🧭

Εφαρμογές Biot–Savart

Ευθύγραμμος αγωγός, κυκλικός αγωγός, σωληνοειδές

Γιατί με νοιάζει;

Οι γερανοί στα διαλυτήρια σηκώνουν αυτοκίνητα με ηλεκτρομαγνήτες, οι τομογράφοι MRI κρύβουν ένα γιγάντιο σωληνοειδές και κάθε ηλεκτρικό καλώδιο είναι περιτυλιγμένο από αόρατους μαγνητικούς κύκλους. Τρεις απλοί τύποι — για ευθύγραμμο αγωγό, κυκλικό αγωγό και σωληνοειδές — λύνουν σχεδόν κάθε άσκηση μαγνητικού πεδίου ρεύματος.

Τα πεδία των τριών βασικών αγωγών

Αθροίζοντας τις συνεισφορές του νόμου Biot–Savart για όλα τα στοιχεία του αγωγού παίρνουμε:

Ευθύγραμμος αγωγός μεγάλου μήκους, σε απόσταση $r$ : $B = k_\mu\frac{2I}{r}$ . Οι γραμμές είναι ομόκεντροι κύκλοι σε επίπεδα κάθετα στον αγωγό. Φορά με τον κανόνα του δεξιού χεριού: αντίχειρας στη φορά του ρεύματος, τα δάχτυλα «αγκαλιάζουν» τον αγωγό όπως οι γραμμές.
Κυκλικός αγωγός ακτίνας $r$ , στο κέντρο του: $B = k_\mu\frac{2\pi I}{r}$ , κάθετο στο επίπεδο του κύκλου. Φορά: τα δάχτυλα του δεξιού χεριού κατά τη φορά του ρεύματος, ο αντίχειρας δείχνει το $\vec{B}$ στο κέντρο.
Σωληνοειδές με $N$ σπείρες σε μήκος $l$ , στο εσωτερικό του: $B = k_\mu 4\pi\frac{N}{l}I$ . Στο εσωτερικό το πεδίο είναι πρακτικά ομογενές και παράλληλο στον άξονα· έξω από ένα μακρύ σωληνοειδές είναι σχεδόν μηδέν. Το άκρο από όπου «βγαίνουν» οι γραμμές συμπεριφέρεται σαν βόρειος πόλος.

Με $k_\mu = 10^{-7}\ T \cdot m/A$ . Το σωληνοειδές είναι ο απλούστερος τρόπος να «κατασκευάσουμε» ομογενές μαγνητικό πεδίο (ΟΜΠ).

$B_{\varepsilon\upsilon\theta} = k_\mu\frac{2I}{r}, \qquad B_{\kappa\upsilon\kappa\lambda} = k_\mu\frac{2\pi I}{r}, \qquad B_{\sigma\omega\lambda} = k_\mu 4\pi\frac{N}{l}I$

Παρατήρησε τις μαγνητικές γραμμές γύρω από τον ρευματοφόρο αγωγό: θα ανακαλύψεις ότι σχηματίζουν κλειστούς κύκλους — δεν ξεκινούν ούτε καταλήγουν πουθενά — και ότι πυκνώνουν κοντά στον αγωγό, εκεί όπου το B είναι ισχυρότερο.

Γρήγορος έλεγχος

Σε απόσταση $r$ από ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό το πεδίο έχει μέτρο $B$ . Σε απόσταση $2r$ το μέτρο του πεδίου είναι:

Κόλπο μνήμης

«Πιάσε το καλώδιο». Στον ευθύγραμμο αγωγό ο αντίχειρας είναι το ρεύμα και τα δάχτυλα οι γραμμές. Σε κυκλικό αγωγό και σωληνοειδές οι ρόλοι αντιστρέφονται: τα δάχτυλα ακολουθούν το ρεύμα στις σπείρες και ο αντίχειρας δείχνει το πεδίο στο εσωτερικό (τον βόρειο πόλο).

Μέθοδος: πεδίο από περισσότερους αγωγούς

Υπολόγισε χωριστά το μέτρο του πεδίου κάθε αγωγού στο σημείο (π.χ. $B = k_\mu\frac{2I}{r}$ ).
Βρες την κατεύθυνση κάθε πεδίου με τον κανόνα του δεξιού χεριού· σχεδίασέ τα.
Πρόσθεσε διανυσματικά: ομόρροπα ⇒ άθροισμα, αντίρροπα ⇒ διαφορά, κάθετα ⇒ Πυθαγόρειο.
Για σημείο μηδενικού πεδίου: απαίτησε αντίρροπα πεδία ίσου μέτρου. Για ομόρροπα ρεύματα βρίσκεται ανάμεσα στους αγωγούς, πιο κοντά στο ασθενέστερο ρεύμα· για αντίρροπα, έξω από αυτούς.

Άσκηση: (α) Ευθύγραμμος αγωγός μεγάλου μήκους διαρρέεται από ρεύμα $20\ A$ . Πόσο είναι το πεδίο σε απόσταση $4\ cm$ ; (β) Κυκλικός αγωγός ακτίνας $5\ cm$ διαρρέεται από ρεύμα $5\ A$ . Πόσο είναι το πεδίο στο κέντρο του; ( $k_\mu = 10^{-7}\ T \cdot m/A$ )

Λύση:

(α) $B = k_\mu\frac{2I}{r} = 10^{-7} \cdot \frac{2 \cdot 20}{0{,}04} = 10^{-4}\ T$ .

(β) $B = k_\mu\frac{2\pi I}{r} = 10^{-7} \cdot \frac{2\pi \cdot 5}{0{,}05} = 2\pi \times 10^{-5}\ T \approx 6{,}3 \times 10^{-5}\ T$ .

Παρατήρησε ότι ο κυκλικός αγωγός «συγκεντρώνει» πεδίο στο κέντρο του: με το ένα τέταρτο του ρεύματος δίνει πεδίο ίδιας τάξης μεγέθους.

Άσκηση: Σωληνοειδές έχει $N = 500$ σπείρες σε μήκος $l = 25\ cm$ και διαρρέεται από ρεύμα $2\ A$ . (α) Πόσο είναι το πεδίο στο εσωτερικό του; (β) Πόσο ρεύμα χρειάζεται για πεδίο $0{,}01\ T$ ;

Λύση:

(α) $B = k_\mu 4\pi\frac{N}{l}I = 10^{-7} \cdot 4\pi \cdot \frac{500}{0{,}25} \cdot 2 = 1{,}6\pi \times 10^{-3}\ T \approx 5 \times 10^{-3}\ T$ .

(β) Το $B$ είναι ανάλογο του $I$ : $I' = I\frac{B'}{B} = 2 \cdot \frac{0{,}01}{1{,}6\pi \times 10^{-3}} \approx 4\ A$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Κυκλικός αγωγός ακτίνας $r = 0{,}1\ m$ διαρρέεται από ρεύμα $I_1 = 1\ A$ . Στο επίπεδο του κύκλου, σε απόσταση $d = 0{,}2\ m$ από το κέντρο Κ, βρίσκεται ευθύγραμμος αγωγός μεγάλου μήκους που διαρρέεται από ρεύμα $I_2$ . (α) Να βρείτε το πεδίο του κυκλικού αγωγού στο Κ. (β) Πόσο πρέπει να είναι το $I_2$ ώστε το συνολικό πεδίο στο Κ να είναι μηδέν, και τι πρέπει να ισχύει για τη φορά του; (γ) Αν αντιστρέψουμε τη φορά του $I_2$ , πόσο γίνεται το πεδίο στο Κ; ( $k_\mu = 10^{-7}\ T \cdot m/A$ )

Δεδομένα: $r = 0{,}1\ m$ , $I_1 = 1\ A$ , $d = 0{,}2\ m$ . Ζητούμενα: $B_1$ , $I_2$ , $B_{o\lambda}$ μετά την αντιστροφή.

Λύση:

(α) $B_1 = k_\mu\frac{2\pi I_1}{r} = 10^{-7} \cdot \frac{2\pi}{0{,}1} = 2\pi \times 10^{-6}\ T$ , κάθετο στο επίπεδο.

(β) Και ο ευθύγραμμος αγωγός δίνει στο Κ πεδίο κάθετο στο ίδιο επίπεδο. Για μηδενισμό πρέπει να είναι αντίρροπο του $B_1$ και ίσου μέτρου:

$k_\mu\frac{2I_2}{d} = 2\pi \times 10^{-6} \Rightarrow I_2 = \frac{2\pi \times 10^{-6} \cdot 0{,}2}{2 \times 10^{-7}} = 2\pi\ A \approx 6{,}3\ A$

με φορά τέτοια ώστε (κανόνας δεξιού χεριού) το πεδίο του στο Κ να είναι αντίθετο από του κύκλου.

(γ) Τα πεδία γίνονται ομόρροπα: $B_{o\lambda} = 2 \cdot 2\pi \times 10^{-6} = 4\pi \times 10^{-6}\ T \approx 1{,}26 \times 10^{-5}\ T$ .

Απάντηση: $B_1 = 2\pi \times 10^{-6}\ T$ · $I_2 = 2\pi\ A$ με κατάλληλη φορά· $4\pi \times 10^{-6}\ T$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα σωληνοειδές διπλασιάζουμε τον αριθμό των σπειρών και ταυτόχρονα διπλασιάζουμε το μήκος του, με το ίδιο ρεύμα. Το πεδίο στο εσωτερικό του:

Γρήγορος έλεγχος

Πώς είναι το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό ενός μακριού σωληνοειδούς που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα;

Ήξερες ότι;

Οι τομογράφοι MRI δημιουργούν το ισχυρό ομογενές πεδίο τους με ένα υπεραγώγιμο σωληνοειδές, ψυγμένο με υγρό ήλιο στους περίπου $-269\ °C$ . Στην υπεραγώγιμη κατάσταση το σύρμα δεν έχει αντίσταση, οπότε ρεύματα εκατοντάδων αμπέρ κυκλοφορούν χωρίς να το θερμαίνουν.

Πρόκληση

Ίδιο σύρμα, άλλο σχήμα. Έχουμε σύρμα μήκους $6{,}28\ m$ ( $\approx 2\pi\ m$ ) και ρεύμα $2\ A$ . (α) Φτιάχνουμε με όλο το σύρμα έναν κυκλικό βρόχο. Πόσο είναι το πεδίο στο κέντρο; (β) Φτιάχνουμε σωληνοειδές με σπείρες ακτίνας $1\ cm$ και μήκος $10\ cm$ . Πόσο είναι το πεδίο στο εσωτερικό; (γ) Πόσες φορές ισχυρότερο είναι το δεύτερο;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $2\pi r = 2\pi \Rightarrow r = 1\ m$ και $B_1 = 10^{-7} \cdot \frac{2\pi \cdot 2}{1} = 4\pi \times 10^{-7}\ T \approx 1{,}26\ \mu T$ .

(β) Κάθε σπείρα χρειάζεται $2\pi \cdot 0{,}01\ m$ σύρμα, άρα $N = \frac{2\pi}{2\pi \cdot 0{,}01} = 100$ σπείρες. $B_2 = 10^{-7} \cdot 4\pi \cdot \frac{100}{0{,}1} \cdot 2 = 8\pi \times 10^{-4}\ T \approx 2{,}5\ mT$ .

(γ) $\frac{B_2}{B_1} = \frac{8\pi \times 10^{-4}}{4\pi \times 10^{-7}} = 2000$ .

Απάντηση: $\approx 1{,}26\ \mu T$ · $\approx 2{,}5\ mT$ · $2000$ φορές. Το ίδιο σύρμα και το ίδιο ρεύμα δίνουν τεράστια διαφορά: γι' αυτό οι ηλεκτρομαγνήτες είναι σωληνοειδή με πυκνές σπείρες.

Συνηθισμένα λάθη

$B \sim \frac{1}{r^2}$ στον ευθύγραμμο αγωγό. Είναι $\frac{1}{r}$ : διπλάσια απόσταση, μισό πεδίο.
Ξεχασμένο $\pi$ . Ευθύγραμμος: $k_\mu\frac{2I}{r}$ · κυκλικός: $k_\mu\frac{2\pi I}{r}$ · σωληνοειδές: $k_\mu\frac{4\pi NI}{l}$ .
$N$ αντί για $\frac{N}{l}$ . Στο σωληνοειδές μετράει η πυκνότητα σπειρών.
Πρόσθεση μέτρων αντί για διανύσματα. Πεδία αντίθετης φοράς αφαιρούνται· κάθετα προστίθενται με Πυθαγόρειο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ευθύγραμμος: $B = k_\mu\frac{2I}{r}$ , γραμμές ομόκεντροι κύκλοι, φορά με τον κανόνα του δεξιού χεριού.
Κυκλικός αγωγός (κέντρο): $B = k_\mu\frac{2\pi I}{r}$ , κάθετο στο επίπεδο του κύκλου.
Σωληνοειδές: $B = k_\mu 4\pi\frac{N}{l}I$ , ομογενές στο εσωτερικό, σχεδόν μηδέν έξω.
$k_\mu = 10^{-7}\ T \cdot m/A$ · τα πεδία πολλών αγωγών προστίθενται διανυσματικά.

Τα πεδία των τριών βασικών αγωγών

Αθροίζοντας τις συνεισφορές του νόμου Biot–Savart για όλα τα στοιχεία του αγωγού παίρνουμε:

Ευθύγραμμος αγωγός μεγάλου μήκους, σε απόσταση

r

B = k_\mu\frac{2I}{r}

. Οι γραμμές είναι ομόκεντροι κύκλοι σε επίπεδα κάθετα στον αγωγό. Φορά με τον κανόνα του δεξιού χεριού: αντίχειρας στη φορά του ρεύματος, τα δάχτυλα «αγκαλιάζουν» τον αγωγό όπως οι γραμμές.

Κυκλικός αγωγός ακτίνας

r

, στο κέντρο του:

B = k_\mu\frac{2\pi I}{r}

, κάθετο στο επίπεδο του κύκλου. Φορά: τα δάχτυλα του δεξιού χεριού κατά τη φορά του ρεύματος, ο αντίχειρας δείχνει το

\vec{B}

στο κέντρο.

Σωληνοειδές με

N

σπείρες σε μήκος

l

, στο εσωτερικό του:

B = k_\mu 4\pi\frac{N}{l}I

. Στο εσωτερικό το πεδίο είναι πρακτικά ομογενές και παράλληλο στον άξονα· έξω από ένα μακρύ σωληνοειδές είναι σχεδόν μηδέν. Το άκρο από όπου «βγαίνουν» οι γραμμές συμπεριφέρεται σαν βόρειος πόλος.

Με

k_\mu = 10^{-7}\ T \cdot m/A

. Το σωληνοειδές είναι ο απλούστερος τρόπος να «κατασκευάσουμε» ομογενές μαγνητικό πεδίο (ΟΜΠ).