🔬

Εφαρμογές Κίνησης Φορτίων

Φασματογράφος μάζας, κύκλοτρο, μαγνητική ασπίδα της Γης

Γιατί με νοιάζει;

Πώς χρονολογούνται μικροσκοπικά αρχαία δείγματα με άνθρακα-14; Πώς ελέγχουν τα εργαστήρια αντιντόπινγκ αν η τεστοστερόνη ενός αθλητή είναι φυσική ή συνθετική; Με φασματογράφους μάζας, που στην κλασική τους μορφή ξεχωρίζουν τα ιόντα από την ακτίνα της τροχιάς τους μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Εδώ βλέπεις από πού βγαίνουν οι τύποι του μαγνητικού πεδίου και πώς ο τύπος $R = \frac{m\upsilon}{B|q|}$ γίνεται «ζυγαριά» για άτομα.

Εφαρμογές της κίνησης φορτίων σε μαγνητικό πεδίο

Θυμήσου το κλειδί: φορτίο που μπαίνει κάθετα σε ομογενές πεδίο $\vec{B}$ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με ακτίνα και περίοδο

$R = \frac{m\upsilon}{B|q|}, \quad T = \frac{2\pi m}{B|q|}$

Πάνω σε αυτές τις δύο σχέσεις στηρίζονται σπουδαία όργανα.

Ο φασματογράφος μάζας

Σκοπός του: η μέτρηση μαζών ιόντων και ο διαχωρισμός ισοτόπων. Τα ιόντα επιταχύνονται, περνούν από επιλογέα ώστε να έχουν όλα την ίδια ταχύτητα $\upsilon$ , και μπαίνουν κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο $B$ . Εκεί διαγράφουν ημικύκλιο και προσπίπτουν σε φωτογραφική πλάκα. Επειδή $R = \frac{m\upsilon}{B|q|}$ , για ίδιο φορτίο και ίδια ταχύτητα η ακτίνα είναι ανάλογη της μάζας: κάθε ισότοπο «προσγειώνεται» σε διαφορετικό σημείο της πλάκας, και από τη μετρημένη ακτίνα υπολογίζεται η μάζα

$m = \frac{B|q|R}{\upsilon}$

Το κύκλοτρο

Επιταχυντής σωματιδίων: δύο κοίλα ημικυλινδρικά ηλεκτρόδια σχήματος «D» μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, με εναλλασσόμενη τάση ανάμεσά τους. Το σωματίδιο διαγράφει ημικύκλια μέσα στα «D» και επιταχύνεται κάθε φορά που περνά το διάκενο, όπου το ηλεκτρικό πεδίο το σπρώχνει. Με κάθε «σπρώξιμο» η ταχύτητα μεγαλώνει, άρα μεγαλώνει και η ακτίνα $R = \frac{m\upsilon}{B|q|}$ — το σωματίδιο σπιράρει προς τα έξω.

Το κρυφό χαρτί του κύκλοτρου: η περίοδος $T = \frac{2\pi m}{B|q|}$ είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας. Έτσι η εναλλασσόμενη τάση μπορεί να έχει σταθερή συχνότητα και να βρίσκει πάντα το σωματίδιο στο διάκενο με τη σωστή πολικότητα.

Η μαγνητική ασπίδα της Γης

Το μαγνητικό πεδίο της Γης εκτρέπει τα φορτισμένα σωματίδια της κοσμικής ακτινοβολίας και τα αναγκάζει να σπιράρουν γύρω από τις μαγνητικές γραμμές, παγιδεύοντάς τα σε ζώνες γύρω από τον πλανήτη. Κοντά στους πόλους, όπου οι γραμμές «βουτούν» στην ατμόσφαιρα, τα σωματίδια διεγείρουν τα μόρια του αέρα — αυτό είναι το πολικό σέλας.

$m = \frac{B|q|R}{\upsilon}, \qquad f_{\kappa\upsilon\kappa\lambda} = \frac{B|q|}{2\pi m}, \qquad \upsilon_{max} = \frac{B|q|R_D}{m}, \qquad K_{max} = \frac{B^2q^2R_D^2}{2m}$

Σύρε την ταχύτητα του σωματιδίου και δες την κυκλική τροχιά του: θα ανακαλύψεις ότι μεγαλύτερη υ σημαίνει μεγαλύτερη ακτίνα R = mυ/B|q| — η αρχή πάνω στην οποία ο φασματογράφος ξεχωρίζει μάζες και το κύκλοτρο σπιράρει τα σωματίδια προς τα έξω.

