💥

Διατήρηση της Ορμής

Αρχή διατήρησης της ορμής σε μονωμένο σύστημα & η απόδειξή της

Γιατί με νοιάζει;

Πηδάς από μια ακίνητη βάρκα προς την προβλήτα — και η βάρκα φεύγει προς τα πίσω, με αποτέλεσμα συχνά να καταλήγεις στο νερό! Κανείς δεν έσπρωξε τη βάρκα εκτός από εσένα. Ό,τι ορμή πήρες προς τα εμπρός, την πήρε αντίθετη η βάρκα. Αυτή η «λογιστική» της ορμής είναι ένας από τους θεμελιώδεις νόμους της φύσης.

Η Αρχή Διατήρησης της Ορμής (ΑΔΟ)

Σε μονωμένο σύστημα η ολική ορμή παραμένει σταθερή:

$\vec{p}_{o\lambda,\pi\rho\iota\nu} = \vec{p}_{o\lambda,\mu\epsilon\tau\alpha}$

Οι εσωτερικές δυνάμεις, ως ζεύγη δράσης–αντίδρασης, αλληλοαναιρούνται στο σύστημα — μετακινούν ορμή από το ένα σώμα στο άλλο χωρίς να αλλάζουν το σύνολο.

Απόδειξη της αρχής διατήρησης της ορμής

Δύο σώματα Α και Β αλληλεπιδρούν για χρόνο $\Delta t$ (π.χ. συγκρούονται) και δεν δέχονται εξωτερικές δυνάμεις. Από τον 3ο νόμο του Νεύτωνα, οι δυνάμεις που ασκούν το ένα στο άλλο είναι αντίθετες: $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ .

Για κάθε σώμα ισχύει $\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ , άρα

$\frac{\Delta\vec{p}_A}{\Delta t} = -\frac{\Delta\vec{p}_B}{\Delta t} \Rightarrow \Delta\vec{p}_A + \Delta\vec{p}_B = 0 \Rightarrow \Delta\vec{p}_{o\lambda} = 0$

Η ολική ορμή δεν μεταβάλλεται: ό,τι ορμή κερδίζει το ένα σώμα, τη χάνει το άλλο.

Πότε εφαρμόζεται στην πράξη:

Σε μονωμένο σύστημα ( $\Sigma\vec{F}_{\varepsilon\xi} = 0$ ).
Σε κρούσεις και εκρήξεις, όπου οι εσωτερικές δυνάμεις είναι τόσο μεγάλες και σύντομες που οι εξωτερικές (βάρη, τριβές) αμελούνται κατά τη διάρκειά τους.
Κατά έναν άξονα, αν οι εξωτερικές δυνάμεις δεν έχουν συνιστώσα σε αυτόν (π.χ. οριζόντια, όταν δρουν μόνο κατακόρυφες δυνάμεις).

Ρύθμισε μάζες και ταχύτητες και άφησε τα αμαξίδια να συγκρουστούν: θα δεις ότι όσο κι αν αλλάζουν οι επιμέρους ορμές κατά την κρούση, το άθροισμά τους πριν και μετά είναι πάντα το ίδιο — η ολική ορμή του μονωμένου συστήματος διατηρείται, ό,τι ορμή χάνει το ένα σώμα την κερδίζει το άλλο.

$\vec{p} = m\vec{\upsilon}, \qquad \Sigma \vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}, \qquad \vec{p}_{\pi\rho\iota\nu} = \vec{p}_{\mu\epsilon\tau\alpha}$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο πατινέρ, μάζας $60 \ \text{kg}$ και $40 \ \text{kg}$ , στέκονται ακίνητοι σε λείο πάγο και σπρώχνονται. Ο πρώτος απομακρύνεται με ταχύτητα $2 \ \text{m/s}$ . Με ποια ταχύτητα απομακρύνεται ο δεύτερος;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου την ορμή σαν χρήματα σε κλειστό οικογενειακό ταμείο. Τα μέλη (σώματα) δανείζονται και ανταλλάσσουν όσο θέλουν — ο ένας κερδίζει ό,τι χάνει ο άλλος — αλλά το σύνολο στο ταμείο μένει ίδιο. Μόνο «ξένος» (εξωτερική δύναμη) μπορεί να βάλει ή να βγάλει χρήματα.

