⚙️

Στρεφόμενος Αγωγός & Στρεφόμενο Πλαίσιο

E = ½Bωl², e = NBAωημωt, εναλλασσόμενη τάση

Γιατί με νοιάζει;

Το μεγαλύτερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας που φτάνει στην πρίζα σου παράγεται από κάτι απλό: πηνία και μαγνήτες που γυρίζουν ο ένας ως προς τον άλλον, σε ανεμογεννήτριες, υδροηλεκτρικά και θερμικούς σταθμούς. Και όταν διακόπτεις απότομα το ρεύμα σε ένα μοτέρ ή σε έναν ηλεκτρομαγνήτη, μπορεί να δεις σπινθήρα στον διακόπτη. Και τα δύο είναι επαγωγή: το πρώτο από τη ροή ενός μαγνήτη, το δεύτερο από τη ροή του ίδιου του πηνίου.

Από τον νόμο του Faraday στη γεννήτρια

Θυμήσου τη μεγάλη ιδέα της επαγωγής: όποτε μεταβάλλεται η μαγνητική ροή $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta$ μέσα από ένα κύκλωμα, αναπτύσσεται ΗΕΔ:

$E_{\varepsilon\pi} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

με φορά που καθορίζει ο κανόνας του Lenz: το επαγωγικό ρεύμα αντιστέκεται στην αιτία που το προκαλεί.

Μέχρι τώρα αλλάζαμε τη ροή μετακινώντας ράβδους ή μαγνήτες σε ευθεία. Υπάρχει όμως ένας πολύ πιο «βιομηχανικός» τρόπος: η περιστροφή. Όταν κάτι γυρίζει με σταθερή γωνιακή ταχύτητα $\omega$ , η γωνία $\theta = \omega t$ αλλάζει συνεχώς — άρα και η ροή. Πάνω σε αυτή την ιδέα δουλεύουν όλες οι γεννήτριες του πλανήτη: από το δυναμό του ποδηλάτου μέχρι τους σταθμούς της ΔΕΗ.

Στρεφόμενος αγωγός

Ράβδος μήκους $l$ στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ γύρω από το ένα άκρο της, μέσα σε ΟΜΠ κάθετο στο επίπεδο περιστροφής. Κάθε σημείο της «σαρώνει» κύκλο και η ράβδος σαρώνει εμβαδόν με σταθερό ρυθμό — σαν δείκτης ρολογιού. Η ροή που σαρώνει αυξάνεται ομοιόμορφα, οπότε αναπτύσσεται σταθερή ΗΕΔ μεταξύ των άκρων της:

$E = \frac{1}{2}B\omega l^2$

Το ένα άκρο γίνεται μόνιμα «+» και το άλλο «−»: μια στρεφόμενη ράβδος είναι πηγή συνεχούς τάσης!

Απόδειξη: από πού βγαίνει το $\frac{1}{2}$

Σε χρόνο $\Delta t$ η ράβδος στρέφεται κατά γωνία $\Delta\theta = \omega\Delta t$ και σαρώνει κυκλικό τομέα ακτίνας $l$ , εμβαδού

$\Delta A = \frac{1}{2}l^2\Delta\theta = \frac{1}{2}l^2\omega\Delta t$

Η ροή που σαρώνει είναι $\Delta\Phi = B\Delta A$ , οπότε από τον νόμο του Faraday

$E = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{1}{2}B\omega l^2$

Ισοδύναμα: κάθε σημείο σε απόσταση $x$ από τον άξονα έχει ταχύτητα $\omega x$ , από $0$ στο κέντρο μέχρι $\omega l$ στην άκρη. Η μέση ταχύτητα είναι $\frac{\omega l}{2}$ και $E = B\upsilon_{\mu\varepsilon\sigma\eta}l = \frac{1}{2}B\omega l^2$ .

Άσκηση (στρεφόμενος αγωγός): Μεταλλική ράβδος μήκους $l = 0{,}5\ m$ στρέφεται γύρω από το ένα άκρο της με $\omega = 20\ rad/s$ , σε επίπεδο κάθετο σε ΟΜΠ $B = 0{,}4\ T$ . Μέσω ολισθαινόντων επαφών τα άκρα της συνδέονται με αντιστάτη $R = 2\ \Omega$ (η ράβδος έχει αμελητέα αντίσταση). Να βρεθούν η ΗΕΔ και το ρεύμα.

Λύση:

$E = \frac{1}{2}B\omega l^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot 20 \cdot 0{,}5^2 = 1\ V$

$I = \frac{E}{R} = \frac{1}{2} = 0{,}5\ A$ , συνεχές — η πολικότητα των άκρων δεν αλλάζει όσο η ράβδος στρέφεται με την ίδια φορά.

