🌀

Αυτεπαγωγή

E_αυτ = −LΔi/Δt, συντελεστής αυτεπαγωγής L, Henry

Γιατί με νοιάζει;

Ένα αυτοκίνητο έχει μπαταρία μόλις $12\ V$ , όμως τα μπουζί του χρειάζονται δεκάδες χιλιάδες βολτ για να κάνουν σπινθήρα. Και όταν διακόπτεις απότομα το ρεύμα σε ένα μοτέρ, βλέπεις μια σπίθα στον διακόπτη. Και τα δύο είναι αυτεπαγωγή: ένα πηνίο που αντιδρά στη μεταβολή του δικού του ρεύματος.

Αυτεπαγωγή: το πηνίο «αντιδρά» στον ίδιο του τον εαυτό

Ένα πηνίο που διαρρέεται από ρεύμα $i$ δημιουργεί δικό του μαγνητικό πεδίο, άρα και ροή μέσα από τις ίδιες του τις σπείρες. Αν το $i$ μεταβληθεί, μεταβάλλεται και αυτή η ροή — και το πηνίο αναπτύσσει ΗΕΔ πάνω στον εαυτό του. Το φαινόμενο λέγεται αυτεπαγωγή:

$E_{\alpha\upsilon\tau} = -L\frac{\Delta i}{\Delta t}$

Ο συντελεστής αυτεπαγωγής $L$ (μονάδα: Henry, $1\ H = 1\ \frac{V \cdot s}{A}$ ) εξαρτάται μόνο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πηνίου και τον πυρήνα του. Το πρόσημο «−» είναι ο Lenz σε δράση: η ΗΕΔ αντιτίθεται στη μεταβολή του ρεύματος — όχι στο ίδιο το ρεύμα.

Σκέψου το πηνίο σαν «βαρύ» εξάρτημα με αδράνεια ρεύματος: όπως ένα φορτηγό δεν αποκτά ούτε χάνει ταχύτητα ακαριαία, έτσι και το ρεύμα σε πηνίο δεν μπορεί να αλλάξει απότομα. Όταν κλείνουμε διακόπτη σε κύκλωμα με πηνίο, το ρεύμα ανεβαίνει σταδιακά· όταν τον ανοίγουμε απότομα, το $\frac{\Delta i}{\Delta t}$ γίνεται τεράστιο, η ΗΕΔ αυτεπαγωγής εκτοξεύεται και συχνά βλέπουμε σπινθήρα στον διακόπτη.

$E_{\alpha\upsilon\tau} = -L\frac{\Delta i}{\Delta t}, \qquad L = \frac{N\Phi}{i}, \qquad L_{\sigma\omega\lambda} = \mu_0\frac{N^2A}{l}, \qquad 1\ H = 1\ \frac{V \cdot s}{A}$

Από πού βγαίνει το $L$

Σε πηνίο με $N$ σπείρες που διαρρέεται από ρεύμα $i$ , η ροή από κάθε σπείρα είναι ανάλογη του ρεύματος, άρα και η συνολική ροή $N\Phi$ . Ο σταθερός λόγος τους είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής:

$L = \frac{N\Phi}{i} \quad\Rightarrow\quad E_{\alpha\upsilon\tau} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -L\frac{\Delta i}{\Delta t}$

Για σωληνοειδές μήκους $l$ και διατομής $A$ : $B = \mu_0\frac{N}{l}i$ , οπότε $N\Phi = NBA = \mu_0\frac{N^2A}{l}i$ και

$L = \mu_0\frac{N^2A}{l}$

Το $L$ εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία του πηνίου (και από τον πυρήνα του — με σιδερένιο πυρήνα γίνεται πολύ μεγαλύτερο), όχι από το ρεύμα. Διπλάσιες σπείρες στο ίδιο μήκος δίνουν τετραπλάσιο $L$ .

Κόλπο μνήμης

Το πηνίο είναι η «αδράνεια» του ρεύματος. Όπως η μάζα δεν εμποδίζει την κίνηση αλλά την αλλαγή της ταχύτητας, έτσι και ο συντελεστής $L$ δεν εμποδίζει το ρεύμα αλλά την αλλαγή του. Σταθερό ρεύμα σημαίνει μηδενική ΗΕΔ αυτεπαγωγής· απότομη αλλαγή σημαίνει μεγάλη ΗΕΔ.

