🎾

Κεντρική Ελαστική Κρούση

Τύποι υ₁΄, υ₂΄, ίσες μάζες, κρούση με σώμα πολύ μεγάλης μάζας

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί η λευκή μπάλα του μπιλιάρδου σταματά επί τόπου όταν χτυπά κεντρικά μια ακίνητη μπάλα; Γιατί μια μπάλα του τένις γυρίζει πίσω από τον τοίχο με την ίδια ταχύτητα, ενώ ο τοίχος δεν κουνιέται; Η κεντρική ελαστική κρούση, με δύο αρχές διατήρησης, απαντά σε όλα — και οι τύποι της αποδεικνύονται συχνά στο Θέμα Β.

$\text{Κεντρική ελαστική με } \upsilon_2 = 0: \quad \upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1, \quad \upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1$

Απόδειξη των τύπων της κεντρικής ελαστικής κρούσης

Με $\upsilon_2 = 0$ γράφουμε τις δύο αρχές διατήρησης:

$m_1\upsilon_1 = m_1\upsilon_1' + m_2\upsilon_2' \Rightarrow m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1') = m_2\upsilon_2' \quad (1)$

$\frac{1}{2}m_1\upsilon_1^2 = \frac{1}{2}m_1{\upsilon_1'}^2 + \frac{1}{2}m_2{\upsilon_2'}^2 \Rightarrow m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1')(\upsilon_1 + \upsilon_1') = m_2{\upsilon_2'}^2 \quad (2)$

Διαιρώντας κατά μέλη τη (2) με την (1) (αφού έγινε κρούση, $\upsilon_1' \ne \upsilon_1$ ):

$\upsilon_1 + \upsilon_1' = \upsilon_2'$

Αντικαθιστώντας στην (1): $m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1') = m_2(\upsilon_1 + \upsilon_1')$ , απ' όπου $\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ και $\upsilon_2' = \upsilon_1 + \upsilon_1' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ .

Κόλπο μνήμης

Στην κεντρική ελαστική κρούση τα σώματα απομακρύνονται με την ίδια σχετική ταχύτητα με την οποία πλησίαζαν. Με ακίνητο στόχο: $\upsilon_2' - \upsilon_1' = \upsilon_1$ . Είναι ο γρηγορότερος έλεγχος των τύπων: για $\upsilon_1 = 6\ m/s$ , αν βρεις $\upsilon_1' = -2\ m/s$ και $\upsilon_2' = 4\ m/s$ , τότε $4 - (-2) = 6$ ✓.

Ειδικές περιπτώσεις που «πιάνουν» στις Πανελλήνιες

Ίσες μάζες ( $m_1 = m_2$ ): τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες — το πρώτο σταματά, το δεύτερο φεύγει με $\upsilon_1$
$m_1 \ll m_2$ (ακίνητος «τοίχος»): το ελαφρύ σώμα ανακλάται με $\upsilon_1' \approx -\upsilon_1$ , το βαρύ μένει πρακτικά ακίνητο
$m_1 \gg m_2$ : το βαρύ συνεχίζει σχεδόν ανεπηρέαστο, το ελαφρύ εκτοξεύεται με $\upsilon_2' \approx 2\upsilon_1$

Το πρόσημο του $\upsilon_1'$ δείχνει αν το βλήμα συνεχίζει μπροστά ( $m_1 > m_2$ ) ή αναπηδά πίσω ( $m_1 < m_2$ ).

Ελαστική κρούση με ακίνητο σώμα πολύ μεγάλης μάζας

Αν $m_2 \gg m_1$ (μπάλα σε τοίχο), οι τύποι δίνουν $\upsilon_1' \approx -\upsilon_1$ και $\upsilon_2' \approx 0$ : η μπάλα ανακλάται με ταχύτητα ίσου μέτρου.

Η μεταβολή της ορμής της μπάλας είναι $\Delta p_1 = m_1(-\upsilon_1) - m_1\upsilon_1 = -2m_1\upsilon_1$ — όχι μηδέν. Ο τοίχος παίρνει ορμή $2m_1\upsilon_1$ , αλλά πρακτικά καθόλου κινητική ενέργεια, γιατί $K = \frac{p^2}{2m_2} \to 0$ .
Πλάγια κρούση σε τοίχο: αν η μπάλα προσπίπτει υπό γωνία $\theta$ με την κάθετο, αντιστρέφεται μόνο η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας, ενώ η παράλληλη μένει ίδια. Έτσι η μπάλα φεύγει με την ίδια ταχύτητα, υπό την ίδια γωνία $\theta$ από την άλλη πλευρά της καθέτου, και $|\Delta p| = 2m_1\upsilon_1\,\sigma\upsilon\nu\theta$ , κάθετα στον τοίχο.

Ήξερες ότι;

Στο «λίκνο του Νεύτωνα» (οι πέντε κρεμαστές ατσάλινες μπίλιες), αν σηκώσεις και αφήσεις μία μπίλια, από την άλλη άκρη φεύγει μία, όχι δύο με τη μισή ταχύτητα. Δύο μπίλιες με $\frac{\upsilon}{2}$ θα είχαν την ίδια ορμή $m\upsilon$ , αλλά μόνο τη μισή κινητική ενέργεια. Οι κρούσεις εκεί είναι σχεδόν ελαστικές, άρα πρέπει να διατηρούνται και τα δύο, και αυτό το πετυχαίνει μόνο η «μία για μία».

Άσκηση: Σφαίρα μάζας $m_1 = 1\ kg$ που κινείται με $\upsilon_1 = 6\ m/s$ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας $m_2 = 2\ kg$ . Να βρεθούν οι ταχύτητες μετά την κρούση.

Λύση:

$\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1 = \frac{1 - 2}{3} \cdot 6 = -2\ m/s$

$\upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\ m/s$

Η $m_1$ αναπηδά πίσω (αρνητικό πρόσημο), η $m_2$ φεύγει μπροστά. Επαλήθευση: ορμή πριν $1 \cdot 6 = 6$ , μετά $1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 6$ ✓ και κινητική ενέργεια πριν $18\ J$ , μετά $2 + 16 = 18\ J$ ✓.

Γρήγορος έλεγχος

Σφαίρα Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β και μετά την κρούση κινείται αντίθετα, με ταχύτητα μέτρου $\frac{\upsilon_1}{3}$ . Ο λόγος $\frac{m_A}{m_B}$ είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Σφαίρα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα ίσης μάζας. Τι συμβαίνει μετά την κρούση;

Μέθοδος: κεντρική ελαστική κρούση

Όρισε θετική φορά και γράψε τις ταχύτητες με πρόσημα.
Αν $\upsilon_2 = 0$ , χρησιμοποίησε απευθείας $\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ και $\upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ .
Αν και τα δύο κινούνται, γράψε ΑΔΟ και ΑΔΚΕ και λύσε το σύστημα (ή χρησιμοποίησε ότι η σχετική ταχύτητα αντιστρέφεται: $\upsilon_2' - \upsilon_1' = -(\upsilon_2 - \upsilon_1)$ ).
Έλεγξε: ορμή πριν = μετά και κινητική ενέργεια πριν = μετά.
Ποσοστό μεταφοράς ενέργειας στο $m_2$ : $\frac{K_2'}{K_1} = \frac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2}$ , μέγιστο ( $100\%$ ) για ίσες μάζες.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ): Σφαίρα Α μάζας $m_1 = 2\ kg$ κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με $\upsilon_1 = 6\ m/s$ και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας $m_2 = 1\ kg$ . Μετά την κρούση η Β ανεβαίνει σε λείο κεκλιμένο επίπεδο. Δίνεται $g = 10\ m/s^2$ . (α) Να βρεθούν οι ταχύτητες μετά την κρούση. (β) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α μεταβιβάστηκε στη Β; (γ) Σε ποιο μέγιστο ύψος φτάνει η Β;

Δεδομένα: $m_1 = 2\ kg$ , $m_2 = 1\ kg$ , $\upsilon_1 = 6\ m/s$ , $\upsilon_2 = 0$ , ελαστική. Ζητούμενα: $\upsilon_1'$ , $\upsilon_2'$ , ποσοστό, $h_{max}$ .

Λύση: Θετική φορά η φορά της $\upsilon_1$ .

(α) $\upsilon_1' = \frac{2 - 1}{3} \cdot 6 = 2\ m/s$ και $\upsilon_2' = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot 6 = 8\ m/s$ — και οι δύο θετικές: η βαρύτερη Α συνεχίζει προς τα εμπρός.

(β) $K_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 = 36\ J$ και $K_2' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 8^2 = 32\ J$ , άρα ποσοστό $\frac{32}{36} \cdot 100\% \approx 88{,}9\%$ .

(γ) ΑΔΜΕ για τη Β: $\frac{1}{2}m_2{\upsilon_2'}^2 = m_2 g h_{max} \Rightarrow h_{max} = \frac{64}{20} = 3{,}2\ m$ .

Έλεγχος: ορμή πριν $2 \cdot 6 = 12\ kg \cdot m/s$ , μετά $2 \cdot 2 + 1 \cdot 8 = 12\ kg \cdot m/s$ ✓· κινητική ενέργεια μετά $4 + 32 = 36\ J$ ✓.

Απάντηση: $\upsilon_1' = 2\ m/s$ , $\upsilon_2' = 8\ m/s$ , $\approx 88{,}9\%$ , $h_{max} = 3{,}2\ m$ .

Άσκηση: Μπάλα μάζας $0{,}2\ kg$ χτυπά κάθετα σε τοίχο με ταχύτητα $10\ m/s$ και ανακλάται ελαστικά. Η επαφή διαρκεί $0{,}01\ s$ . (α) Πόση είναι η μεταβολή της ορμής της; (β) Πόση μέση δύναμη ασκεί ο τοίχος; (γ) Πόση θα ήταν η μεταβολή της ορμής αν η μπάλα χτυπούσε υπό γωνία $60°$ με την κάθετο;

Λύση: Θετική η φορά προς τον τοίχο.

(α) $\Delta p = m(-\upsilon) - m\upsilon = -2 \cdot 0{,}2 \cdot 10 = -4\ kg \cdot m/s$ (μέτρο $4\ kg \cdot m/s$ , αντίθετα από την αρχική κίνηση).

(β) $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{4}{0{,}01} = 400\ N$ .

(γ) Αντιστρέφεται μόνο η κάθετη συνιστώσα $\upsilon\,\sigma\upsilon\nu 60° = 5\ m/s$ : $|\Delta p| = 2 \cdot 0{,}2 \cdot 5 = 2\ kg \cdot m/s$ , κάθετα στον τοίχο.

Γρήγορος έλεγχος

Μπάλα μάζας $m$ χτυπά κάθετα σε ακλόνητο τοίχο με ταχύτητα $\upsilon$ και ανακλάται ελαστικά. Πόσο είναι το μέτρο της μεταβολής της ορμής της;

Πρόκληση

Κρούση και ταλάντωση. Σώμα $\Sigma_1$ μάζας $1\ kg$ κινείται με $6\ m/s$ σε λείο οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα $\Sigma_2$ μάζας $2\ kg$ , δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου $k = 200\ N/m$ που έχει το φυσικό του μήκος. (α) Βρες τις ταχύτητες μετά την κρούση. (β) Βρες το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης του $\Sigma_2$ . (γ) Θα ξανασυγκρουστούν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $\upsilon_1' = \frac{1 - 2}{3} \cdot 6 = -2\ m/s$ (αναπηδά), $\upsilon_2' = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\ m/s$ .

(β) Η κρούση γίνεται στη θέση ισορροπίας του $\Sigma_2$ , άρα $\upsilon_{max} = 4\ m/s$ . $\omega = \sqrt{\frac{200}{2}} = 10\ rad/s$ , $A = \frac{4}{10} = 0{,}4\ m$ , $T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\ s$ .

(γ) Το $\Sigma_2$ ξαναπερνά από το σημείο της κρούσης μετά από $\frac{T}{2} \approx 0{,}31\ s$ , κινούμενο προς τα πίσω, και φτάνει το πολύ $0{,}4\ m$ πίσω από αυτό. Στο μεταξύ το $\Sigma_1$ έχει απομακρυνθεί κατά $2 \cdot 0{,}31 \approx 0{,}63\ m$ και συνεχίζει να απομακρύνεται: δεν θα ξανασυγκρουστούν.

Απάντηση: $-2\ m/s$ και $4\ m/s$ · $A = 0{,}4\ m$ , $T = \frac{\pi}{5}\ s$ · όχι.

