🎳

Σύστημα Σωμάτων & Ορμή

Εσωτερικές & εξωτερικές δυνάμεις, μονωμένο σύστημα, ορμή p = mυ

Γιατί με νοιάζει;

Ένα φορτηγό $10$ τόνων που κυλά αργά με $2 \ \text{m/s}$ και ένα μπαλάκι του τένις που έρχεται με $50 \ \text{m/s}$ : ποιο θα δυσκολευτείς περισσότερο να σταματήσεις; Η διαίσθηση λέει «το φορτηγό», αν και είναι $25$ φορές πιο αργό. Το μέγεθος που το μετράει με ακρίβεια είναι η ορμή — και θα αποδειχθεί το πιο χρήσιμο εργαλείο για κάθε κρούση και έκρηξη.

Σύστημα σωμάτων και η έννοια της ορμής

Όταν μελετάμε κρούσεις, βολεύει να βλέπουμε τα σώματα ως σύστημα. Οι δυνάμεις χωρίζονται σε εσωτερικές (μεταξύ των σωμάτων του συστήματος) και εξωτερικές (από σώματα εκτός). Αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν, το σύστημα λέγεται μονωμένο.

Η ορμή ενός σώματος είναι το διανυσματικό μέγεθος:

$\vec{p} = m\vec{\upsilon}$

με μονάδα το $1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ . Έχει πάντα την κατεύθυνση της ταχύτητας και «κουβαλάει» μαζί την πληροφορία μάζας και κίνησης: ένα φορτηγό με $5 \ \text{m/s}$ έχει τεράστια ορμή, μια μύγα με την ίδια ταχύτητα σχεδόν μηδενική. Η ολική ορμή συστήματος είναι το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους ορμών.

Η ορμή ως διάνυσμα — ολική ορμή συστήματος

Η ορμή έχει μέτρο $p = m\upsilon$ και κατεύθυνση ίδια με της ταχύτητας. Για να προσθέσεις ορμές:

Στην ίδια ευθεία: διάλεξε θετική φορά· ό,τι κινείται αντίθετα μπαίνει με αρνητικό πρόσημο. Π.χ. $p_1 = +6$ και $p_2 = -4 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ δίνουν $p_{o\lambda} = +2 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ .
Σε κάθετες διευθύνσεις: Πυθαγόρειο θεώρημα, $p_{o\lambda} = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$ , και γωνία από $\varepsilon\phi\phi = \frac{p_y}{p_x}$ .

Δύο σώματα μπορεί να κινούνται γρήγορα και η ολική τους ορμή να είναι μηδέν — αρκεί οι ορμές τους να είναι αντίθετες.

Η ορμή συνδέεται και με την κινητική ενέργεια: από $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$ και $p = m\upsilon$ προκύπτει

$K = \frac{p^2}{2m}$

Με ίδια ορμή, το ελαφρύτερο σώμα έχει τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια.

$\vec{p} = m\vec{\upsilon}, \qquad \vec{p}_{o\lambda} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots, \qquad K = \frac{p^2}{2m}$

Κόλπο μνήμης

Σκέψου την ορμή ως τη «φόρα» ενός σώματος: πόσο δύσκολο είναι να το σταματήσεις. Φόρα έχει και το βαρύ-αργό και το ελαφρύ-γρήγορο — γι' αυτό μετράει το γινόμενο $m \cdot \upsilon$ , όχι το καθένα χωριστά. Και η φόρα έχει πάντα κατεύθυνση: βέλος, όχι σκέτος αριθμός.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο πατίνια ίδιας μάζας κινούνται με ταχύτητες ίσου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς. Η ολική ορμή του συστήματος είναι:

Παράδειγμα (φορτηγό ή μπαλάκι;): Να συγκριθούν οι ορμές ενός φορτηγού μάζας $10\,000 \ \text{kg}$ με ταχύτητα $2 \ \text{m/s}$ και ενός μπαλακιού τένις μάζας $57 \ \text{g}$ με ταχύτητα $50 \ \text{m/s}$ .

Λύση: Φορτηγό: $p_1 = m_1\upsilon_1 = 10\,000 \cdot 2 = 20\,000 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ .

Μπαλάκι ( $m_2 = 0{,}057 \ \text{kg}$ ): $p_2 = 0{,}057 \cdot 50 = 2{,}85 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ .

Λόγος: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{20\,000}{2{,}85} \approx 7000$ . Το αργό φορτηγό έχει περίπου επτά χιλιάδες φορές μεγαλύτερη ορμή — γι' αυτό είναι τόσο πιο επικίνδυνο. ✔

Μέθοδος: ολική ορμή συστήματος

Όρισε το σύστημα: ποια σώματα περιλαμβάνει. Χαρακτήρισε κάθε δύναμη εσωτερική (ανάμεσα σε σώματα του συστήματος) ή εξωτερική.
Μετάτρεψε μάζες σε kg και ταχύτητες σε m/s.
Στην ίδια ευθεία: διάλεξε θετική φορά και γράψε κάθε ορμή με πρόσημο.
Σε κάθετες διευθύνσεις: υπολόγισε $p_x$ και $p_y$ χωριστά και σύνθεσε με Πυθαγόρειο.
Αν ζητείται ενέργεια, χρησιμοποίησε $K = \frac{p^2}{2m}$ ή $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$ για κάθε σώμα χωριστά — οι ενέργειες προστίθενται ως αριθμοί.

Άσκηση: Σώμα Α μάζας $2 \ \text{kg}$ κινείται ανατολικά με $3 \ \text{m/s}$ και σώμα Β μάζας $1 \ \text{kg}$ κινείται βόρεια με $8 \ \text{m/s}$ . Να βρεθούν α) η ολική ορμή του συστήματος, β) η ολική κινητική του ενέργεια.

Λύση: α) $p_A = 2 \cdot 3 = 6 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ (ανατολικά) και $p_B = 1 \cdot 8 = 8 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ (βόρεια). Είναι κάθετες:

$p_{o\lambda} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}, \qquad \varepsilon\phi\phi = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

όπου $\phi$ η γωνία με την ανατολική διεύθυνση.

β) $K_A = \frac{p_A^2}{2m_A} = \frac{36}{4} = 9 \ \text{J}$ και $K_B = \frac{64}{2} = 32 \ \text{J}$ , άρα $K_{o\lambda} = 41 \ \text{J}$ .

Πρόσεξε: οι ορμές προστέθηκαν διανυσματικά ( $6$ και $8$ δίνουν $10$ , όχι $14$ ), ενώ οι κινητικές ενέργειες αριθμητικά. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σύστημα αποτελείται από δύο αμαξίδια που συγκρούονται πάνω σε οριζόντιο δρόμο. Ποια από τις παρακάτω δυνάμεις είναι εσωτερική για το σύστημα;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε λείο οριζόντιο δάπεδο κινούνται στην ίδια ευθεία τρία σώματα: Α ( $m_A = 1 \ \text{kg}$ , $4 \ \text{m/s}$ προς τα δεξιά), Β ( $m_B = 2 \ \text{kg}$ , $3 \ \text{m/s}$ προς τα αριστερά) και Γ ( $m_\Gamma = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $6 \ \text{m/s}$ προς τα δεξιά).

Δεδομένα: θετική φορά προς τα δεξιά, $\upsilon_A = +4$ , $\upsilon_B = -3$ , $\upsilon_\Gamma = +6 \ \text{m/s}$ .

Ζητούμενα: α) οι ορμές των τριών σωμάτων, β) η ολική ορμή του συστήματος, γ) ποιο σώμα έχει τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, δ) είναι το σύστημα μονωμένο;

Λύση:

α) $p_A = 1 \cdot 4 = +4$ , $p_B = 2 \cdot (-3) = -6$ , $p_\Gamma = 0{,}5 \cdot 6 = +3 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ .

β) $p_{o\lambda} = 4 - 6 + 3 = +1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , προς τα δεξιά.

γ) $K_A = \frac{16}{2 \cdot 1} = 8 \ \text{J}$ , $K_B = \frac{36}{2 \cdot 2} = 9 \ \text{J}$ , $K_\Gamma = \frac{9}{2 \cdot 0{,}5} = 9 \ \text{J}$ . Μέγιστη έχουν ισόπαλα τα Β και Γ, παρότι το Γ έχει τη μισή ορμή από το Β: είναι τέσσερις φορές ελαφρύτερο.

