🌀

Απλή Αρμονική Ταλάντωση: Κινηματική

Περιοδικά φαινόμενα, εξισώσεις x–υ–α, αρχική φάση

Γιατί με νοιάζει;

Η ανάρτηση του αυτοκινήτου, ένα κτίριο που «λικνίζεται» στον σεισμό, ο κρύσταλλος χαλαζία που πάλλεται 32.768 φορές το δευτερόλεπτο μέσα σε ένα ρολόι χειρός: όλα ακολουθούν τον ίδιο μαθηματικό κανόνα, την απλή αρμονική ταλάντωση. Μάθε την μία φορά και θα την ξαναβρείς στα κύματα, στην επαγωγή και στο εναλλασσόμενο ρεύμα. Και οι ταλαντώσεις είναι από τα πιο συχνά θέματα Γ και Δ των Πανελλαδικών.

Περιοδικά φαινόμενα

Ένα φαινόμενο λέγεται περιοδικό όταν επαναλαμβάνεται ακριβώς ίδιο σε ίσα χρονικά διαστήματα: η περιστροφή της Γης, οι δείκτες του ρολογιού, ο παλμός της καρδιάς, ένα σώμα που πηγαινοέρχεται δεμένο σε ελατήριο.

Περίοδος $T$ : ο χρόνος για μία πλήρη επανάληψη. Αν σε χρόνο $t$ γίνονται $N$ επαναλήψεις, $T = \frac{t}{N}$ (μονάδα $1\ s$ ).
Συχνότητα $f$ : ο αριθμός επαναλήψεων στη μονάδα του χρόνου, $f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$ (μονάδα $1\ Hz = 1\ s^{-1}$ ).
Γωνιακή συχνότητα $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (μονάδα $1\ rad/s$ ): πόσα ακτίνια «διανύει» η φάση ανά δευτερόλεπτο.

Ειδική περίπτωση περιοδικής κίνησης είναι η ταλάντωση: παλινδρομική κίνηση ανάμεσα σε δύο ακραίες θέσεις, γύρω από μια θέση ισορροπίας.

Τι είναι η ΑΑΤ

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όταν κινείται παλινδρομικά γύρω από τη θέση ισορροπίας του και η απομάκρυνσή του είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου: $x = A\eta\mu(\omega t)$ (με $t = 0$ στη θέση ισορροπίας, κινούμενο κατά τη θετική φορά).

Τα βασικά μεγέθη:

Πλάτος $A$ : η μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας
Περίοδος $T$ : ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης, συχνότητα $f = \frac{1}{T}$
Γωνιακή συχνότητα $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

Η ΑΑΤ είναι το πιο σημαντικό περιοδικό φαινόμενο των Πανελληνίων — σχεδόν κάθε χρονιά υπάρχει θέμα πάνω της!

Η ΑΑΤ ως προβολή ομαλής κυκλικής κίνησης

Οι εξισώσεις της ΑΑΤ βγαίνουν από μια έξυπνη παρατήρηση: η προβολή ενός σημείου που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση πάνω σε μια διάμετρο εκτελεί ΑΑΤ.

Πάρε σημείο Σ σε κύκλο ακτίνας $A$ με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ , που τη στιγμή $t = 0$ περνά από τον οριζόντιο άξονα. Τη στιγμή $t$ η επιβατική ακτίνα έχει στραφεί κατά γωνία $\theta = \omega t$ , οπότε η προβολή του στον κατακόρυφο άξονα απέχει από το κέντρο

$x = A\,\eta\mu(\omega t)$

Η ταχύτητα του Σ έχει μέτρο $\upsilon_\Sigma = \omega A$ και είναι εφαπτόμενη στον κύκλο· η προβολή της δίνει $\upsilon = \omega A\,\sigma\upsilon\nu(\omega t)$ . Η κεντρομόλος επιτάχυνση έχει μέτρο $\omega^2 A$ και δείχνει προς το κέντρο· η προβολή της δίνει $\alpha = -\omega^2 A\,\eta\mu(\omega t) = -\omega^2 x$ .

Γι' αυτό το $\omega$ λέγεται γωνιακή συχνότητα: στην ΑΑΤ δεν στρέφεται τίποτα, αλλά είναι η γωνιακή ταχύτητα του «φανταστικού» κινητού στον κύκλο.