Γρήγορος έλεγχος

Ράβδος στρέφεται γύρω από το ένα άκρο της μέσα σε ΟΜΠ κάθετο στο επίπεδο περιστροφής. Αν διπλασιάσουμε το μήκος της (ίδια $\omega$ και $B$ ), η ΗΕΔ μεταξύ των άκρων της:

Στρεφόμενο πλαίσιο: γεννιέται η εναλλασσόμενη τάση

Τώρα το σημαντικότερο σύστημα της ύλης: πλαίσιο $N$ σπειρών, εμβαδού $A$ , στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα $\omega$ μέσα σε ΟΜΠ $B$ , γύρω από άξονα κάθετο στις γραμμές. Αν στο $t = 0$ το επίπεδο του πλαισίου είναι κάθετο στις γραμμές, η ροή ανά σπείρα είναι:

$\Phi = BA\sigma\upsilon\nu(\omega t)$

Η ροή ταλαντώνεται αρμονικά — άρα και ο ρυθμός μεταβολής της. Η ΗΕΔ που προκύπτει είναι:

$e = NBA\omega\,\eta\mu(\omega t) = V\eta\mu(\omega t), \quad V = NBA\omega$

Πρόσεξε το «αντίθετο ζευγάρι»: όταν η ροή είναι μέγιστη (πλαίσιο κάθετο στις γραμμές), ο ρυθμός μεταβολής της είναι στιγμιαία μηδέν — άρα $e = 0$ . Όταν η ροή είναι μηδέν (πλαίσιο παράλληλο στις γραμμές), η ροή αλλάζει με τον μέγιστο ρυθμό — άρα $e = V$ . Ροή και ΗΕΔ έχουν διαφορά φάσης $\frac{\pi}{2}$ .

Γύρνα το πλαίσιο μέσα στο πεδίο και παρακολούθησε μαζί τη ροή και την ΗΕΔ: θα ανακαλύψεις ότι η τάση μηδενίζεται ακριβώς όταν η ροή μεγιστοποιείται — και κορυφώνεται όταν το πλαίσιο περνά παράλληλο στις γραμμές, εκεί που η ροή μηδενίζεται.

Γρήγορος έλεγχος

Σε στρεφόμενο πλαίσιο μέσα σε ΟΜΠ, η ΗΕΔ από επαγωγή γίνεται μέγιστη τη στιγμή που:

$E_{\rho\alpha\beta\delta o\upsilon} = \frac{1}{2}B\omega l^2, \qquad \Phi = BA\,\sigma\upsilon\nu(\omega t), \qquad e = V\eta\mu(\omega t), \quad V = NBA\omega$

Ήξερες ότι;

Για να δώσει τα $50\ Hz$ του δικτύου, μια γεννήτρια θερμικού σταθμού με ένα ζεύγος μαγνητικών πόλων κάνει ακριβώς $50$ στροφές το δευτερόλεπτο, δηλαδή $3000$ στροφές το λεπτό. Στα υδροηλεκτρικά οι τουρμπίνες γυρίζουν πολύ πιο αργά, γι' αυτό οι γεννήτριές τους έχουν πολλά ζεύγη πόλων: με $12$ ζεύγη, π.χ., αρκούν $250$ στροφές το λεπτό.

Μέθοδος: στρεφόμενο πλαίσιο

Υπολόγισε $\omega = 2\pi f$ (αν δίνονται στροφές ανά δευτερόλεπτο, αυτές είναι η $f$ ).
Πλάτος ΗΕΔ: $V = NBA\omega$ .
Κοίτα τη θέση στο $t = 0$ : επίπεδο κάθετο στις γραμμές ⇒ $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\omega t$ και $e = V\eta\mu\omega t$ .
Αν το πλαίσιο κλείνει κύκλωμα με ωμική αντίσταση $R_{o\lambda}$ : $i = \frac{e}{R_{o\lambda}} = I\eta\mu\omega t$ με $I = \frac{V}{R_{o\lambda}}$ .
Για ερωτήσεις «σε ποια θέση»: ροπή και ΗΕΔ μέγιστες όταν το επίπεδο είναι παράλληλο στις γραμμές ( $\Phi = 0$ ).

Άσκηση (τύπου Πανελληνίων): Πλαίσιο με $N = 100$ σπείρες και εμβαδόν $A = 0{,}02\ m^2$ στρέφεται με $\omega = 100\pi\ rad/s$ μέσα σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ , γύρω από άξονα κάθετο στις γραμμές. Τη στιγμή $t = 0$ το επίπεδό του είναι κάθετο στις γραμμές. Να βρεθούν: (α) το πλάτος της ΗΕΔ, (β) η συχνότητα της τάσης, (γ) η εξίσωση της ΗΕΔ.

Λύση:

(α) $V = NBA\omega = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}02 \cdot 100\pi = 100\pi\ V \approx 314\ V$

(β) $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100\pi}{2\pi} = 50\ Hz$ — όση και του ελληνικού δικτύου.

(γ) Με τη ροή μέγιστη στο $t=0$ , η ΗΕΔ ξεκινά από το μηδέν:

$e = 100\pi\,\eta\mu(100\pi t)\ (S.I.)$

Γρήγορος έλεγχος

Διπλασιάζουμε τη συχνότητα περιστροφής ενός πλαισίου που στρέφεται σε ΟΜΠ. Τι συμβαίνει στην εναλλασσόμενη τάση που παράγει;

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Πλαίσιο $N = 50$ σπειρών, εμβαδού $A = 0{,}04\ m^2$ και αμελητέας αντίστασης στρέφεται με $3000$ στροφές ανά λεπτό μέσα σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ , γύρω από άξονα κάθετο στις γραμμές. Τη στιγμή $t = 0$ το επίπεδό του είναι κάθετο στις γραμμές. Τα άκρα του συνδέονται με αντιστάτη $R = 10\ \Omega$ . (α) Να γράψετε τις εξισώσεις της ροής ανά σπείρα και της ΗΕΔ. (β) Να γράψετε την εξίσωση του ρεύματος. (γ) Να βρείτε ΗΕΔ και ροή τη στιγμή $t_1 = \frac{1}{600}\ s$ . (δ) Πότε για πρώτη φορά η ΗΕΔ γίνεται μέγιστη και σε ποια θέση είναι τότε το πλαίσιο;

Δεδομένα: $N = 50$ , $A = 0{,}04\ m^2$ , $B = 0{,}5\ T$ , $3000\ rpm$ , $R = 10\ \Omega$ , $\Phi(0) = \max$ . Ζητούμενα: $\Phi(t)$ , $e(t)$ , $i(t)$ , $e(t_1)$ , $\Phi(t_1)$ , $t_{max}$ .

Λύση:

(α) $f = \frac{3000}{60} = 50\ Hz$ , $\omega = 100\pi\ rad/s$ . $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\omega t = 0{,}02\,\sigma\upsilon\nu(100\pi t)$ (S.I.) και $V = NBA\omega = 50 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}04 \cdot 100\pi = 100\pi\ V$ : $e = 100\pi\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.).

(β) $I = \frac{V}{R} = 10\pi\ A$ : $i = 10\pi\,\eta\mu(100\pi t)$ (S.I.).

(γ) $100\pi \cdot \frac{1}{600} = \frac{\pi}{6}$ : $e = 100\pi \cdot \frac{1}{2} = 50\pi \approx 157\ V$ και $\Phi = 0{,}02 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0{,}01\sqrt{3} \approx 0{,}017\ Wb$ .

(δ) $100\pi t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{1}{200}\ s = 5\ ms$ : το πλαίσιο έχει στραφεί κατά $90°$ και το επίπεδό του είναι παράλληλο στις γραμμές ( $\Phi = 0$ ).

Απάντηση: $\Phi = 0{,}02\,\sigma\upsilon\nu(100\pi t)$ , $e = 100\pi\,\eta\mu(100\pi t)$ , $i = 10\pi\,\eta\mu(100\pi t)$ · $e(t_1) = 50\pi\ V$ , $\Phi(t_1) \approx 0{,}017\ Wb$ · $t = 5\ ms$ , επίπεδο παράλληλο στις γραμμές.

Τρία σημεία που κρίνουν μονάδες: (1) ροή και ΗΕΔ σε στρεφόμενο πλαίσιο είναι «αντίθετες» — όταν η μία μηδενίζεται, η άλλη μεγιστοποιείται· έλεγξε ΠΑΝΤΑ την αρχική θέση του πλαισίου πριν γράψεις συν ή ημ. (2) Το πλάτος $V = NBA\omega$ : αν διπλασιαστεί η συχνότητα περιστροφής, διπλασιάζεται και το πλάτος ΚΑΙ η συχνότητα της τάσης. (3) Στην αυτεπαγωγή, μεγάλη ΗΕΔ σημαίνει απότομη ΜΕΤΑΒΟΛΗ ρεύματος, όχι μεγάλο ρεύμα — με σταθερό ρεύμα, $E_{\alpha\upsilon\tau} = 0$ .

Πρόκληση

Ο τροχός του Faraday. Μεταλλικός τροχός ακτίνας $0{,}2\ m$ με αγώγιμη στεφάνη και ακτίνες στρέφεται με $\omega = 50\ rad/s$ σε ΟΜΠ $B = 0{,}5\ T$ κάθετο στο επίπεδό του. Με ψήκτρες συνδέουμε τον άξονα και τη στεφάνη με αντιστάτη $R = 0{,}25\ \Omega$ (ο τροχός έχει αμελητέα αντίσταση). (α) Πόση ΗΕΔ έχει κάθε ακτίνα; (β) Αλλάζει κάτι αν ο τροχός έχει 4 ή 40 ακτίνες; (γ) Πόσο ρεύμα και πόση ισχύς αναπτύσσεται, και ποιος την προσφέρει;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Κάθε ακτίνα είναι στρεφόμενος αγωγός: $E = \frac{1}{2}B\omega l^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}04 = 0{,}5\ V$ .

