🔊

Δύναμη Laplace & Παράλληλοι Αγωγοί

F = BIlημφ, F/l = k₂I₁I₂/d, ορισμός του αμπέρ

Γιατί με νοιάζει;

Κάθε ηλεκτροκινητήρας — από το πλυντήριο μέχρι το ηλεκτρικό αυτοκίνητο — και κάθε μεγάφωνο κινείται με την ίδια δύναμη: τη δύναμη που ασκεί ένα μαγνητικό πεδίο σε ρευματοφόρο αγωγό. Και δύο καλώδια με ρεύμα έλκονται ή απωθούνται μεταξύ τους — σε αυτό στηριζόταν για δεκαετίες ο ορισμός του αμπέρ.

Δύναμη Laplace: το πεδίο σπρώχνει τους αγωγούς

Ένας ρευματοφόρος αγωγός είναι ένα «ποτάμι» κινούμενων φορτίων — άρα μέσα σε μαγνητικό πεδίο, κάθε φορτίο του δέχεται δύναμη Lorentz. Το άθροισμά τους είναι η δύναμη Laplace πάνω στον αγωγό:

$F = BIl\,\eta\mu\varphi$

όπου $l$ το μήκος του αγωγού μέσα στο πεδίο και $\varphi$ η γωνία αγωγού–πεδίου. Όταν ο αγωγός είναι κάθετος στις γραμμές: $F = BIl$ (μέγιστη)· όταν είναι παράλληλος: $F = 0$ . Η φορά βρίσκεται πάλι με τον κανόνα των τριών δαχτύλων (αντίχειρας στη φορά του ρεύματος). Αυτή η δύναμη κάνει τους ηλεκτροκινητήρες να γυρίζουν και τα μεγάφωνα να πάλλονται.

Παράλληλοι αγωγοί

Δύο παράλληλοι αγωγοί «νιώθουν» ο ένας το πεδίο του άλλου. Ανά μονάδα μήκους:

$\frac{F}{l} = k_\mu \frac{2I_1 I_2}{d}$

Αγωγοί με ομόρροπα ρεύματα έλκονται, με αντίρροπα απωθούνται. Στη σχέση αυτή στηρίχθηκε ιστορικά ο ορισμός του Ampere.

$F = BIl\,\eta\mu\varphi, \qquad \frac{F}{l} = k_\mu\frac{2I_1I_2}{d}$

Γρήγορος έλεγχος

Ευθύγραμμος αγωγός μήκους $0{,}2\ m$ διαρρέεται από ρεύμα $4\ A$ και βρίσκεται σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ , σχηματίζοντας γωνία $30°$ με τις δυναμικές γραμμές. Η δύναμη Laplace έχει μέτρο:

Από πού βγαίνει η δύναμη μεταξύ παράλληλων αγωγών

Ο αγωγός 1 (ρεύμα $I_1$ ) δημιουργεί στη θέση του αγωγού 2, σε απόσταση $d$ , πεδίο $B_1 = k_\mu\frac{2I_1}{d}$ , κάθετο στον αγωγό 2. Σε μήκος $l$ του αγωγού 2 ασκείται λοιπόν δύναμη Laplace

$F_{12} = B_1 I_2 l = k_\mu\frac{2I_1I_2}{d}\,l$

Με τον ίδιο τρόπο ο αγωγός 2 ασκεί στον αγωγό 1 δύναμη ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης (3ος νόμος του Newton) — ακόμη κι αν τα ρεύματα είναι άνισα. Με τον κανόνα των τριών δαχτύλων προκύπτει ότι τα ομόρροπα ρεύματα έλκονται και τα αντίρροπα απωθούνται.

Κόλπο μνήμης

Τα ρεύματα κάνουν το ανάποδο από τα φορτία: ομόρροπα ρεύματα έλκονται και αντίρροπα απωθούνται, ενώ τα ομώνυμα φορτία απωθούνται. Σκέψου δύο φίλους που τρέχουν προς την ίδια κατεύθυνση: «κολλάνε» ο ένας στον άλλον.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο μεγάλοι παράλληλοι ευθύγραμμοι αγωγοί διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα. Οι αγωγοί:

Μέθοδος: ασκήσεις με δύναμη Laplace

Βρες τη γωνία $\varphi$ του αγωγού με το $\vec{B}$ και υπολόγισε $F = BIl\,\eta\mu\varphi$ ( $l$ = μήκος μέσα στο πεδίο).
Κατεύθυνση: κανόνας τριών δαχτύλων (αντίχειρας στη φορά του ρεύματος, δείκτης στο $\vec{B}$ ).
Σχεδίασε όλες τις δυνάμεις στον αγωγό (βάρος, τάσεις νημάτων, κάθετη αντίδραση, τριβή, Laplace).
Ισορροπία: $\Sigma F = 0$ · επιταχυνόμενη κίνηση: $\Sigma F = m\alpha$ .
Παράλληλοι αγωγοί: $\frac{F}{l} = k_\mu\frac{2I_1I_2}{d}$ , ίσες και αντίθετες δυνάμεις στους δύο αγωγούς.

Άσκηση: Οριζόντιος αγωγός μάζας $m = 0{,}02\ kg$ και μήκους $l = 0{,}2\ m$ κρέμεται από δύο κατακόρυφα νήματα μέσα σε οριζόντιο ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ , κάθετο στον αγωγό. Πόσο ρεύμα και με ποια φορά πρέπει να περάσει από τον αγωγό, ώστε τα νήματα να μην τεντώνονται; ( $g = 10\ m/s^2$ )

Λύση: Τα νήματα χαλαρώνουν όταν η δύναμη Laplace είναι προς τα πάνω και ισούται με το βάρος:

$BIl = mg \Rightarrow I = \frac{mg}{Bl} = \frac{0{,}02 \cdot 10}{0{,}5 \cdot 0{,}2} = 2\ A$

με φορά τέτοια ώστε ο κανόνας των τριών δαχτύλων να δίνει δύναμη προς τα πάνω. Με αντίθετη φορά ρεύματος η Laplace θα έδειχνε προς τα κάτω και η τάση κάθε νήματος θα γινόταν $\frac{mg + BIl}{2} = 0{,}2\ N$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β/Γ): Δύο μεγάλοι παράλληλοι ευθύγραμμοι αγωγοί απέχουν $d = 0{,}2\ m$ και διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα $I_1 = 10\ A$ και $I_2 = 20\ A$ ( $k_\mu = 10^{-7}\ T \cdot m/A$ ). Να βρεθούν: (α) το πεδίο στο μέσο Μ της απόστασής τους, (β) το σημείο όπου το πεδίο μηδενίζεται, (γ) η δύναμη ανά μονάδα μήκους μεταξύ τους.

Λύση:

(α) Στο Μ ( $r = 0{,}1\ m$ από τον καθένα): $B_1 = 10^{-7}\frac{2 \cdot 10}{0{,}1} = 2 \cdot 10^{-5}\ T$ και $B_2 = 10^{-7}\frac{2 \cdot 20}{0{,}1} = 4 \cdot 10^{-5}\ T$ . Με τον κανόνα του δεξιού χεριού, για ομόρροπα ρεύματα τα δύο πεδία ανάμεσα στους αγωγούς είναι αντίρροπα:

$B_M = B_2 - B_1 = 2 \cdot 10^{-5}\ T$

με την κατεύθυνση του $B_2$ .

(β) Σε απόσταση $x$ από τον αγωγό 1, ανάμεσα στους αγωγούς: $k_\mu\frac{2I_1}{x} = k_\mu\frac{2I_2}{d - x} \Rightarrow 10(0{,}2 - x) = 20x \Rightarrow x = \frac{1}{15}\ m \approx 6{,}7\ cm$ — πιο κοντά στο ασθενέστερο ρεύμα.

(γ) $\frac{F}{\ell} = k_\mu\frac{2I_1I_2}{d} = 10^{-7} \cdot \frac{2 \cdot 10 \cdot 20}{0{,}2} = 2 \cdot 10^{-4}\ N/m$ , ελκτική (ομόρροπα ρεύματα).

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Μεταλλική ράβδος ΚΛ μάζας $m = 0{,}1\ kg$ ακουμπά κάθετα πάνω σε δύο οριζόντιες παράλληλες ράγες που απέχουν $l = 0{,}5\ m$ . Ο συντελεστής τριβής ράβδου–ραγών είναι $\mu = 0{,}2$ . Κατακόρυφο ΟΜΠ $B = 0{,}4\ T$ διαπερνά τη διάταξη. Οι ράγες συνδέονται με πηγή ΗΕΔ $E = 12\ V$ και η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι $R_{o\lambda} = 4\ \Omega$ . (α) Να βρείτε το ρεύμα και τη δύναμη Laplace τη στιγμή που κλείνουμε τον διακόπτη. (β) Θα κινηθεί η ράβδος; Αν ναι, με ποια αρχική επιτάχυνση; (γ) Ποιο είναι το ελάχιστο ρεύμα για να ξεκινήσει να κινείται; ( $g = 10\ m/s^2$ )

Δεδομένα: $m = 0{,}1\ kg$ , $l = 0{,}5\ m$ , $\mu = 0{,}2$ , $B = 0{,}4\ T$ , $E = 12\ V$ , $R_{o\lambda} = 4\ \Omega$ . Ζητούμενα: $I$ , $F_L$ , $\alpha_0$ , $I_{min}$ .

Λύση:

(α) $I = \frac{E}{R_{o\lambda}} = 3\ A$ και $F_L = BIl = 0{,}4 \cdot 3 \cdot 0{,}5 = 0{,}6\ N$ , οριζόντια και κάθετη στη ράβδο.

(β) Μέγιστη στατική τριβή $\mu mg = 0{,}2 \cdot 0{,}1 \cdot 10 = 0{,}2\ N < 0{,}6\ N$ : η ράβδος κινείται. $\alpha_0 = \frac{F_L - \mu mg}{m} = \frac{0{,}6 - 0{,}2}{0{,}1} = 4\ m/s^2$ .

(γ) Οριακά $BI_{min}l = \mu mg \Rightarrow I_{min} = \frac{0{,}2}{0{,}4 \cdot 0{,}5} = 1\ A$ .

Απάντηση: $I = 3\ A$ , $F_L = 0{,}6\ N$ · ναι, με $\alpha_0 = 4\ m/s^2$ · $I_{min} = 1\ A$ . (Μόλις η ράβδος αποκτήσει ταχύτητα εμφανίζεται και επαγωγή, που θα τη μελετήσουμε στα επόμενα κεφάλαια.)

Γρήγορος έλεγχος

Δύο παράλληλοι ευθύγραμμοι αγωγοί διαρρέονται από ρεύματα $I$ και $3I$ . Πώς συγκρίνεται η δύναμη που δέχεται ο αγωγός με το $3I$ με τη δύναμη που δέχεται ο αγωγός με το $I$ (ανά μονάδα μήκους);

Ήξερες ότι;

Μέχρι το 2019 το αμπέρ οριζόταν ακριβώς με δύο παράλληλους αγωγούς: $1\ A$ ήταν το σταθερό ρεύμα που, όταν διαρρέει δύο ευθύγραμμους παράλληλους αγωγούς απείρου μήκους σε απόσταση $1\ m$ στο κενό, προκαλεί μεταξύ τους δύναμη $2 \times 10^{-7}\ N$ ανά μέτρο μήκους. Από το 2019 το αμπέρ ορίζεται μέσω του φορτίου του ηλεκτρονίου.

Πρόκληση

Το σημείο της «σιωπής». Δύο μεγάλοι παράλληλοι ευθύγραμμοι αγωγοί απέχουν $d = 0{,}2\ m$ και διαρρέονται από αντίρροπα ρεύματα $I_1 = 10\ A$ και $I_2 = 30\ A$ ( $k_\mu = 10^{-7}\ T \cdot m/A$ ). (α) Υπάρχει σημείο ανάμεσα στους αγωγούς όπου το συνολικό πεδίο μηδενίζεται; (β) Βρες το σημείο του επιπέδου των αγωγών όπου $B_{\text{ολ}} = 0$ . (γ) Πόση δύναμη ανά μέτρο μήκους ασκεί ο ένας αγωγός στον άλλον, και είναι ελκτική ή απωστική;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Όχι. Με τον κανόνα του δεξιού χεριού, ανάμεσα σε αντίρροπα ρεύματα τα δύο πεδία έχουν την ίδια φορά και προστίθενται. Μηδενισμός γίνεται μόνο έξω από τους αγωγούς, όπου τα πεδία είναι αντίθετα.

(β) Για να είναι ίσα τα μέτρα, το σημείο πρέπει να είναι πιο κοντά στο μικρότερο ρεύμα: σε απόσταση $x$ από τον αγωγό 1, στην εξωτερική του πλευρά, άρα σε απόσταση $x + d$ από τον αγωγό 2.

$k_\mu\frac{2I_1}{x} = k_\mu\frac{2I_2}{x + d} \Rightarrow \frac{10}{x} = \frac{30}{x + 0{,}2} \Rightarrow 10x + 2 = 30x \Rightarrow x = 0{,}1\ m$

(γ) Ο αγωγός 2 βρίσκεται στο πεδίο του 1: $B_1 = k_\mu\frac{2I_1}{d} = 10^{-7} \cdot \frac{20}{0{,}2} = 10^{-5}\ T$ . Δύναμη Laplace ανά μέτρο μήκους: $\frac{F}{\ell} = B_1 I_2 = 10^{-5} \cdot 30 = 3 \times 10^{-4}\ N/m$ . Τα αντίρροπα ρεύματα απωθούνται.

Απάντηση: (α) όχι· (β) $0{,}1\ m$ έξω από τον αγωγό του $I_1$ , στην πλευρά που δεν είναι ο $I_2$ · (γ) $3 \times 10^{-4}\ N/m$ , απωστική.

Συνηθισμένα λάθη

Γωνία στη δύναμη Laplace. Η $\varphi$ είναι η γωνία του αγωγού με το $\vec{B}$ και μπαίνει ημίτονο: παράλληλος αγωγός ⇒ $F = 0$ .
Άνισες δυνάμεις σε άνισα ρεύματα. Οι δύο αγωγοί δέχονται ίσες και αντίθετες δυνάμεις.
Ανάποδη έλξη/άπωση. Ομόρροπα ρεύματα έλκονται, αντίρροπα απωθούνται — το αντίθετο από τα ομώνυμα φορτία.
Ολόκληρο το μήκος του αγωγού. Στο $F = BIl$ μπαίνει μόνο το μήκος που βρίσκεται μέσα στο πεδίο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δύναμη Laplace: $F = BIl\,\eta\mu\varphi$ — το άθροισμα των δυνάμεων Lorentz στα φορτία του ρεύματος.
Μέγιστη για αγωγό κάθετο στις γραμμές, μηδέν για παράλληλο· φορά με κανόνα τριών δαχτύλων.
Παράλληλοι αγωγοί: $\frac{F}{l} = k_\mu\frac{2I_1I_2}{d}$ , ίσες και αντίθετες δυνάμεις.
Ομόρροπα ρεύματα έλκονται, αντίρροπα απωθούνται.
Εφαρμογές: ηλεκτροκινητήρες, μεγάφωνα, (ιστορικός) ορισμός του αμπέρ.

Δύναμη Laplace: το πεδίο σπρώχνει τους αγωγούς

F = BIl\,\eta\mu\varphi

όπου

l

το μήκος του αγωγού μέσα στο πεδίο και

\varphi

η γωνία αγωγού–πεδίου. Όταν ο αγωγός είναι κάθετος στις γραμμές:

F = BIl

(μέγιστη)· όταν είναι παράλληλος:

F = 0

. Η φορά βρίσκεται πάλι με τον κανόνα των τριών δαχτύλων (αντίχειρας στη φορά του ρεύματος). Αυτή η δύναμη κάνει τους ηλεκτροκινητήρες να γυρίζουν και τα μεγάφωνα να πάλλονται.

Παράλληλοι αγωγοί

Δύο παράλληλοι αγωγοί «νιώθουν» ο ένας το πεδίο του άλλου. Ανά μονάδα μήκους:

\frac{F}{l} = k_\mu \frac{2I_1 I_2}{d}