🔋

ΑΑΤ: Ενέργεια Ταλάντωσης

U = ½Dx², K = ½mυ², E = ½DA², διατήρηση ενέργειας

Γιατί με νοιάζει;

Στο τραμπολίνο, στο μπάντζι τζάμπινγκ ή σε ένα σώμα σε ελατήριο, η ενέργεια αλλάζει συνεχώς μορφή, αλλά το «ταμείο» μένει σταθερό. Με μία εξίσωση ενέργειας βρίσκεις πλάτος, ταχύτητα σε οποιαδήποτε θέση και σημεία όπου $K = U$ — χωρίς να λύσεις καμία τριγωνομετρική εξίσωση. Είναι το πιο γρήγορο εργαλείο στα ερωτήματα των Θεμάτων Γ και Δ.

Η ενέργεια της ταλάντωσης

Η ενέργεια «ταξιδεύει» συνεχώς ανάμεσα σε δυναμική ενέργεια ταλάντωσης $U = \frac{1}{2}Dx^2$ και κινητική $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$ , ενώ το άθροισμά τους μένει σταθερό (αμείωτη ταλάντωση):

$E = K + U = \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$

Στα άκρα όλη η ενέργεια είναι δυναμική, στη θέση ισορροπίας όλη κινητική. Κλασική ερώτηση: πού ισχύει $K = U$ ; Από $\frac{1}{2}Dx^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}DA^2$ προκύπτει $x = \pm\frac{A\sqrt{2}}{2}$ .

Απόδειξη: από πού βγαίνει το $U = \frac{1}{2}Dx^2$

Η δύναμη επαναφοράς $\Sigma F = -Dx$ είναι συντηρητική. Για να πάει το σώμα από τη θέση ισορροπίας στη θέση $x$ , το έργο της ισούται με το (αρνητικό) εμβαδόν του τριγώνου στο διάγραμμα $\Sigma F$ – $x$ :

$W = -\frac{1}{2}Dx \cdot x = -\frac{1}{2}Dx^2 \quad\Rightarrow\quad U = -W = \frac{1}{2}Dx^2$

Επαλήθευση με τις εξισώσεις κίνησης ( $D = m\omega^2$ ):

$K + U = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sigma\upsilon\nu^2(\omega t) + \frac{1}{2}m\omega^2A^2\eta\mu^2(\omega t) = \frac{1}{2}DA^2$

Η ολική ενέργεια ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους. Στο διάγραμμα $U$ – $x$ η $U$ είναι παραβολή, η $K$ ανεστραμμένη παραβολή, και το άθροισμά τους οριζόντια ευθεία.

$U = \frac{1}{2}Dx^2, \qquad K = \frac{1}{2}m\upsilon^2 = \frac{1}{2}D(A^2 - x^2), \qquad E = \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$

Ταχύτητα σε τυχαία θέση

Από τη διατήρηση της ενέργειας ταλάντωσης $\frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon^2 + \frac{1}{2}Dx^2$ και $D = m\omega^2$ προκύπτει μια σχέση που δεν χρειάζεται τον χρόνο:

$\upsilon = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$

Το πρόσημο το καθορίζει η φορά κίνησης τη δεδομένη στιγμή. Αντίστοιχα $K = \frac{1}{2}D(A^2 - x^2)$ και $U = \frac{1}{2}Dx^2$ : ο λόγος $\frac{U}{E} = \frac{x^2}{A^2}$ αλλάζει με το τετράγωνο της απομάκρυνσης.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα εκτελεί ΑΑΤ πλάτους $A$ . Όταν βρίσκεται στη θέση $x = \frac{A}{2}$ , ποιο κλάσμα της ολικής ενέργειας είναι κινητική;