(β) Όλες οι ακτίνες συνδέουν τον ίδιο άξονα με την ίδια στεφάνη: είναι σαν όμοιες πηγές παράλληλα, άρα η ΗΕΔ μένει $0{,}5\ V$ . (Αλλάζει μόνο η εσωτερική αντίσταση, που εδώ είναι αμελητέα.)

(γ) $I = \frac{0{,}5}{0{,}25} = 2\ A$ και $P = EI = 1\ W$ . Την ισχύ την προσφέρει όποιος στρέφει τον τροχό: οι δυνάμεις Laplace στις ακτίνες αντιτίθενται στην περιστροφή (Lenz) και πρέπει να υπερνικηθούν.

Απάντηση: $0{,}5\ V$ · όχι· $2\ A$ , $1\ W$ , από αυτόν που γυρίζει τον τροχό. Ήταν η πρώτη γεννήτρια συνεχούς ρεύματος, το 1831.

Συνηθισμένα λάθη

Συχνότητα στροφών ≠ $\omega$ . Αν το πλαίσιο κάνει $50$ στροφές/s, τότε $f = 50\ Hz$ και $\omega = 100\pi\ rad/s$ — όχι $\omega = 50$ .
ημ ή συν χωρίς έλεγχο αρχικής θέσης. Με το επίπεδο κάθετο στις γραμμές στο $t = 0$ , η ροή είναι συν και η ΗΕΔ ημ.
$E = B\omega l^2$ χωρίς το $\frac{1}{2}$ . Στον στρεφόμενο αγωγό η μέση ταχύτητα των σημείων του είναι $\frac{\omega l}{2}$ .
ΗΕΔ μέγιστη όταν η ροή είναι μέγιστη. Είναι ακριβώς ανάποδα: μέγιστη ΗΕΔ όταν $\Phi = 0$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στρεφόμενος αγωγός: $E = \frac{1}{2}B\omega l^2$ — σταθερή, πηγή συνεχούς τάσης.
Στρεφόμενο πλαίσιο: $\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\omega t$ , $e = V\eta\mu\omega t$ με $V = NBA\omega$ .
Ροή και ΗΕΔ έχουν διαφορά φάσης $\frac{\pi}{2}$ : όταν η μία μηδενίζεται, η άλλη μεγιστοποιείται.
Διπλάσια $\omega$ ⇒ διπλάσιο πλάτος και διπλάσια συχνότητα τάσης.
Σε κύκλωμα αντίστασης $R_{o\lambda}$ : $i = I\eta\mu\omega t$ με $I = \frac{V}{R_{o\lambda}}$ .

Από τον νόμο του Faraday στη γεννήτρια

Θυμήσου τη μεγάλη ιδέα της επαγωγής: όποτε μεταβάλλεται η μαγνητική ροή

\Phi = BA\sigma\upsilon\nu\theta

μέσα από ένα κύκλωμα, αναπτύσσεται ΗΕΔ:

E_{\varepsilon\pi} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

με φορά που καθορίζει ο κανόνας του Lenz: το επαγωγικό ρεύμα αντιστέκεται στην αιτία που το προκαλεί.

\omega

, η γωνία

\theta = \omega t

αλλάζει συνεχώς — άρα και η ροή. Πάνω σε αυτή την ιδέα δουλεύουν όλες οι γεννήτριες του πλανήτη: από το δυναμό του ποδηλάτου μέχρι τους σταθμούς της ΔΕΗ.

Στρεφόμενος Αγωγός & Στρεφόμενο Πλαίσιο

Από τον νόμο του Faraday στη γεννήτρια

Στρεφόμενος αγωγός

Απόδειξη: από πού βγαίνει το 12\frac{1}{2}21​

Στρεφόμενο πλαίσιο: γεννιέται η εναλλασσόμενη τάση

Μέθοδος: στρεφόμενο πλαίσιο

Στρεφόμενος Αγωγός & Στρεφόμενο Πλαίσιο

Από τον νόμο του Faraday στη γεννήτρια

Στρεφόμενος αγωγός

Απόδειξη: από πού βγαίνει το 12\frac{1}{2}21​

Στρεφόμενο πλαίσιο: γεννιέται η εναλλασσόμενη τάση

Μέθοδος: στρεφόμενο πλαίσιο

Απόδειξη: από πού βγαίνει το $\frac{1}{2}$

Απόδειξη: από πού βγαίνει το $\frac{1}{2}$