⚛️

Η Κυματική Φύση της Ύλης

Υπόθεση de Broglie, λ = h/p, περίθλαση ηλεκτρονίων

Γιατί με νοιάζει;

Τα ηλεκτρονικά μικροσκόπια δείχνουν ιούς, ακόμη και άτομα, που κανένα οπτικό μικροσκόπιο δεν μπορεί να ξεχωρίσει. Το μυστικό: τα ηλεκτρόνια είναι και κύματα, με μήκος κύματος χιλιάδες φορές μικρότερο από το ορατό φως. Εδώ μαθαίνεις ότι κάθε σωματίδιο έχει κυματική φύση, γιατί δεν μπορείς να ξέρεις ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια πού είναι και πόσο γρήγορα κινείται, και πώς η κβαντομηχανική μιλά με πιθανότητες.

Η ιδέα του de Broglie

Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο και το φαινόμενο Compton έδειξαν ότι το φως — που το ξέραμε ως κύμα — συμπεριφέρεται και ως σωματίδιο. Το 1924 ο Louis de Broglie έκανε την αντίστροφη, τολμηρή υπόθεση: αν τα κύματα έχουν σωματιδιακή φύση, τότε και τα σωματίδια πρέπει να έχουν κυματική φύση. Η φύση αγαπά τη συμμετρία.

Σε κάθε σωματίδιο με ορμή $p = m\upsilon$ αντιστοιχεί ένα μήκος κύματος de Broglie:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\upsilon}$

Η πειραματική επιβεβαίωση

Το 1927 οι Davisson και Germer διαπίστωσαν ότι δέσμη ηλεκτρονίων που κινούνται με μεγάλη ταχύτητα περιθλάται πάνω σε κρύσταλλο με τρόπο ανάλογο της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (των ακτίνων Χ): τα ηλεκτρόνια σχημάτισαν κροσσούς ενίσχυσης και απόσβεσης — καθαρά κυματική συμπεριφορά! Αργότερα παρατηρήθηκε κυματική συμπεριφορά και σε δέσμες σωματιδίων άλφα και νετρονίων.

Γιατί όμως δεν βλέπουμε ποτέ μια μπάλα να «περιθλάται» στο δοκάρι; Επειδή $\lambda = h/p$ και το $h$ είναι αστρονομικά μικρό: για μακροσκοπικά σώματα η ορμή είναι τεράστια σε σχέση με το $h$ , οπότε το $\lambda$ βγαίνει αμέτρητα μικρό. Μόνο για σωματίδια ατομικής κλίμακας, όπου το $\lambda$ γίνεται συγκρίσιμο με τις αποστάσεις των ατόμων στους κρυστάλλους, η κυματική φύση της ύλης αποκαλύπτεται.

Δες δύο κύματα να συμβάλλουν δημιουργώντας ενισχύσεις και αποσβέσεις: θα ανακαλύψεις τι είδαν οι Davisson και Germer με δέσμη ηλεκτρονίων — κροσσούς συμβολής από «σωματίδια», την πιο άμεση απόδειξη ότι η ύλη κουβαλά κύμα με λ = h/p.

Ήξερες ότι;

Ο J. J. Thomson πήρε Νόμπελ το 1906 για έρευνες που έδειξαν το ηλεκτρόνιο ως σωματίδιο. Ο γιος του, G. P. Thomson, πήρε Νόμπελ το 1937, μαζί με τον Davisson, επειδή έδειξε πειραματικά ότι τα ηλεκτρόνια περιθλώνται σαν κύματα. Πατέρας και γιος βραβεύτηκαν για τις δύο «όψεις» του ίδιου σωματιδίου.

Μέθοδος: μήκος κύματος de Broglie

Βρες την ορμή $p$ από ό,τι δίνεται:

από ταχύτητα: $p = m\upsilon$ ·
από κινητική ενέργεια: $K = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2mK}$ ·
από τάση επιτάχυνσης (ξεκινώντας από ηρεμία): $K = |q|V$ , άρα $p = \sqrt{2m|q|V}$ .

Υπολόγισε $\lambda = \frac{h}{p}$ .
Σύγκρινε το $\lambda$ με τις διαστάσεις του εμποδίου/κρυστάλλου: μόνο όταν είναι συγκρίσιμα παρατηρείται περίθλαση.

Άσκηση: Να υπολογιστεί το μήκος κύματος de Broglie (α) ηλεκτρονίου ( $m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\ kg$ ) με ταχύτητα $\upsilon = 2 \times 10^6\ m/s$ , (β) μπάλας μάζας $0{,}2\ kg$ με ταχύτητα $15\ m/s$ . Δίνεται $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ .

Λύση:

(α) $p = m_e\upsilon = 9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 2 \times 10^6 = 1{,}82 \times 10^{-24}\ kg \cdot m/s$

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}}{1{,}82 \times 10^{-24}} \approx 3{,}6 \times 10^{-10}\ m$

Συγκρίσιμο με τις αποστάσεις των ατόμων σε κρύσταλλο — γι' αυτό τα ηλεκτρόνια περιθλώνται στους κρυστάλλους.

(β) $p = 0{,}2 \cdot 15 = 3\ kg \cdot m/s$ , άρα

$\lambda = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}}{3} = 2{,}21 \times 10^{-34}\ m$

Ασύλληπτα μικρότερο κι από πυρήνα ατόμου: η κυματική φύση της μπάλας είναι εντελώς ανιχνεύσιμα αδύνατη.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών: Ηλεκτρόνιο ( $m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\ kg$ , $e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ ) επιταχύνεται από την ηρεμία μέσω τάσης $V = 100\ V$ . Να βρεθεί το μήκος κύματος de Broglie του ( $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ ).

Δεδομένα: $m_e$ , $e$ , $V = 100\ V$ , $\upsilon_0 = 0$ . Ζητούμενο: $\lambda$ .

Λύση: $K = eV = 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 100 = 1{,}6 \times 10^{-17}\ J$ . Τότε

$p = \sqrt{2m_eK} = \sqrt{2 \cdot 9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 1{,}6 \times 10^{-17}} \approx 5{,}4 \times 10^{-24}\ kg \cdot m/s$

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}}{5{,}4 \times 10^{-24}} \approx 1{,}2 \times 10^{-10}\ m$

Απάντηση: $\lambda \approx 0{,}12\ nm$ — της τάξης των ατομικών αποστάσεων στους κρυστάλλους. Γι' αυτό δέσμες ηλεκτρονίων τέτοιων ενεργειών περιθλώνται στο πείραμα των Davisson–Germer.

Άσκηση: Τα «θερμικά» νετρόνια ενός πυρηνικού αντιδραστήρα έχουν κινητική ενέργεια περίπου $0{,}025\ eV$ . Πόσο είναι το μήκος κύματος de Broglie τους και γιατί χρησιμοποιούνται για τη μελέτη κρυστάλλων; ( $m_n = 1{,}67 \times 10^{-27}\ kg$ , $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ , $1\ eV = 1{,}6 \times 10^{-19}\ J$ )

Λύση: $K = 0{,}025 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-21}\ J$ .

$p = \sqrt{2m_nK} = \sqrt{2 \cdot 1{,}67 \times 10^{-27} \cdot 4 \times 10^{-21}} \approx 3{,}66 \times 10^{-24}\ kg \cdot m/s$

$\lambda = \frac{h}{p} \approx \frac{6{,}63 \times 10^{-34}}{3{,}66 \times 10^{-24}} \approx 1{,}8 \times 10^{-10}\ m$

Περίπου $0{,}18\ nm$ , όσο οι αποστάσεις των ατόμων σε έναν κρύσταλλο: τα νετρόνια περιθλώνται και «φωτογραφίζουν» τη δομή του, όπως οι ακτίνες Χ.

Γρήγορος έλεγχος

Ηλεκτρόνιο και πρωτόνιο ( $m_p \gg m_e$ ) κινούνται με την ΙΔΙΑ ταχύτητα. Ποιο έχει μεγαλύτερο μήκος κύματος de Broglie;

Γρήγορος έλεγχος

Η κινητική ενέργεια ενός (μη σχετικιστικού) ηλεκτρονίου τετραπλασιάζεται. Το μήκος κύματος de Broglie του:

Γρήγορος έλεγχος

Ένα φωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο έχουν το ίδιο μήκος κύματος. Τι κοινό έχουν οπωσδήποτε;

Πρόκληση

Φτιάξε ηλεκτρονικό μικροσκόπιο. Θέλουμε ηλεκτρόνια με μήκος κύματος de Broglie $\lambda = 0{,}1\ nm$ , περίπου όσο ένα άτομο. Δίνονται $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ J \cdot s$ , $m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\ kg$ , $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}\ kg$ και $e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ . (α) Με πόση τάση πρέπει να επιταχυνθούν από την ηρεμία; (β) Με πόση τάση θα έπρεπε να επιταχυνθούν πρωτόνια για το ίδιο μήκος κύματος; (γ) Αν επιταχύνουμε πρωτόνια με την τάση του (α), πόσο είναι το μήκος κύματός τους;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ισχύουν $eV = K = \frac{p^2}{2m}$ και $p = \frac{h}{\lambda}$ .

(α) $p = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}}{10^{-10}} = 6{,}63 \times 10^{-24}\ kg \cdot m/s$ και $K = \frac{p^2}{2m_e} = \frac{43{,}96 \times 10^{-48}}{1{,}82 \times 10^{-30}} \approx 2{,}42 \times 10^{-17}\ J$ , άρα $V = \frac{K}{e} \approx 151\ V$ .

(β) Ίδιο $\lambda$ σημαίνει ίδια ορμή, οπότε $K \propto \frac{1}{m}$ : $V_p = V_e\frac{m_e}{m_p} = 151 \cdot \frac{9{,}1 \times 10^{-31}}{1{,}67 \times 10^{-27}} \approx 0{,}082\ V$ .

(γ) Ίδια $K$ σημαίνει $p = \sqrt{2mK} \propto \sqrt{m}$ , άρα $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ : $\lambda_p = \lambda_e\sqrt{\frac{m_e}{m_p}} \approx \frac{0{,}1\ nm}{\sqrt{1835}} \approx \frac{0{,}1\ nm}{42{,}8} \approx 2{,}3 \times 10^{-12}\ m$ .

Απάντηση: περίπου $151\ V$ · περίπου $0{,}08\ V$ · περίπου $2{,}3 \times 10^{-12}\ m$ . Μόλις $151\ V$ αρκούν για ηλεκτρόνια με μήκος κύματος χιλιάδες φορές μικρότερο από το ορατό φως: αυτή είναι η δύναμη του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου.

Συνηθισμένα λάθη

$E = \frac{hc}{\lambda}$ για σωματίδιο με μάζα. Ο τύπος αυτός ισχύει μόνο για φωτόνια· για το ηλεκτρόνιο πήγαινε μέσω ορμής, $\lambda = \frac{h}{p}$ .
$p = \sqrt{mK}$ . Σωστό είναι $p = \sqrt{2mK}$ — το «2» ξεχνιέται συχνά.
$\lambda \propto \frac{1}{K}$ . Είναι $\lambda \propto \frac{1}{p} \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ : τετραπλάσια κινητική ενέργεια, μισό μήκος κύματος.
«Και η μπάλα περιθλάται». Έχει κυματική φύση, αλλά $\lambda \sim 10^{-34}\ m$ — αδύνατο να παρατηρηθεί.

Σύνοψη — τι κρατάμε

de Broglie: κάθε σωματίδιο έχει $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\upsilon}$ , με $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2m|q|V}$ .
Επιβεβαίωση: περίθλαση ηλεκτρονίων σε κρυστάλλους (Davisson–Germer), αργότερα και νετρονίων, σωματίων α.
Η κυματική φύση φαίνεται μόνο όταν το $\lambda$ είναι συγκρίσιμο με τις διαστάσεις του εμποδίου.
Ίδιο $\lambda$ ⇒ ίδια ορμή (όχι ίδια ενέργεια) για φωτόνιο και σωματίδιο.

Η ιδέα του de Broglie

Σε κάθε σωματίδιο με ορμή

p = m\upsilon

αντιστοιχεί ένα μήκος κύματος de Broglie: