🛞

Κινήσεις Στερεού Σώματος

Μεταφορική, στροφική, σύνθετη κίνηση, κύλιση χωρίς ολίσθηση

Γιατί με νοιάζει;

Όταν κάνεις ποδήλατο με $20\ km/h$ , το πάνω μέρος της ρόδας τρέχει με $40\ km/h$ , ενώ το σημείο που ακουμπά στον δρόμο είναι στιγμιαία ακίνητο. Ακούγεται παράξενο, αλλά είναι η λογική της κύλισης χωρίς ολίσθηση: μια σύνθετη κίνηση, μισή μεταφορική και μισή στροφική, που εμφανίζεται σε κάθε άσκηση στερεού.

Στερεό σώμα και γωνιακά μεγέθη

Στερεό σώμα (στο μοντέλο μας) είναι ένα σώμα που δεν παραμορφώνεται: οι αποστάσεις ανάμεσα στα σημεία του μένουν σταθερές. Για να περιγράψουμε την περιστροφή του γύρω από άξονα χρησιμοποιούμε γωνιακά μεγέθη, κοινά για όλα τα σημεία του:

Γωνιακή μετατόπιση $\Delta\theta$ (σε rad).
Γωνιακή ταχύτητα $\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ (σε $rad/s$ ). Είναι διάνυσμα πάνω στον άξονα, με φορά από τον κανόνα του δεξιού χεριού (δάχτυλα κατά την περιστροφή, αντίχειρας → $\vec{\omega}$ ).
Γωνιακή επιτάχυνση $\alpha_{\gamma\omega\nu} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ (σε $rad/s^2$ ).

Σημείο σε απόσταση $r$ από τον άξονα έχει γραμμική ταχύτητα $\upsilon = \omega r$ και επιτρόχια επιτάχυνση $\alpha_\varepsilon = \alpha_{\gamma\omega\nu}r$ . Στην ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση ισχύουν οι «δίδυμοι» τύποι της ευθύγραμμης: $\omega = \omega_0 + \alpha_{\gamma\omega\nu}t$ και $\Delta\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha_{\gamma\omega\nu}t^2$ .

Μεταφορική, στροφική, σύνθετη κίνηση — η κύλιση

Μεταφορική: κάθε ευθύγραμμο τμήμα του σώματος μένει παράλληλο στον εαυτό του· όλα τα σημεία έχουν κάθε στιγμή την ίδια ταχύτητα.
Στροφική: τα σημεία διαγράφουν κύκλους γύρω από σταθερό άξονα, με κοινή $\omega$ και $\upsilon = \omega r$ .
Σύνθετη: επαλληλία των δύο — όπως ο τροχός που κυλίεται.

Τροχός ακτίνας $R$ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει όταν σε κάθε περιστροφή του το κέντρο του μετατοπίζεται κατά $2\pi R$ . Τότε

$\upsilon_{cm} = \omega R, \qquad \alpha_{cm} = \alpha_{\text{γων}}R$

Η ταχύτητα κάθε σημείου της περιφέρειας είναι το διανυσματικό άθροισμα της $\vec{\upsilon}_{cm}$ και της ταχύτητας λόγω περιστροφής (μέτρου $\omega R = \upsilon_{cm}$ , εφαπτόμενης). Έτσι το σημείο επαφής με το έδαφος έχει στιγμιαία μηδενική ταχύτητα, το ανώτερο σημείο έχει $2\upsilon_{cm}$ και τα σημεία στο ύψος του κέντρου $\upsilon_{cm}\sqrt{2}$ .

$\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}, \quad \upsilon = \omega r, \quad \omega = \omega_0 + \alpha_{\gamma\omega\nu}t, \quad \Delta\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha_{\gamma\omega\nu}t^2$

$\text{Κύλιση χωρίς ολίσθηση:}\quad \upsilon_{cm} = \omega R, \quad \alpha_{cm} = \alpha_{\gamma\omega\nu}R, \quad x_{cm} = \theta R$

Γρήγορος έλεγχος

Τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση με ταχύτητα κέντρου $\upsilon_{cm}$ . Το ανώτερο σημείο της περιφέρειάς του έχει ταχύτητα μέτρου:

Κόλπο μνήμης

Κάθε μέγεθος της ευθύγραμμης κίνησης έχει στροφικό «δίδυμο»: $x \to \theta$ , $\upsilon \to \omega$ , $\alpha \to \alpha_{\gamma\omega\nu}$ . Οι τύποι μένουν ίδιοι με αλλαγμένα γράμματα, και η «γέφυρα» ανάμεσα στους δύο κόσμους είναι πάντα ο πολλαπλασιασμός επί την ακτίνα: $x = \theta R$ , $\upsilon = \omega R$ , $\alpha = \alpha_{\gamma\omega\nu}R$ .

