🧲

Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή: Νόμος Faraday

Πειράματα Faraday, E = −NΔΦ/Δt, φορτίο q = NΔΦ/R

Γιατί με νοιάζει;

Ακουμπάς το κινητό στη βάση ασύρματης φόρτισης και φορτίζει χωρίς καλώδιο. Στην κουζίνα επαγωγής ζεσταίνεται η κατσαρόλα, ενώ η εστία δεν έχει καμία πυρωμένη αντίσταση. Και το μεγαλύτερο μέρος του ρεύματος της πρίζας σου παράγεται σε γεννήτριες. Πίσω από όλα βρίσκεται μία ιδέα: η μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή γεννά ΗΕΔ.

Τα πειράματα του Faraday

Ο Faraday αναρωτήθηκε: αφού το ρεύμα δημιουργεί μαγνητικό πεδίο, μπορεί το μαγνητικό πεδίο να δημιουργήσει ρεύμα; Τα πειράματά του έδειξαν:

Μαγνήτης και πηνίο: όταν ο μαγνήτης μπαίνει ή βγαίνει από πηνίο συνδεδεμένο με γαλβανόμετρο, εμφανίζεται ρεύμα — μόνο όσο κινείται. Πιο γρήγορη κίνηση, μεγαλύτερο ρεύμα· αντίθετη κίνηση, αντίθετο ρεύμα.
Δύο πηνία: κλείνοντας ή ανοίγοντας τον διακόπτη στο ένα, εμφανίζεται στιγμιαίο ρεύμα στο άλλο. Όσο το ρεύμα στο πρώτο μένει σταθερό, στο δεύτερο δεν περνά τίποτα.
Πλαίσιο που στρέφεται ή αλλάζει εμβαδόν μέσα σε μαγνητικό πεδίο: πάλι ρεύμα.

Κοινό σε όλα: μεταβάλλεται η μαγνητική ροή μέσα από το κύκλωμα. Το φαινόμενο λέγεται ηλεκτρομαγνητική επαγωγή, και η ΗΕΔ που εμφανίζεται ΗΕΔ από επαγωγή. Αν το κύκλωμα είναι ανοιχτό, εμφανίζεται ΗΕΔ χωρίς ρεύμα.

Κούνησε τον μαγνήτη μέσα–έξω από το πηνίο: θα ανακαλύψεις ότι ρεύμα εμφανίζεται ΜΟΝΟ όσο η μαγνητική ροή μεταβάλλεται — και ότι όσο πιο γρήγορη η κίνηση, τόσο μεγαλύτερο το ρεύμα.

Ο νόμος του Faraday

Ο Faraday ανακάλυψε ότι ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο δεν δημιουργεί ρεύμα — αλλά μια μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή ναι! Όταν η ροή που διέρχεται από ένα κύκλωμα μεταβάλλεται, επάγεται σε αυτό ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) ίση με τον ρυθμό μεταβολής της ροής.

Ειδική περίπτωση-αστέρι των Πανελληνίων: ευθύγραμμος αγωγός μήκους $\ell$ που κινείται με ταχύτητα $\upsilon$ κάθετα στις γραμμές ομογενούς πεδίου $B$ αναπτύσσει ΗΕΔ $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell$ — λειτουργεί σαν «μπαταρία» που τροφοδοτεί το κύκλωμα.

Ήξερες ότι;

Ο Michael Faraday, που ανακάλυψε την επαγωγή το 1831, ξεκίνησε στα 14 του ως μαθητευόμενος βιβλιοδέτης και δεν είχε σχεδόν καθόλου μαθηματική μόρφωση. Περιέγραψε τα πεδία με εικόνες, τις δυναμικές γραμμές, και τη μαθηματική τους μορφή την έδωσε αργότερα ο James Clerk Maxwell. Προς τιμήν του, η μονάδα χωρητικότητας λέγεται farad.

$E_{\epsilon\pi} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}, \qquad I_{\epsilon\pi} = \frac{|E_{\epsilon\pi}|}{R_{o\lambda}}, \qquad q = \frac{N|\Delta\Phi|}{R_{o\lambda}}$

Μέση και στιγμιαία ΗΕΔ — και το φορτίο που περνά

Ο λόγος $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ σε ένα χρονικό διάστημα δίνει τη μέση ΗΕΔ. Αν η ροή μεταβάλλεται ομοιόμορφα, η ΗΕΔ είναι σταθερή. Στο διάγραμμα $\Phi$ – $t$ η ΗΕΔ (κατά μέτρο, ανά σπείρα) είναι η κλίση: οριζόντιο κομμάτι ⇒ $E = 0$ , όσο μεγάλη κι αν είναι η ροή.

Σε κύκλωμα ολικής αντίστασης $R_{o\lambda}$ το επαγωγικό ρεύμα είναι $I = \frac{N}{R_{o\lambda}}\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$ , οπότε το φορτίο που περνά από μια διατομή είναι

$q = I\Delta t = \frac{N|\Delta\Phi|}{R_{o\lambda}}$

Το φορτίο εξαρτάται μόνο από τη συνολική μεταβολή της ροής, όχι από το πόσο γρήγορα έγινε.

Γρήγορος έλεγχος

Η μαγνητική ροή από ένα πηνίο είναι μέγιστη και μένει σταθερή για κάποιο χρονικό διάστημα. Τι ισχύει για την ΗΕΔ από επαγωγή σε αυτό το διάστημα;

Μέθοδος: ασκήσεις με τον νόμο του Faraday

Βρες τη ροή ανά σπείρα στην αρχή και στο τέλος: $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$ (προσοχή στη γωνία με την κάθετο).
Υπολόγισε $\Delta\Phi = \Phi_{\tau\varepsilon\lambda} - \Phi_{\alpha\rho\chi}$ — τι αλλάζει: το $B$ , το $A$ ή η $\theta$ ;
$|E_{\epsilon\pi}| = N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$ · από διάγραμμα, η κλίση κάθε ευθύγραμμου τμήματος.
$I = \frac{|E_{\epsilon\pi}|}{R_{o\lambda}}$ και $q = \frac{N|\Delta\Phi|}{R_{o\lambda}}$ .
Θερμότητα σε κάθε φάση σταθερού ρεύματος: $Q = I^2R_{o\lambda}\Delta t$ .
Η φορά του ρεύματος αλλάζει όταν η ροή περνά από αύξηση σε μείωση (κανόνας Lenz, επόμενο κεφάλαιο).

Άσκηση: Πηνίο με $N = 200$ σπείρες εμβαδού $A = 0{,}01\ m^2$ βρίσκεται σε ΟΜΠ κάθετο στις σπείρες. Το πεδίο αυξάνεται ομοιόμορφα από $0{,}2\ T$ σε $0{,}8\ T$ σε χρόνο $0{,}1\ s$ . Η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι $R_{o\lambda} = 10\ \Omega$ . Να βρεθούν η ΗΕΔ, το ρεύμα και το φορτίο που περνά.

Λύση:

$\Delta\Phi = \Delta B \cdot A = 0{,}6 \cdot 0{,}01 = 6 \cdot 10^{-3}\ Wb$ ανά σπείρα, άρα

$|E_{\epsilon\pi}| = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 200 \cdot \frac{6 \cdot 10^{-3}}{0{,}1} = 12\ V$

$I = \frac{12}{10} = 1{,}2\ A$ και $q = I\Delta t = 0{,}12\ C$ . Έλεγχος: $q = \frac{N\Delta\Phi}{R_{o\lambda}} = \frac{200 \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{10} = 0{,}12\ C$ ✓.

Άσκηση: Τετράγωνο πλαίσιο πλευράς $0{,}2\ m$ με $N = 50$ σπείρες βρίσκεται ολόκληρο μέσα σε ΟΜΠ $B = 0{,}4\ T$ , κάθετο στο επίπεδό του. Σε χρόνο $0{,}05\ s$ το τραβάμε έξω από το πεδίο. Η αντίστασή του είναι $8\ \Omega$ . Να βρεθούν η μέση ΗΕΔ, το ρεύμα και το φορτίο που πέρασε.

Λύση: Αρχικά $\Phi = BA = 0{,}4 \cdot 0{,}04 = 0{,}016\ Wb$ , τελικά $0$ . Άρα

$|E| = N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = 50 \cdot \frac{0{,}016}{0{,}05} = 16\ V, \qquad I = \frac{16}{8} = 2\ A$

και $q = \frac{N|\Delta\Phi|}{R} = \frac{50 \cdot 0{,}016}{8} = 0{,}1\ C$ (έλεγχος: $I\Delta t = 2 \cdot 0{,}05 = 0{,}1\ C$ ✓).

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Πηνίο $N = 100$ σπειρών, εμβαδού $A = 0{,}02\ m^2$ και ολικής αντίστασης κυκλώματος $R = 5\ \Omega$ βρίσκεται σε ΟΜΠ κάθετο στις σπείρες. Το πεδίο αυξάνεται ομοιόμορφα από $0$ σε $0{,}5\ T$ στο διάστημα $0$ – $0{,}2\ s$ , μένει σταθερό ως τα $0{,}5\ s$ και μηδενίζεται ομοιόμορφα ως τα $0{,}6\ s$ . (α) Να βρείτε την ΗΕΔ και το ρεύμα σε κάθε φάση. (β) Να βρείτε το φορτίο που περνά στην πρώτη και στην τρίτη φάση. (γ) Να βρείτε τη συνολική θερμότητα.

Δεδομένα: $N = 100$ , $A = 0{,}02\ m^2$ , $R = 5\ \Omega$ , $B$ : $0 \to 0{,}5\ T$ σε $0{,}2\ s$ , σταθερό $0{,}3\ s$ , $0{,}5 \to 0$ σε $0{,}1\ s$ . Ζητούμενα: $E$ , $I$ ανά φάση, $q_1$ , $q_3$ , $Q_{o\lambda}$ .

Λύση: Σε κάθε μεταβολή $|\Delta\Phi| = 0{,}5 \cdot 0{,}02 = 0{,}01\ Wb$ .

(α) Φάση 1: $E_1 = 100 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}2} = 5\ V$ , $I_1 = 1\ A$ . Φάση 2: ροή σταθερή, $E_2 = 0$ , $I_2 = 0$ . Φάση 3: $E_3 = 100 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}1} = 10\ V$ , $I_3 = 2\ A$ , αντίθετης φοράς από το $I_1$ (η ροή τώρα μειώνεται).

(β) $q_1 = \frac{N|\Delta\Phi|}{R} = \frac{100 \cdot 0{,}01}{5} = 0{,}2\ C$ και $q_3 = 0{,}2\ C$ — ίσα, παρότι το ρεύμα της φάσης 3 είναι διπλάσιο.

(γ) $Q_1 = 1^2 \cdot 5 \cdot 0{,}2 = 1\ J$ , $Q_3 = 2^2 \cdot 5 \cdot 0{,}1 = 2\ J$ , άρα $Q_{o\lambda} = 3\ J$ .

Απάντηση: $5\ V$ / $1\ A$ , $0$ , $10\ V$ / $2\ A$ (αντίθετα)· $q_1 = q_3 = 0{,}2\ C$ · $Q = 3\ J$ .

Γρήγορος έλεγχος

Βάζουμε τον ίδιο μαγνήτη μέσα σε πηνίο κλειστού κυκλώματος, μία φορά γρήγορα και μία αργά, από την ίδια αρχική στην ίδια τελική θέση. Το φορτίο που περνά από το κύκλωμα είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις δεν αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή σε ένα κλειστό πλαίσιο;

Πρόκληση

Μετράμε το πεδίο με ένα πηνίο. Μικρό πηνίο $N = 200$ σπειρών, εμβαδού $A = 5\ cm^2$ , είναι συνδεδεμένο με όργανο που μετρά το φορτίο που περνά. Η ολική αντίσταση είναι $50\ \Omega$ . Το πηνίο βρίσκεται ανάμεσα στους πόλους ενός μαγνήτη, με τις σπείρες κάθετες στο πεδίο. (α) Το τραβάμε γρήγορα έξω από το πεδίο και το όργανο μετρά $q = 2 \times 10^{-4}\ C$ . Πόσο είναι το $B$ ; (β) Αν αντί γι' αυτό το στρέφαμε κατά $180°$ μέσα στο πεδίο, πόσο φορτίο θα μετρούσαμε; (γ) Θα άλλαζε το αποτέλεσμα αν το τραβούσαμε πιο αργά;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $q = \frac{NBA}{R} \Rightarrow B = \frac{qR}{NA} = \frac{2 \times 10^{-4} \cdot 50}{200 \cdot 5 \times 10^{-4}} = \frac{0{,}01}{0{,}1} = 0{,}1\ T$ .

(β) Στην αναστροφή $|\Delta\Phi| = 2BA$ , άρα $q' = 2q = 4 \times 10^{-4}\ C$ .

(γ) Όχι: το φορτίο εξαρτάται μόνο από τη συνολική μεταβολή της ροής, όχι από τον χρόνο.

Απάντηση: $0{,}1\ T$ · $4 \times 10^{-4}\ C$ · όχι. Έτσι μετρούν οι φυσικοί άγνωστα μαγνητικά πεδία με ένα «πηνίο-ανιχνευτή».

Συνηθισμένα λάθη

ΗΕΔ από σταθερή ροή. Μεγάλη ροή δεν σημαίνει ΗΕΔ· ΗΕΔ υπάρχει μόνο όταν η ροή μεταβάλλεται.
Ξεχασμένο $N$ . Σε πηνίο η ΗΕΔ και το φορτίο πολλαπλασιάζονται επί τον αριθμό των σπειρών.
Μεγαλύτερο ρεύμα = μεγαλύτερο φορτίο. Το $q = \frac{N|\Delta\Phi|}{R_{o\lambda}}$ δεν εξαρτάται από τον ρυθμό.
Εμβαδόν σε $cm^2$ . Μετάτρεψε: $1\ cm^2 = 10^{-4}\ m^2$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Επαγωγή εμφανίζεται μόνο όταν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή (αλλαγή $B$ , $A$ ή $\theta$ ).
Νόμος Faraday: $E_{\epsilon\pi} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ · στο διάγραμμα $\Phi$ – $t$ η ΗΕΔ είναι η κλίση.
Επαγωγικό ρεύμα $I = \frac{|E_{\epsilon\pi}|}{R_{o\lambda}}$ , μόνο σε κλειστό κύκλωμα.
Φορτίο: $q = \frac{N|\Delta\Phi|}{R_{o\lambda}}$ , ανεξάρτητο από τον ρυθμό μεταβολής.
Όταν η ροή περνά από αύξηση σε μείωση, το ρεύμα αλλάζει φορά.

Τα πειράματα του Faraday

Μαγνήτης και πηνίο: όταν ο μαγνήτης μπαίνει ή βγαίνει από πηνίο συνδεδεμένο με γαλβανόμετρο, εμφανίζεται ρεύμα — μόνο όσο κινείται. Πιο γρήγορη κίνηση, μεγαλύτερο ρεύμα· αντίθετη κίνηση, αντίθετο ρεύμα.

Δύο πηνία: κλείνοντας ή ανοίγοντας τον διακόπτη στο ένα, εμφανίζεται στιγμιαίο ρεύμα στο άλλο. Όσο το ρεύμα στο πρώτο μένει σταθερό, στο δεύτερο δεν περνά τίποτα.

Πλαίσιο που στρέφεται ή αλλάζει εμβαδόν μέσα σε μαγνητικό πεδίο: πάλι ρεύμα.