Γρήγορος έλεγχος

Σε πηνίο με $L = 0{,}2\ H$ το ρεύμα αυξάνεται ομοιόμορφα από $2\ A$ σε $6\ A$ μέσα σε $0{,}1\ s$ . Το μέτρο της ΗΕΔ αυτεπαγωγής είναι:

Μέθοδος: ασκήσεις αυτεπαγωγής

Αν δίνεται η γεωμετρία, υπολόγισε $L = \mu_0\frac{N^2A}{l}$ (με $A$ σε $m^2$ ).
Για κάθε φάση όπου το ρεύμα μεταβάλλεται ομοιόμορφα: $|E_{\alpha\upsilon\tau}| = L\frac{|\Delta i|}{\Delta t}$ · από διάγραμμα $i$ – $t$ , $L$ επί την κλίση.
Σταθερό ρεύμα ⇒ $E_{\alpha\upsilon\tau} = 0$ .
Πολικότητα: όταν το ρεύμα αυξάνεται, η ΗΕΔ αντιτίθεται (σαν αντίθετη πηγή)· όταν μειώνεται, το «σπρώχνει» να συνεχίσει.
Κύκλωμα με πηγή $E$ , αντιστάτη $R$ και πηνίο: τη στιγμή που κλείνει ο διακόπτης $i = 0$ , όλη η τάση πέφτει στο πηνίο και $\frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{E}{L}$ · τελικά το ρεύμα σταθεροποιείται στο $\frac{E}{R}$ .

Άσκηση τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Β): Σε πηνίο με $L = 0{,}5\ H$ το ρεύμα (α) αυξάνεται ομοιόμορφα από $0$ σε $3\ A$ σε $0{,}02\ s$ , (β) μένει σταθερό στα $3\ A$ για $0{,}05\ s$ , (γ) μηδενίζεται ομοιόμορφα σε $0{,}01\ s$ . Να βρεθεί το μέτρο της ΗΕΔ αυτεπαγωγής σε κάθε φάση.

Λύση: $|E_{\alpha\upsilon\tau}| = L\frac{|\Delta i|}{\Delta t}$ :

(α) $0{,}5 \cdot \frac{3}{0{,}02} = 75\ V$ , με πολικότητα που αντιστέκεται στην αύξηση του ρεύματος.

(β) $\Delta i = 0 \Rightarrow E_{\alpha\upsilon\tau} = 0$ — παρόλο που το ρεύμα είναι μέγιστο!

(γ) $0{,}5 \cdot \frac{3}{0{,}01} = 150\ V$ , με αντίθετη πολικότητα από την (α): τώρα προσπαθεί να διατηρήσει το ρεύμα που μειώνεται.

Η πιο απότομη μεταβολή δίνει τη μεγαλύτερη ΗΕΔ — γι' αυτό ο σπινθήρας εμφανίζεται στο άνοιγμα του διακόπτη.

Άσκηση: Σωληνοειδές χωρίς πυρήνα έχει $N = 500$ σπείρες, μήκος $l = 0{,}5\ m$ και διατομή $A = 10\ cm^2$ . (α) Να βρεθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής. (β) Πόση ΗΕΔ αναπτύσσεται όταν το ρεύμα αυξάνεται ομοιόμορφα από $0$ σε $2\ A$ σε $0{,}01\ s$ ; ( $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ T \cdot m/A$ )

Λύση:

(α) $L = \mu_0\frac{N^2A}{l} = 4\pi \times 10^{-7} \cdot \frac{250\,000 \cdot 10^{-3}}{0{,}5} = 2\pi \times 10^{-4}\ H \approx 0{,}63\ mH$ .

