🔁

Νόμος του Ampère & Μαγνητική Ροή

Σ(B∥Δl) = μ₀ΣI, Φ = BAσυνθ, Weber

Γιατί με νοιάζει;

Ο νόμος του Ampère είναι μια «συντόμευση»: με μία γραμμή δίνει το πεδίο ευθύγραμμου αγωγού ή σωληνοειδούς χωρίς να αθροίσεις ούτε ένα στοιχείο ρεύματος. Και η μαγνητική ροή είναι το μέγεθος που, όταν αλλάζει, παράγει το ρεύμα στην πρίζα σου — η βάση όλης της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής που ακολουθεί.

Ο νόμος του Ampère

Χωρίζουμε μια κλειστή διαδρομή μέσα στο πεδίο σε μικρά τμήματα $\Delta l$ και για καθένα παίρνουμε τη συνιστώσα $B_\parallel$ του πεδίου κατά μήκος του τμήματος. Ο νόμος του Ampère λέει:

$\Sigma(B_\parallel\Delta l) = \mu_0\,\Sigma I_{\varepsilon\gamma\kappa}, \qquad \mu_0 = 4\pi k_\mu = 4\pi \times 10^{-7}\ T \cdot m/A$

Στο δεξί μέλος μετρούν μόνο τα ρεύματα που περικλείει η διαδρομή, με πρόσημο (κανόνας δεξιού χεριού ως προς τη φορά διαγραφής).
Τα ρεύματα έξω από τη διαδρομή δεν μπαίνουν στο άθροισμα — επηρεάζουν όμως το $B$ σε κάθε σημείο της.

Εφαρμογή 1 — ευθύγραμμος αγωγός. Διαλέγουμε κύκλο ακτίνας $r$ γύρω από τον αγωγό. Λόγω συμμετρίας το $B$ έχει παντού το ίδιο μέτρο και είναι εφαπτόμενο: $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \Rightarrow B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = k_\mu\frac{2I}{r}$ .

Εφαρμογή 2 — σωληνοειδές. Διαλέγουμε ορθογώνια διαδρομή με μία πλευρά μήκους $l$ μέσα στο σωληνοειδές, παράλληλα στον άξονα. Συνεισφέρει μόνο αυτή η πλευρά (έξω $B \approx 0$ , στις κάθετες πλευρές $B_\parallel = 0$ ) και περικλείονται $N$ σπείρες: $Bl = \mu_0 NI \Rightarrow B = \mu_0\frac{N}{l}I = k_\mu 4\pi\frac{N}{l}I$ .

$\Sigma(B_\parallel\Delta l) = \mu_0\,\Sigma I_{\varepsilon\gamma\kappa}, \qquad \Phi = BA\,\sigma\upsilon\nu\theta, \qquad 1\ Wb = 1\ T \cdot m^2$

Γρήγορος έλεγχος

Μια κλειστή διαδρομή περικλείει δύο ρεύματα ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς. Τι συμπεραίνουμε από τον νόμο του Ampère;

Μαγνητική ροή

Η μαγνητική ροή $\Phi$ μετρά «πόσες δυναμικές γραμμές» του μαγνητικού πεδίου διαπερνούν μια επιφάνεια εμβαδού $A$ . Αν $\theta$ είναι η γωνία ανάμεσα στο $\vec{B}$ και στην κάθετο της επιφάνειας:

$\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$

Μονάδα της είναι το Weber ( $1\ Wb = 1\ T \cdot m^2$ ). Μέγιστη ροή όταν το πεδίο «τρυπά» κάθετα την επιφάνεια ( $\theta = 0°$ ), μηδενική όταν είναι παράλληλο σε αυτή ( $\theta = 90°$ ).

Η ροή μπορεί να μεταβληθεί με τρεις τρόπους: αλλάζοντας το $B$ , το $A$ ή τη γωνία $\theta$ — και κάθε τέτοια μεταβολή «γεννά» ηλεκτρισμό!

Η ροή ως αλγεβρικό μέγεθος

Η ροή είναι μονόμετρο μέγεθος με πρόσημο: αν διαλέξουμε μια φορά για την κάθετο της επιφάνειας, για $\theta < 90°$ η ροή είναι θετική και για $\theta > 90°$ αρνητική. Γι' αυτό, όταν ένα πλαίσιο κάθετο στις γραμμές στρέφεται κατά $180°$ , η ροή πάει από $+BA$ σε $-BA$ :

$\Delta\Phi = -BA - BA = -2BA$

— όχι μηδέν! Επίσης, οι μαγνητικές γραμμές είναι κλειστές: όσες μπαίνουν σε μια κλειστή επιφάνεια, τόσες βγαίνουν. Άρα η ολική μαγνητική ροή από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι μηδέν. Σε πηνίο με $N$ σπείρες η συνολική ροή που «πλέκεται» με αυτό είναι $N\Phi$ .

Γρήγορος έλεγχος

Επίπεδο πλαίσιο εμβαδού $0{,}2\ m^2$ βρίσκεται σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ , και το επίπεδό του σχηματίζει γωνία $30°$ με τις δυναμικές γραμμές. Η μαγνητική ροή που το διαπερνά είναι:

Μέθοδος: νόμος Ampère και μαγνητική ροή

Ampère: διάλεξε διαδρομή που «ταιριάζει» στη συμμετρία (κύκλο γύρω από ευθύγραμμο αγωγό, ορθογώνιο στο σωληνοειδές), ώστε το $B$ να είναι σταθερό και εφαπτόμενο ή κάθετο σε κάθε κομμάτι.
Άθροισε αλγεβρικά μόνο τα περικλειόμενα ρεύματα και λύσε ως προς $B$ .
Ροή: βρες τη γωνία $\theta$ του $\vec{B}$ με την κάθετο της επιφάνειας (αν δίνεται η γωνία με το επίπεδο, $\theta = 90° -$ γωνία).
$\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$ ανά σπείρα, $N\Phi$ για πηνίο. Εμβαδόν σε $m^2$ ( $1\ cm^2 = 10^{-4}\ m^2$ ).
Μεταβολή ροής: $\Delta\Phi = \Phi_{\tau\varepsilon\lambda} - \Phi_{\alpha\rho\chi}$ με τα πρόσημα· σε αναστροφή $180°$ , $|\Delta\Phi| = 2BA$ .

Άσκηση (Ampère): Ευθύγραμμος αγωγός διαρρέεται από ρεύμα $10\ A$ . (α) Πόσο είναι το άθροισμα $\Sigma(B_\parallel\Delta l)$ σε κύκλο ακτίνας $5\ cm$ γύρω του; (β) Βρες από αυτό το $B$ στον κύκλο. (γ) Ένας άλλος κύκλος περικλείει δύο αγωγούς με ρεύματα $10\ A$ προς τα έξω και $4\ A$ προς τα μέσα. Πόσο είναι το άθροισμα εκεί;

Λύση:

(α) $\Sigma(B_\parallel\Delta l) = \mu_0 I = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 10 = 4\pi \times 10^{-6}\ T \cdot m$ .

(β) $B \cdot 2\pi r = 4\pi \times 10^{-6} \Rightarrow B = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{2\pi \cdot 0{,}05} = 4 \times 10^{-5}\ T$ (έλεγχος: $10^{-7} \cdot \frac{20}{0{,}05} = 4 \times 10^{-5}\ T$ ✓).

(γ) $\Sigma I_{\varepsilon\gamma\kappa} = 10 - 4 = 6\ A$ , άρα $\Sigma(B_\parallel\Delta l) = 2{,}4\pi \times 10^{-6} \approx 7{,}5 \times 10^{-6}\ T \cdot m$ .

Άσκηση (ροή): Πλαίσιο εμβαδού $0{,}04\ m^2$ βρίσκεται σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ με το επίπεδό του κάθετο στις γραμμές. Να βρεθεί η μεταβολή της ροής όταν το πλαίσιο στραφεί ώστε η κάθετός του να σχηματίζει με τις γραμμές γωνία (α) $60°$ , (β) $90°$ , (γ) $180°$ .

Λύση: Αρχικά $\theta = 0$ : $\Phi_0 = 0{,}5 \cdot 0{,}04 = 0{,}02\ Wb$ .

(α) $\Phi = 0{,}02 \cdot 0{,}5 = 0{,}01\ Wb$ , $\Delta\Phi = -0{,}01\ Wb$ .

(β) $\Phi = 0$ , $\Delta\Phi = -0{,}02\ Wb$ .

(γ) $\Phi = -0{,}02\ Wb$ , $\Delta\Phi = -0{,}04\ Wb$ — διπλάσια από το (β), γιατί η ροή αλλάζει και πρόσημο.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Σωληνοειδές με $N = 1000$ σπείρες σε μήκος $l = 0{,}5\ m$ διαρρέεται από ρεύμα $I = 2\ A$ . Στο εσωτερικό του υπάρχει μικρό πηνίο $N' = 50$ σπειρών, εμβαδού $A = 4\ cm^2$ , του οποίου η κάθετος σχηματίζει γωνία $60°$ με τον άξονα του σωληνοειδούς. (α) Να βρείτε το πεδίο στο εσωτερικό του σωληνοειδούς με τον νόμο του Ampère. (β) Να βρείτε τη ροή ανά σπείρα και τη συνολική ροή από το μικρό πηνίο. (γ) Τι θα γίνει η συνολική ροή αν διπλασιαστεί το ρεύμα;

Δεδομένα: $N = 1000$ , $l = 0{,}5\ m$ , $I = 2\ A$ , $N' = 50$ , $A = 4 \times 10^{-4}\ m^2$ , $\theta = 60°$ . Ζητούμενα: $B$ , $\Phi$ , $N'\Phi$ , νέα ροή.

Λύση:

(α) $B = \mu_0\frac{N}{l}I = 4\pi \times 10^{-7} \cdot \frac{1000}{0{,}5} \cdot 2 = 1{,}6\pi \times 10^{-3}\ T \approx 5 \times 10^{-3}\ T$ .

(β) $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu 60° = 1{,}6\pi \times 10^{-3} \cdot 4 \times 10^{-4} \cdot 0{,}5 = 0{,}32\pi \times 10^{-6} \approx 10^{-6}\ Wb$ ανά σπείρα, άρα $N'\Phi \approx 5 \times 10^{-5}\ Wb$ .

(γ) $B \propto I$ , άρα διπλάσιο πεδίο και διπλάσια ροή: $\approx 10^{-4}\ Wb$ .

Απάντηση: $B \approx 5 \times 10^{-3}\ T$ · $\Phi \approx 10^{-6}\ Wb$ , $N'\Phi \approx 5 \times 10^{-5}\ Wb$ · διπλασιάζεται.

Γρήγορος έλεγχος

Πλαίσιο με το επίπεδό του κάθετο στις γραμμές ΟΜΠ έχει ροή $\Phi_0$ . Το στρέφουμε κατά $180°$ . Πόση είναι η μεταβολή της ροής;

Ήξερες ότι;

Όσες φορές κι αν κόψεις έναν μαγνήτη, κάθε κομμάτι έχει πάντα βόρειο και νότιο πόλο. Μαγνητικό μονόπολο δεν έχει παρατηρηθεί ποτέ, παρότι το αναζητούν πειράματα εδώ και δεκαετίες. Γι' αυτό οι μαγνητικές γραμμές είναι κλειστές και η ροή από κάθε κλειστή επιφάνεια είναι μηδέν.

Πρόκληση

Το άγνωστο ρεύμα. Τρεις παράλληλοι ευθύγραμμοι αγωγοί είναι κάθετοι στο χαρτί: $I_1 = 5\ A$ προς τα έξω, $I_2 = 3\ A$ προς τα μέσα και $I_3$ άγνωστο. Η διαδρομή $C_1$ περικλείει μόνο τους 1 και 2. Η διαδρομή $C_2$ περικλείει και τους τρεις, και μετράμε $\Sigma(B_\parallel\Delta l) = 0$ πάνω της. (α) Πόσο είναι το άθροισμα στη $C_1$ (με θετική τη φορά του $I_1$ ); (β) Πόσο είναι το $I_3$ και ποια η φορά του; (γ) Είναι το $B$ μηδέν σε κάθε σημείο της $C_2$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $\Sigma(B_\parallel\Delta l) = \mu_0(5 - 3) = 8\pi \times 10^{-7} \approx 2{,}5 \times 10^{-6}\ T \cdot m$ .

(β) $\mu_0(5 - 3 + I_3) = 0 \Rightarrow I_3 = -2\ A$ : μέτρο $2\ A$ , προς τα μέσα.

(γ) Όχι. Ο νόμος μηδενίζει μόνο το άθροισμα· σε κάθε σημείο το πεδίο είναι το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων των τριών αγωγών, που γενικά δεν μηδενίζεται.

Απάντηση: $8\pi \times 10^{-7}\ T \cdot m$ · $2\ A$ προς τα μέσα· όχι.

Συνηθισμένα λάθη

Ampère = « $B = 0$ αν δεν περικλείεται ρεύμα». Μηδενίζεται το άθροισμα $\Sigma(B_\parallel\Delta l)$ , όχι το πεδίο.
Γωνία με το επίπεδο αντί για την κάθετο. Στο $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$ η $\theta$ μετριέται από την κάθετο της επιφάνειας.
Αναστροφή χωρίς αλλαγή προσήμου. Στροφή $180°$ δίνει $|\Delta\Phi| = 2BA$ , όχι μηδέν.
$\mu_0$ και $k_\mu$ . $\mu_0 = 4\pi k_\mu = 4\pi \times 10^{-7}\ T \cdot m/A$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Νόμος Ampère: $\Sigma(B_\parallel\Delta l) = \mu_0\Sigma I_{\varepsilon\gamma\kappa}$ με $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ T \cdot m/A$ .
Με συμμετρία δίνει $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ (ευθύγραμμος) και $B = \mu_0\frac{N}{l}I$ (σωληνοειδές).
Μαγνητική ροή: $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$ σε $Wb$ , με $\theta$ τη γωνία του $\vec{B}$ με την κάθετο.
Η ροή αλλάζει με $B$ , $A$ ή $\theta$ · είναι αλγεβρικό μέγεθος.
Η ροή από κλειστή επιφάνεια είναι μηδέν (κλειστές γραμμές, χωρίς μονόπολα).

Ο νόμος του Ampère

Χωρίζουμε μια κλειστή διαδρομή μέσα στο πεδίο σε μικρά τμήματα

\Delta l

και για καθένα παίρνουμε τη συνιστώσα

B_\parallel

του πεδίου κατά μήκος του τμήματος. Ο νόμος του Ampère λέει:

\Sigma(B_\parallel\Delta l) = \mu_0\,\Sigma I_{\varepsilon\gamma\kappa}, \qquad \mu_0 = 4\pi k_\mu = 4\pi \times 10^{-7}\ T \cdot m/A

Στο δεξί μέλος μετρούν μόνο τα ρεύματα που περικλείει η διαδρομή, με πρόσημο (κανόνας δεξιού χεριού ως προς τη φορά διαγραφής).

Τα ρεύματα έξω από τη διαδρομή δεν μπαίνουν στο άθροισμα — επηρεάζουν όμως το

B

σε κάθε σημείο της.

Εφαρμογή 1 — ευθύγραμμος αγωγός. Διαλέγουμε κύκλο ακτίνας

r

γύρω από τον αγωγό. Λόγω συμμετρίας το

B

έχει παντού το ίδιο μέτρο και είναι εφαπτόμενο:

B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \Rightarrow B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = k_\mu\frac{2I}{r}

Εφαρμογή 2 — σωληνοειδές. Διαλέγουμε ορθογώνια διαδρομή με μία πλευρά μήκους

l

μέσα στο σωληνοειδές, παράλληλα στον άξονα. Συνεισφέρει μόνο αυτή η πλευρά (έξω

B \approx 0

, στις κάθετες πλευρές

B_\parallel = 0

) και περικλείονται

N

σπείρες:

Bl = \mu_0 NI \Rightarrow B = \mu_0\frac{N}{l}I = k_\mu 4\pi\frac{N}{l}I

Μαγνητική ροή

Η μαγνητική ροή

\Phi

μετρά «πόσες δυναμικές γραμμές» του μαγνητικού πεδίου διαπερνούν μια επιφάνεια εμβαδού

A

. Αν

\theta

είναι η γωνία ανάμεσα στο

\vec{B}

και στην κάθετο της επιφάνειας:

\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta

Μονάδα της είναι το Weber (

1\ Wb = 1\ T \cdot m^2

). Μέγιστη ροή όταν το πεδίο «τρυπά» κάθετα την επιφάνεια (

\theta = 0°

), μηδενική όταν είναι παράλληλο σε αυτή (

\theta = 90°

Η ροή μπορεί να μεταβληθεί με τρεις τρόπους: αλλάζοντας το

B

, το

A

ή τη γωνία

\theta

— και κάθε τέτοια μεταβολή «γεννά» ηλεκτρισμό!