Γρήγορος έλεγχος

Σε φασματογράφο μάζας μπαίνουν με ίδια ταχύτητα δύο ιόντα με ίδιο φορτίο και μάζες $m$ και $2m$ . Ο λόγος των ακτίνων $\frac{R_{2m}}{R_m}$ είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Γιατί στο κύκλοτρο η εναλλασσόμενη τάση μπορεί να έχει σταθερή συχνότητα, παρόλο που το σωματίδιο συνεχώς επιταχύνεται;

Μέθοδος: φασματογράφος και κύκλοτρο

Γράψε την ισότητα Lorentz = κεντρομόλος: $B|q|\upsilon = \frac{m\upsilon^2}{R}$ , άρα $R = \frac{m\upsilon}{B|q|}$ .
Φασματογράφος: ίδια $\upsilon$ και $|q|$ ⇒ $R \sim m$ · το ίχνος απέχει $2R$ από την είσοδο.
Αν δίνεται κινητική ενέργεια ή τάση επιτάχυνσης: $m\upsilon = \sqrt{2mK}$ , άρα $R = \frac{\sqrt{2mK}}{B|q|}$ .
Κύκλοτρο: η συχνότητα της τάσης ισούται με τη συχνότητα περιφοράς $f = \frac{B|q|}{2\pi m}$ · η μέγιστη ταχύτητα αντιστοιχεί στην ακτίνα των «D»: $\upsilon_{max} = \frac{B|q|R_D}{m}$ .
Θυμήσου: την ενέργεια τη δίνει το ηλεκτρικό πεδίο στο διάκενο — η μαγνητική δύναμη δεν παράγει έργο.

Κόλπο μνήμης

Στο $R = \frac{m\upsilon}{B|q|}$ πάνω είναι ό,τι «αντιστέκεται» στη στροφή, η ορμή $m\upsilon$ , και κάτω ό,τι τη «σφίγγει», το πεδίο και το φορτίο. Στην περίοδο $T = \frac{2\pi m}{B|q|}$ η ταχύτητα λείπει: ο γρήγορος κάνει μεγαλύτερο κύκλο στον ίδιο χρόνο, και αυτό είναι το μυστικό του κύκλοτρου.

Άσκηση: Σε φασματογράφο μάζας, ιόντα με φορτίο $q = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ μπαίνουν με ταχύτητα $\upsilon = 10^5\ m/s$ κάθετα σε ομογενές πεδίο $B = 0{,}2\ T$ . Ένα ιόν χτυπά την πλάκα αφού διαγράψει ημικύκλιο ακτίνας $R = 10\ cm$ . (α) Να βρεθεί η μάζα του. (β) Ισότοπο με μάζα $m' = 3{,}52 \times 10^{-26}\ kg$ σε ποια ακτίνα θα κινηθεί;

Λύση:

(α) Η μαγνητική δύναμη παίζει ρόλο κεντρομόλου, οπότε $R = \frac{m\upsilon}{B|q|}$ και

$m = \frac{B|q|R}{\upsilon} = \frac{0{,}2 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 0{,}1}{10^5} = 3{,}2 \times 10^{-26}\ kg$

(β) Με ίδια $\upsilon$ , $B$ , $|q|$ η ακτίνα είναι ανάλογη της μάζας:

$R' = R\,\frac{m'}{m} = 0{,}1 \cdot \frac{3{,}52 \times 10^{-26}}{3{,}2 \times 10^{-26}} = 0{,}11\ m = 11\ cm$

Τα δύο ισότοπα αφήνουν ίχνη που απέχουν $2R' - 2R = 2\ cm$ πάνω στην πλάκα — μετρήσιμη απόσταση από διαφορά μάζας μόλις 10%.

Άσκηση: Σε φασματογράφο μάζας ιόντα νέου ${}^{20}Ne^+$ ( $m_1 = 3{,}32 \times 10^{-26}\ kg$ ) και ${}^{22}Ne^+$ ( $m_2 = 3{,}65 \times 10^{-26}\ kg$ ), με φορτίο $q = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ , βγαίνουν από τον επιλογέα με $\upsilon = 2 \times 10^5\ m/s$ και μπαίνουν κάθετα σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ . Πόσο απέχουν τα ίχνη τους στην πλάκα;

Λύση:

$R_1 = \frac{m_1\upsilon}{Bq} = \frac{3{,}32 \times 10^{-26} \cdot 2 \times 10^5}{0{,}5 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19}} = \frac{6{,}64 \times 10^{-21}}{8 \times 10^{-20}} = 0{,}083\ m$ και $R_2 = \frac{7{,}3 \times 10^{-21}}{8 \times 10^{-20}} \approx 0{,}091\ m$ .

Τα ίχνη απέχουν από την είσοδο $2R$ , άρα μεταξύ τους $2(R_2 - R_1) \approx 2 \cdot 0{,}0083 \approx 0{,}017\ m = 1{,}7\ cm$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (κύκλοτρο): Σε κύκλοτρο με $B = 1\ T$ και ακτίνα «D» $R_D = 0{,}3\ m$ επιταχύνονται πρωτόνια ( $m = 1{,}6 \times 10^{-27}\ kg$ , $q = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ ). Να βρεθούν: (α) η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης, (β) η μέγιστη ταχύτητα των πρωτονίων, (γ) η μέγιστη κινητική τους ενέργεια σε J και MeV.

