⚡

Έργο & Κινητική Ενέργεια (ΘΜΚΕ)

W = F·x·συνθ, έργο βάρους, K = ½mυ², Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας

Αν κρατάς μια βαριά τσάντα ακίνητος για μισή ώρα, κουράζεσαι. Παράγεις όμως έργο;

Στη Φυσική, όχι! Μια δύναμη παράγει έργο μόνο όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της. Το «έργο» της Φυσικής δεν μετρά την κούραση, αλλά την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε ένα άλλο. Εδώ θα μάθεις να το υπολογίζεις και να το συνδέεις με την ταχύτητα ενός σώματος μέσω του πιο χρήσιμου θεωρήματος της μηχανικής, του ΘΜΚΕ.

Το έργο: η ενέργεια που «μετακομίζει»

Όταν μια δύναμη $F$ μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά $x$ , παράγει (ή καταναλώνει) έργο:

$W = F \cdot x \cdot \text{συν}\theta$

όπου $\theta$ η γωνία ανάμεσα στη δύναμη και τη μετατόπιση. Το έργο εκφράζει μεταφορά ενέργειας προς ή από το σώμα, με μονάδα το Joule ( $1 \ \text{J} = 1 \ \text{N} \cdot \text{m}$ ).

Το πρόσημο τα λέει όλα:

$\theta = 0°$ : $W = F x$ — η δύναμη «ταΐζει» το σώμα ενέργεια
$\theta = 90°$ : $W = 0$ — κάθετη δύναμη δεν παράγει έργο (όπως το $N$ σε οριζόντιο δάπεδο!)
$\theta = 180°$ : $W = -F x$ — η δύναμη αφαιρεί ενέργεια (κλασικό παράδειγμα η τριβή)

$W = F \cdot x \cdot \text{συν}\theta, \qquad K = \frac{1}{2} m \upsilon^2, \qquad W_{o\lambda} = \Delta K$

Γρήγορος έλεγχος

Κιβώτιο σύρεται $5 \ \text{m}$ σε οριζόντιο δάπεδο. Ποια δύναμη παράγει μηδενικό έργο;

Το έργο του βάρους

Όταν ένα σώμα κατεβαίνει κατακόρυφα κατά ύψος $h$ , το βάρος είναι ομόρροπο της μετατόπισης: $W_w = +mgh$ . Όταν ανεβαίνει, είναι αντίρροπο: $W_w = -mgh$ .

Το ίδιο ισχύει και σε πλαγιά: σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας $\phi$ και μήκους $s$ , η γωνία ανάμεσα στο βάρος και τη μετατόπιση είναι $90^{\circ} - \phi$ , οπότε $W_w = mg \cdot s \cdot \eta\mu\phi = mgh$ , αφού $s\,\eta\mu\phi = h$ . Το έργο του βάρους εξαρτάται μόνο από την υψομετρική διαφορά αρχικής και τελικής θέσης, όχι από τη διαδρομή.

ΘΜΚΕ: το θεώρημα που μετράει την αλλαγή

Η κινητική ενέργεια $K = \frac{1}{2} m \upsilon^2$ είναι η ενέργεια λόγω κίνησης. Το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) λέει ότι το συνολικό έργο όλων των δυνάμεων ισούται με τη μεταβολή της:

$W_{o\lambda} = \Delta K = K_{\tau\epsilon\lambda} - K_{\alpha\rho\chi} = \frac{1}{2} m \upsilon^2 - \frac{1}{2} m \upsilon_0^2$

Το ΘΜΚΕ ισχύει πάντα, για κάθε είδους δυνάμεις — με ή χωρίς τριβές. Θετικό συνολικό έργο σημαίνει ότι το σώμα επιταχύνεται, αρνητικό ότι επιβραδύνεται.

Κόλπο μνήμης

σκέψου την κινητική ενέργεια ως υπόλοιπο τραπεζικού λογαριασμού. Κάθε δύναμη κάνει μια κίνηση: έργο $W > 0$ είναι κατάθεση, έργο $W < 0$ (π.χ. τριβή) είναι ανάληψη. Το ΘΜΚΕ λέει απλώς: τελικό υπόλοιπο − αρχικό υπόλοιπο = άθροισμα όλων των κινήσεων, $K_{\tau\varepsilon\lambda} - K_{\alpha\rho\chi} = \Sigma W$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα μάζας $2 \ \text{kg}$ ανυψώνεται κατακόρυφα κατά $3 \ \text{m}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Το έργο του βάρους του είναι:

Μέθοδος: ασκήσεις με ΘΜΚΕ

Όρισε την αρχική και την τελική θέση του σώματος.
Σχεδίασε όλες τις δυνάμεις και βρες το έργο καθεμιάς: $W = Fx\,\text{συν}\theta$ , $W_w = \pm mgh$ , $W_N = 0$ όταν η $N$ είναι κάθετη στην τροχιά.
Άθροισε: $W_{o\lambda} = W_1 + W_2 + \dots$ (με τα πρόσημα).
Γράψε $W_{o\lambda} = \frac{1}{2}m\upsilon_{\tau\varepsilon\lambda}^2 - \frac{1}{2}m\upsilon_{\alpha\rho\chi}^2$ και λύσε για τον άγνωστο.
Το ΘΜΚΕ δεν χρειάζεται χρόνο ούτε επιτάχυνση: προτίμησέ το όταν η άσκηση μιλά για ταχύτητες και αποστάσεις.

Παράδειγμα (έργο πλάγιας δύναμης και ΘΜΚΕ): Κιβώτιο μάζας $m = 5 \ \text{kg}$ ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Το τραβάμε με σταθερή δύναμη $F = 50 \ \text{N}$ που σχηματίζει γωνία $\theta = 60^{\circ}$ με το δάπεδο, και το κιβώτιο μετατοπίζεται οριζόντια κατά $x = 10 \ \text{m}$ . Να βρεθούν τα έργα των δυνάμεων και η τελική ταχύτητα.

Λύση: Έργο της $F$ : $W_F = F x \, \text{συν}60^{\circ} = 50 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 250 \ \text{J}$ .

Το βάρος και η κάθετη δύναμη είναι κάθετα στη μετατόπιση: $W_w = W_N = 0$ .

ΘΜΚΕ από την ηρεμία:

$W_{o\lambda} = \frac{1}{2}m\upsilon^2 - 0 \Rightarrow 250 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \upsilon^2 \Rightarrow \upsilon^2 = 100 \Rightarrow \upsilon = 10 \ \text{m/s}$

Πρόσεξε: έργο παράγει μόνο η συνιστώσα της $F$ κατά τη μετατόπιση, $F\text{συν}60^{\circ} = 25 \ \text{N}$ .

Παράδειγμα (ΘΜΚΕ σε κατακόρυφη κίνηση): Μπάλα μάζας $0{,}5 \ \text{kg}$ εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με $\upsilon_0 = 20 \ \text{m/s}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , χωρίς αντίσταση αέρα). α) Πόση είναι η αρχική κινητική της ενέργεια; β) Σε πόσο ύψος σταματά στιγμιαία;

Λύση: α) $K_0 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 400 = 100 \ \text{J}$ .

β) Από την εκτόξευση ως το ανώτατο σημείο έργο παράγει μόνο το βάρος, $W_w = -mgh$ . ΘΜΚΕ:

$-mgh = 0 - K_0 \Rightarrow h = \frac{100}{0{,}5 \cdot 10} = 20 \ \text{m}$

Έλεγχος: $h = \frac{\upsilon_0^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20 \ \text{m}$ ✔

Γρήγορος έλεγχος

Αν διπλασιαστεί η ταχύτητα ενός σώματος, η κινητική του ενέργεια:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Κιβώτιο μάζας $m = 4 \ \text{kg}$ ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο με $\mu = 0{,}25$ . Του ασκείται οριζόντια δύναμη $F = 30 \ \text{N}$ για διαδρομή $x_1 = 8 \ \text{m}$ και μετά καταργείται ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ).

Δεδομένα: $m = 4 \ \text{kg}$ , $\mu = 0{,}25$ , $F = 30 \ \text{N}$ , $x_1 = 8 \ \text{m}$ , $\upsilon_0 = 0$ .

Ζητούμενα: α) τα έργα όλων των δυνάμεων στα πρώτα $8 \ \text{m}$ , β) η ταχύτητα στο τέλος των $8 \ \text{m}$ , γ) η απόσταση που διανύει μετά την κατάργηση της $F$ μέχρι να σταματήσει.

Λύση: $N = mg = 40 \ \text{N}$ και $T = \mu N = 10 \ \text{N}$ .

α) $W_F = 30 \cdot 8 = 240 \ \text{J}$ , $W_T = -10 \cdot 8 = -80 \ \text{J}$ , $W_w = W_N = 0$ (κάθετες στη μετατόπιση).

β) ΘΜΚΕ: $240 - 80 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \upsilon^2 \Rightarrow \upsilon^2 = 80 \Rightarrow \upsilon = 4\sqrt{5} \approx 8{,}9 \ \text{m/s}$ .

γ) Τώρα $K = 160 \ \text{J}$ και έργο παράγει μόνο η τριβή: $-T x_2 = 0 - 160 \Rightarrow x_2 = 16 \ \text{m}$ .

Απάντηση: α) $240 \ \text{J}$ , $-80 \ \text{J}$ , $0$ , $0$ β) $4\sqrt{5} \approx 8{,}9 \ \text{m/s}$ γ) $16 \ \text{m}$ .

Ήξερες ότι;

Ένα μέτριο μήλο έχει μάζα περίπου $100 \ \text{g}$ , άρα βάρος περίπου $1 \ \text{N}$ . Αν το σηκώσεις αργά κατά $1 \ \text{m}$ , προσφέρεις έργο περίπου $1 \ \text{J}$ . Ένα γεύμα 500 θερμίδων διατροφής (kcal) αντιστοιχεί σε περίπου δύο εκατομμύρια joule — θεωρητικά αρκεί για να σηκώσεις δύο εκατομμύρια μήλα κατά ένα μέτρο!

Πρόκληση

Διπλάσια ταχύτητα, πόσο φρενάρισμα; Αυτοκίνητο φρενάρει με μπλοκαρισμένους τροχούς σε οριζόντιο δρόμο με $\mu = 0{,}8$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). α) Με το ΘΜΚΕ βρες την απόσταση φρεναρίσματος ως συνάρτηση της αρχικής ταχύτητας $\upsilon_0$ . β) Πόση είναι για $\upsilon_0 = 36 \ \text{km/h}$ και πόση για $72 \ \text{km/h}$ ; γ) Επηρεάζει η μάζα του αυτοκινήτου;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Έργο παράγει μόνο η τριβή $T = \mu mg$ , αντίρροπη της κίνησης:

$-\mu mg \cdot d = 0 - \frac{1}{2}m\upsilon_0^2 \Rightarrow d = \frac{\upsilon_0^2}{2\mu g}$

β) Για $10 \ \text{m/s}$ : $d = \frac{100}{16} = 6{,}25 \ \text{m}$ . Για $20 \ \text{m/s}$ : $d = \frac{400}{16} = 25 \ \text{m}$ — τετραπλάσια.

γ) Όχι: η μάζα απλοποιείται. Βαρύτερο αυτοκίνητο έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, αλλά και ανάλογα μεγαλύτερη τριβή.

Απάντηση: $d = \frac{\upsilon_0^2}{2\mu g}$ · $6{,}25 \ \text{m}$ και $25 \ \text{m}$ · όχι. Η κινητική ενέργεια πάει με το $\upsilon^2$ , γι' αυτό η απόσταση φρεναρίσματος τετραπλασιάζεται.

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος γωνία στο $W = Fx\,\text{συν}\theta$ : η $\theta$ είναι ανάμεσα στη δύναμη και τη μετατόπιση. Διόρθωση: σχεδίασε και τα δύο διανύσματα πριν γράψεις συνημίτονο.
Ξεχασμένο έργο βάρους στο ΘΜΚΕ: σε κεκλιμένο ή κατακόρυφη κίνηση το $W_w = \pm mgh$ μπαίνει στο $W_{o\lambda}$ . Διόρθωση: κάνε λίστα με όλες τις δυνάμεις και το έργο καθεμιάς.
«Κρατάω βάρος, άρα παράγω έργο»: χωρίς μετατόπιση $W = 0$ , όση κούραση κι αν νιώθεις.
$\upsilon$ αντί για $\upsilon^2$ : διπλάσια ταχύτητα σημαίνει τετραπλάσια κινητική ενέργεια.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Έργο: $W = Fx\,\text{συν}\theta$ (σε J)· δύναμη κάθετη στη μετατόπιση δίνει $W = 0$ .
Έργο βάρους: $W_w = \pm mgh$ , εξαρτάται μόνο από την υψομετρική διαφορά.
Κινητική ενέργεια: $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$ .
ΘΜΚΕ: $W_{o\lambda} = \frac{1}{2}m\upsilon^2 - \frac{1}{2}m\upsilon_0^2$ — ισχύει πάντα.

Το έργο: η ενέργεια που «μετακομίζει»

Όταν μια δύναμη

F

μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά

x

, παράγει (ή καταναλώνει) έργο:

W = F \cdot x \cdot \text{συν}\theta

όπου

\theta

η γωνία ανάμεσα στη δύναμη και τη μετατόπιση. Το έργο εκφράζει μεταφορά ενέργειας προς ή από το σώμα, με μονάδα το Joule (

1 \ \text{J} = 1 \ \text{N} \cdot \text{m}

Το πρόσημο τα λέει όλα:

\theta = 0°

W = F x

— η δύναμη «ταΐζει» το σώμα ενέργεια

\theta = 90°

W = 0

— κάθετη δύναμη δεν παράγει έργο (όπως το

N

σε οριζόντιο δάπεδο!)

\theta = 180°

W = -F x

— η δύναμη αφαιρεί ενέργεια (κλασικό παράδειγμα η τριβή)