Μέθοδος: προβλήματα διατήρησης της ορμής

Όρισε το σύστημα και έλεγξε ότι είναι μονωμένο (ή ότι οι εξωτερικές δυνάμεις είναι αμελητέες κατά την κρούση).
Διάλεξε θετική φορά και μετάτρεψε τις μάζες σε kg.
Γράψε την ολική ορμή πριν, με πρόσημα: $p_{\pi\rho\iota\nu} = m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2$ .
Γράψε την ολική ορμή μετά (στην πλαστική: $(m_1 + m_2)V$ ) και εξίσωσε.
Λύσε και ερμήνευσε το πρόσημο: αρνητική ταχύτητα σημαίνει κίνηση αντίθετη της θετικής φοράς.
Αν ζητείται ενέργεια, υπολόγισε χωριστά $K_{\pi\rho\iota\nu}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ — η διαφορά τους έγινε θερμότητα.
Για τη δύναμη της κρούσης εφάρμοσε $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ σε ένα από τα σώματα.

Παράδειγμα (αμαξίδια με ελατήριο): Δύο αμαξίδια μάζας $m_1 = 1 \ \text{kg}$ και $m_2 = 3 \ \text{kg}$ ηρεμούν σε λείο οριζόντιο δάπεδο, με ένα συμπιεσμένο ελατήριο ανάμεσά τους δεμένο με νήμα. Κόβουμε το νήμα και το $m_1$ φεύγει με ταχύτητα $6 \ \text{m/s}$ . Να βρεθούν η ταχύτητα του $m_2$ και η ενέργεια που ήταν αποθηκευμένη στο ελατήριο.

Λύση: Σύστημα τα δύο αμαξίδια με το ελατήριο· η δύναμη του ελατηρίου είναι εσωτερική. Θετική φορά αυτή του $m_1$ , αρχικά $p_{o\lambda} = 0$ :

$0 = m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 \Rightarrow \upsilon_2 = -\frac{1 \cdot 6}{3} = -2 \ \text{m/s}$

Το $m_2$ κινείται αντίθετα με $2 \ \text{m/s}$ . Η ενέργεια του ελατηρίου έγινε κινητική: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 36 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 18 + 6 = 24 \ \text{J}$ . Ίσες ορμές, αλλά το ελαφρύ αμαξίδιο πήρε τα $\frac{3}{4}$ της ενέργειας. ✔

Άσκηση (άλμα από βάρκα): Παιδί μάζας $40 \ \text{kg}$ στέκεται σε ακίνητη βάρκα μάζας $120 \ \text{kg}$ . Πηδά οριζόντια προς την προβλήτα με ταχύτητα $3 \ \text{m/s}$ . Με ποια ταχύτητα κινείται η βάρκα αμέσως μετά; Οι οριζόντιες δυνάμεις από το νερό θεωρούνται αμελητέες.

Λύση: Σύστημα παιδί–βάρκα, μονωμένο οριζόντια. Θετική φορά προς την προβλήτα. Αρχικά $p_{o\lambda} = 0$ :

$0 = m\upsilon + MV \Rightarrow V = -\frac{m\upsilon}{M} = -\frac{40 \cdot 3}{120} = -1 \ \text{m/s}$

Η βάρκα απομακρύνεται από την προβλήτα με $1 \ \text{m/s}$ . Αν το παιδί υπολόγισε το άλμα σαν να πατούσε σε στεριά, θα βρεθεί στο νερό! ✔

Γρήγορος έλεγχος

Αυτοκίνητο φρενάρει και σταματά, οπότε η ορμή του μηδενίζεται. Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ορμής;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Αγόρι στέκεται ακίνητο πάνω σε skateboard σε λείο οριζόντιο δάπεδο (μάζα αγοριού και σανίδας μαζί $M = 48 \ \text{kg}$ ). Πιάνει μπάλα μάζας $m = 2 \ \text{kg}$ που έρχεται οριζόντια με ταχύτητα $10 \ \text{m/s}$ . Στη συνέχεια την πετά πίσω, οριζόντια, με ταχύτητα $10 \ \text{m/s}$ ως προς το έδαφος.

Δεδομένα: $M = 48 \ \text{kg}$ , $m = 2 \ \text{kg}$ , $\upsilon = 10 \ \text{m/s}$ , το πιάσιμο διαρκεί $\Delta t = 0{,}2 \ \text{s}$ .

Ζητούμενα: α) η ταχύτητα του αγοριού αφού πιάσει τη μπάλα, β) η μέση δύναμη που δέχτηκε το αγόρι κατά το πιάσιμο, γ) η ταχύτητά του αφού πετάξει πίσω τη μπάλα.

Λύση: Θετική φορά η αρχική φορά κίνησης της μπάλας. Το σύστημα αγόρι–μπάλα είναι μονωμένο οριζόντια.