(β) $|E_{\alpha\upsilon\tau}| = L\frac{\Delta i}{\Delta t} = 2\pi \times 10^{-4} \cdot \frac{2}{0{,}01} = 0{,}04\pi \approx 0{,}126\ V$ . Μικρή, γιατί το πηνίο δεν έχει σιδερένιο πυρήνα.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Πηνίο με $L = 0{,}4\ H$ και αμελητέα αντίσταση συνδέεται σε σειρά με αντιστάτη $R = 6\ \Omega$ και πηγή $E = 12\ V$ αμελητέας εσωτερικής αντίστασης. (α) Ποιο είναι το τελικό σταθερό ρεύμα; (β) Πόση είναι η ΗΕΔ αυτεπαγωγής και ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος τη στιγμή που κλείνουμε τον διακόπτη; (γ) Πόση είναι η ΗΕΔ αυτεπαγωγής όταν το ρεύμα έχει φτάσει στο $1\ A$ ; (δ) Πόση είναι όταν το ρεύμα έχει σταθεροποιηθεί;

Δεδομένα: $L = 0{,}4\ H$ , $R = 6\ \Omega$ , $E = 12\ V$ . Ζητούμενα: $I_\tau$ , $E_{\alpha\upsilon\tau}(0)$ , $\left(\frac{\Delta i}{\Delta t}\right)_0$ , $E_{\alpha\upsilon\tau}$ για $i = 1\ A$ και για σταθερό ρεύμα.

Λύση:

(α) Όταν το ρεύμα σταθεροποιηθεί, το πηνίο δεν αντιδρά: $I_\tau = \frac{E}{R} = 2\ A$ .

(β) Στο $t = 0$ είναι $i = 0$ , άρα η τάση στον αντιστάτη είναι μηδέν και όλη η ΗΕΔ της πηγής αντισταθμίζεται από την ΗΕΔ αυτεπαγωγής: $|E_{\alpha\upsilon\tau}| = 12\ V$ και $\frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{12}{0{,}4} = 30\ A/s$ .

(γ) Με $i = 1\ A$ : $iR = 6\ V$ , άρα $|E_{\alpha\upsilon\tau}| = 12 - 6 = 6\ V$ και $\frac{\Delta i}{\Delta t} = 15\ A/s$ .

(δ) Σταθερό ρεύμα ⇒ $E_{\alpha\upsilon\tau} = 0$ .

Απάντηση: $2\ A$ · $12\ V$ και $30\ A/s$ · $6\ V$ · $0$ . Το ρεύμα ανεβαίνει όλο και πιο αργά προς τα $2\ A$ — η «αδράνεια» του πηνίου.

Γρήγορος έλεγχος

Από ποια μεγέθη εξαρτάται ο συντελεστής αυτεπαγωγής $L$ ενός σωληνοειδούς;

Γρήγορος έλεγχος

Σε σωληνοειδές διπλασιάζουμε τον αριθμό των σπειρών κρατώντας ίδια το μήκος και τη διατομή του. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής:

Ήξερες ότι;

Το σύστημα ανάφλεξης ενός βενζινοκινητήρα παράγει από τα $12\ V$ της μπαταρίας τάσεις της τάξης των $20\,000$ – $40\,000\ V$ για τα μπουζί. Ο «πολλαπλασιασμός» γίνεται με ένα πηνίο ανάφλεξης: το ρεύμα του διακόπτεται απότομα, και η τεράστια μεταβολή ροής επάγει πολύ υψηλή τάση σε ένα δεύτερο τύλιγμα με πολλές σπείρες.

Πρόκληση

Από 12 V σε χιλιάδες βολτ. Ηλεκτρομαγνήτης (πηνίο) με συντελεστή αυτεπαγωγής $L = 2\ H$ τροφοδοτείται από μπαταρία $12\ V$ και διαρρέεται από σταθερό ρεύμα $3\ A$ . Ανοίγουμε απότομα τον διακόπτη και το ρεύμα μηδενίζεται ομοιόμορφα σε $\Delta t = 1\ ms$ . (α) Πόσο είναι το μέτρο της ΗΕΔ από αυτεπαγωγή; (β) Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι από την τάση της μπαταρίας; (γ) Σε πόσο χρόνο θα έπρεπε να μηδενιστεί το ρεύμα, ώστε η ΗΕΔ να μην ξεπεράσει τα $12\ V$ ; (δ) Πόση ήταν η ΗΕΔ αυτεπαγωγής όσο το ρεύμα έμενε σταθερό;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $|E_{\alpha\upsilon\tau}| = L\frac{|\Delta i|}{\Delta t} = 2 \cdot \frac{3}{10^{-3}} = 6000\ V$ .