Δες το σώμα στο ελατήριο να ταλαντώνεται και το γράφημα x–t να «γράφει» ημίτονο: στα άκρα (x = ±A) η ταχύτητα μηδενίζεται, ενώ στη θέση ισορροπίας το σώμα περνά με μέγιστη ταχύτητα.

$x = A\eta\mu(\omega t), \quad \upsilon = \upsilon_{max}\sigma\upsilon\nu(\omega t), \quad \alpha = -\alpha_{max}\eta\mu(\omega t)$

$\upsilon_{max} = \omega A, \quad \alpha_{max} = \omega^2 A, \quad \alpha = -\omega^2 x$

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου έναν σκύλο δεμένο με λάστιχο σε έναν πάσσαλο, που είναι η θέση ισορροπίας. Όσο πιο μακριά πάει, τόσο πιο δυνατά τον τραβάει πίσω: $\alpha = -\omega^2 x$ , πάντα προς τον πάσσαλο. Στα άκρα σταματά για μια στιγμή ( $\upsilon = 0$ ) και δέχεται το πιο δυνατό τράβηγμα ( $|\alpha| = \alpha_{max}$ ). Όταν περνά από τον πάσσαλο, το τράβηγμα μηδενίζεται ( $\alpha = 0$ ) και τρέχει με τη μέγιστη ταχύτητα.

Αρχική φάση: πού βρίσκεται το σώμα τη στιγμή $t = 0$

Στη γενική περίπτωση γράφουμε $x = A\eta\mu(\omega t + \varphi_0)$ , όπου $\varphi_0$ η αρχική φάση. Στην εξεταστέα ύλη χρειάζονται δύο τιμές:

$\varphi_0 = 0$ : στο $t = 0$ το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας ( $x = 0$ ) κινούμενο προς τη θετική φορά.
$\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$ : στο $t = 0$ το σώμα βρίσκεται στη θετική ακραία θέση ( $x = +A$ ) με $\upsilon = 0$ — π.χ. το εκτρέπουμε και το αφήνουμε ελεύθερο. Γι' αυτό διαλέγουμε συνήθως τη θετική φορά προς την πλευρά της αρχικής εκτροπής.

Η ταχύτητα και η επιτάχυνση «κληρονομούν» την ίδια φάση:

$\upsilon = \omega A\,\sigma\upsilon\nu(\omega t + \varphi_0), \qquad \alpha = -\omega^2 A\,\eta\mu(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x$

Η ταχύτητα προηγείται της απομάκρυνσης κατά $\frac{\pi}{2}$ , ενώ η επιτάχυνση είναι σε αντίθεση φάσης με την απομάκρυνση: δείχνει πάντα προς τη θέση ισορροπίας. Η φάση $\omega t + \varphi_0$ μετριέται σε rad — ρύθμισε ανάλογα το κομπιουτεράκι!

Γρήγορος έλεγχος

Εκτρέπουμε σώμα δεμένο σε ελατήριο κατά $A$ προς τη θετική φορά και το αφήνουμε ελεύθερο τη στιγμή $t = 0$ . Ποια είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης;

Διαγράμματα και διαφορές φάσης

Τα διαγράμματα $x$ – $t$ , $\upsilon$ – $t$ , $\alpha$ – $t$ είναι ημιτονοειδή με την ίδια περίοδο $T$ και διαφορετικά πλάτη ( $A$ , $\omega A$ , $\omega^2 A$ ):

Η ταχύτητα προηγείται της απομάκρυνσης κατά $\frac{\pi}{2}$ : μηδενίζεται στις ακραίες θέσεις και γίνεται μέγιστη (κατά μέτρο) στη θέση ισορροπίας.
Η επιτάχυνση είναι σε αντίθεση φάσης με την απομάκρυνση: $\alpha = -\omega^2 x$ . Όταν το $x$ είναι θετικό, η $\alpha$ είναι αρνητική, και αντίστροφα.

Κανόνας προσήμων: το πρόσημο της $\alpha$ είναι πάντα αντίθετο του πρόσημου του $x$ . Το πρόσημο της $\upsilon$ το δίνει μόνο η φορά κίνησης. Όταν το σώμα πλησιάζει τη θέση ισορροπίας, $\upsilon$ και $\alpha$ είναι ομόσημες (επιταχύνεται)· όταν απομακρύνεται, είναι ετερόσημες (επιβραδύνεται).

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα που εκτελεί ΑΑΤ περνά από τη θέση $x = +\frac{A}{2}$ κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας. Τι πρόσημα έχουν εκείνη τη στιγμή η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του;

Ταχύτητα σε συνάρτηση με τη θέση

Από τις $x = A\eta\mu(\omega t + \varphi_0)$ και $\upsilon = \omega A\sigma\upsilon\nu(\omega t + \varphi_0)$ , με την ταυτότητα $\eta\mu^2\theta + \sigma\upsilon\nu^2\theta = 1$ :

$\frac{x^2}{A^2} + \frac{\upsilon^2}{\omega^2 A^2} = 1 \quad\Rightarrow\quad \upsilon = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$

Η σχέση δεν περιέχει τον χρόνο: αν ξέρεις τη θέση, ξέρεις το μέτρο της ταχύτητας. Το πρόσημο το αποφασίζει η φορά κίνησης. Ομοίως $\alpha = -\omega^2 x$ δίνει την επιτάχυνση απευθείας από τη θέση. (Στο επόμενο κεφάλαιο η ίδια σχέση θα βγει και από τη διατήρηση της ενέργειας.)

Μέθοδος: κινηματική της ΑΑΤ

Διάβασε την εξίσωση: σύγκρινε με $x = A\eta\mu(\omega t + \varphi_0)$ και γράψε $A$ , $\omega$ , $\varphi_0$ . Βρες $T = \frac{2\pi}{\omega}$ και $f = \frac{\omega}{2\pi}$ .
Αρχική φάση από τις αρχικές συνθήκες: στο $t = 0$ θέση ισορροπίας με $\upsilon > 0$ δίνει $\varphi_0 = 0$ · θετική ακραία θέση δίνει $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$ . Διάλεξε τη θετική φορά ώστε να πέσεις σε μία από τις δύο.
Μέγιστες τιμές: $\upsilon_{max} = \omega A$ (θέση ισορροπίας), $\alpha_{max} = \omega^2 A$ (ακραίες θέσεις).
Τιμές σε δεδομένη στιγμή: υπολόγισε πρώτα τη φάση $\omega t + \varphi_0$ σε rad και μετά ημίτονο/συνημίτονο.
Χρόνος μεταξύ θέσεων: λύσε την τριγωνομετρική εξίσωση και κράτα τη μικρότερη λύση που ταιριάζει με τη φορά κίνησης. Χρήσιμοι χρόνοι από τη θέση ισορροπίας: έως $\frac{A}{2}$ σε $\frac{T}{12}$ , έως $\frac{A\sqrt{2}}{2}$ σε $\frac{T}{8}$ , έως $A$ σε $\frac{T}{4}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα εκτελεί ΑΑΤ με πλάτος $A = 0{,}2\ m$ και $\omega = 5\ rad/s$ . Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητά του;

Άσκηση: Σώμα μάζας $m = 0{,}5\ kg$ εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση $x = 0{,}1\,\eta\mu(20t)$ (S.I.). Να βρεθούν: (α) η σταθερά επαναφοράς $D$ , (β) η μέγιστη ταχύτητα και η μέγιστη επιτάχυνση, (γ) ο ελάχιστος χρόνος για να πάει το σώμα από τη θέση ισορροπίας στη θέση $x = +0{,}05\ m$ , (δ) η ταχύτητα στη θέση αυτή.

Λύση: Από σύγκριση με $x = A\eta\mu(\omega t)$ : $A = 0{,}1\ m$ και $\omega = 20\ rad/s$ .

(α) $D = m\omega^2 = 0{,}5 \cdot 400 = 200\ N/m$ .

(β) $\upsilon_{max} = \omega A = 20 \cdot 0{,}1 = 2\ m/s$ και $\alpha_{max} = \omega^2 A = 400 \cdot 0{,}1 = 40\ m/s^2$ .

(γ) $0{,}05 = 0{,}1\,\eta\mu(20t) \Rightarrow \eta\mu(20t) = \frac{1}{2}$ . Η πρώτη θετική λύση είναι $20t = \frac{\pi}{6}$ , άρα $t = \frac{\pi}{120}\ s \approx 0{,}026\ s$ . Αφού $T = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\ s$ , ο χρόνος είναι $\frac{T}{12}$ — όχι $\frac{T}{8}$ , γιατί η κίνηση δεν είναι ομαλή.

(δ) $\upsilon = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 20\sqrt{0{,}01 - 0{,}0025} = 20\sqrt{0{,}0075} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\ m/s$ , θετική αφού το σώμα κινείται προς τη θετική φορά.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Σώμα εκτελεί ΑΑΤ και κάνει $20$ πλήρεις ταλαντώσεις σε $10\ s$ . Η απόσταση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις είναι $0{,}4\ m$ . Τη στιγμή $t = 0$ το σώμα βρίσκεται στη θετική ακραία θέση. (α) Να βρείτε $T$ , $f$ , $\omega$ και $A$ . (β) Να γράψετε τις εξισώσεις $x(t)$ , $\upsilon(t)$ , $\alpha(t)$ . (γ) Να βρείτε θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση τη στιγμή $t_1 = \frac{1}{24}\ s$ .

Δεδομένα: $N = 20$ σε $t = 10\ s$ , απόσταση ακραίων θέσεων $2A = 0{,}4\ m$ , $x(0) = +A$ . Ζητούμενα: $T$ , $f$ , $\omega$ , $A$ , οι εξισώσεις κίνησης, $x(t_1)$ , $\upsilon(t_1)$ , $\alpha(t_1)$ .

Λύση:

(α) $T = \frac{t}{N} = \frac{10}{20} = 0{,}5\ s$ , $f = \frac{1}{T} = 2\ Hz$ , $\omega = 2\pi f = 4\pi\ rad/s$ . Οι ακραίες θέσεις απέχουν $2A$ , άρα $A = 0{,}2\ m$ .

(β) Στο $t = 0$ είναι $x = +A$ , άρα $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$ . Με $\upsilon_{max} = \omega A = 0{,}8\pi\ m/s$ και $\alpha_{max} = \omega^2 A = 3{,}2\pi^2\ m/s^2$ :

$x = 0{,}2\,\eta\mu\left(4\pi t + \frac{\pi}{2}\right), \quad \upsilon = 0{,}8\pi\,\sigma\upsilon\nu\left(4\pi t + \frac{\pi}{2}\right), \quad \alpha = -3{,}2\pi^2\,\eta\mu\left(4\pi t + \frac{\pi}{2}\right)\ (S.I.)$

(γ) Φάση: $4\pi \cdot \frac{1}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3}$ . Τότε $x = 0{,}2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0{,}1\sqrt{3} \approx 0{,}17\ m$ , $\upsilon = 0{,}8\pi \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -0{,}4\pi \approx -1{,}26\ m/s$ και $\alpha = -\omega^2 x = -16\pi^2 \cdot 0{,}1\sqrt{3} \approx -27{,}4\ m/s^2$ .

Απάντηση: $T = 0{,}5\ s$ , $f = 2\ Hz$ , $\omega = 4\pi\ rad/s$ , $A = 0{,}2\ m$ · τη στιγμή $t_1$ το σώμα βρίσκεται στο $x \approx 0{,}17\ m$ και κινείται προς τη θέση ισορροπίας ( $\upsilon < 0$ ) επιταχυνόμενο ( $\alpha < 0$ , ομόσημη της $\upsilon$ ).

Άσκηση: Σώμα εκτελεί ΑΑΤ με περίοδο $T = 1{,}2\ s$ και πλάτος $A = 0{,}1\ m$ . Να βρεθεί ο ελάχιστος χρόνος για να πάει από τη θέση $x = -\frac{A}{2}$ στη θέση $x = +\frac{A}{2}$ , καθώς και η μέση ταχύτητα σε αυτή τη μετακίνηση.

Λύση: Με $x = A\eta\mu\phi$ , η θέση $-\frac{A}{2}$ αντιστοιχεί σε φάση $\phi_1 = -\frac{\pi}{6}$ και η $+\frac{A}{2}$ σε $\phi_2 = +\frac{\pi}{6}$ (κίνηση προς τα θετικά μέσα από τη θέση ισορροπίας). Άρα $\Delta\phi = \frac{\pi}{3}$ και

$\Delta t = \frac{\Delta\phi}{\omega} = \frac{\pi/3}{2\pi/T} = \frac{T}{6} = 0{,}2\ s$

Η μετατόπιση είναι $A = 0{,}1\ m$ , άρα $\upsilon_{\mu\varepsilon\sigma\eta} = \frac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5\ m/s$ . Σύγκρινε με $\upsilon_{max} = \omega A = \frac{2\pi}{1{,}2} \cdot 0{,}1 \approx 0{,}52\ m/s$ : κοντά στη θέση ισορροπίας το σώμα κινείται σχεδόν με τη μέγιστη ταχύτητα, γι' αυτό διανύει το μεσαίο κομμάτι τόσο γρήγορα. Για τη διαδρομή από $\frac{A}{2}$ έως $A$ (ίδιο μήκος $\frac{A}{2}$ με το μισό του παραπάνω) χρειάζεται επίσης $\frac{T}{6}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σώματα εκτελούν ΑΑΤ με το ίδιο πλάτος. Το σώμα Β έχει διπλάσια συχνότητα από το σώμα Α. Πόσος είναι ο λόγος $\frac{\alpha_{max,B}}{\alpha_{max,A}}$ των μέγιστων επιταχύνσεων;

Ήξερες ότι;

Ο κρύσταλλος χαλαζία ενός ρολογιού χειρός ταλαντώνεται με συχνότητα $32\,768\ Hz$ , που είναι ακριβώς $2^{15}$ . Ένα απλό ψηφιακό κύκλωμα υποδιπλασιάζει τη συχνότητα $15$ φορές στη σειρά και καταλήγει σε ακριβώς $1\ Hz$ : έναν παλμό το δευτερόλεπτο για τον δείκτη.

Πρόκληση

Μετατόπιση ή διάστημα; Σώμα εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση $x = 0{,}1\,\eta\mu(10\pi t)$ (S.I.). Να βρεις (α) την πρώτη στιγμή $t_1 > 0$ κατά την οποία $\upsilon = -\frac{\upsilon_{max}}{2}$ , (β) τη θέση του τότε, (γ) το διάστημα που έχει διανύσει από το $t = 0$ ως το $t_1$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$\omega = 10\pi\ rad/s$ , $A = 0{,}1\ m$ , $\upsilon = \pi\,\sigma\upsilon\nu(10\pi t)$ και $\upsilon_{max} = \pi\ m/s$ .

(α) $\sigma\upsilon\nu(10\pi t) = -\frac{1}{2}$ . Η πρώτη θετική λύση είναι $10\pi t_1 = \frac{2\pi}{3}$ , άρα $t_1 = \frac{1}{15}\ s$ . (Η λύση $\frac{\pi}{3}$ δίνει $+\frac{1}{2}$ , όχι $-\frac{1}{2}$ .)

(β) $x = 0{,}1\,\eta\mu\frac{2\pi}{3} = 0{,}05\sqrt{3} \approx 0{,}087\ m$ : το σώμα έχει ήδη φτάσει στο $+A$ και γυρίζει πίσω.

(γ) Πήγε από $0$ σε $A = 0{,}1\ m$ και επέστρεψε στο $0{,}087\ m$ : $s = 0{,}1 + (0{,}1 - 0{,}087) \approx 0{,}113\ m$ , ενώ η μετατόπιση είναι μόνο $0{,}087\ m$ .

Απάντηση: $t_1 = \frac{1}{15}\ s$ , $x \approx 8{,}7\ cm$ , $s \approx 11{,}3\ cm$ . Όταν ανάμεσα στις δύο στιγμές υπάρχει ακραία θέση, το διάστημα δεν είναι $|\Delta x|$ .

Συνηθισμένα λάθη

Μοίρες αντί για rad. Η φάση είναι σε rad: $\eta\mu(10t)$ για $t = 0{,}1\ s$ σημαίνει $\eta\mu(1\ rad)$ , όχι $\eta\mu 1°$ .
Χρόνοι μοιρασμένοι γραμμικά. Από $x = 0$ σε $x = \frac{A}{2}$ χρειάζεται $\frac{T}{12}$ , όχι $\frac{T}{8}$ — λύσε την τριγωνομετρική εξίσωση.
Πρόσημο ταχύτητας από τη θέση. Το $x > 0$ δεν σημαίνει $\upsilon > 0$ · η ταχύτητα παίρνει το πρόσημο της φοράς κίνησης, η επιτάχυνση το αντίθετο της θέσης.
Πλάτος = απόσταση ακραίων θέσεων. Οι ακραίες θέσεις απέχουν $2A$ · σε μία περίοδο το σώμα διανύει $4A$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Περιοδικό φαινόμενο: $T = \frac{t}{N}$ , $f = \frac{1}{T}$ , $\omega = 2\pi f$ .
ΑΑΤ = προβολή ομαλής κυκλικής κίνησης: $x = A\eta\mu(\omega t + \varphi_0)$ , $\upsilon = \omega A\sigma\upsilon\nu(\omega t + \varphi_0)$ , $\alpha = -\omega^2 x$ .
Αρχική φάση $\varphi_0 = 0$ (θέση ισορροπίας, $\upsilon > 0$ ) ή $\frac{\pi}{2}$ (θετική ακραία θέση).
$\upsilon_{max} = \omega A$ στη θέση ισορροπίας, $\alpha_{max} = \omega^2 A$ στις ακραίες θέσεις, $\upsilon = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$ .
Η $\upsilon$ προηγείται του $x$ κατά $\frac{\pi}{2}$ · η $\alpha$ είναι σε αντίθεση φάσης με το $x$ .

Περιοδικά φαινόμενα

Περίοδος

T

: ο χρόνος για μία πλήρη επανάληψη. Αν σε χρόνο

t

γίνονται

N

επαναλήψεις,

T = \frac{t}{N}

(μονάδα

1\ s

Συχνότητα

f

: ο αριθμός επαναλήψεων στη μονάδα του χρόνου,

f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}

(μονάδα

1\ Hz = 1\ s^{-1}

Γωνιακή συχνότητα

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

(μονάδα

1\ rad/s

): πόσα ακτίνια «διανύει» η φάση ανά δευτερόλεπτο.

Τι είναι η ΑΑΤ

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όταν κινείται παλινδρομικά γύρω από τη θέση ισορροπίας του και η απομάκρυνσή του είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου:

x = A\eta\mu(\omega t)

(με

t = 0

στη θέση ισορροπίας, κινούμενο κατά τη θετική φορά).

Τα βασικά μεγέθη:

Πλάτος

A

: η μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας

Περίοδος

T

: ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης, συχνότητα

f = \frac{1}{T}

Γωνιακή συχνότητα

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

Η ΑΑΤ είναι το πιο σημαντικό περιοδικό φαινόμενο των Πανελληνίων — σχεδόν κάθε χρονιά υπάρχει θέμα πάνω της!

Απλή Αρμονική Ταλάντωση: Κινηματική

Περιοδικά φαινόμενα

Τι είναι η ΑΑΤ

Η ΑΑΤ ως προβολή ομαλής κυκλικής κίνησης

Αρχική φάση: πού βρίσκεται το σώμα τη στιγμή t=0t = 0t=0

Διαγράμματα και διαφορές φάσης

Ταχύτητα σε συνάρτηση με τη θέση

Μέθοδος: κινηματική της ΑΑΤ

Απλή Αρμονική Ταλάντωση: Κινηματική

Περιοδικά φαινόμενα

Τι είναι η ΑΑΤ

Η ΑΑΤ ως προβολή ομαλής κυκλικής κίνησης

Αρχική φάση: πού βρίσκεται το σώμα τη στιγμή t=0t = 0t=0

Διαγράμματα και διαφορές φάσης

Ταχύτητα σε συνάρτηση με τη θέση

Μέθοδος: κινηματική της ΑΑΤ

Αρχική φάση: πού βρίσκεται το σώμα τη στιγμή $t = 0$

Αρχική φάση: πού βρίσκεται το σώμα τη στιγμή $t = 0$