Συνηθισμένα λάθη

Έτοιμοι τύποι με κινούμενο στόχο. Οι τύποι για $\upsilon_1'$ , $\upsilon_2'$ ισχύουν μόνο για $\upsilon_2 = 0$ .
Ξεχασμένο πρόσημο στο $\upsilon_1'$ . Αρνητικό $\upsilon_1'$ σημαίνει αναπήδηση ( $m_1 < m_2$ ) — κράτα το στις επόμενες φάσεις.
«Ο τοίχος δεν παίρνει ορμή». Παίρνει $2m\upsilon$ · δεν παίρνει (πρακτικά) κινητική ενέργεια.
Πλάγια κρούση σε τοίχο με $|\Delta p| = 2m\upsilon$ . Αντιστρέφεται μόνο η κάθετη συνιστώσα: $2m\upsilon\,\sigma\upsilon\nu\theta$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κεντρική ελαστική με $\upsilon_2 = 0$ : $\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ , $\upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ (από ΑΔΟ + ΑΔΚΕ).
Η σχετική ταχύτητα αντιστρέφεται: $\upsilon_2' - \upsilon_1' = \upsilon_1$ .
Ίσες μάζες ⇒ ανταλλαγή ταχυτήτων και πλήρης μεταφορά ενέργειας.
$m_2 \gg m_1$ : $\upsilon_1' \approx -\upsilon_1$ , $|\Delta p_1| = 2m_1\upsilon_1$ · πλάγια: γωνία πρόσπτωσης = γωνία ανάκλασης.

🎾

Κεντρική Ελαστική Κρούση

Τύποι υ₁΄, υ₂΄, ίσες μάζες, κρούση με σώμα πολύ μεγάλης μάζας

Γιατί με νοιάζει;

$\text{Κεντρική ελαστική με } \upsilon_2 = 0: \quad \upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1, \quad \upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1$

Απόδειξη των τύπων της κεντρικής ελαστικής κρούσης

Με $\upsilon_2 = 0$ γράφουμε τις δύο αρχές διατήρησης:

$m_1\upsilon_1 = m_1\upsilon_1' + m_2\upsilon_2' \Rightarrow m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1') = m_2\upsilon_2' \quad (1)$

$\frac{1}{2}m_1\upsilon_1^2 = \frac{1}{2}m_1{\upsilon_1'}^2 + \frac{1}{2}m_2{\upsilon_2'}^2 \Rightarrow m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1')(\upsilon_1 + \upsilon_1') = m_2{\upsilon_2'}^2 \quad (2)$

Διαιρώντας κατά μέλη τη (2) με την (1) (αφού έγινε κρούση, $\upsilon_1' \ne \upsilon_1$ ):

$\upsilon_1 + \upsilon_1' = \upsilon_2'$

Κόλπο μνήμης

Ειδικές περιπτώσεις που «πιάνουν» στις Πανελλήνιες

Ίσες μάζες ( $m_1 = m_2$ ): τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες — το πρώτο σταματά, το δεύτερο φεύγει με $\upsilon_1$
$m_1 \ll m_2$ (ακίνητος «τοίχος»): το ελαφρύ σώμα ανακλάται με $\upsilon_1' \approx -\upsilon_1$ , το βαρύ μένει πρακτικά ακίνητο
$m_1 \gg m_2$ : το βαρύ συνεχίζει σχεδόν ανεπηρέαστο, το ελαφρύ εκτοξεύεται με $\upsilon_2' \approx 2\upsilon_1$

Το πρόσημο του $\upsilon_1'$ δείχνει αν το βλήμα συνεχίζει μπροστά ( $m_1 > m_2$ ) ή αναπηδά πίσω ( $m_1 < m_2$ ).

Ελαστική κρούση με ακίνητο σώμα πολύ μεγάλης μάζας

Η μεταβολή της ορμής της μπάλας είναι $\Delta p_1 = m_1(-\upsilon_1) - m_1\upsilon_1 = -2m_1\upsilon_1$ — όχι μηδέν. Ο τοίχος παίρνει ορμή $2m_1\upsilon_1$ , αλλά πρακτικά καθόλου κινητική ενέργεια, γιατί $K = \frac{p^2}{2m_2} \to 0$ .
Πλάγια κρούση σε τοίχο: αν η μπάλα προσπίπτει υπό γωνία $\theta$ με την κάθετο, αντιστρέφεται μόνο η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας, ενώ η παράλληλη μένει ίδια. Έτσι η μπάλα φεύγει με την ίδια ταχύτητα, υπό την ίδια γωνία $\theta$ από την άλλη πλευρά της καθέτου, και $|\Delta p| = 2m_1\upsilon_1\,\sigma\upsilon\nu\theta$ , κάθετα στον τοίχο.