(β) $\frac{6000}{12} = 500$ φορές!

(γ) $\Delta t = \frac{L|\Delta i|}{|E_{\alpha\upsilon\tau}|} = \frac{2 \cdot 3}{12} = 0{,}5\ s$ .

(δ) Μηδέν: η αυτεπαγωγή εμφανίζεται μόνο όταν το ρεύμα μεταβάλλεται.

Απάντηση: $6000\ V$ , $500$ φορές, $0{,}5\ s$ , μηδέν. Η ΗΕΔ αυτεπαγωγής αντιτίθεται στη μείωση του ρεύματος και «σπρώχνει» τα φορτία ακόμη και μέσα από τον αέρα ανάμεσα στις επαφές του διακόπτη: γι' αυτό βλέπεις σπινθήρα.

Συνηθισμένα λάθη

ΗΕΔ αυτεπαγωγής ανάλογη του ρεύματος. Είναι ανάλογη του ρυθμού μεταβολής του: σταθερό ρεύμα ⇒ $E_{\alpha\upsilon\tau} = 0$ .
Το πηνίο εμποδίζει το ρεύμα. Εμποδίζει τη μεταβολή του· σε σταθερή κατάσταση συμπεριφέρεται σαν απλό σύρμα.
$L \propto N$ . Για σωληνοειδές $L \propto N^2$ .
Ίδια πολικότητα σε αύξηση και μείωση. Όταν το ρεύμα αυξάνεται η ΗΕΔ αντιτίθεται στο ρεύμα· όταν μειώνεται, το ενισχύει.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αυτεπαγωγή: ΗΕΔ σε πηνίο από τη μεταβολή του δικού του ρεύματος, $E_{\alpha\upsilon\tau} = -L\frac{\Delta i}{\Delta t}$ .
$L = \frac{N\Phi}{i}$ σε Henry· για σωληνοειδές $L = \mu_0\frac{N^2A}{l}$ — εξαρτάται μόνο από γεωμετρία και πυρήνα.
Το πηνίο είναι η «αδράνεια» του ρεύματος: αντιτίθεται στη μεταβολή, όχι στο ίδιο το ρεύμα.
Κλείσιμο διακόπτη: το ρεύμα ανεβαίνει σταδιακά ως $\frac{E}{R}$ · απότομο άνοιγμα: μεγάλη ΗΕΔ και σπινθήρας.

Αυτεπαγωγή: το πηνίο «αντιδρά» στον ίδιο του τον εαυτό

Ένα πηνίο που διαρρέεται από ρεύμα

i

δημιουργεί δικό του μαγνητικό πεδίο, άρα και ροή μέσα από τις ίδιες του τις σπείρες. Αν το

i

μεταβληθεί, μεταβάλλεται και αυτή η ροή — και το πηνίο αναπτύσσει ΗΕΔ πάνω στον εαυτό του. Το φαινόμενο λέγεται αυτεπαγωγή:

E_{\alpha\upsilon\tau} = -L\frac{\Delta i}{\Delta t}

Ο συντελεστής αυτεπαγωγής

L

(μονάδα: Henry,

1\ H = 1\ \frac{V \cdot s}{A}

) εξαρτάται μόνο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πηνίου και τον πυρήνα του. Το πρόσημο «−» είναι ο Lenz σε δράση: η ΗΕΔ αντιτίθεται στη μεταβολή του ρεύματος — όχι στο ίδιο το ρεύμα.

\frac{\Delta i}{\Delta t}

γίνεται τεράστιο, η ΗΕΔ αυτεπαγωγής εκτοξεύεται και συχνά βλέπουμε σπινθήρα στον διακόπτη.

Αυτεπαγωγή

Αυτεπαγωγή: το πηνίο «αντιδρά» στον ίδιο του τον εαυτό

Από πού βγαίνει το LLL

Μέθοδος: ασκήσεις αυτεπαγωγής

Αυτεπαγωγή

Αυτεπαγωγή: το πηνίο «αντιδρά» στον ίδιο του τον εαυτό

Από πού βγαίνει το LLL

Μέθοδος: ασκήσεις αυτεπαγωγής

Από πού βγαίνει το $L$

Από πού βγαίνει το $L$