α) Πριν: $p = m\upsilon = 20 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ . Μετά κινούνται μαζί:

$20 = (M + m)V_1 \Rightarrow V_1 = \frac{20}{50} = 0{,}4 \ \text{m/s}$

β) Για το αγόρι: $\Delta p = MV_1 - 0 = 48 \cdot 0{,}4 = 19{,}2 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , άρα $F = \frac{19{,}2}{0{,}2} = 96 \ \text{N}$ .

γ) Πριν το πέταμα: $p = 50 \cdot 0{,}4 = 20 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ . Μετά η μπάλα έχει $-10 \ \text{m/s}$ :

$20 = MV_2 + m(-10) \Rightarrow 48V_2 = 40 \Rightarrow V_2 \approx 0{,}83 \ \text{m/s}$

Απάντηση: α) $0{,}4 \ \text{m/s}$ β) $96 \ \text{N}$ γ) $\approx 0{,}83 \ \text{m/s}$ — πιάνοντας και επιστρέφοντας τη μπάλα, το αγόρι παίρνει μεγαλύτερη ορμή απ' ό,τι μόνο πιάνοντάς τη

Γρήγορος έλεγχος

Άνθρωπος περπατά προς την πλώρη μιας βάρκας που αρχικά ηρεμεί σε ακίνητο νερό (οι οριζόντιες δυνάμεις από το νερό αμελούνται). Τι κάνει η βάρκα;

Ήξερες ότι;

Το 1930 ο Wolfgang Pauli πρότεινε την ύπαρξη ενός αόρατου σωματιδίου, του νετρίνου, για να μην «παραβιάζεται» η διατήρηση της ενέργειας και της ορμής στη διάσπαση β των πυρήνων. Το νετρίνο ανιχνεύτηκε πειραματικά μόλις το 1956 από τους Cowan και Reines — οι φυσικοί εμπιστεύονταν τόσο τους νόμους διατήρησης, ώστε περίμεναν ένα τέταρτο του αιώνα.

Πρόκληση

Αστροναύτης μάζας $M = 80 \ \text{kg}$ (με τη στολή) αιωρείται ακίνητος $12 \ \text{m}$ μακριά από το διαστημόπλοιο, και ο προωθητήρας της στολής του χάλασε. Κρατά ένα εργαλείο μάζας $m = 2 \ \text{kg}$ . Το σκάφος θεωρείται ακίνητο και το σύστημα αστροναύτης–εργαλείο μονωμένο.

α) Πώς μπορεί να επιστρέψει;

β) Αν πετάξει το εργαλείο με ταχύτητα $8 \ \text{m/s}$ , σε πόσο χρόνο φτάνει στο σκάφος;

γ) Πόση κινητική ενέργεια δημιούργησαν οι μύες του και πώς μοιράστηκε;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Πετά το εργαλείο αντίθετα από το σκάφος. Αρχικά $p_{o\lambda} = 0$ , άρα μετά οι δύο ορμές πρέπει να είναι αντίθετες: το εργαλείο φεύγει μακριά, εκείνος κινείται προς το σκάφος.

β) Θετική φορά προς το σκάφος. ΑΔΟ:

$0 = m\upsilon_1 + MV \Rightarrow 0 = 2 \cdot (-8) + 80V \Rightarrow V = \frac{16}{80} = 0{,}2 \ \text{m/s}$

Καμία εξωτερική δύναμη, άρα κινείται ευθύγραμμα ομαλά: $t = \frac{12}{0{,}2} = 60 \ \text{s}$ . Ένα λεπτό αγωνίας, αλλά σώζεται!

γ) $K_{\varepsilon\rho\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8^2 = 64 \ \text{J}$ και $K_{\alpha\sigma\tau\rho} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0{,}2^2 = 1{,}6 \ \text{J}$ , σύνολο $65{,}6 \ \text{J}$ . Οι ορμές είναι ίσες σε μέτρο ( $16 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ ), όμως σχεδόν όλη η κινητική ενέργεια πήγε στο ελαφρύ σώμα.