Μέθοδος: κύλιση χωρίς ολίσθηση

Γράψε τη συνθήκη: $\upsilon_{cm} = \omega R$ και $\alpha_{cm} = \alpha_{\gamma\omega\nu}R$ .
Κινηματική του κέντρου μάζας με τους γνωστούς τύπους της ευθύγραμμης κίνησης.
Κινηματική της περιστροφής με τους γωνιακούς «δίδυμους» τύπους.
Αριθμός περιστροφών: $N = \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac{x_{cm}}{2\pi R}$ .
Ταχύτητα σημείου της περιφέρειας: διανυσματικό άθροισμα $\vec{\upsilon}_{cm}$ και ταχύτητας περιστροφής μέτρου $\omega R$ — επαφή $0$ , κορυφή $2\upsilon_{cm}$ , ύψος κέντρου $\upsilon_{cm}\sqrt{2}$ .

Άσκηση (κύλιση): Τροχός ποδηλάτου ακτίνας $R = 0{,}4\ m$ κυλίεται χωρίς ολίσθηση με $\upsilon_{cm} = 10\ m/s$ . Να βρεθούν: (α) η γωνιακή του ταχύτητα, (β) οι ταχύτητες του ανώτερου σημείου και του σημείου επαφής, (γ) πόσες περιστροφές κάνει σε διαδρομή $100\ m$ .

Λύση:

(α) $\omega = \frac{\upsilon_{cm}}{R} = \frac{10}{0{,}4} = 25\ rad/s$ .

(β) Ανώτερο σημείο: $2\upsilon_{cm} = 20\ m/s$ · σημείο επαφής: $0$ .

(γ) Σε κάθε περιστροφή το κέντρο προχωρά $2\pi R = 0{,}8\pi\ m$ , άρα $N = \frac{100}{0{,}8\pi} \approx 39{,}8$ περιστροφές.

Άσκηση: Ανεμιστήρας στρέφεται με $1200$ στροφές ανά λεπτό. Τον σβήνουμε και σταματά ομαλά σε $10\ s$ . (α) Ποια ήταν η αρχική γωνιακή ταχύτητα; (β) Πόση είναι η γωνιακή επιβράδυνση; (γ) Πόσες στροφές κάνει μέχρι να σταματήσει; (δ) Πόση ήταν αρχικά η ταχύτητα της άκρης ενός πτερυγίου σε απόσταση $0{,}2\ m$ από τον άξονα;

Λύση:

(α) $f = \frac{1200}{60} = 20\ Hz$ , $\omega_0 = 2\pi f = 40\pi\ rad/s$ .

(β) $\alpha_{\gamma\omega\nu} = \frac{0 - 40\pi}{10} = -4\pi\ rad/s^2$ .

(γ) $\Delta\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha_{\gamma\omega\nu}t^2 = 400\pi - 200\pi = 200\pi\ rad$ , δηλαδή $N = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$ στροφές.

(δ) $\upsilon = \omega_0 r = 40\pi \cdot 0{,}2 = 8\pi \approx 25\ m/s$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Τροχός ακτίνας $R = 0{,}5\ m$ ξεκινά από την ηρεμία και κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο δρόμο, με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας $\alpha_{cm} = 2\ m/s^2$ . Για τη στιγμή $t_1 = 5\ s$ : (α) να βρείτε $\upsilon_{cm}$ και $\omega$ · (β) να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση· (γ) πόσες περιστροφές έχει κάνει; (δ) πόση είναι η ταχύτητα του ανώτερου σημείου και ενός σημείου της περιφέρειας στο ύψος του κέντρου;

Δεδομένα: $R = 0{,}5\ m$ , $\upsilon_0 = 0$ , $\alpha_{cm} = 2\ m/s^2$ , $t_1 = 5\ s$ . Ζητούμενα: $\upsilon_{cm}$ , $\omega$ , $\alpha_{\gamma\omega\nu}$ , $N$ , $\upsilon_{\alpha\nu\omega}$ , $\upsilon_{\pi\lambda\alpha\gamma}$ .

Λύση:

(α) $\upsilon_{cm} = \alpha_{cm}t_1 = 10\ m/s$ και $\omega = \frac{\upsilon_{cm}}{R} = 20\ rad/s$ .

(β) $\alpha_{\gamma\omega\nu} = \frac{\alpha_{cm}}{R} = 4\ rad/s^2$ .

(γ) $x_{cm} = \frac{1}{2}\alpha_{cm}t_1^2 = 25\ m$ , $N = \frac{25}{2\pi \cdot 0{,}5} = \frac{25}{\pi} \approx 8$ περιστροφές (έλεγχος: $\Delta\theta = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 25 = 50\ rad$ και $\frac{50}{2\pi} \approx 8$ ✓).

(δ) Ανώτερο σημείο: $2\upsilon_{cm} = 20\ m/s$ · σημείο στο ύψος του κέντρου: $\upsilon_{cm}\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}1\ m/s$ .

Απάντηση: $10\ m/s$ , $20\ rad/s$ · $4\ rad/s^2$ · περίπου $8$ περιστροφές· $20\ m/s$ και $\approx 14{,}1\ m/s$ .

Γρήγορος έλεγχος

Στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Τα σημεία Α και Β απέχουν από τον άξονα $r$ και $2r$ αντίστοιχα. Τι ισχύει για τις γωνιακές και τις γραμμικές τους ταχύτητες;

Γρήγορος έλεγχος

Τροχός ακτίνας $R$ κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Κατά πόσο μετατοπίζεται το κέντρο του σε μία πλήρη περιστροφή;

Ήξερες ότι;

Το ταχύμετρο του αυτοκινήτου δεν μετρά απευθείας την ταχύτητα: μετρά πόσο γρήγορα γυρίζουν οι τροχοί και τη μετατρέπει με τη σχέση $\upsilon = \omega R$ . Αν τοποθετήσεις ελαστικά μεγαλύτερης διαμέτρου χωρίς να το ρυθμίσεις, θα δείχνει μικρότερη ταχύτητα από την πραγματική.

Πρόκληση

Η σανίδα πάνω στους κορμούς. Βαριά σανίδα μετακινείται πάνω σε δύο όμοιους κυλινδρικούς κορμούς, που κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν ούτε στο έδαφος ούτε στη σανίδα. Η σανίδα κινείται με $2\ m/s$ ως προς το έδαφος. (α) Με τι ταχύτητα κινούνται τα κέντρα των κορμών; (β) Όταν η σανίδα έχει προχωρήσει $4\ m$ , πόσο έχουν προχωρήσει οι κορμοί ως προς το έδαφος και πόσο ως προς τη σανίδα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Η σανίδα ακουμπά στο ανώτερο σημείο κάθε κορμού, που (χωρίς ολίσθηση) έχει ταχύτητα $2\upsilon_{cm}$ . Άρα $2\upsilon_{cm} = 2\ m/s \Rightarrow \upsilon_{cm} = 1\ m/s$ .

(β) Στον ίδιο χρόνο οι κορμοί προχωρούν τη μισή απόσταση, $2\ m$ ως προς το έδαφος. Ως προς τη σανίδα μένουν πίσω κατά $4 - 2 = 2\ m$ .

Απάντηση: $1\ m/s$ · $2\ m$ ως προς το έδαφος, $2\ m$ προς τα πίσω ως προς τη σανίδα. Γι' αυτό, μετακινώντας βαριά φορτία με κορμούς, πρέπει συνεχώς να παίρνεις τον κορμό που «βγαίνει» πίσω και να τον ξαναβάζεις μπροστά.

Συνηθισμένα λάθη

$\upsilon_{cm} = \omega R$ πάντα. Ισχύει μόνο για κύλιση χωρίς ολίσθηση.
Σημείο επαφής σε κίνηση. Στην κύλιση χωρίς ολίσθηση το σημείο επαφής έχει στιγμιαία ταχύτητα μηδέν.
Στροφές αντί για rad. Στο $\upsilon = \omega r$ η $\omega$ σε $rad/s$ : $1$ στροφή $= 2\pi\ rad$ .
Ίδια γραμμική ταχύτητα για όλα τα σημεία. Κοινή είναι η $\omega$ · η $\upsilon$ μεγαλώνει με την απόσταση από τον άξονα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στερεό: κοινή $\omega$ και $\alpha_{\gamma\omega\nu}$ για όλα τα σημεία, $\upsilon = \omega r$ .
Κινήσεις: μεταφορική, στροφική, σύνθετη (επαλληλία τους).
Κύλιση χωρίς ολίσθηση: $\upsilon_{cm} = \omega R$ , $\alpha_{cm} = \alpha_{\gamma\omega\nu}R$ , $2\pi R$ ανά περιστροφή.
Ταχύτητες περιφέρειας: επαφή $0$ , κορυφή $2\upsilon_{cm}$ , ύψος κέντρου $\upsilon_{cm}\sqrt{2}$ .
Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική: $\omega = \omega_0 + \alpha_{\gamma\omega\nu}t$ , $\Delta\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha_{\gamma\omega\nu}t^2$ .

Στερεό σώμα και γωνιακά μεγέθη

Γωνιακή μετατόπιση

\Delta\theta

(σε rad).

Γωνιακή ταχύτητα

\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}

(σε

rad/s

). Είναι διάνυσμα πάνω στον άξονα, με φορά από τον κανόνα του δεξιού χεριού (δάχτυλα κατά την περιστροφή, αντίχειρας →

\vec{\omega}

Γωνιακή επιτάχυνση

\alpha_{\gamma\omega\nu} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}

(σε

rad/s^2

Σημείο σε απόσταση

r

από τον άξονα έχει γραμμική ταχύτητα

\upsilon = \omega r

και επιτρόχια επιτάχυνση

\alpha_\varepsilon = \alpha_{\gamma\omega\nu}r

. Στην ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση ισχύουν οι «δίδυμοι» τύποι της ευθύγραμμης:

\omega = \omega_0 + \alpha_{\gamma\omega\nu}t

και

\Delta\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha_{\gamma\omega\nu}t^2