Φωτόνια: Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο & Compton

Το φως πωλείται… σε «πακέτα»

Σκέψου έναν κουμπαρά που δέχεται μόνο κέρματα του ευρώ: δεν μπορείς να βάλεις 1,3 ή 0,7 — μόνο ακέραια πολλαπλάσια του κέρματος. Στις αρχές του 20ού αιώνα οι φυσικοί ανακάλυψαν ότι και η ενέργεια του φωτός συμπεριφέρεται έτσι: ανταλλάσσεται μόνο σε ακέραια πολλαπλάσια μιας στοιχειώδους ποσότητας, του κβάντου.

Ο Planck, μελετώντας την ακτινοβολία του μέλανος σώματος (ενός ιδανικού σώματος που απορροφά όλη την ακτινοβολία που πέφτει πάνω του), αναγκάστηκε να δεχτεί ότι η ενέργεια εκπέμπεται και απορροφάται σε κβάντα ενέργειας:

$$E = hf$$

όπου $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ η σταθερά του Planck. Ο Einstein πήγε το βήμα παραπέρα: το ίδιο το φως αποτελείται από σωματίδια-πακέτα ενέργειας, τα φωτόνια. Κάθε φωτόνιο συχνότητας $f$ κουβαλά ενέργεια $E = hf$ — όσο πιο «μπλε» (μεγαλύτερη $f$) το φως, τόσο πιο «ακριβό» το πακέτο.

Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο

Όταν φως κατάλληλης συχνότητας πέφτει σε μεταλλική επιφάνεια, το μέταλλο εκπέμπει ηλεκτρόνια — τα φωτοηλεκτρόνια. Το πείραμα όμως έκρυβε εκπλήξεις που η κυματική θεωρία ΔΕΝ μπορούσε να εξηγήσει:

1. Υπάρχει συχνότητα κατωφλίου $f_0$, χαρακτηριστική του μετάλλου: για $f < f_0$ δεν εξάγονται ηλεκτρόνια, όσο έντονο κι αν είναι το φως και όσο κι αν περιμένουμε!
2. Η εκπομπή είναι ακαριαία, ακόμα και με ασθενέστατο φως.
3. Η μέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων εξαρτάται μόνο από τη συχνότητα του φωτός — όχι από την έντασή του. Η ένταση καθορίζει μόνο πόσα ηλεκτρόνια εξάγονται ανά δευτερόλεπτο.

Η κυματική εικόνα προέβλεπε το αντίθετο: ότι με αρκετά έντονο φως οποιασδήποτε συχνότητας, τα ηλεκτρόνια θα μάζευαν σιγά-σιγά ενέργεια και θα έφευγαν. Δεν συμβαίνει ποτέ.

Η εξήγηση του Einstein

Η ιδέα είναι απλή και πανέμορφη: η εξαγωγή ηλεκτρονίου είναι «συναλλαγή» ενός φωτονίου με ένα ηλεκτρόνιο. Το ηλεκτρόνιο απορροφά ολόκληρο το φωτόνιο (ενέργεια $hf$) ή τίποτα.

Για να ξεφύγει από το μέταλλο, το ηλεκτρόνιο πρέπει να «πληρώσει διόδια»: το έργο εξαγωγής $W$ — την ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να αποσπαστεί από την επιφάνεια. Ό,τι περισσέψει γίνεται κινητική ενέργεια. Έτσι προκύπτει η φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein:

$$hf = W + K_{max}$$

Η συχνότητα κατωφλίου είναι η $f_0$ για την οποία το φωτόνιο μόλις που «πληρώνει τα διόδια» ($K_{max} = 0$):

$$W = hf_0 \quad \Rightarrow \quad K_{max} = hf - hf_0$$

Όλα τα πειραματικά «μυστήρια» εξηγούνται μονομιάς: αν $hf < W$ δεν φεύγει κανένα ηλεκτρόνιο (όση ένταση κι αν έχει το φως — περισσότερη ένταση σημαίνει απλώς περισσότερα «φτωχά» φωτόνια)· η απορρόφηση είναι ακαριαία· και η $K_{max}$ εξαρτάται μόνο από το $f$.

Ηλεκτρονιοβόλτ, τάση αποκοπής και το διάγραμμα $K_{max}$–$f$

Στην ατομική κλίμακα τα Joule είναι «τεράστια» μονάδα· χρησιμοποιούμε το ηλεκτρονιοβόλτ: την ενέργεια που αποκτά ηλεκτρόνιο όταν επιταχύνεται από τάση $1\ V$,

$$1\ eV = 1{,}6 \times 10^{-19}\ J$$

Στο πείραμα με φωτοκύτταρο, αν δώσουμε στον συλλέκτη αρνητική τάση ως προς το μέταλλο, τα φωτοηλεκτρόνια φρενάρουν. Η ελάχιστη τάση που μηδενίζει το φωτόρευμα λέγεται τάση αποκοπής $V_0$: σταματά ακόμη και τα ταχύτερα ηλεκτρόνια, άρα

$$eV_0 = K_{max} = hf - W$$

Η $V_0$ εξαρτάται μόνο από τη συχνότητα, ενώ το ρεύμα κόρου (όταν μαζεύονται όλα τα φωτοηλεκτρόνια) είναι ανάλογο της έντασης του φωτός.

Η γραφική παράσταση της $K_{max}$ συναρτήσει της $f$ είναι ευθεία με κλίση $h$ — ίδια για κάθε μέταλλο — που τέμνει τον άξονα των συχνοτήτων στο $f_0$ και θα έτεμνε (προεκτεινόμενη) τον κατακόρυφο άξονα στο $-W$.

Μέθοδος: φωτοηλεκτρικό φαινόμενο

1. Μετάτρεψε ό,τι δίνεται σε ενέργεια φωτονίου: $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ (και σε eV αν χρειάζεται).
2. Έργο εξαγωγής από τη συχνότητα κατωφλίου: $W = hf_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$.
3. Έλεγξε αν γίνεται εξαγωγή: $hf > W$;
4. $K_{max} = hf - W$, και αν ζητείται η ταχύτητα: $\upsilon_{max} = \sqrt{\frac{2K_{max}}{m_e}}$.
5. Τάση αποκοπής: $V_0 = \frac{K_{max}}{e}$.
6. Αλλαγή έντασης ⇒ αλλάζει μόνο το πλήθος των ηλεκτρονίων· αλλαγή συχνότητας ⇒ αλλάζει η $K_{max}$.

Το φαινόμενο Compton — το φωτόνιο «συγκρούεται»

Αν το φωτόνιο είναι πραγματικό σωματίδιο, πρέπει να μπορεί και να σκεδάζεται όπως μια μπάλα του μπιλιάρδου. Ο Compton το επιβεβαίωσε: όταν ακτίνες Χ πέφτουν σε ηλεκτρόνια, το σκεδαζόμενο φωτόνιο φεύγει με μεγαλύτερο μήκος κύματος $\lambda' > \lambda$ — έδωσε μέρος της ενέργειάς του στο ηλεκτρόνιο, άρα $hf' < hf$.

Η μετατόπιση εξαρτάται μόνο από τη γωνία σκέδασης $\varphi$:

$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \sigma\upsilon\nu\varphi)$$

Η διατήρηση της ενέργειας στη «σύγκρουση» γράφεται $hf = hf' + K_e$, όπου $K_e$ η κινητική ενέργεια που αποκτά το ηλεκτρόνιο. Φωτοηλεκτρικό και Compton μαζί είναι οι δύο μεγάλες πειραματικές αποδείξεις ότι το φως έχει σωματιδιακή φύση — χωρίς να πάψει να συμπεριφέρεται και ως κύμα (συμβολή, περίθλαση). Αυτός ο δυϊσμός κύματος–σωματιδίου είναι η καρδιά της κβαντικής φυσικής.