🛷

Ο Νόμος της Τριβής

Στατική τριβή, οριακή τριβή, τριβή ολίσθησης T = μN, συντελεστής τριβής

Γιατί ένα βαρύ ντουλάπι «κολλάει» στην αρχή, αλλά μόλις ξεκινήσει σέρνεται πιο εύκολα;

Όποιος έχει μετακομίσει το ξέρει: χρειάζεται ένα γερό αρχικό σπρώξιμο για να «ξεκολλήσει» το ντουλάπι, και μετά λίγο μικρότερη δύναμη για να συνεχίσει να γλιστρά. Υπεύθυνη είναι η τριβή, που έχει δύο πρόσωπα: τη στατική τριβή και την τριβή ολίσθησης. Και χωρίς τριβή δεν θα μπορούσες ούτε να περπατήσεις ούτε να φρενάρεις.

Στατική τριβή και τριβή ολίσθησης

Όταν προσπαθείς να σύρεις ένα σώμα αλλά αυτό δεν κινείται, το δάπεδο του ασκεί στατική τριβή $T_s$ , ίση και αντίθετη με τη δύναμη που ασκείς ( $\Sigma F = 0$ ). Η στατική τριβή προσαρμόζεται: μεγαλώνει όσο σπρώχνεις πιο δυνατά, μέχρι μια μέγιστη τιμή, την οριακή τριβή $T_{o\rho}$ . Αν την ξεπεράσεις, το σώμα αρχίζει να γλιστρά.

Η τριβή ολίσθησης αντιστέκεται στην ολίσθηση, έχει φορά αντίθετη της κίνησης και μέτρο $T = \mu N$ , όπου $N$ η κάθετη δύναμη από το δάπεδο και $\mu$ ο συντελεστής τριβής.

Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης $\mu$ είναι καθαρός αριθμός (χωρίς μονάδα) και εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών (ξύλο σε ξύλο, λάστιχο σε άσφαλτο…). Η τριβή ολίσθησης, σε πρώτη προσέγγιση, δεν εξαρτάται από το εμβαδόν της επιφάνειας επαφής ούτε από την ταχύτητα, και είναι συνήθως λίγο μικρότερη από την οριακή τριβή — γι' αυτό το ντουλάπι «ξεκολλάει» δύσκολα.

$T = \mu N, \qquad 0 \le T_s \le T_{o\rho}$

Γρήγορος έλεγχος

Κιβώτιο βάρους $200 \ \text{N}$ ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Το σπρώχνεις οριζόντια με $30 \ \text{N}$ και δεν κινείται. Πόση είναι η τριβή;

Άσκηση: Σώμα μάζας $m = 2 \ \text{kg}$ ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη $F = 14 \ \text{N}$ . Αν $\mu = 0{,}2$ και $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , να βρεθούν η επιτάχυνση και η ταχύτητα μετά από $4 \ \text{s}$ .

Λύση: Κατακόρυφα δεν υπάρχει κίνηση: $N = w = mg = 20 \ \text{N}$ .

Τριβή: $T = \mu N = 0{,}2 \cdot 20 = 4 \ \text{N}$ .

Οριζόντια, 2ος νόμος:

$\Sigma F = F - T = 14 - 4 = 10 \ \text{N} \Rightarrow \alpha = \frac{\Sigma F}{m} = \frac{10}{2} = 5 \ \text{m/s}^2$

Η κίνηση είναι ΕΟΕΚ από ηρεμία, οπότε:

$\upsilon = \alpha t = 5 \cdot 4 = 20 \ \text{m/s}$

Πρόσεξε τη σειρά: πρώτα ο κατακόρυφος άξονας για το $N$ , μετά η τριβή, μετά ο οριζόντιος για το $\alpha$ — αυτή η αλυσίδα δουλεύει σε όλες τις ασκήσεις τριβής. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Κιβώτιο μάζας $4 \ \text{kg}$ σύρεται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα από οριζόντια δύναμη $F$ . Αν $\mu = 0{,}25$ και $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , το μέτρο της $F$ είναι:

Ήξερες ότι;

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι μελετούσε την τριβή γύρω στο 1500 και σημείωσε στα τετράδιά του ότι η τριβή δεν εξαρτάται από το εμβαδόν της επιφάνειας επαφής: ένα τούβλο σέρνεται το ίδιο εύκολα είτε ακουμπά με τη μεγάλη είτε με τη μικρή του πλευρά. Οι σημειώσεις του έμειναν για αιώνες άγνωστες, και ο νόμος «ξαναβρέθηκε» το 1699 από τον Γάλλο Γκιγιόμ Αμοντόν.

Κόλπο μνήμης

η τριβή είναι «αντιδραστική»: δεν ξεκινά ποτέ μόνη της κίνηση, μόνο αντιδρά. Αν σπρώχνεις λίγο, σου «απαντά» λίγο (στατική, $T_s = F$ )· αν ξεπεράσεις το όριό της, σταθεροποιείται στο $\mu N$ (ολίσθηση). Ρώτα πάντα πρώτα: γλιστρά ή όχι;

Μέθοδος: ασκήσεις με τριβή

Σχεδίασε βάρος, κάθετη $N$ , εξωτερικές δυνάμεις και τριβή αντίθετη στην ολίσθηση (ή στην τάση για ολίσθηση).
Στον άξονα που είναι κάθετος στο δάπεδο, $\Sigma F_y = 0$ δίνει το $N$ — όχι πάντα ίσο με $mg$ !
Αν το σώμα γλιστρά: $T = \mu N$ . Αν ηρεμεί: η στατική τριβή βγαίνει από την ισορροπία, όχι από το $\mu N$ .
Στον άξονα της κίνησης: $\Sigma F = m\alpha$ (ή $\Sigma F = 0$ για σταθερή ταχύτητα).
Όταν καταργηθεί η εξωτερική δύναμη, μένει μόνη της η τριβή και επιβραδύνει το σώμα με $\alpha = \frac{T}{m}$ ( $= \mu g$ σε οριζόντιο δάπεδο).

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ελατήριο έχει φυσικό μήκος $l_0 = 30 \ \text{cm}$ και σταθερά $k = 100 \ \text{N/m}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). α) Κρεμάμε από το ελατήριο σώμα μάζας $0{,}5 \ \text{kg}$ , που ισορροπεί. β) Με το ίδιο ελατήριο σέρνουμε οριζόντια κιβώτιο μάζας $2 \ \text{kg}$ με σταθερή ταχύτητα σε δάπεδο με $\mu = 0{,}25$ .

Δεδομένα: $l_0 = 0{,}3 \ \text{m}$ , $k = 100 \ \text{N/m}$ , $m_1 = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $m_2 = 2 \ \text{kg}$ , $\mu = 0{,}25$ .

Ζητούμενο: α) η επιμήκυνση και το μήκος του ελατηρίου στην πρώτη περίπτωση, β) η επιμήκυνση στη δεύτερη.

Λύση: α) Στο σώμα ασκούνται το βάρος $w = m_1 g = 5 \ \text{N}$ (δύναμη από απόσταση) και η δύναμη του ελατηρίου (δύναμη επαφής). Ισορροπία: $F_{\varepsilon\lambda} = w = 5 \ \text{N}$ , άρα

$\Delta l = \frac{F_{\varepsilon\lambda}}{k} = \frac{5}{100} = 0{,}05 \ \text{m} = 5 \ \text{cm}, \qquad l = 30 + 5 = 35 \ \text{cm}$

β) Κατακόρυφα $N = m_2 g = 20 \ \text{N}$ , άρα $T = \mu N = 5 \ \text{N}$ . Με σταθερή ταχύτητα $\Sigma F = 0$ , οπότε $F_{\varepsilon\lambda} = T = 5 \ \text{N}$ και πάλι $\Delta l = 5 \ \text{cm}$ .

