🔥

Νόμος του Joule & Ισχύς Εναλλασσόμενου

p = VIημ²ωt, P = V_εν I_εν, Q = I²_εν R Δt

Γιατί με νοιάζει;

Ο λογαριασμός του ρεύματος, η ασφάλεια που «πέφτει», ο χρόνος που χρειάζεται ο βραστήρας: όλα υπολογίζονται με τη μέση ισχύ και τον νόμο του Joule. Το κόλπο είναι ένα: οι γνωστοί τύποι του συνεχούς ρεύματος ισχύουν αυτούσιοι, αρκεί να βάλεις ενεργές τιμές.

Ισχύς στον ωμικό καταναλωτή — νόμος του Joule

Η στιγμιαία ισχύς στον αντιστάτη είναι:

$p = \upsilon i = VI\eta\mu^2(\omega t)$

Είναι πάντα θετική (ο αντιστάτης μόνο καταναλώνει), αλλά «αναπνέει»: μηδενίζεται όποτε μηδενίζεται το ρεύμα και κορυφώνεται στο $P_{max} = VI$ . Αυτό που πληρώνουμε στη ΔΕΗ είναι η μέση ισχύς:

$P = \frac{VI}{2} = V_{\varepsilon\nu}I_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}^2 R = \frac{V_{\varepsilon\nu}^2}{R}$

Οι γνωστοί τύποι του συνεχούς ρεύματος ισχύουν αυτούσιοι — αρκεί να βάλεις ενεργές τιμές. Το ίδιο και ο νόμος του Joule για τη θερμότητα σε χρόνο $\Delta t$ :

$Q = I_{\varepsilon\nu}^2 R \Delta t = P\Delta t$

$p = VI\eta\mu^2(\omega t), \qquad P = \frac{VI}{2} = V_{\varepsilon\nu}I_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}^2R = \frac{V_{\varepsilon\nu}^2}{R}, \qquad Q = I_{\varepsilon\nu}^2R\,\Delta t$

Γρήγορος έλεγχος

Σε ωμικό αντιστάτη η στιγμιαία ισχύς έχει μέγιστη τιμή $P_{max} = VI$ . Η μέση ισχύς που καταναλώνει ο αντιστάτης είναι:

Ήξερες ότι;

Στον «πόλεμο των ρευμάτων» στις ΗΠΑ, στα τέλη της δεκαετίας του 1880, ο Έντισον υποστήριζε το συνεχές ρεύμα και ο Westinghouse, με τις πατέντες του Tesla, το εναλλασσόμενο. Κέρδισε το εναλλασσόμενο κυρίως επειδή ο μετασχηματιστής ανεβάζει εύκολα την τάση του. Για την ίδια ισχύ $P = VI$ , υψηλότερη τάση σημαίνει μικρότερο ρεύμα στα καλώδια, άρα πολύ μικρότερες απώλειες Joule $I^2R$ στη μεταφορά.

Μέθοδος: ασκήσεις εναλλασσόμενου σε ωμικό αντιστάτη

Από την εξίσωση $\upsilon = V\eta\mu\omega t$ ή $i = I\eta\mu\omega t$ διάβασε πλάτος και $\omega$ · $f = \frac{\omega}{2\pi}$ , $T = \frac{1}{f}$ .
Αν δίνεται ενεργός τιμή (π.χ. « $230\ V$ »), βρες το πλάτος πολλαπλασιάζοντας επί $\sqrt{2}$ .
Νόμος του Ohm σε κάθε στιγμή και για πλάτη/ενεργές: $I = \frac{V}{R}$ , $I_{\varepsilon\nu} = \frac{V_{\varepsilon\nu}}{R}$ .
Μέση ισχύς πάντα με ενεργές τιμές: $P = V_{\varepsilon\nu}I_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}^2R = \frac{V_{\varepsilon\nu}^2}{R}$ (ή $\frac{VI}{2}$ με πλάτη).
Θερμότητα/ενέργεια: $Q = P\Delta t$ (σε J με $\Delta t$ σε s, ή σε kWh με $P$ σε kW και $\Delta t$ σε h).

Άσκηση (τύπου Πανελληνίων): Αντιστάτης $R = 20\ \Omega$ διαρρέεται από ρεύμα $i = 2\sqrt{2}\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.). Να βρεθούν: (α) η ενεργός ένταση και η συχνότητα, (β) η ενεργός τάση στα άκρα του, (γ) η μέση ισχύς, (δ) η θερμότητα που εκλύεται σε $10\ min$ .

Λύση:

(α) Πλάτος $I = 2\sqrt{2}\ A$ , άρα $I_{\varepsilon\nu} = \frac{I}{\sqrt{2}} = 2\ A$ . Από $\omega = 100\pi\ rad/s$ : $f = \frac{\omega}{2\pi} = 50\ Hz$ .

(β) $V_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}R = 2 \cdot 20 = 40\ V$

(γ) $P = I_{\varepsilon\nu}^2 R = 2^2 \cdot 20 = 80\ W$

(δ) $\Delta t = 10 \cdot 60 = 600\ s$ , οπότε από τον νόμο του Joule:

$Q = P\Delta t = 80 \cdot 600 = 48000\ J = 48\ kJ$

Άσκηση: Θερμάστρα έχει ενδείξεις « $230\ V$ / $1150\ W$ » και συνδέεται στο δίκτυο. Να βρεθούν: (α) η αντίστασή της, (β) η ενεργός ένταση και το πλάτος του ρεύματος, (γ) η ενέργεια που καταναλώνει σε $2$ ώρες και το κόστος, αν η kWh κοστίζει $0{,}20$ €.

Λύση:

(α) $R = \frac{V_{\varepsilon\nu}^2}{P} = \frac{230^2}{1150} = \frac{52900}{1150} = 46\ \Omega$ .

(β) $I_{\varepsilon\nu} = \frac{P}{V_{\varepsilon\nu}} = \frac{1150}{230} = 5\ A$ και $I = I_{\varepsilon\nu}\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\ A$ .

(γ) $W = P\Delta t = 1{,}15\ kW \cdot 2\ h = 2{,}3\ kWh = 2{,}3 \cdot 3{,}6 \times 10^6\ J \approx 8{,}28 \times 10^6\ J$ . Κόστος: $2{,}3 \cdot 0{,}20 = 0{,}46$ €.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Γεννήτρια με στρεφόμενο πλαίσιο (αμελητέας αντίστασης) τροφοδοτεί αντιστάτη $R = 50\ \Omega$ με εναλλασσόμενη τάση πλάτους $V = 200\ V$ . (α) Να βρεθεί η μέση ισχύς στον αντιστάτη. (β) Διπλασιάζουμε τη συχνότητα περιστροφής του πλαισίου. Πόση γίνεται η μέση ισχύς; Να αιτιολογήσετε.

Λύση:

(α) $I = \frac{V}{R} = \frac{200}{50} = 4\ A$ , άρα $P = \frac{VI}{2} = \frac{200 \cdot 4}{2} = 400\ W$ .

(β) Από $V = NBA\omega$ , διπλάσια $\omega$ δίνει διπλάσιο πλάτος τάσης, $V' = 400\ V$ , και $I' = 8\ A$ . Τότε $P' = \frac{V'I'}{2} = 1600\ W$ : η ισχύς τετραπλασιάζεται, γιατί $P = \frac{V^2}{2R} \sim \omega^2$ . Ταυτόχρονα διπλασιάζεται και η συχνότητα της τάσης.

Απάντηση: (α) $400\ W$ , (β) $1600\ W$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Βραστήρας με ωμική αντίσταση $R = 23\ \Omega$ συνδέεται στο δίκτυο ( $V_{\varepsilon\nu} = 230\ V$ , $f = 50\ Hz$ ) και θερμαίνει $1\ kg$ νερού από $20\ °C$ σε $100\ °C$ . (α) Να βρείτε την ενεργό ένταση και τη μέση ισχύ. (β) Να γράψετε την εξίσωση του ρεύματος και να βρείτε τη μέγιστη στιγμιαία ισχύ. (γ) Πόσος χρόνος χρειάζεται, αν όλη η θερμότητα πηγαίνει στο νερό; ( $c_{\nu\varepsilon\rho} = 4200\ J/(kg \cdot °C)$ )

Δεδομένα: $R = 23\ \Omega$ , $V_{\varepsilon\nu} = 230\ V$ , $f = 50\ Hz$ , $m = 1\ kg$ , $\Delta\theta = 80\ °C$ . Ζητούμενα: $I_{\varepsilon\nu}$ , $P$ , $i(t)$ , $p_{max}$ , $\Delta t$ .

Λύση:

(α) $I_{\varepsilon\nu} = \frac{230}{23} = 10\ A$ , $P = V_{\varepsilon\nu}I_{\varepsilon\nu} = 2300\ W$ .

(β) $I = 10\sqrt{2}\ A$ , $\omega = 100\pi\ rad/s$ : $i = 10\sqrt{2}\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.). $p_{max} = VI = 2P = 4600\ W$ .

(γ) $Q = mc\Delta\theta = 1 \cdot 4200 \cdot 80 = 336\,000\ J$ και $\Delta t = \frac{Q}{P} = \frac{336\,000}{2300} \approx 146\ s$ (περίπου $2{,}4\ min$ ).

Απάντηση: $10\ A$ , $2300\ W$ · $i = 10\sqrt{2}\,\eta\mu(100\pi t)$ , $p_{max} = 4600\ W$ · $\approx 146\ s$ .

Γρήγορος έλεγχος

Εναλλασσόμενη τάση $\upsilon = 100\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.) εφαρμόζεται σε αντιστάτη $R = 50\ \Omega$ . Η μέση ισχύς που καταναλώνει ο αντιστάτης είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Ο ίδιος αντιστάτης συνδέεται μία φορά σε συνεχή τάση $V_0$ και μία φορά σε εναλλασσόμενη τάση με ενεργό τιμή $V_0$ . Πώς συγκρίνονται οι μέσες ισχύς;

Η νούμερο ένα παγίδα του κεφαλαίου: ΠΟΙΑ τιμή σου δίνουν; Αν η εκφώνηση λέει «τάση δικτύου 230 V» είναι ενεργός· αν δίνει εξίσωση $\upsilon = 325\eta\mu(100\pi t)$ , το 325 είναι πλάτος. Σε ΟΛΟΥΣ τους τύπους ισχύος και Joule μπαίνουν ενεργές τιμές — αν βάλεις πλάτη, θα βγάλεις διπλάσια ισχύ. Γρήγορος έλεγχος: $P = \frac{VI}{2}$ με πλάτη, $P = V_{\varepsilon\nu}I_{\varepsilon\nu}$ με ενεργές — τα δύο πρέπει να συμπίπτουν.

Πρόκληση

Θα πέσει η ασφάλεια; Σε μια γραμμή του σπιτιού (τάση δικτύου $230\ V$ ) με ασφάλεια $16\ A$ λειτουργούν ταυτόχρονα, συνδεδεμένοι παράλληλα, ένας βραστήρας « $230\ V$ / $2300\ W$ » και μια θερμάστρα « $230\ V$ / $1150\ W$ », και οι δύο ωμικοί καταναλωτές. (α) Πόσο είναι το ενεργό ρεύμα της γραμμής; (β) Ποια είναι η μέγιστη τιμή του ρεύματος; (γ) Η ασφάλεια αντιδρά στην ενεργό τιμή. Μπορείς να ανάψεις ταυτόχρονα και ένα σεσουάρ « $230\ V$ / $460\ W$ »; (δ) Πόσο κοστίζει μία ώρα λειτουργίας του βραστήρα μαζί με τη θερμάστρα, αν η κιλοβατώρα κοστίζει $0{,}20$ €;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Οι ενδείξεις είναι ενεργές τιμές, και στον παράλληλο κάθε συσκευή παίρνει $I_{\varepsilon\nu} = \frac{P}{V_{\varepsilon\nu}}$ : βραστήρας $\frac{2300}{230} = 10\ A$ , θερμάστρα $\frac{1150}{230} = 5\ A$ . Σύνολο $15\ A$ .

(β) Σε ωμικούς καταναλωτές τα ρεύματα είναι συμφασικά με την τάση, άρα $I = I_{\varepsilon\nu}\sqrt{2} = 15\sqrt{2} \approx 21{,}2\ A$ . Είναι μεγαλύτερο από $16\ A$ , αλλά η ασφάλεια «κοιτάζει» την ενεργό τιμή.

(γ) Το σεσουάρ προσθέτει $\frac{460}{230} = 2\ A$ : σύνολο $17\ A > 16\ A$ , άρα η ασφάλεια πέφτει.

(δ) $E = P \cdot t = 3{,}45\ kW \cdot 1\ h = 3{,}45\ kWh$ , με κόστος $3{,}45 \cdot 0{,}20 \approx 0{,}69$ €.

Απάντηση: $15\ A$ · περίπου $21{,}2\ A$ · όχι, με το σεσουάρ η ασφάλεια πέφτει· περίπου $0{,}69$ €. Οι λογαριασμοί της καθημερινότητας γίνονται με ενεργές τιμές.

Συνηθισμένα λάθη

Πλάτος στη θέση της ενεργού τιμής. Το $\frac{V^2}{R}$ με πλάτος δίνει διπλάσια ισχύ· χρησιμοποίησε $\frac{V_{\varepsilon\nu}^2}{R}$ ή $\frac{V^2}{2R}$ .
Σύγχυση $f$ και $\omega$ . Στο $\eta\mu(100\pi t)$ είναι $\omega = 100\pi\ rad/s$ , άρα $f = 50\ Hz$ — όχι $100\pi\ Hz$ .
Στιγμιαία αντί για μέση ισχύ. Η $p = VI\eta\mu^2\omega t$ κυμαίνεται από $0$ ως $VI$ · ο «λογαριασμός» υπολογίζεται με τη μέση $P = \frac{VI}{2}$ .
Μηδενισμοί ανά δευτερόλεπτο = $f$ . Το ρεύμα μηδενίζεται $2f$ φορές το δευτερόλεπτο (δύο φορές ανά περίοδο).

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στιγμιαία ισχύς σε αντιστάτη: $p = VI\eta\mu^2\omega t$ , πάντα θετική, από $0$ ως $VI$ .
Μέση ισχύς: $P = \frac{VI}{2} = V_{\varepsilon\nu}I_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}^2R = \frac{V_{\varepsilon\nu}^2}{R}$ .
Νόμος Joule: $Q = I_{\varepsilon\nu}^2R\Delta t = P\Delta t$ .
Όλοι οι τύποι ισχύος του συνεχούς ισχύουν με ενεργές τιμές.
Ενέργεια σε kWh: $P$ σε kW επί χρόνο σε h· $1\ kWh = 3{,}6 \times 10^6\ J$ .

Ισχύς στον ωμικό καταναλωτή — νόμος του Joule

Η στιγμιαία ισχύς στον αντιστάτη είναι:

p = \upsilon i = VI\eta\mu^2(\omega t)

Είναι πάντα θετική (ο αντιστάτης μόνο καταναλώνει), αλλά «αναπνέει»: μηδενίζεται όποτε μηδενίζεται το ρεύμα και κορυφώνεται στο

P_{max} = VI

. Αυτό που πληρώνουμε στη ΔΕΗ είναι η μέση ισχύς:

P = \frac{VI}{2} = V_{\varepsilon\nu}I_{\varepsilon\nu} = I_{\varepsilon\nu}^2 R = \frac{V_{\varepsilon\nu}^2}{R}

Οι γνωστοί τύποι του συνεχούς ρεύματος ισχύουν αυτούσιοι — αρκεί να βάλεις ενεργές τιμές. Το ίδιο και ο νόμος του Joule για τη θερμότητα σε χρόνο

\Delta t

Q = I_{\varepsilon\nu}^2 R \Delta t = P\Delta t