Μέθοδος: η ενεργειακή μέθοδος στην ΑΑΤ

Γράψε τη διατήρηση ενέργειας ταλάντωσης (ΑΔΕΤ): $\frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon^2 + \frac{1}{2}Dx^2$ .
Πλάτος από ένα ζεύγος $(x, \upsilon)$ : $A = \sqrt{x^2 + \frac{\upsilon^2}{\omega^2}}$ . Αν το σώμα ξεκινά από τη θέση ισορροπίας με $\upsilon_0$ : $A = \frac{\upsilon_0}{\omega}$ .
Λόγοι ενεργειών: $\frac{U}{E} = \frac{x^2}{A^2}$ και $\frac{K}{E} = 1 - \frac{x^2}{A^2}$ . Για $K = \lambda U$ : $x = \pm\frac{A}{\sqrt{\lambda + 1}}$ .
Προσοχή σε κατακόρυφο ελατήριο: το $U = \frac{1}{2}Dx^2$ (μετρημένο από τη θέση ισορροπίας) αντικαθιστά μαζί ελαστική και βαρυτική ενέργεια. Αν ζητηθεί η ελαστική ενέργεια ή το έργο της δύναμης του ελατηρίου, γύρνα στην παραμόρφωση από το φυσικό μήκος: $U_{\epsilon\lambda} = \frac{1}{2}k(\Delta\ell + x)^2$ .

Άσκηση (τύπου Πανελληνίων): Σώμα μάζας $m = 1\ kg$ δένεται σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς $k = 100\ N/m$ και εκτελεί ΑΑΤ πλάτους $A = 0{,}1\ m$ . Να βρεθούν: (α) η γωνιακή συχνότητα και η περίοδος, (β) η ολική ενέργεια, (γ) η μέγιστη ταχύτητα.

Λύση:

(α) $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10\ rad/s$ και $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{5}\ s$ .

(β) $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}5\ J$ .

(γ) Από $E = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$ : $\upsilon_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = 1\ m/s$ (ή απευθείας $\upsilon_{max} = \omega A = 10 \cdot 0{,}1 = 1\ m/s$ ).

Άσκηση: Σώμα μάζας $m = 2\ kg$ είναι δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο $k = 200\ N/m$ και εκτελεί ΑΑΤ. Όταν περνά από τη θέση $x = 0{,}06\ m$ , έχει ταχύτητα μέτρου $0{,}8\ m/s$ . Να βρεθούν: (α) η ολική ενέργεια και το πλάτος, (β) η μέγιστη ταχύτητα, (γ) οι θέσεις όπου $K = 3U$ .

Λύση:

(α) $E = \frac{1}{2}m\upsilon^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}64 + \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}0036 = 0{,}64 + 0{,}36 = 1\ J$ . Από $E = \frac{1}{2}kA^2$ : $A^2 = \frac{2 \cdot 1}{200} = 0{,}01$ , άρα $A = 0{,}1\ m$ .

(β) $\upsilon_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = 1\ m/s$ (ή $\omega A = 10 \cdot 0{,}1$ ).

(γ) $K = 3U \Rightarrow E = 4U \Rightarrow \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}kA^2 \Rightarrow x = \pm\frac{A}{2} = \pm 0{,}05\ m$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Σώμα μάζας $m = 1\ kg$ ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου $k = 100\ N/m$ . Τη στιγμή $t = 0$ του δίνουμε ταχύτητα $\upsilon_0 = \sqrt{3}\ m/s$ προς τα κάτω. Θετική φορά προς τα κάτω, $g = 10\ m/s^2$ . (α) Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης. (β) Να γράψετε την $x(t)$ . (γ) Να βρείτε το έργο της δύναμης του ελατηρίου από τη θέση ισορροπίας μέχρι την κατώτατη θέση.

Δεδομένα: $m = 1\ kg$ , $k = 100\ N/m$ , $\upsilon_0 = \sqrt{3}\ m/s$ στη θέση ισορροπίας, $g = 10\ m/s^2$ . Ζητούμενα: $A$ , $E$ , $x(t)$ , $W_{F_{\epsilon\lambda}}$ .

Λύση:

(α) $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10\ rad/s$ . Στη θέση ισορροπίας $\upsilon_0 = \upsilon_{max} = \omega A$ , άρα $A = \frac{\sqrt{3}}{10} \approx 0{,}17\ m$ . $E = \frac{1}{2}m\upsilon_0^2 = 1{,}5\ J$ (έλεγχος: $\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}03 = 1{,}5\ J$ ✓).

(β) Στο $t = 0$ θέση ισορροπίας με $\upsilon > 0$ , άρα $\varphi_0 = 0$ : $x = 0{,}1\sqrt{3}\,\eta\mu(10t)$ (S.I.).

(γ) Θέση ισορροπίας: $\Delta\ell = \frac{mg}{k} = 0{,}1\ m$ . Το έργο της δύναμης του ελατηρίου είναι μείον τη μεταβολή της ελαστικής ενέργειας:

$W_{F_{\epsilon\lambda}} = -\left[\frac{1}{2}k(\Delta\ell + A)^2 - \frac{1}{2}k\Delta\ell^2\right] = -\left(k\Delta\ell A + \frac{1}{2}kA^2\right) = -(1{,}73 + 1{,}5) \approx -3{,}23\ J$

Έλεγχος με ΘΜΚΕ: $\Delta K = -1{,}5\ J = W_B + W_{F_{\epsilon\lambda}} = mgA + W_{F_{\epsilon\lambda}} = 1{,}73 + W_{F_{\epsilon\lambda}}$ ✓.

Απάντηση: $A = 0{,}1\sqrt{3}\ m$ , $E = 1{,}5\ J$ , $x = 0{,}1\sqrt{3}\,\eta\mu(10t)$ , $W_{F_{\epsilon\lambda}} \approx -3{,}23\ J$ — όχι $-1{,}5\ J$ : η ενέργεια ταλάντωσης δεν είναι η ελαστική ενέργεια.

Γρήγορος έλεγχος

Σύστημα μάζας–ελατηρίου ταλαντώνεται με πλάτος $A$ . Αν το θέσουμε ξανά σε ταλάντωση με πλάτος $2A$ , τότε:

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα εκτελεί ΑΑΤ. Τη στιγμή που το μέτρο της ταχύτητάς του είναι $\frac{\upsilon_{max}}{2}$ , ο λόγος $\frac{U}{K}$ της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια ταλάντωσης είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σώματα με μάζες $m$ και $2m$ είναι δεμένα σε όμοια ελατήρια σταθεράς $k$ και ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος $A$ . Τι ισχύει για τις ενέργειες ταλάντωσης και τις μέγιστες ταχύτητες;

Ήξερες ότι;

Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλαντώνονται με διπλάσια συχνότητα από το ίδιο το σώμα. Επειδή $K = E\,\sigma\upsilon\nu^2(\omega t) = \frac{E}{2}\left[1 + \sigma\upsilon\nu(2\omega t)\right]$ , η $K$ γίνεται μέγιστη δύο φορές σε κάθε περίοδο (σε κάθε πέρασμα από τη θέση ισορροπίας) και η περίοδός της είναι $\frac{T}{2}$ .

Πρόκληση

Δύο «φωτογραφίες» αρκούν. Σώμα εκτελεί ΑΑΤ. Σε μια στιγμή βρίσκεται στη θέση $x_1 = 0{,}03\ m$ με ταχύτητα μέτρου $\upsilon_1 = 0{,}4\ m/s$ , και σε μια άλλη στιγμή στη θέση $x_2 = 0{,}04\ m$ με $\upsilon_2 = 0{,}3\ m/s$ . Χωρίς να ξέρεις ούτε τη μάζα ούτε τη σταθερά του ελατηρίου, βρες: (α) τη γωνιακή συχνότητα $\omega$ και το πλάτος $A$ , (β) τη μέγιστη ταχύτητα, (γ) σε ποιες θέσεις η κινητική ενέργεια ισούται με τη δυναμική.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Από τη σχέση $\upsilon^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ για τις δύο θέσεις:

$0{,}16 = \omega^2(A^2 - 0{,}0009) \qquad 0{,}09 = \omega^2(A^2 - 0{,}0016)$

(α) Αφαιρούμε κατά μέλη: $0{,}07 = \omega^2 \cdot 0{,}0007$ , άρα $\omega^2 = 100$ και $\omega = 10\ rad/s$ . Τότε $A^2 = 0{,}0009 + \frac{0{,}16}{100} = 0{,}0025$ , άρα $A = 0{,}05\ m$ .

(β) $\upsilon_{max} = \omega A = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5\ m/s$ .

(γ) $K = U$ σημαίνει $U = \frac{E}{2}$ : $\frac{1}{2}Dx^2 = \frac{1}{4}DA^2 \Rightarrow x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}} = \pm 0{,}025\sqrt{2} \approx \pm 0{,}035\ m$ .

Απάντηση: $\omega = 10\ rad/s$ , $A = 5\ cm$ , $\upsilon_{max} = 0{,}5\ m/s$ , και $K = U$ στο $x \approx \pm 3{,}5\ cm$ . Πρόσεξες τα $3$ – $4$ – $5$ ; Οι θέσεις και οι λόγοι $\frac{\upsilon}{\omega}$ έκρυβαν ένα πυθαγόρειο τρίγωνο.