Απάντηση: α) $5 \ \text{cm}$ , μήκος $35 \ \text{cm}$ β) $5 \ \text{cm}$ — έτσι ακριβώς μετράμε την τριβή με δυναμόμετρο.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σώμα μάζας $m = 5 \ \text{kg}$ ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο με συντελεστή τριβής $\mu = 0{,}2$ . Τη στιγμή $t = 0$ του ασκείται οριζόντια δύναμη $F = 30 \ \text{N}$ , η οποία καταργείται τη στιγμή $t_1 = 4 \ \text{s}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ).

Δεδομένα: $m = 5 \ \text{kg}$ , $\mu = 0{,}2$ , $F = 30 \ \text{N}$ , $t_1 = 4 \ \text{s}$ , $\upsilon_0 = 0$ .

Ζητούμενο: α) η επιτάχυνση και η ταχύτητα τη στιγμή $t_1$ , β) η μετατόπιση μέχρι το $t_1$ , γ) η συνολική μετατόπιση μέχρι να σταματήσει.

Λύση: Κατακόρυφα: $N = mg = 50 \ \text{N}$ , άρα $T = \mu N = 10 \ \text{N}$ .

α) Φάση 1: $\Sigma F = F - T = 20 \ \text{N} \Rightarrow \alpha_1 = \frac{20}{5} = 4 \ \text{m/s}^2$ και $\upsilon_1 = \alpha_1 t_1 = 16 \ \text{m/s}$ .

β) $\Delta x_1 = \frac{1}{2}\alpha_1 t_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 16 = 32 \ \text{m}$ .

γ) Φάση 2 (χωρίς $F$ ): η μόνη οριζόντια δύναμη είναι η τριβή, αντίθετη της κίνησης, άρα επιβράδυνση $\alpha_2 = \frac{T}{m} = 2 \ \text{m/s}^2$ . Το σώμα σταματά σε $\frac{16}{2} = 8 \ \text{s}$ , διανύοντας

$\Delta x_2 = \frac{\upsilon_1^2}{2\alpha_2} = \frac{256}{4} = 64 \ \text{m}$

Απάντηση: α) $4 \ \text{m/s}^2$ και $16 \ \text{m/s}$ β) $32 \ \text{m}$ γ) $\Delta x_{o\lambda} = 32 + 64 = 96 \ \text{m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αυτοκίνητο κινείται με $20 \ \text{m/s}$ σε οριζόντιο δρόμο και φρενάρει απότομα με μπλοκαρισμένους τροχούς. Αν $\mu = 0{,}5$ και $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , η επιβράδυνσή του είναι:

Πρόκληση

Σπρώξε ή τράβα; Θέλεις να μετακινήσεις κιβώτιο μάζας $m = 20 \ \text{kg}$ σε δάπεδο με $\mu = 0{,}5$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ) ασκώντας δύναμη $F = 100 \ \text{N}$ υπό γωνία $\theta$ με την οριζόντια, όπου $\eta\mu\theta = 0{,}6$ και $\sigma\upsilon\nu\theta = 0{,}8$ . Θεώρησε την οριακή τριβή ίση με $\mu N$ . α) Αν τραβάς με σχοινί προς τα πάνω υπό γωνία $\theta$ , θα κινηθεί; β) Αν σπρώχνεις προς τα κάτω υπό την ίδια γωνία;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Οριζόντια συνιστώσα και στις δύο περιπτώσεις: $F\sigma\upsilon\nu\theta = 80 \ \text{N}$ . Κατακόρυφη: $F\eta\mu\theta = 60 \ \text{N}$ .

(α) Τράβηγμα: η κατακόρυφη συνιστώσα «ελαφραίνει» το κιβώτιο. $N = mg - F\eta\mu\theta = 200 - 60 = 140 \ \text{N}$ , οριακή τριβή $\mu N = 70 \ \text{N} < 80 \ \text{N}$ : κινείται, με $T = 70 \ \text{N}$ και $\alpha = \frac{80 - 70}{20} = 0{,}5 \ \text{m/s}^2$ .

(β) Σπρώξιμο: η κατακόρυφη συνιστώσα το «πατάει» στο δάπεδο. $N = 200 + 60 = 260 \ \text{N}$ , οριακή τριβή $130 \ \text{N} > 80 \ \text{N}$ : δεν κινείται και η στατική τριβή είναι $80 \ \text{N}$ .

Απάντηση: Με την ίδια δύναμη, όταν τραβάς το κιβώτιο κινείται ( $\alpha = 0{,}5 \ \text{m/s}^2$ ), όταν σπρώχνεις μένει ακίνητο. Γι' αυτό ένα βαρύ καρότσι είναι πιο εύκολο να το τραβάς.

Συνηθισμένα λάθη

$T = \mu N$ και σε ακίνητο σώμα: το $\mu N$ δίνει μόνο τη μέγιστη (οριακή) τιμή. Διόρθωση: σε ακίνητο σώμα βρες τη στατική τριβή από $\Sigma F = 0$ .
$N = mg$ παντού: ισχύει μόνο όταν κατακόρυφα δρουν μόνο το βάρος και η $N$ . Διόρθωση: βγάλε πάντα το $N$ από $\Sigma F = 0$ στον κάθετο άξονα.
Τριβή ομόρροπη της κίνησης: η τριβή ολίσθησης είναι πάντα αντίθετη στην ολίσθηση.
Μονάδα στο $\mu$ : ο συντελεστής τριβής είναι καθαρός αριθμός· αν σου βγει σε N, έχεις μπερδέψει το $T$ με το $\mu$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στατική τριβή: όση χρειάζεται για ισορροπία, μέχρι την οριακή τιμή.
Τριβή ολίσθησης: $T = \mu N$ , αντίθετη στην ολίσθηση· $\mu$ καθαρός αριθμός.
Η τριβή ολίσθησης δεν εξαρτάται (σε πρώτη προσέγγιση) από το εμβαδόν επαφής ή την ταχύτητα.
Το $N$ βγαίνει πάντα από τον κάθετο άξονα — δεν είναι πάντα $mg$ .
Μόνη της η τριβή σε οριζόντιο δάπεδο δίνει επιβράδυνση $\mu g$ .

Στατική τριβή και τριβή ολίσθησης

Όταν προσπαθείς να σύρεις ένα σώμα αλλά αυτό δεν κινείται, το δάπεδο του ασκεί στατική τριβή

T_s

, ίση και αντίθετη με τη δύναμη που ασκείς (

\Sigma F = 0

). Η στατική τριβή προσαρμόζεται: μεγαλώνει όσο σπρώχνεις πιο δυνατά, μέχρι μια μέγιστη τιμή, την οριακή τριβή

T_{o\rho}

. Αν την ξεπεράσεις, το σώμα αρχίζει να γλιστρά.

Η τριβή ολίσθησης αντιστέκεται στην ολίσθηση, έχει φορά αντίθετη της κίνησης και μέτρο

T = \mu N

, όπου

N

η κάθετη δύναμη από το δάπεδο και

\mu

ο συντελεστής τριβής.

Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης

\mu

είναι καθαρός αριθμός (χωρίς μονάδα) και εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών (ξύλο σε ξύλο, λάστιχο σε άσφαλτο…). Η τριβή ολίσθησης, σε πρώτη προσέγγιση, δεν εξαρτάται από το εμβαδόν της επιφάνειας επαφής ούτε από την ταχύτητα, και είναι συνήθως λίγο μικρότερη από την οριακή τριβή — γι' αυτό το ντουλάπι «ξεκολλάει» δύσκολα.