Δεδομένα: $B = 1\ T$ , $R_D = 0{,}3\ m$ , $m$ , $q$ . Ζητούμενα: $f$ , $\upsilon_{max}$ , $K_{max}$ .

Λύση:

(α) $f = \frac{Bq}{2\pi m} = \frac{1 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19}}{2\pi \cdot 1{,}6 \times 10^{-27}} = \frac{10^8}{2\pi} \approx 1{,}6 \times 10^7\ Hz$ (περίπου $16\ MHz$ ).

(β) Στη μέγιστη ακτίνα: $\upsilon_{max} = \frac{BqR_D}{m} = \frac{1 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 0{,}3}{1{,}6 \times 10^{-27}} = 3 \times 10^7\ m/s$ .

(γ) $K_{max} = \frac{1}{2}m\upsilon_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot 1{,}6 \times 10^{-27} \cdot 9 \times 10^{14} = 7{,}2 \times 10^{-13}\ J$ , δηλαδή $\frac{7{,}2 \times 10^{-13}}{1{,}6 \times 10^{-19}} = 4{,}5 \times 10^6\ eV = 4{,}5\ MeV$ .

Απάντηση: $f \approx 16\ MHz$ , $\upsilon_{max} = 3 \times 10^7\ m/s$ , $K_{max} = 7{,}2 \times 10^{-13}\ J = 4{,}5\ MeV$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλοτρο διπλασιάζουμε την ένταση $B$ του μαγνητικού πεδίου (ίδια σωματίδια). Για να συνεχίσει να λειτουργεί, η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης πρέπει να:

Γρήγορος έλεγχος

Δύο ιόντα με ίδιο φορτίο και ίδια κινητική ενέργεια, με μάζες $m$ και $4m$ , μπαίνουν κάθετα στο ίδιο ΟΜΠ. Ο λόγος των ακτίνων $\frac{R_{4m}}{R_m}$ είναι:

Ήξερες ότι;

Το πρώτο κύκλοτρο του Ernest Lawrence (1931) είχε διάμετρο μόλις $11\ cm$ περίπου, χωρούσε σε μια παλάμη, και επιτάχυνε πρωτόνια σε ενέργεια $80\ keV$ . Για την εφεύρεση πήρε Νόμπελ το 1939. Σήμερα μικρά κύκλοτρα στα νοσοκομεία παράγουν ραδιοϊσότοπα για τις τομογραφίες PET.

Κράτα τη λογική αλυσίδα: Biot–Savart (ΔB στοιχείου ρεύματος, με ημφ και 1/r²) → άθροιση → τύποι ευθύγραμμου/κυκλικού/σωληνοειδούς. Και για τις εφαρμογές: ΟΛΕΣ πατούν στο R = mυ/B|q| — στον φασματογράφο R ∝ m (ίδια υ, q), στο κύκλοτρο T ανεξάρτητη της υ (γι' αυτό σταθερή συχνότητα τάσης). Μην ξεχνάς ότι η μαγνητική δύναμη δεν παράγει έργο: στο κύκλοτρο την ενέργεια τη δίνει το ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ πεδίο στο διάκενο.

Πρόκληση

Δύο πυρήνες που «μοιάζουν». Ένα πρωτόνιο (μάζα $m$ , φορτίο $e$ ), ένας πυρήνας δευτερίου (περίπου $2m$ , $e$ ) και ένα σωμάτιο α (περίπου $4m$ , $2e$ ) επιταχύνονται από την ηρεμία με την ίδια τάση $V$ και μπαίνουν κάθετα στο ίδιο ΟΜΠ. (α) Βρες τον λόγο των ακτίνων τους. (β) Ποια δύο δεν μπορεί να ξεχωρίσει αυτή η διάταξη; (γ) Με $m = 1{,}6 \times 10^{-27}\ kg$ , $e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ C$ , $V = 5000\ V$ και $B = 0{,}2\ T$ , βρες την ακτίνα του πρωτονίου. (δ) Σύγκρινε και τις περιόδους.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Από το θεώρημα έργου–ενέργειας $|q|V = \frac{1}{2}m\upsilon^2 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{\frac{2|q|V}{m}}$ , και $R = \frac{m\upsilon}{B|q|} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{|q|}}$ . Άρα $R \propto \sqrt{\frac{m}{q}}$ .

(α) $\sqrt{\frac{m}{e}} : \sqrt{\frac{2m}{e}} : \sqrt{\frac{4m}{2e}} = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{2}$ .