Ήξερες ότι;

Λύση:

$\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1 = \frac{1 - 2}{3} \cdot 6 = -2\ m/s$

$\upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,\upsilon_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\ m/s$

Γρήγορος έλεγχος

Σφαίρα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα ίσης μάζας. Τι συμβαίνει μετά την κρούση;

Μέθοδος: κεντρική ελαστική κρούση

Όρισε θετική φορά και γράψε τις ταχύτητες με πρόσημα.
Αν $\upsilon_2 = 0$ , χρησιμοποίησε απευθείας $\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ και $\upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ .
Αν και τα δύο κινούνται, γράψε ΑΔΟ και ΑΔΚΕ και λύσε το σύστημα (ή χρησιμοποίησε ότι η σχετική ταχύτητα αντιστρέφεται: $\upsilon_2' - \upsilon_1' = -(\upsilon_2 - \upsilon_1)$ ).
Έλεγξε: ορμή πριν = μετά και κινητική ενέργεια πριν = μετά.
Ποσοστό μεταφοράς ενέργειας στο $m_2$ : $\frac{K_2'}{K_1} = \frac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2}$ , μέγιστο ( $100\%$ ) για ίσες μάζες.

Δεδομένα: $m_1 = 2\ kg$ , $m_2 = 1\ kg$ , $\upsilon_1 = 6\ m/s$ , $\upsilon_2 = 0$ , ελαστική. Ζητούμενα: $\upsilon_1'$ , $\upsilon_2'$ , ποσοστό, $h_{max}$ .

Λύση: Θετική φορά η φορά της $\upsilon_1$ .

(β) $K_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 = 36\ J$ και $K_2' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 8^2 = 32\ J$ , άρα ποσοστό $\frac{32}{36} \cdot 100\% \approx 88{,}9\%$ .

(γ) ΑΔΜΕ για τη Β: $\frac{1}{2}m_2{\upsilon_2'}^2 = m_2 g h_{max} \Rightarrow h_{max} = \frac{64}{20} = 3{,}2\ m$ .

Έλεγχος: ορμή πριν $2 \cdot 6 = 12\ kg \cdot m/s$ , μετά $2 \cdot 2 + 1 \cdot 8 = 12\ kg \cdot m/s$ ✓· κινητική ενέργεια μετά $4 + 32 = 36\ J$ ✓.

Απάντηση: $\upsilon_1' = 2\ m/s$ , $\upsilon_2' = 8\ m/s$ , $\approx 88{,}9\%$ , $h_{max} = 3{,}2\ m$ .

Λύση: Θετική η φορά προς τον τοίχο.

(α) $\Delta p = m(-\upsilon) - m\upsilon = -2 \cdot 0{,}2 \cdot 10 = -4\ kg \cdot m/s$ (μέτρο $4\ kg \cdot m/s$ , αντίθετα από την αρχική κίνηση).

(β) $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{4}{0{,}01} = 400\ N$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $\upsilon_1' = \frac{1 - 2}{3} \cdot 6 = -2\ m/s$ (αναπηδά), $\upsilon_2' = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\ m/s$ .

Απάντηση: $-2\ m/s$ και $4\ m/s$ · $A = 0{,}4\ m$ , $T = \frac{\pi}{5}\ s$ · όχι.

Συνηθισμένα λάθη

Έτοιμοι τύποι με κινούμενο στόχο. Οι τύποι για $\upsilon_1'$ , $\upsilon_2'$ ισχύουν μόνο για $\upsilon_2 = 0$ .
Ξεχασμένο πρόσημο στο $\upsilon_1'$ . Αρνητικό $\upsilon_1'$ σημαίνει αναπήδηση ( $m_1 < m_2$ ) — κράτα το στις επόμενες φάσεις.
«Ο τοίχος δεν παίρνει ορμή». Παίρνει $2m\upsilon$ · δεν παίρνει (πρακτικά) κινητική ενέργεια.
Πλάγια κρούση σε τοίχο με $|\Delta p| = 2m\upsilon$ . Αντιστρέφεται μόνο η κάθετη συνιστώσα: $2m\upsilon\,\sigma\upsilon\nu\theta$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κεντρική ελαστική με $\upsilon_2 = 0$ : $\upsilon_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ , $\upsilon_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\upsilon_1$ (από ΑΔΟ + ΑΔΚΕ).
Η σχετική ταχύτητα αντιστρέφεται: $\upsilon_2' - \upsilon_1' = \upsilon_1$ .
Ίσες μάζες ⇒ ανταλλαγή ταχυτήτων και πλήρης μεταφορά ενέργειας.
$m_2 \gg m_1$ : $\upsilon_1' \approx -\upsilon_1$ , $|\Delta p_1| = 2m_1\upsilon_1$ · πλάγια: γωνία πρόσπτωσης = γωνία ανάκλασης.