25} = 12{,}8\ N$ (αρχικά ήταν $T_1 = \frac{0{,}2 \cdot 4}{0{,}5} = 1{,}6\ N$ ).

Άσκηση: Η Γη (μάζα $6 \times 10^{24}\ kg$ ) περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο σε απόσταση περίπου $1{,}5 \times 10^{11}\ m$ με ταχύτητα $3 \times 10^4\ m/s$ . (α) Πόση είναι η στροφορμή της ως προς τον Ήλιο; (β) Στο περιήλιο απέχει $1{,}47 \times 10^{11}\ m$ και κινείται με $30{,}3\ km/s$ . Με πόση ταχύτητα κινείται στο αφήλιο, όπου απέχει $1{,}52 \times 10^{11}\ m$ ;

Λύση:

(α) $L = m\upsilon r = 6 \times 10^{24} \cdot 3 \times 10^4 \cdot 1{,}5 \times 10^{11} = 2{,}7 \times 10^{40}\ kg \cdot m^2/s$ .

(β) Η βαρυτική δύναμη περνά από τον Ήλιο, άρα η στροφορμή διατηρείται: $\upsilon_A = \upsilon_\Pi\frac{r_\Pi}{r_A} = 30{,}3 \cdot \frac{1{,}47}{1{,}52} \approx 29{,}3\ km/s$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Κομήτης μάζας $m = 2 \times 10^{14}\ kg$ κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Στο περιήλιο απέχει $r_\Pi = 9 \times 10^{10}\ m$ και έχει ταχύτητα $\upsilon_\Pi = 5{,}4 \times 10^4\ m/s$ · στο αφήλιο απέχει $r_A = 5{,}4 \times 10^{12}\ m$ . (α) Να εξηγήσετε γιατί η στροφορμή του ως προς τον Ήλιο διατηρείται. (β) Να βρείτε τη στροφορμή του. (γ) Να βρείτε την ταχύτητά του στο αφήλιο. (δ) Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η κινητική του ενέργεια στο περιήλιο;

Δεδομένα: $m = 2 \times 10^{14}\ kg$ , $r_\Pi = 9 \times 10^{10}\ m$ , $\upsilon_\Pi = 5{,}4 \times 10^4\ m/s$ , $r_A = 5{,}4 \times 10^{12}\ m$ . Ζητούμενα: αιτιολόγηση, $L$ , $\upsilon_A$ , $\frac{K_\Pi}{K_A}$ .

Λύση:

(α) Η μόνη δύναμη είναι η έλξη του Ήλιου, που περνά πάντα από τον Ήλιο: ροπή μηδέν ως προς αυτόν, άρα $L = \sigma\tau\alpha\theta.$

(β) Στο περιήλιο η ταχύτητα είναι κάθετη στην απόσταση: $L = m\upsilon_\Pi r_\Pi = 2 \times 10^{14} \cdot 5{,}4 \times 10^4 \cdot 9 \times 10^{10} \approx 9{,}7 \times 10^{29}\ kg \cdot m^2/s$ .

(γ) $\upsilon_A = \upsilon_\Pi\frac{r_\Pi}{r_A} = 5{,}4 \times 10^4 \cdot \frac{9 \times 10^{10}}{5{,}4 \times 10^{12}} = 900\ m/s$ .

(δ) $\frac{K_\Pi}{K_A} = \left(\frac{\upsilon_\Pi}{\upsilon_A}\right)^2 = 60^2 = 3600$ .

Απάντηση: κεντρική δύναμη, μηδενική ροπή· $L \approx 9{,}7 \times 10^{29}\ kg \cdot m^2/s$ · $\upsilon_A = 900\ m/s$ · $3600$ φορές.

Γρήγορος έλεγχος

Πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Πώς συγκρίνεται η ταχύτητά του στο περιήλιο (πλησιέστερο σημείο) με την ταχύτητα στο αφήλιο (μακρινότερο σημείο);

Ήξερες ότι;

Όταν ένα μεγάλο άστρο καταρρέει σε αστέρα νετρονίων διαμέτρου περίπου $20\ km$ , η στροφορμή του διατηρείται: είναι ο παγοδρόμος που μαζεύει τα χέρια, σε ακραία κλίμακα. Γι' αυτό οι νεαροί αστέρες νετρονίων περιστρέφονται πολύ γρήγορα. Ο πάλσαρ στο κέντρο του Νεφελώματος του Καρκίνου, απομεινάρι μιας σουπερνόβα που κατέγραψαν αστρονόμοι το 1054, κάνει περίπου 30 περιστροφές το δευτερόλεπτο.

Προσοχή στην ύλη 2026: η ροπή αδράνειας $I$ , ο θεμελιώδης νόμος $\Sigma\tau = I\alpha_{\text{γων}}$ , η στροφορμή στερεού $L = I\omega$ και η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής (§4.5, 4.6, 4.7Β, 4.9) είναι εκτός εξεταστέας ύλης. Τις βλέπεις παρακάτω ως επέκταση, για να κατανοήσεις τις αναλογίες με τη μεταφορική κίνηση. Στις Πανελλαδικές 2026 εξετάζονται οι κινήσεις και η κύλιση, η ροπή, η ισορροπία, η στροφορμή υλικού σημείου και η διατήρησή της.

Ροπή αδράνειας και ο θεμελιώδης νόμος

Η ροπή αδράνειας $I = \Sigma m_i r_i^2$ παίζει στη στροφική κίνηση τον ρόλο που παίζει η μάζα στη μεταφορική: εκφράζει την «αντίσταση» του σώματος στην αλλαγή της περιστροφής του. Εξαρτάται όχι μόνο από τη μάζα αλλά και από το πώς είναι κατανεμημένη γύρω από τον άξονα.

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης είναι ο «Νεύτωνας της περιστροφής»: $\Sigma\tau = I\alpha_{\text{γων}}$ . Αντιστοιχίες: $F \to \tau$ , $m \to I$ , $a \to \alpha_{\text{γων}}$ , $\upsilon \to \omega$ .

$\Sigma\tau = I\alpha_{\text{γων}}, \qquad L = I\omega, \qquad K_{\text{περ}} = \frac{1}{2}I\omega^2$

Στροφορμή και η διατήρησή της

Η στροφορμή $L = I\omega$ είναι το στροφικό ανάλογο της ορμής. Όταν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν ( $\Sigma\tau = 0$ ), η στροφορμή του συστήματος διατηρείται:

$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

Κλασικό παράδειγμα: ο παγοδρόμος που μαζεύει τα χέρια του μικραίνει το $I$ του, οπότε το $\omega$ του αυξάνεται και στριφογυρίζει πιο γρήγορα. Η κινητική του ενέργεια αυξάνεται — την προσφέρουν οι μύες του!

Γρήγορος έλεγχος

Παγοδρόμος περιστρέφεται με ανοιχτά χέρια και ξαφνικά τα μαζεύει κοντά στο σώμα του. Τι θα συμβεί;

Πρόκληση

Πόσο να τραβήξω το νήμα; Σφαιρίδιο μάζας $0{,}1\ kg$ κινείται κυκλικά σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο σε νήμα που περνά από τρύπα στο κέντρο. Αρχικά $r_1 = 1\ m$ και $\upsilon_1 = 1\ m/s$ . Το νήμα κόβεται αν η τάση του ξεπεράσει τα $20\ N$ . Τραβάμε αργά το νήμα από κάτω. (α) Πόσο μπορεί να μικρύνει η ακτίνα πριν κοπεί το νήμα; (β) Με τι ταχύτητα κινείται τότε; (γ) Πόσο έργο έχουμε προσφέρει;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η στροφορμή διατηρείται: $\upsilon = \upsilon_1\frac{r_1}{r} = \frac{1}{r}$ (S.I.). Η τάση είναι κεντρομόλος:

$T = \frac{m\upsilon^2}{r} = \frac{m\upsilon_1^2 r_1^2}{r^3} = \frac{0{,}1}{r^3}$

(α) $\frac{0{,}1}{r^3} = 20 \Rightarrow r^3 = 0{,}005 \Rightarrow r \approx 0{,}17\ m$ .

