⚖️

Ισορροπία Στερεού Σώματος

ΣF = 0 και Στ = 0, αρθρώσεις, σκάλες, ράβδοι

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί το πόμολο είναι στην άκρη της πόρτας και όχι δίπλα στους μεντεσέδες; Γιατί ο παγοδρόμος στριφογυρίζει πιο γρήγορα όταν μαζεύει τα χέρια; Και πώς ένας γερανός σηκώνει τόνους χωρίς να ανατραπεί; Οι απαντήσεις λέγονται ροπή και στροφορμή. Και η ισορροπία στερεού είναι κλασικό Θέμα Γ.

Οι δύο συνθήκες ισορροπίας

Ένα υλικό σημείο ισορροπεί όταν $\Sigma\vec{F} = 0$ . Ένα στερεό όμως μπορεί να έχει $\Sigma\vec{F} = 0$ και να περιστρέφεται — σκέψου το ζεύγος δυνάμεων. Γι' αυτό ένα στερεό σώμα ισορροπεί (ακίνητο ή σε ομαλή μεταφορική κίνηση χωρίς περιστροφή) όταν ισχύουν και οι δύο συνθήκες:

$\Sigma\vec{F} = 0$ — δεν επιταχύνεται μεταφορικά (σε ανάλυση: $\Sigma F_x = 0$ , $\Sigma F_y = 0$ ),
$\Sigma\tau = 0$ — δεν αποκτά γωνιακή επιτάχυνση.

Χρήσιμες συνέπειες:

Όταν $\Sigma\vec{F} = 0$ , η συνολική ροπή είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. Άρα σε ισορροπία μπορείς να γράψεις $\Sigma\tau = 0$ ως προς όποιο σημείο σε βολεύει.
Σώμα που ισορροπεί υπό την επίδραση δύο δυνάμεων: αυτές είναι αντίθετες και έχουν τον ίδιο φορέα.
Σώμα που ισορροπεί υπό την επίδραση τριών μη παράλληλων δυνάμεων: οι φορείς τους περνούν από το ίδιο σημείο.

$\tau = F \cdot d \qquad \text{Ισορροπία:} \quad \Sigma\vec{F} = 0 \;\; \text{και} \;\; \Sigma\tau = 0$

Πειραματίσου με βάρη σε διαφορετικές αποστάσεις από το υπομόχλιο: η ζυγαριά ισορροπεί μόνο όταν τα γινόμενα δύναμη × απόσταση (οι ροπές) δεξιά και αριστερά εξισωθούν — όχι όταν εξισωθούν τα βάρη!

Μέθοδος: ισορροπία στερεού (Θέμα Γ)

Σχεδίασε όλες τις δυνάμεις: βάρος στο κέντρο μάζας (στο μέσο ομογενούς ράβδου), τάσεις νημάτων, δυνάμεις από στηρίξεις και αρθρώσεις — η δύναμη της άρθρωσης έχει άγνωστη διεύθυνση, οπότε γράψε τη ως $F_x$ , $F_y$ .
Ανάλυσε τις πλάγιες δυνάμεις σε δύο κάθετους άξονες.
Γράψε $\Sigma\tau = 0$ ως προς το σημείο από όπου περνούν οι περισσότερες άγνωστες δυνάμεις (π.χ. την άρθρωση).
Γράψε $\Sigma F_x = 0$ και $\Sigma F_y = 0$ για τα υπόλοιπα άγνωστα.
Έλεγξε με $\Sigma\tau = 0$ ως προς άλλο σημείο — σε ισορροπία ισχύει ως προς οποιοδήποτε σημείο.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα στερεό ισορροπεί. Ως προς ποιο σημείο ισχύει η συνθήκη $\Sigma\tau = 0$ ;

Άσκηση: Ομογενής σανίδα μήκους $4\ m$ και βάρους $200\ N$ στηρίζεται σε υπομόχλιο στο μέσον της $M$ . Παιδί βάρους $400\ N$ κάθεται $1\ m$ αριστερά του $M$ . Πού πρέπει να καθίσει παιδί βάρους $500\ N$ για να ισορροπήσει η σανίδα οριζόντια; Πόση δύναμη δέχεται η σανίδα από το υπομόχλιο;

Λύση: Παίρνουμε ροπές ως προς το $M$ — το βάρος της σανίδας και η δύναμη στήριξης περνούν από εκεί, άρα έχουν μηδενική ροπή:

$\Sigma\tau_{(M)} = 0 \Rightarrow 400 \cdot 1 = 500 \cdot d \Rightarrow d = 0{,}8\ m$

δεξιά του $M$ . Από $\Sigma F = 0$ για τη δύναμη στήριξης: $N = 200 + 400 + 500 = 1100\ N$ .

Άσκηση: Ομογενής σανίδα μήκους $4\ m$ και βάρους $300\ N$ στηρίζεται οριζόντια σε δύο στηρίγματα στα άκρα της Α και Β. Άνθρωπος βάρους $600\ N$ στέκεται $1\ m$ από το Α. Να βρεθούν οι δυνάμεις από τα στηρίγματα.

Λύση: Ροπές ως προς το Α (η $N_A$ έχει μηδενική ροπή):

$N_B \cdot 4 = 300 \cdot 2 + 600 \cdot 1 \Rightarrow N_B = 300\ N$

Από $\Sigma F_y = 0$ : $N_A = 300 + 600 - 300 = 600\ N$ . Το στήριγμα που είναι πιο κοντά στον άνθρωπο σηκώνει το μεγαλύτερο φορτίο. Έλεγχος με ροπές ως προς το Β: $N_A \cdot 4 = 300 \cdot 2 + 600 \cdot 3 = 2400 \Rightarrow N_A = 600\ N$ ✓.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους $L = 2\ m$ και βάρους $w = 40\ N$ συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο στο άκρο Α και ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Γ δένεται με αβαρές νήμα σε σημείο του τοίχου πάνω από το Α, και το νήμα σχηματίζει γωνία $\varphi = 30°$ με τη ράβδο. Από το Γ κρέμεται σώμα βάρους $w_1 = 20\ N$ . Να βρεθούν η τάση του νήματος και η δύναμη της άρθρωσης.

Δεδομένα: $L = 2\ m$ , $w = 40\ N$ (στο μέσο), $w_1 = 20\ N$ (στο Γ), $\varphi = 30°$ . Ζητούμενα: $T$ , $F_A$ .

Λύση: Ροπές ως προς το Α, απ' όπου περνά η άγνωστη δύναμη της άρθρωσης. Ο μοχλοβραχίονας της τάσης είναι $L\,\eta\mu 30°$ :

$T \cdot L\,\eta\mu 30° = w\frac{L}{2} + w_1 L \Rightarrow T \cdot 2 \cdot 0{,}5 = 40 \cdot 1 + 20 \cdot 2 \Rightarrow T = 80\ N$

Οριζόντια: η συνιστώσα $T\sigma\upsilon\nu 30° = 40\sqrt{3}\ N$ δείχνει προς τον τοίχο, άρα η άρθρωση ασκεί $F_x = 40\sqrt{3} \approx 69{,}3\ N$ με φορά από τον τοίχο προς τα έξω.

Κατακόρυφα: $F_y + T\eta\mu 30° = w + w_1 \Rightarrow F_y + 40 = 60 \Rightarrow F_y = 20\ N$ , προς τα πάνω.

$F_A = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{4800 + 400} = 20\sqrt{13} \approx 72{,}1\ N$

Απάντηση: $T = 80\ N$ και $F_A = 20\sqrt{13} \approx 72{,}1\ N$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ομογενής ράβδος ισορροπεί υπό την επίδραση μόνο δύο δυνάμεων. Τι πρέπει να ισχύει για αυτές;

Γρήγορος έλεγχος

Ράβδος στηρίζεται σε άρθρωση και ισορροπεί. Γιατί συνήθως γράφουμε την εξίσωση ροπών ως προς την άρθρωση;

Στις ασκήσεις ισορροπίας, υπολόγισε τις ροπές ως προς το σημείο από όπου περνούν οι άγνωστες δυνάμεις — έτσι μηδενίζονται οι ροπές τους και η εξίσωση $\Sigma\tau = 0$ λύνεται αμέσως. Και θυμήσου τον «μεταφραστή»: κάθε τύπος της μεταφορικής κίνησης έχει στροφικό δίδυμο ( $p = m\upsilon \leftrightarrow L = I\omega$ , $\frac{1}{2}m\upsilon^2 \leftrightarrow \frac{1}{2}I\omega^2$ ).

Ήξερες ότι;

Ο Πύργος της Πίζας γέρνει σήμερα περίπου $4°$ , μετά από εργασίες σταθεροποίησης (1990–2001) που μείωσαν την κλίση του. Δεν ανατρέπεται γιατί η κατακόρυφος που περνά από το κέντρο μάζας του πέφτει ακόμη μέσα στη βάση στήριξης: έτσι το βάρος και η αντίδραση του εδάφους δεν σχηματίζουν ροπή ανατροπής.

Πρόκληση

Η σκάλα που γλιστράει. Ομογενής σκάλα μήκους $L = 5\ m$ και βάρους $w = 200\ N$ ακουμπά σε λείο κατακόρυφο τοίχο σε ύψος $4\ m$ , ενώ η βάση της Α απέχει $3\ m$ από τον τοίχο. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής με το δάπεδο είναι $\mu_s = 0{,}5$ . (α) Βρες τις δυνάμεις από τον τοίχο και το δάπεδο όταν η σκάλα είναι άδεια. (β) Άνθρωπος βάρους $600\ N$ ανεβαίνει τη σκάλα. Θα φτάσει στην κορυφή χωρίς να γλιστρήσει η σκάλα; Αν όχι, μέχρι πού μπορεί να ανέβει;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Δυνάμεις: το βάρος $w$ στο μέσο, η οριζόντια $N_1$ από τον λείο τοίχο στην κορυφή, η κατακόρυφη $N_2$ και η στατική τριβή $T$ από το δάπεδο στο Α. Παίρνουμε ροπές ως προς το Α, από όπου περνούν δύο άγνωστες δυνάμεις.

(α) Μοχλοβραχίονας του $w$ είναι η οριζόντια απόσταση του μέσου από το Α, $1{,}5\ m$ · του $N_1$ είναι το ύψος, $4\ m$ .

$\Sigma\tau_{(A)} = 0: \ N_1 \cdot 4 = 200 \cdot 1{,}5 \Rightarrow N_1 = 75\ N$

$\Sigma F_y = 0: \ N_2 = 200\ N \qquad \Sigma F_x = 0: \ T = N_1 = 75\ N$

Έλεγχος: $T \le \mu_s N_2 = 100\ N$ ✓, άρα η άδεια σκάλα ισορροπεί.

(β) Με τον άνθρωπο σε οριζόντια απόσταση $s$ από το Α: $N_2 = 800\ N$ , οπότε η στατική τριβή φτάνει το πολύ $\mu_s N_2 = 400\ N$ . Από τις ροπές $N_1 \cdot 4 = 300 + 600s$ , και $T = N_1$ . Η σκάλα δεν γλιστρά όσο $\frac{300 + 600s}{4} \le 400 \Rightarrow s \le \frac{13}{6} \approx 2{,}17\ m$ . Η κορυφή όμως είναι στο $s = 3\ m$ .

Κατά μήκος της σκάλας αυτό αντιστοιχεί σε $2{,}17 \cdot \frac{5}{3} \approx 3{,}6\ m$ από τη βάση.

Απάντηση: (α) $N_1 = 75\ N$ , $N_2 = 200\ N$ , $T = 75\ N$ · (β) όχι: η σκάλα γλιστρά μόλις ο άνθρωπος περάσει τα $3{,}6\ m$ περίπου. Γι' αυτό κάποιος πρέπει να «πατάει» τη βάση της σκάλας!

Συνηθισμένα λάθη

Μοχλοβραχίονας = απόσταση από το σημείο εφαρμογής. Είναι η κάθετη απόσταση του άξονα από τον φορέα της δύναμης: για πλάγια δύναμη $d = r\eta\mu\varphi$ .
Ξεχασμένο βάρος ράβδου. Το βάρος ομογενούς ράβδου ασκείται στο μέσο της και έχει ροπή ως προς κάθε άλλο σημείο.
Μόνο $\Sigma\tau = 0$ . Για ισορροπία χρειάζεται και $\Sigma\vec{F} = 0$ — αλλιώς δεν βρίσκεις τη δύναμη της στήριξης ή της άρθρωσης.
$\upsilon_{cm} = \omega R$ πάντα. Ισχύει μόνο για κύλιση χωρίς ολίσθηση.
Διατήρηση στροφορμής ⇒ διατήρηση κινητικής ενέργειας. Όχι: στο σφαιρίδιο με το νήμα (ή στον παγοδρόμο) η κινητική ενέργεια αυξάνεται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ισορροπία στερεού: $\Sigma\vec{F} = 0$ και $\Sigma\tau = 0$ .
Σε ισορροπία το $\Sigma\tau = 0$ ισχύει ως προς οποιοδήποτε σημείο — διάλεξε εκείνο από όπου περνούν οι περισσότερες άγνωστες δυνάμεις.
Δύναμη άρθρωσης: άγνωστη διεύθυνση, ανάλυσέ τη σε $F_x$ , $F_y$ .
Δύο δυνάμεις σε ισορροπία: αντίθετες και συγγραμμικές· τρεις μη παράλληλες: φορείς που συντρέχουν.
Στατική τριβή: $T \le \mu_s N$ — έλεγξε πάντα αν «αντέχει».

Οι δύο συνθήκες ισορροπίας

Ένα υλικό σημείο ισορροπεί όταν

\Sigma\vec{F} = 0

. Ένα στερεό όμως μπορεί να έχει

\Sigma\vec{F} = 0

και να περιστρέφεται — σκέψου το ζεύγος δυνάμεων. Γι' αυτό ένα στερεό σώμα ισορροπεί (ακίνητο ή σε ομαλή μεταφορική κίνηση χωρίς περιστροφή) όταν ισχύουν και οι δύο συνθήκες:

\Sigma\vec{F} = 0

— δεν επιταχύνεται μεταφορικά (σε ανάλυση:

\Sigma F_x = 0

\Sigma F_y = 0

\Sigma\tau = 0

— δεν αποκτά γωνιακή επιτάχυνση.

Χρήσιμες συνέπειες:

Όταν

\Sigma\vec{F} = 0

, η συνολική ροπή είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. Άρα σε ισορροπία μπορείς να γράψεις

\Sigma\tau = 0

ως προς όποιο σημείο σε βολεύει.

Σώμα που ισορροπεί υπό την επίδραση δύο δυνάμεων: αυτές είναι αντίθετες και έχουν τον ίδιο φορέα.

Σώμα που ισορροπεί υπό την επίδραση τριών μη παράλληλων δυνάμεων: οι φορείς τους περνούν από το ίδιο σημείο.