δ) Κατακόρυφα τα βάρη εξουδετερώνονται από τις κάθετες αντιδράσεις και δεν υπάρχει τριβή, άρα $\Sigma\vec{F}_{\varepsilon\xi} = 0$ : το σύστημα είναι μονωμένο.

Απάντηση: α) $+4$ , $-6$ , $+3 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ β) $1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ προς τα δεξιά γ) τα Β και Γ ( $9 \ \text{J}$ ) δ) ναι

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σώματα έχουν ίσες ορμές. Το Α έχει διπλάσια μάζα από το Β. Για τις κινητικές τους ενέργειες ισχύει:

Ήξερες ότι;

Ο Νεύτωνας, στα «Principia» του 1687, δεν διατύπωσε τον 2ο νόμο με την επιτάχυνση αλλά με την ποσότητα κίνησης (quantitas motus) — δηλαδή την ορμή. Η γνωστή μορφή $F = m\alpha$ είναι ειδική περίπτωση για σταθερή μάζα.

Πρόκληση

Σε λείο οριζόντιο πάγο κινούνται τρεις δίσκοι. Ο Α ( $2 \ \text{kg}$ ) κινείται ανατολικά με $3 \ \text{m/s}$ και ο Β ( $1 \ \text{kg}$ ) βόρεια με $8 \ \text{m/s}$ . Με ποια ταχύτητα (μέτρο και κατεύθυνση) πρέπει να κινείται ο Γ ( $2 \ \text{kg}$ ), ώστε η ολική ορμή των τριών να είναι μηδέν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Οι Α και Β έχουν μαζί ορμή $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , με συνιστώσες $6$ ανατολικά και $8$ βόρεια. Για μηδενική ολική ορμή, ο Γ πρέπει να έχει την αντίθετη ορμή: $6$ δυτικά και $8$ νότια, με μέτρο $10 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ . Άρα

$\upsilon_\Gamma = \frac{10}{2} = 5 \ \text{m/s}$

προς τα νοτιοδυτικά, σχηματίζοντας γωνία $\phi$ με τη δυτική διεύθυνση όπου $\varepsilon\phi\phi = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ . Τρία σώματα σε κίνηση, και όμως το σύστημα «συνολικά» δεν έχει ορμή.

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσθεση μέτρων αντί για διανύσματα: $6$ ανατολικά και $8$ βόρεια δίνουν $10$ , όχι $14 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ · αντίθετες ορμές αφαιρούνται.
Ξεχασμένη θετική φορά: χωρίς πρόσημα η ολική ορμή βγαίνει λάθος. Όρισε θετική φορά πριν γράψεις οτιδήποτε.
Εσωτερική ή εξωτερική; η ίδια δύναμη αλλάζει χαρακτηρισμό ανάλογα με το σύστημα που όρισες — η τριβή είναι εξωτερική για το αυτοκίνητο, εσωτερική για το σύστημα αυτοκίνητο–Γη.
Γραμμάρια στον τύπο: $57 \ \text{g} = 0{,}057 \ \text{kg}$ πριν από κάθε υπολογισμό.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σύστημα: σώματα που μελετάμε μαζί· εσωτερικές δυνάμεις ανάμεσά τους, εξωτερικές από σώματα εκτός
Μονωμένο σύστημα: $\Sigma\vec{F}_{\varepsilon\xi} = 0$
Ορμή: $\vec{p} = m\vec{\upsilon}$ , διάνυσμα με μονάδα $1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , ομόρροπο της ταχύτητας
Ολική ορμή: διανυσματικό άθροισμα — με πρόσημα στην ίδια ευθεία, με Πυθαγόρειο σε κάθετες
$K = \frac{p^2}{2m}$ : με ίδια ορμή, το ελαφρύτερο σώμα έχει περισσότερη κινητική ενέργεια

Σύστημα σωμάτων και η έννοια της ορμής

Η ορμή ενός σώματος είναι το διανυσματικό μέγεθος:

\vec{p} = m\vec{\upsilon}

με μονάδα το

1 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}

. Έχει πάντα την κατεύθυνση της ταχύτητας και «κουβαλάει» μαζί την πληροφορία μάζας και κίνησης: ένα φορτηγό με

5 \ \text{m/s}

έχει τεράστια ορμή, μια μύγα με την ίδια ταχύτητα σχεδόν μηδενική. Η ολική ορμή συστήματος είναι το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους ορμών.