Συνηθισμένα λάθη

Ενέργεια ταλάντωσης = ελαστική ενέργεια. Σε κατακόρυφο ελατήριο $E = \frac{1}{2}DA^2$ μετρά από τη θέση ισορροπίας· η ελαστική είναι $\frac{1}{2}k(\Delta\ell + x)^2$ .
Μισή ταχύτητα, μισή κινητική. Η $K$ πάει με το τετράγωνο: $\upsilon = \frac{\upsilon_{max}}{2}$ σημαίνει $K = \frac{E}{4}$ .
$K = U$ στο $x = \frac{A}{2}$ . Στο $\frac{A}{2}$ είναι $U = \frac{E}{4}$ · το $K = U$ συμβαίνει στο $x = \pm\frac{A\sqrt{2}}{2}$ .
Ξεχασμένο $\pm$ . Κάθε τιμή του $U$ αντιστοιχεί σε δύο θέσεις, συμμετρικές ως προς τη θέση ισορροπίας.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$U = \frac{1}{2}Dx^2$ (από το έργο της $\Sigma F = -Dx$ ), $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$ .
Αμείωτη ΑΑΤ: $E = K + U = \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$ σταθερή, ανάλογη του $A^2$ .
$\upsilon = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$ , $\frac{U}{E} = \frac{x^2}{A^2}$ , $K = U$ στο $x = \pm\frac{A\sqrt{2}}{2}$ .
Η ενέργεια ταλάντωσης εξαρτάται από $D$ και $A$ , όχι από τη μάζα.
Σε κατακόρυφο ελατήριο το $\frac{1}{2}Dx^2$ δεν είναι η ελαστική ενέργεια.

🔋

ΑΑΤ: Ενέργεια Ταλάντωσης

U = ½Dx², K = ½mυ², E = ½DA², διατήρηση ενέργειας

Γιατί με νοιάζει;

Η ενέργεια της ταλάντωσης

$E = K + U = \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$

Απόδειξη: από πού βγαίνει το $U = \frac{1}{2}Dx^2$

$W = -\frac{1}{2}Dx \cdot x = -\frac{1}{2}Dx^2 \quad\Rightarrow\quad U = -W = \frac{1}{2}Dx^2$

Επαλήθευση με τις εξισώσεις κίνησης ( $D = m\omega^2$ ):

$K + U = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sigma\upsilon\nu^2(\omega t) + \frac{1}{2}m\omega^2A^2\eta\mu^2(\omega t) = \frac{1}{2}DA^2$

$U = \frac{1}{2}Dx^2, \qquad K = \frac{1}{2}m\upsilon^2 = \frac{1}{2}D(A^2 - x^2), \qquad E = \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$

Ταχύτητα σε τυχαία θέση

$\upsilon = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: η ενεργειακή μέθοδος στην ΑΑΤ

Γράψε τη διατήρηση ενέργειας ταλάντωσης (ΑΔΕΤ): $\frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon^2 + \frac{1}{2}Dx^2$ .
Πλάτος από ένα ζεύγος $(x, \upsilon)$ : $A = \sqrt{x^2 + \frac{\upsilon^2}{\omega^2}}$ . Αν το σώμα ξεκινά από τη θέση ισορροπίας με $\upsilon_0$ : $A = \frac{\upsilon_0}{\omega}$ .
Λόγοι ενεργειών: $\frac{U}{E} = \frac{x^2}{A^2}$ και $\frac{K}{E} = 1 - \frac{x^2}{A^2}$ . Για $K = \lambda U$ : $x = \pm\frac{A}{\sqrt{\lambda + 1}}$ .
Προσοχή σε κατακόρυφο ελατήριο: το $U = \frac{1}{2}Dx^2$ (μετρημένο από τη θέση ισορροπίας) αντικαθιστά μαζί ελαστική και βαρυτική ενέργεια. Αν ζητηθεί η ελαστική ενέργεια ή το έργο της δύναμης του ελατηρίου, γύρνα στην παραμόρφωση από το φυσικό μήκος: $U_{\epsilon\lambda} = \frac{1}{2}k(\Delta\ell + x)^2$ .

Λύση:

(α) $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10\ rad/s$ και $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{5}\ s$ .

(β) $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}5\ J$ .

(γ) Από $E = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$ : $\upsilon_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = 1\ m/s$ (ή απευθείας $\upsilon_{max} = \omega A = 10 \cdot 0{,}1 = 1\ m/s$ ).

Λύση:

(β) $\upsilon_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = 1\ m/s$ (ή $\omega A = 10 \cdot 0{,}1$ ).

(γ) $K = 3U \Rightarrow E = 4U \Rightarrow \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}kA^2 \Rightarrow x = \pm\frac{A}{2} = \pm 0{,}05\ m$ .

Λύση:

(β) Στο $t = 0$ θέση ισορροπίας με $\upsilon > 0$ , άρα $\varphi_0 = 0$ : $x = 0{,}1\sqrt{3}\,\eta\mu(10t)$ (S.I.).

$W_{F_{\epsilon\lambda}} = -\left[\frac{1}{2}k(\Delta\ell + A)^2 - \frac{1}{2}k\Delta\ell^2\right] = -\left(k\Delta\ell A + \frac{1}{2}kA^2\right) = -(1{,}73 + 1{,}5) \approx -3{,}23\ J$

Έλεγχος με ΘΜΚΕ: $\Delta K = -1{,}5\ J = W_B + W_{F_{\epsilon\lambda}} = mgA + W_{F_{\epsilon\lambda}} = 1{,}73 + W_{F_{\epsilon\lambda}}$ ✓.

Γρήγορος έλεγχος

Σύστημα μάζας–ελατηρίου ταλαντώνεται με πλάτος $A$ . Αν το θέσουμε ξανά σε ταλάντωση με πλάτος $2A$ , τότε:

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Από τη σχέση $\upsilon^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ για τις δύο θέσεις:

$0{,}16 = \omega^2(A^2 - 0{,}0009) \qquad 0{,}09 = \omega^2(A^2 - 0{,}0016)$

(β) $\upsilon_{max} = \omega A = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5\ m/s$ .

(γ) $K = U$ σημαίνει $U = \frac{E}{2}$ : $\frac{1}{2}Dx^2 = \frac{1}{4}DA^2 \Rightarrow x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}} = \pm 0{,}025\sqrt{2} \approx \pm 0{,}035\ m$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ενέργεια ταλάντωσης = ελαστική ενέργεια. Σε κατακόρυφο ελατήριο $E = \frac{1}{2}DA^2$ μετρά από τη θέση ισορροπίας· η ελαστική είναι $\frac{1}{2}k(\Delta\ell + x)^2$ .
Μισή ταχύτητα, μισή κινητική. Η $K$ πάει με το τετράγωνο: $\upsilon = \frac{\upsilon_{max}}{2}$ σημαίνει $K = \frac{E}{4}$ .
$K = U$ στο $x = \frac{A}{2}$ . Στο $\frac{A}{2}$ είναι $U = \frac{E}{4}$ · το $K = U$ συμβαίνει στο $x = \pm\frac{A\sqrt{2}}{2}$ .
Ξεχασμένο $\pm$ . Κάθε τιμή του $U$ αντιστοιχεί σε δύο θέσεις, συμμετρικές ως προς τη θέση ισορροπίας.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$U = \frac{1}{2}Dx^2$ (από το έργο της $\Sigma F = -Dx$ ), $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$ .
Αμείωτη ΑΑΤ: $E = K + U = \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2$ σταθερή, ανάλογη του $A^2$ .
$\upsilon = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$ , $\frac{U}{E} = \frac{x^2}{A^2}$ , $K = U$ στο $x = \pm\frac{A\sqrt{2}}{2}$ .
Η ενέργεια ταλάντωσης εξαρτάται από $D$ και $A$ , όχι από τη μάζα.
Σε κατακόρυφο ελατήριο το $\frac{1}{2}Dx^2$ δεν είναι η ελαστική ενέργεια.

ΑΑΤ: Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης

Απόδειξη: από πού βγαίνει το U=12Dx2U = \frac{1}{2}Dx^2U=21​Dx2

Ταχύτητα σε τυχαία θέση

Μέθοδος: η ενεργειακή μέθοδος στην ΑΑΤ

ΑΑΤ: Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης

Απόδειξη: από πού βγαίνει το U=12Dx2U = \frac{1}{2}Dx^2U=21​Dx2

Ταχύτητα σε τυχαία θέση

Μέθοδος: η ενεργειακή μέθοδος στην ΑΑΤ

Απόδειξη: από πού βγαίνει το $U = \frac{1}{2}Dx^2$

Απόδειξη: από πού βγαίνει το $U = \frac{1}{2}Dx^2$