Συνηθισμένα λάθη

ΑΔΟ σε μη μονωμένο σύστημα: πριν γράψεις «πριν = μετά», έλεγξε ότι οι εξωτερικές δυνάμεις είναι μηδέν ή αμελητέες.
Ένα μόνο σώμα: η ορμή που διατηρείται είναι η ολική του συστήματος — η ορμή κάθε σώματος χωριστά αλλάζει.
Ίσες ταχύτητες αντί για ίσες ορμές: όταν δύο σώματα ξεκινούν από ηρεμία και απωθούνται, ίσα μέτρα έχουν οι ορμές τους· το ελαφρύτερο φεύγει γρηγορότερα.
Ξεχασμένο πρόσημο στο αποτέλεσμα: αρνητική ταχύτητα σημαίνει κίνηση αντίθετη της θετικής φοράς — γράψε ρητά την κατεύθυνση στην απάντηση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

ΑΔΟ: σε μονωμένο σύστημα $\vec{p}_{o\lambda,\pi\rho\iota\nu} = \vec{p}_{o\lambda,\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$
Απόδειξη από τον 3ο νόμο: $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA} \Rightarrow \Delta\vec{p}_A = -\Delta\vec{p}_B$
Οι εσωτερικές δυνάμεις μεταφέρουν ορμή ανάμεσα στα σώματα χωρίς να αλλάζουν το σύνολο
Εφαρμόζεται και σε κρούσεις/εκρήξεις (αμελητέες εξωτερικές) και κατά άξονα
Από ηρεμία: οι ορμές μετά είναι αντίθετες, με ίσα μέτρα

💥

Διατήρηση της Ορμής

Αρχή διατήρησης της ορμής σε μονωμένο σύστημα & η απόδειξή της

Γιατί με νοιάζει;

Η Αρχή Διατήρησης της Ορμής (ΑΔΟ)

Σε μονωμένο σύστημα η ολική ορμή παραμένει σταθερή:

$\vec{p}_{o\lambda,\pi\rho\iota\nu} = \vec{p}_{o\lambda,\mu\epsilon\tau\alpha}$

Απόδειξη της αρχής διατήρησης της ορμής

Για κάθε σώμα ισχύει $\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ , άρα

$\frac{\Delta\vec{p}_A}{\Delta t} = -\frac{\Delta\vec{p}_B}{\Delta t} \Rightarrow \Delta\vec{p}_A + \Delta\vec{p}_B = 0 \Rightarrow \Delta\vec{p}_{o\lambda} = 0$

Η ολική ορμή δεν μεταβάλλεται: ό,τι ορμή κερδίζει το ένα σώμα, τη χάνει το άλλο.

Πότε εφαρμόζεται στην πράξη:

Σε μονωμένο σύστημα ( $\Sigma\vec{F}_{\varepsilon\xi} = 0$ ).
Σε κρούσεις και εκρήξεις, όπου οι εσωτερικές δυνάμεις είναι τόσο μεγάλες και σύντομες που οι εξωτερικές (βάρη, τριβές) αμελούνται κατά τη διάρκειά τους.
Κατά έναν άξονα, αν οι εξωτερικές δυνάμεις δεν έχουν συνιστώσα σε αυτόν (π.χ. οριζόντια, όταν δρουν μόνο κατακόρυφες δυνάμεις).

p_{\pi\rho\iota\nu} = 6 + (-2) = 4 \qquad p_{\mu\epsilon\tau\alpha} = -2 + (6) = 4\,kg{\cdot}m/s

m₁ = 2 kgυ₁ = 3 m/s

Ρύθμισε m₁ και υ₁ και πάτησε «Σύγκρουση» — πρόσεξε αν το άθροισμα m·υ αλλάζει μετά την κρούση.

$\vec{p} = m\vec{\upsilon}, \qquad \Sigma \vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}, \qquad \vec{p}_{\pi\rho\iota\nu} = \vec{p}_{\mu\epsilon\tau\alpha}$

Γρήγορος έλεγχος

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: προβλήματα διατήρησης της ορμής

Όρισε το σύστημα και έλεγξε ότι είναι μονωμένο (ή ότι οι εξωτερικές δυνάμεις είναι αμελητέες κατά την κρούση).
Διάλεξε θετική φορά και μετάτρεψε τις μάζες σε kg.
Γράψε την ολική ορμή πριν, με πρόσημα: $p_{\pi\rho\iota\nu} = m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2$ .
Γράψε την ολική ορμή μετά (στην πλαστική: $(m_1 + m_2)V$ ) και εξίσωσε.
Λύσε και ερμήνευσε το πρόσημο: αρνητική ταχύτητα σημαίνει κίνηση αντίθετη της θετικής φοράς.
Αν ζητείται ενέργεια, υπολόγισε χωριστά $K_{\pi\rho\iota\nu}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ — η διαφορά τους έγινε θερμότητα.
Για τη δύναμη της κρούσης εφάρμοσε $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ σε ένα από τα σώματα.