(β) Το δευτέριο και το σωμάτιο α έχουν τον ίδιο λόγο $\frac{m}{q}$ , άρα διαγράφουν ακριβώς τον ίδιο κύκλο.

(γ) $\upsilon_p = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 5000}{1{,}6 \times 10^{-27}}} = \sqrt{10^{12}} = 10^6\ m/s$ και $R_p = \frac{1{,}6 \times 10^{-27} \cdot 10^6}{0{,}2 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19}} = 0{,}05\ m = 5\ cm$ . Τα άλλα δύο: $5\sqrt{2} \approx 7{,}1\ cm$ .

(δ) $T = \frac{2\pi m}{B|q|} \propto \frac{m}{q}$ , άρα $1 : 2 : 2$ . Ίδια περίοδος για δευτέριο και α: ούτε ο χρόνος τα ξεχωρίζει.

Απάντηση: $1 : \sqrt{2} : \sqrt{2}$ · δευτέριο και σωμάτιο α· $R_p = 5\ cm$ · περίοδοι $1 : 2 : 2$ . Μια διάταξη που «ζυγίζει» με μαγνητικό πεδίο μετρά στην πραγματικότητα τον λόγο $\frac{m}{q}$ , όχι τη μάζα.

Συνηθισμένα λάθη

$R \sim m$ πάντα. Μόνο για ίδια ταχύτητα· με ίδια κινητική ενέργεια $R \sim \sqrt{m}$ , με ίδια τάση επιτάχυνσης $R \sim \sqrt{\frac{m}{q}}$ .
«Το μαγνητικό πεδίο επιταχύνει στο κύκλοτρο». Στρίβει μόνο την τροχιά· ενέργεια δίνει το ηλεκτρικό πεδίο του διακένου.
Απόσταση ιχνών $= R$ . Το ίχνος απέχει από την είσοδο μία διάμετρο, $2R$ .
Συχνότητα κύκλοτρου ανεξάρτητη του $B$ . Είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας, αλλά ανάλογη του $B$ : $f = \frac{B|q|}{2\pi m}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Όλες οι εφαρμογές πατούν στο $R = \frac{m\upsilon}{B|q|}$ και στο $T = \frac{2\pi m}{B|q|}$ .
Φασματογράφος: $m = \frac{B|q|R}{\upsilon}$ — με ίδια $\upsilon$ και $|q|$ , $R \sim m$ · στην πράξη μετρά τον λόγο $\frac{m}{q}$ .
Κύκλοτρο: σταθερή συχνότητα τάσης $f = \frac{B|q|}{2\pi m}$ , $\upsilon_{max} = \frac{B|q|R_D}{m}$ .
Μαγνητική ασπίδα της Γης: παγίδευση σωματιδίων, σέλας στους πόλους.
Η μαγνητική δύναμη δεν παράγει έργο — την ενέργεια τη δίνει πάντα ένα ηλεκτρικό πεδίο.

Εφαρμογές της κίνησης φορτίων σε μαγνητικό πεδίο

Θυμήσου το κλειδί: φορτίο που μπαίνει κάθετα σε ομογενές πεδίο

\vec{B}

εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με ακτίνα και περίοδο

R = \frac{m\upsilon}{B|q|}, \quad T = \frac{2\pi m}{B|q|}

Πάνω σε αυτές τις δύο σχέσεις στηρίζονται σπουδαία όργανα.

Ο φασματογράφος μάζας

Σκοπός του: η μέτρηση μαζών ιόντων και ο διαχωρισμός ισοτόπων. Τα ιόντα επιταχύνονται, περνούν από επιλογέα ώστε να έχουν όλα την ίδια ταχύτητα

\upsilon

, και μπαίνουν κάθετα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο

B

. Εκεί διαγράφουν ημικύκλιο και προσπίπτουν σε φωτογραφική πλάκα. Επειδή

R = \frac{m\upsilon}{B|q|}

, για ίδιο φορτίο και ίδια ταχύτητα η ακτίνα είναι ανάλογη της μάζας: κάθε ισότοπο «προσγειώνεται» σε διαφορετικό σημείο της πλάκας, και από τη μετρημένη ακτίνα υπολογίζεται η μάζα

m = \frac{B|q|R}{\upsilon}

Το κύκλοτρο

R = \frac{m\upsilon}{B|q|}

— το σωματίδιο σπιράρει προς τα έξω.

Το κρυφό χαρτί του κύκλοτρου: η περίοδος

T = \frac{2\pi m}{B|q|}

είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας. Έτσι η εναλλασσόμενη τάση μπορεί να έχει σταθερή συχνότητα και να βρίσκει πάντα το σωματίδιο στο διάκενο με τη σωστή πολικότητα.

Η μαγνητική ασπίδα της Γης