(β) $\upsilon = \frac{1}{0{,}17} \approx 5{,}8\ m/s$ .

(γ) $W = \Delta K = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot (5{,}8^2 - 1^2) \approx 1{,}6\ J$ .

Απάντηση: $r \approx 17\ cm$ , $\upsilon \approx 5{,}8\ m/s$ , $W \approx 1{,}6\ J$ . Η τάση αυξάνεται με το $\frac{1}{r^3}$ — γι' αυτό το τελευταίο «τράβηγμα» είναι το πιο δύσκολο.

Συνηθισμένα λάθη

Διατήρηση στροφορμής ⇒ σταθερή ταχύτητα. Διατηρείται το γινόμενο $m\upsilon r$ · αν μικραίνει το $r$ , η $\upsilon$ μεγαλώνει.
Διατήρηση στροφορμής ⇒ διατήρηση κινητικής ενέργειας. Όχι: στο σφαιρίδιο με το νήμα η $K$ αυξάνεται από το έργο της τάσης.
$L = m\upsilon r$ σε οποιοδήποτε σημείο ελλειπτικής τροχιάς. Η απλή μορφή ισχύει εκεί όπου $\vec{\upsilon} \perp \vec{r}$ (περιήλιο, αφήλιο).
Διατήρηση χωρίς έλεγχο ροπών. Πρώτα δείξε ότι $\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0$ ως προς το σημείο αναφοράς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στροφορμή υλικού σημείου: $L = m\upsilon r$ (σε $kg \cdot m^2/s$ ), κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς.
$\Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}$ : η εξωτερική ροπή μεταβάλλει τη στροφορμή.
$\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0$ ⇒ διατήρηση: $m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2$ — πιο κοντά σημαίνει πιο γρήγορα.
Κεντρικές δυνάμεις (βαρύτητα, νήμα από τρύπα) διατηρούν τη στροφορμή, όχι την κινητική ενέργεια.
Επέκταση (εκτός ύλης 2026): $L = I\omega$ και $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ .

⛸️

Στροφορμή & Διατήρηση Στροφορμής

L = mυr, Στ = ΔL/Δt, αρχή διατήρησης της στροφορμής

Γιατί με νοιάζει;

Στροφορμή υλικού σημείου (εξεταστέα ύλη)

$L = m\upsilon r$

$L = m\upsilon r, \qquad \Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}, \qquad \Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0 \ \Rightarrow\ L = \sigma\tau\alpha\theta. \ \Rightarrow\ m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2$

Ροπή και ρυθμός μεταβολής της στροφορμής

$\Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}$

Άρα:

Ροπή «ομόρροπη» της στροφορμής την αυξάνει, αντίρροπη τη μειώνει.
Αν $\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0$ , τότε $\Delta L = 0$ : η στροφορμή διατηρείται — είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής.

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: στροφορμή υλικού σημείου

Όρισε το σημείο (ή τον άξονα) ως προς το οποίο μετράς τη στροφορμή.
Σε κυκλική κίνηση ή σε σημεία όπου $\vec{\upsilon} \perp \vec{r}$ : $L = m\upsilon r$ .
Έλεγξε αν υπάρχει εξωτερική ροπή ως προς το σημείο: κεντρική δύναμη ⇒ $\Sigma\tau = 0$ ⇒ διατήρηση.
Διατήρηση: $m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2$ (στα σημεία όπου η ταχύτητα είναι κάθετη στην ακτίνα).
Η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται απαραίτητα: υπολόγισέ τη χωριστά και βρες το έργο με ΘΜΚΕ.

Λύση:

(α) $L_1 = m\upsilon_1 r_1 = 0{,}2 \cdot 2 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\ kg \cdot m^2/s$ .

$m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2 \Rightarrow \upsilon_2 = \upsilon_1\frac{r_1}{r_2} = 2 \cdot 2 = 4\ m/s$

(γ) ΘΜΚΕ: $W = K_2 - K_1 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot (4^2 - 2^2) = 1{,}2\ J$ . Η στροφορμή διατηρείται, η κινητική ενέργεια όχι.

Λύση:

(α) $L = m\upsilon r = 6 \times 10^{24} \cdot 3 \times 10^4 \cdot 1{,}5 \times 10^{11} = 2{,}7 \times 10^{40}\ kg \cdot m^2/s$ .

Λύση:

(γ) $\upsilon_A = \upsilon_\Pi\frac{r_\Pi}{r_A} = 5{,}4 \times 10^4 \cdot \frac{9 \times 10^{10}}{5{,}4 \times 10^{12}} = 900\ m/s$ .

(δ) $\frac{K_\Pi}{K_A} = \left(\frac{\upsilon_\Pi}{\upsilon_A}\right)^2 = 60^2 = 3600$ .

Απάντηση: κεντρική δύναμη, μηδενική ροπή· $L \approx 9{,}7 \times 10^{29}\ kg \cdot m^2/s$ · $\upsilon_A = 900\ m/s$ · $3600$ φορές.

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Ροπή αδράνειας και ο θεμελιώδης νόμος

$\Sigma\tau = I\alpha_{\text{γων}}, \qquad L = I\omega, \qquad K_{\text{περ}} = \frac{1}{2}I\omega^2$

Στροφορμή και η διατήρησή της

$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

Γρήγορος έλεγχος

Παγοδρόμος περιστρέφεται με ανοιχτά χέρια και ξαφνικά τα μαζεύει κοντά στο σώμα του. Τι θα συμβεί;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η στροφορμή διατηρείται: $\upsilon = \upsilon_1\frac{r_1}{r} = \frac{1}{r}$ (S.I.). Η τάση είναι κεντρομόλος:

$T = \frac{m\upsilon^2}{r} = \frac{m\upsilon_1^2 r_1^2}{r^3} = \frac{0{,}1}{r^3}$

(α) $\frac{0{,}1}{r^3} = 20 \Rightarrow r^3 = 0{,}005 \Rightarrow r \approx 0{,}17\ m$ .

(β) $\upsilon = \frac{1}{0{,}17} \approx 5{,}8\ m/s$ .

(γ) $W = \Delta K = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot (5{,}8^2 - 1^2) \approx 1{,}6\ J$ .

Συνηθισμένα λάθη

Διατήρηση στροφορμής ⇒ σταθερή ταχύτητα. Διατηρείται το γινόμενο $m\upsilon r$ · αν μικραίνει το $r$ , η $\upsilon$ μεγαλώνει.
Διατήρηση στροφορμής ⇒ διατήρηση κινητικής ενέργειας. Όχι: στο σφαιρίδιο με το νήμα η $K$ αυξάνεται από το έργο της τάσης.
$L = m\upsilon r$ σε οποιοδήποτε σημείο ελλειπτικής τροχιάς. Η απλή μορφή ισχύει εκεί όπου $\vec{\upsilon} \perp \vec{r}$ (περιήλιο, αφήλιο).
Διατήρηση χωρίς έλεγχο ροπών. Πρώτα δείξε ότι $\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0$ ως προς το σημείο αναφοράς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στροφορμή υλικού σημείου: $L = m\upsilon r$ (σε $kg \cdot m^2/s$ ), κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς.
$\Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}$ : η εξωτερική ροπή μεταβάλλει τη στροφορμή.
$\Sigma\tau_{\varepsilon\xi} = 0$ ⇒ διατήρηση: $m\upsilon_1 r_1 = m\upsilon_2 r_2$ — πιο κοντά σημαίνει πιο γρήγορα.
Κεντρικές δυνάμεις (βαρύτητα, νήμα από τρύπα) διατηρούν τη στροφορμή, όχι την κινητική ενέργεια.
Επέκταση (εκτός ύλης 2026): $L = I\omega$ και $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ .