🚄

Ευθύγραμμος Αγωγός σε Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο

E = Bυl, ράβδος σε ράγες, ενεργειακός ισολογισμός

Γιατί με νοιάζει;

Ένα αεροπλάνο που πετά μέσα στο μαγνητικό πεδίο της Γης έχει μια μικρή τάση ανάμεσα στις άκρες των φτερών του. Μια μεταλλική ράβδος που γλιστρά πάνω σε ράγες γίνεται «μπαταρία». Η σχέση $E = B\upsilon l$ είναι το πιο αγαπημένο σενάριο των Θεμάτων Δ στην επαγωγή — με ρεύματα, δυνάμεις και ενεργειακούς ισολογισμούς.

Η ματιά των ηλεκτρονίων: γιατί αναπτύσσεται $B\upsilon l$

Ράβδος μήκους $l$ κινείται με ταχύτητα $\upsilon$ κάθετα σε ΟΜΠ $B$ . Τα ελεύθερα ηλεκτρόνιά της κινούνται μαζί της, άρα δέχονται δύναμη Lorentz $F = eB\upsilon$ κατά μήκος της ράβδου. Μαζεύονται στο ένα άκρο (αρνητικό), ενώ το άλλο μένει θετικό. Το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται μέσα στη ράβδο μεγαλώνει ώσπου η ηλεκτρική δύναμη να εξισορροπήσει τη μαγνητική:

$eE_{\eta\lambda} = eB\upsilon \Rightarrow V = E_{\eta\lambda}\,l = B\upsilon l$

Αυτή είναι η ΗΕΔ από επαγωγή. Σε ανοιχτό κύκλωμα η ράβδος έχει τάση $B\upsilon l$ στα άκρα της χωρίς ρεύμα· σε κλειστό λειτουργεί σαν πηγή με εσωτερική αντίσταση την αντίστασή της. Το θετικό άκρο βρίσκεται με τον κανόνα των τριών δαχτύλων για θετικό φορτίο (αντίχειρας $\vec{\upsilon}$ , δείκτης $\vec{B}$ , μέσος → θετικό άκρο).

$E_{\epsilon\pi} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \qquad E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell$

Από πού βγαίνει το $B\upsilon\ell$ — και πόσο φορτίο περνά

Σε χρόνο $\Delta t$ ο αγωγός μετατοπίζεται κατά $\upsilon\Delta t$ και το κύκλωμα αποκτά επιπλέον εμβαδόν $\Delta A = \ell\upsilon\Delta t$ . Η ροή αυξάνεται κατά $\Delta\Phi = B\ell\upsilon\Delta t$ , άρα από τον νόμο του Faraday $E_{\epsilon\pi} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = B\upsilon\ell$ .

Ο κινούμενος αγωγός συμπεριφέρεται σαν πηγή με ΗΕΔ $E_{\epsilon\pi}$ και εσωτερική αντίσταση $r$ (την αντίστασή του). Σε κύκλωμα με εξωτερική αντίσταση $R$ :

$I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R + r}, \qquad V_{\pi o\lambda} = E_{\epsilon\pi} - Ir$

Ένα ακόμη εξεταζόμενο αποτέλεσμα: το φορτίο που περνά από μια διατομή του κυκλώματος όσο μεταβάλλεται η ροή είναι

$q = I\Delta t = \frac{N|\Delta\Phi|}{R_{o\lambda}}$

και δεν εξαρτάται από το πόσο γρήγορα μεταβλήθηκε η ροή — μόνο από τη συνολική μεταβολή της.

Γρήγορος έλεγχος

Μεταλλική ράβδος κινείται με σταθερή ταχύτητα κάθετα σε ΟΜΠ, χωρίς να είναι συνδεδεμένη σε κύκλωμα. Τι ισχύει;

Μέθοδος: αγωγός που κινείται σε ράγες

ΗΕΔ: $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell$ (αγωγός, ταχύτητα και πεδίο κάθετα ανά δύο).
Φορά ρεύματος και πολικότητα: κανόνας δεξιού χεριού στα ελεύθερα ηλεκτρόνια ή κανόνας Lenz.
Ρεύμα: $I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R + r}$ και τάση στα άκρα του αγωγού $V = E_{\epsilon\pi} - Ir$ .
Δύναμη Laplace $F_L = BI\ell$ , αντίθετη στην ταχύτητα (Lenz).
Νόμος του Newton για τον αγωγό: με σταθερή ταχύτητα $\Sigma F = 0$ , άρα $F_{\epsilon\xi} = F_L$ (+ τριβή, αν υπάρχει).
Ενεργειακός ισολογισμός: $P_{F} = F_{\epsilon\xi}\upsilon = E_{\epsilon\pi}I = I^2(R + r)$ .

Άσκηση: Αγωγός μήκους $\ell = 1\ m$ ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα $\upsilon = 5\ m/s$ πάνω σε αγώγιμες ράγες, κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο $B = 0{,}4\ T$ . Το κύκλωμα κλείνει με αντιστάτη $R = 4\ \Omega$ (ο αγωγός έχει αμελητέα αντίσταση). Να βρεθούν: (α) η ΗΕΔ, (β) το ρεύμα, (γ) η εξωτερική δύναμη για σταθερή ταχύτητα.

Λύση:

(α) $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell = 0{,}4 \cdot 5 \cdot 1 = 2\ V$ .

(β) $I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R} = \frac{2}{4} = 0{,}5\ A$ .

(γ) Το πεδίο ασκεί στον ρευματοφόρο αγωγό δύναμη Laplace $F = BI\ell = 0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 0{,}2\ N$ που αντιστέκεται στην κίνηση (Lenz). Για σταθερή $\upsilon$ : $F_{\epsilon\xi} = 0{,}2\ N$ .

Επαλήθευση ενέργειας: $P_{\epsilon\xi} = F\upsilon = 1\ W$ και $P_{\eta\lambda} = E_{\epsilon\pi}I = 2 \cdot 0{,}5 = 1\ W$ ✓ — ό,τι έργο προσφέρουμε γίνεται ηλεκτρική ενέργεια!

Άσκηση: Αεροπλάνο με άνοιγμα φτερών $40\ m$ πετά οριζόντια με $250\ m/s$ σε περιοχή όπου η κατακόρυφη συνιστώσα του γήινου μαγνητικού πεδίου είναι $4 \times 10^{-5}\ T$ . Πόση τάση αναπτύσσεται ανάμεσα στις άκρες των φτερών; Μπορεί να ανάψει ένα λαμπάκι συνδεδεμένο με καλώδια που κινούνται μαζί με το αεροπλάνο;

Λύση: Τα φτερά λειτουργούν σαν ράβδος που κινείται κάθετα στην κατακόρυφη συνιστώσα:

$E = B\upsilon l = 4 \times 10^{-5} \cdot 250 \cdot 40 = 0{,}4\ V$

Όχι: τα καλώδια του λαμπακιού κινούνται μαζί με το αεροπλάνο μέσα στο ίδιο πεδίο και αναπτύσσουν την ίδια ΗΕΔ, που αντισταθμίζει εκείνη των φτερών. Η ροή μέσα από το κλειστό κύκλωμα δεν μεταβάλλεται, άρα δεν περνά ρεύμα.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Δ): Αγωγός ΚΛ μήκους $\ell = 0{,}5\ m$ και αντίστασης $r = 1\ \Omega$ ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιες αγώγιμες ράγες αμελητέας αντίστασης, που στο ένα άκρο τους συνδέονται με αντιστάτη $R = 3\ \Omega$ . Το κατακόρυφο ΟΜΠ έχει $B = 1\ T$ . Με οριζόντια δύναμη $F$ ο αγωγός κινείται με σταθερή ταχύτητα $\upsilon = 8\ m/s$ . Να βρεθούν: (α) η ΗΕΔ και το ρεύμα, (β) η τάση $V_{K\Lambda}$ , (γ) η δύναμη $F$ , (δ) οι ισχύς της $F$ και η θερμότητα στον $R$ σε $2\ s$ , (ε) το φορτίο που περνά από τον $R$ σε $2\ s$ .

Δεδομένα: $\ell = 0{,}5\ m$ , $r = 1\ \Omega$ , $R = 3\ \Omega$ , $B = 1\ T$ , $\upsilon = 8\ m/s$ σταθερή. Ζητούμενα: $E$ , $I$ , $V_{K\Lambda}$ , $F$ , $P_F$ , $Q_R$ , $q$ .

Λύση:

(α) $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell = 1 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 4\ V$ και $I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R + r} = \frac{4}{4} = 1\ A$ .

(β) $V_{K\Lambda} = E_{\epsilon\pi} - Ir = 4 - 1 = 3\ V$ (όση και η τάση στον $R$ : $IR = 3\ V$ ✓).

(γ) $F_L = BI\ell = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\ N$ , αντίθετη στην κίνηση. Σταθερή ταχύτητα ⇒ $F = F_L = 0{,}5\ N$ .

(δ) $P_F = F\upsilon = 0{,}5 \cdot 8 = 4\ W$ — ίση με $E_{\epsilon\pi}I = 4\ W$ ✓. Από αυτά $I^2R = 3\ W$ γίνονται θερμότητα στον $R$ και $I^2r = 1\ W$ στον αγωγό. Σε $2\ s$ : $Q_R = 3 \cdot 2 = 6\ J$ .

(ε) $q = I\Delta t = 1 \cdot 2 = 2\ C$ . Έλεγχος με τη ροή: ο αγωγός διανύει $16\ m$ , άρα $\Delta\Phi = B\ell \cdot 16 = 8\ Wb$ και $q = \frac{\Delta\Phi}{R + r} = \frac{8}{4} = 2\ C$ ✓.

Απάντηση: $4\ V$ , $1\ A$ · $V_{K\Lambda} = 3\ V$ · $F = 0{,}5\ N$ · $P_F = 4\ W$ , $Q_R = 6\ J$ · $q = 2\ C$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αγωγός κινείται με σταθερή ταχύτητα σε ράγες μέσα σε ΟΜΠ, κλείνοντας κύκλωμα με αντιστάτη. Αν διπλασιάσουμε τη (σταθερή) ταχύτητά του, η θερμική ισχύς στο κύκλωμα:

Γρήγορος έλεγχος

Μεταλλική ράβδος κινείται μέσα σε ΟΜΠ με ταχύτητα παράλληλη στις δυναμικές γραμμές. Πόση ΗΕΔ αναπτύσσεται στα άκρα της;

Πριν γράψεις φορές ρευμάτων, ρώτα: «τι αλλάζει τη ροή και πώς θα αντισταθεί το κύκλωμα;» — ο Lenz απαντά πάντα. Στον κινούμενο αγωγό θυμήσου το τρίπτυχο $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell \to I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R} \to F = BI\ell$ και κλείσε με έλεγχο ενέργειας $P_{\epsilon\xi} = P_{\eta\lambda}$ .

Ήξερες ότι;

Το 1996, στην αποστολή STS-75, το διαστημικό λεωφορείο ξετύλιξε έναν δορυφόρο δεμένο με αγώγιμο καλώδιο μήκους σχεδόν $20\ km$ (πείραμα TSS-1R). Κινούμενο μέσα στο μαγνητικό πεδίο της Γης με περίπου $7{,}5\ km/s$ , το καλώδιο ανέπτυξε τάση που έφτασε περίπου τα $3500\ V$ — ώσπου κόπηκε. Ήταν ένα $B\upsilon l$ σε διαστημική κλίμακα.

Πρόκληση

Η ράβδος που δεν επιταχύνεται για πάντα. Δύο κατακόρυφες αγώγιμες ράγες αμελητέας αντίστασης απέχουν $\ell = 0{,}5\ m$ και ενώνονται στο πάνω μέρος με αντιστάτη $R = 1{,}5\ \Omega$ . Οριζόντιος αγωγός μάζας $m = 0{,}1\ kg$ και αντίστασης $r = 0{,}5\ \Omega$ αφήνεται να πέσει, ολισθαίνοντας χωρίς τριβές και σε συνεχή επαφή με τις ράγες. Όλο το σύστημα βρίσκεται σε οριζόντιο ΟΜΠ $B = 1\ T$ , κάθετο στο επίπεδο των ραγών ( $g = 10\ m/s^2$ ). (α) Πόση είναι η επιτάχυνση του αγωγού όταν η ταχύτητά του είναι $4\ m/s$ ; (β) Ποια είναι η οριακή ταχύτητα που αποκτά; (γ) Δείξε ότι με την οριακή ταχύτητα όλη η ισχύς του βάρους γίνεται θερμότητα.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Με ταχύτητα $\upsilon$ : $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell$ , $I = \frac{B\upsilon\ell}{R + r}$ και δύναμη Laplace $F_L = BI\ell = \frac{B^2\ell^2\upsilon}{R + r}$ προς τα πάνω (Lenz: αντιτίθεται στην πτώση).

(α) $F_L = \frac{1 \cdot 0{,}25 \cdot 4}{2} = 0{,}5\ N$ . Από τον 2ο νόμο του Newton: $mg - F_L = m\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{1 - 0{,}5}{0{,}1} = 5\ m/s^2$ .

(β) Όσο αυξάνεται η $\upsilon$ , μεγαλώνει η $F_L$ και μικραίνει η $\alpha$ . Η ταχύτητα γίνεται οριακή όταν $F_L = mg$ : $\frac{B^2\ell^2\upsilon_{\text{ορ}}}{R + r} = mg \Rightarrow \upsilon_{\text{ορ}} = \frac{mg(R + r)}{B^2\ell^2} = \frac{1 \cdot 2}{0{,}25} = 8\ m/s$ .

(γ) Τότε $I = \frac{1 \cdot 8 \cdot 0{,}5}{2} = 2\ A$ . Ισχύς του βάρους: $mg\upsilon_{\text{ορ}} = 1 \cdot 8 = 8\ W$ . Θερμική ισχύς: $I^2(R + r) = 4 \cdot 2 = 8\ W$ ✓.

Απάντηση: (α) $5\ m/s^2$ , δηλαδή $\frac{g}{2}$ · (β) $8\ m/s$ · (γ) $8\ W = 8\ W$ . Η κινητική ενέργεια δεν αυξάνεται πια: η βαρυτική δυναμική ενέργεια που χάνεται γίνεται ολόκληρη θερμότητα Joule.

Σημείωση: ο υπολογισμός οριακής ταχύτητας είναι εκτός εξεταστέας ύλης 2026· η άσκηση μένει εδώ ως εμβάθυνση για την κατανόηση του κανόνα του Lenz.

Συνηθισμένα λάθη

Γωνία με το επίπεδο αντί για την κάθετο. Στο $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$ η $\theta$ μετριέται από την κάθετο της επιφάνειας.
Ξεχασμένη εσωτερική αντίσταση. Αν ο αγωγός έχει αντίσταση $r$ , το ρεύμα είναι $\frac{E}{R + r}$ και η τάση στα άκρα του $E - Ir$ , όχι $E$ .
Laplace ομόρροπη της κίνησης. Κατά Lenz αντιστέκεται πάντα στην κίνηση που προκαλεί το ρεύμα.
ΗΕΔ από σταθερή ροή. Μεγάλη ροή δεν σημαίνει ΗΕΔ· ΗΕΔ υπάρχει μόνο όταν η ροή μεταβάλλεται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ράβδος κάθετη σε $\vec{\upsilon}$ και $\vec{B}$ : $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon l$ , από τη δύναμη Lorentz στα ελεύθερα ηλεκτρόνια.
Ανοιχτό κύκλωμα: τάση $B\upsilon l$ χωρίς ρεύμα· κλειστό: πηγή με $I = \frac{E}{R + r}$ και $V = E - Ir$ .
Στη ράβδο ασκείται $F_L = BIl$ αντίθετη στην ταχύτητα.
Σταθερή ταχύτητα: $F_{\epsilon\xi} = F_L$ και $F_{\epsilon\xi}\upsilon = EI = I^2(R + r)$ .
Φορτίο: $q = \frac{B l\,\Delta x}{R + r}$ , όπου $\Delta x$ η μετατόπιση της ράβδου.

🚄

Ευθύγραμμος Αγωγός σε Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο

E = Bυl, ράβδος σε ράγες, ενεργειακός ισολογισμός

Γιατί με νοιάζει;

Η ματιά των ηλεκτρονίων: γιατί αναπτύσσεται $B\upsilon l$

$eE_{\eta\lambda} = eB\upsilon \Rightarrow V = E_{\eta\lambda}\,l = B\upsilon l$

$E_{\epsilon\pi} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \qquad E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell$

Από πού βγαίνει το $B\upsilon\ell$ — και πόσο φορτίο περνά

$I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R + r}, \qquad V_{\pi o\lambda} = E_{\epsilon\pi} - Ir$

$q = I\Delta t = \frac{N|\Delta\Phi|}{R_{o\lambda}}$

και δεν εξαρτάται από το πόσο γρήγορα μεταβλήθηκε η ροή — μόνο από τη συνολική μεταβολή της.

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: αγωγός που κινείται σε ράγες

ΗΕΔ: $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell$ (αγωγός, ταχύτητα και πεδίο κάθετα ανά δύο).
Φορά ρεύματος και πολικότητα: κανόνας δεξιού χεριού στα ελεύθερα ηλεκτρόνια ή κανόνας Lenz.
Ρεύμα: $I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R + r}$ και τάση στα άκρα του αγωγού $V = E_{\epsilon\pi} - Ir$ .
Δύναμη Laplace $F_L = BI\ell$ , αντίθετη στην ταχύτητα (Lenz).
Νόμος του Newton για τον αγωγό: με σταθερή ταχύτητα $\Sigma F = 0$ , άρα $F_{\epsilon\xi} = F_L$ (+ τριβή, αν υπάρχει).
Ενεργειακός ισολογισμός: $P_{F} = F_{\epsilon\xi}\upsilon = E_{\epsilon\pi}I = I^2(R + r)$ .

Λύση:

(α) $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell = 0{,}4 \cdot 5 \cdot 1 = 2\ V$ .

(β) $I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R} = \frac{2}{4} = 0{,}5\ A$ .

Λύση: Τα φτερά λειτουργούν σαν ράβδος που κινείται κάθετα στην κατακόρυφη συνιστώσα:

$E = B\upsilon l = 4 \times 10^{-5} \cdot 250 \cdot 40 = 0{,}4\ V$

Λύση:

(α) $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon\ell = 1 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 4\ V$ και $I = \frac{E_{\epsilon\pi}}{R + r} = \frac{4}{4} = 1\ A$ .

(β) $V_{K\Lambda} = E_{\epsilon\pi} - Ir = 4 - 1 = 3\ V$ (όση και η τάση στον $R$ : $IR = 3\ V$ ✓).

(γ) $F_L = BI\ell = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\ N$ , αντίθετη στην κίνηση. Σταθερή ταχύτητα ⇒ $F = F_L = 0{,}5\ N$ .

Απάντηση: $4\ V$ , $1\ A$ · $V_{K\Lambda} = 3\ V$ · $F = 0{,}5\ N$ · $P_F = 4\ W$ , $Q_R = 6\ J$ · $q = 2\ C$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $F_L = \frac{1 \cdot 0{,}25 \cdot 4}{2} = 0{,}5\ N$ . Από τον 2ο νόμο του Newton: $mg - F_L = m\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{1 - 0{,}5}{0{,}1} = 5\ m/s^2$ .

Συνηθισμένα λάθη

Γωνία με το επίπεδο αντί για την κάθετο. Στο $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$ η $\theta$ μετριέται από την κάθετο της επιφάνειας.
Ξεχασμένη εσωτερική αντίσταση. Αν ο αγωγός έχει αντίσταση $r$ , το ρεύμα είναι $\frac{E}{R + r}$ και η τάση στα άκρα του $E - Ir$ , όχι $E$ .
Laplace ομόρροπη της κίνησης. Κατά Lenz αντιστέκεται πάντα στην κίνηση που προκαλεί το ρεύμα.
ΗΕΔ από σταθερή ροή. Μεγάλη ροή δεν σημαίνει ΗΕΔ· ΗΕΔ υπάρχει μόνο όταν η ροή μεταβάλλεται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ράβδος κάθετη σε $\vec{\upsilon}$ και $\vec{B}$ : $E_{\epsilon\pi} = B\upsilon l$ , από τη δύναμη Lorentz στα ελεύθερα ηλεκτρόνια.
Ανοιχτό κύκλωμα: τάση $B\upsilon l$ χωρίς ρεύμα· κλειστό: πηγή με $I = \frac{E}{R + r}$ και $V = E - Ir$ .
Στη ράβδο ασκείται $F_L = BIl$ αντίθετη στην ταχύτητα.
Σταθερή ταχύτητα: $F_{\epsilon\xi} = F_L$ και $F_{\epsilon\xi}\upsilon = EI = I^2(R + r)$ .
Φορτίο: $q = \frac{B l\,\Delta x}{R + r}$ , όπου $\Delta x$ η μετατόπιση της ράβδου.

Ευθύγραμμος Αγωγός σε Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο

Η ματιά των ηλεκτρονίων: γιατί αναπτύσσεται BυlB\upsilon lBυl

Από πού βγαίνει το BυℓB\upsilon\ellBυℓ — και πόσο φορτίο περνά

Μέθοδος: αγωγός που κινείται σε ράγες

Ευθύγραμμος Αγωγός σε Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο

Η ματιά των ηλεκτρονίων: γιατί αναπτύσσεται BυlB\upsilon lBυl

Από πού βγαίνει το BυℓB\upsilon\ellBυℓ — και πόσο φορτίο περνά

Μέθοδος: αγωγός που κινείται σε ράγες

Η ματιά των ηλεκτρονίων: γιατί αναπτύσσεται $B\upsilon l$

Από πού βγαίνει το $B\upsilon\ell$ — και πόσο φορτίο περνά

Η ματιά των ηλεκτρονίων: γιατί αναπτύσσεται $B\upsilon l$

Από πού βγαίνει το $B\upsilon\ell$ — και πόσο φορτίο περνά