📐

Απλές Σχέσεις Γωνιών

Εφεξής, συμπληρωματικές, παραπληρωματικές, κατακορυφήν — και τα τρία θεωρήματά τους

Γιατί με νοιάζει;

Άνοιξε ένα ψαλίδι: οι λαβές και οι λεπίδες σχηματίζουν ένα «Χ». Όσο ανοίγεις τις λαβές, τόσο ακριβώς ανοίγουν και οι λεπίδες — ούτε μοίρα παραπάνω. Ο λόγος είναι ένα από τα πρώτα θεωρήματα της Γεωμετρίας: οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. Εδώ μαθαίνεις να «διαβάζεις» τέτοιες σχέσεις γωνιών — είναι το αλφάβητο κάθε γεωμετρικής απόδειξης.

Το λεξιλόγιο των γωνιών (§2.16)

Πριν αποδείξουμε οτιδήποτε για τρίγωνα και παράλληλες, χρειαζόμαστε το βασικό «λεξιλόγιο» σχέσεων ανάμεσα σε γωνίες:

Εφεξής λέγονται δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο — κάθονται «πλάτη με πλάτη» σαν δύο φέτες πίτσας
Συμπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα $90^\circ$ — η καθεμία είναι το συμπλήρωμα της άλλης
Παραπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα $180^\circ$ — η καθεμία είναι το παραπλήρωμα της άλλης
Κατακορυφήν λέγονται δύο γωνίες με κοινή κορυφή, των οποίων οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες — σχηματίζονται όταν δύο ευθείες τέμνονται, σαν το «Χ»

Τα τρία μικρά θεωρήματα που δουλεύουν παντού

1. Αν δύο εφεξής γωνίες είναι παραπληρωματικές, οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες — δηλαδή σχηματίζουν ευθεία.

2. Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

3. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Γιατί οι κατακορυφήν είναι ίσες; Αν οι ευθείες τέμνονται στο $O$ και $\hat{\omega}, \hat{\varphi}$ είναι κατακορυφήν, τότε και οι δύο είναι παραπληρωματικές της ίδιας ενδιάμεσης γωνίας — άρα ίσες μεταξύ τους. Για το τρίτο: οι διχοτόμοι «παίρνουν» τη μισή από κάθε γωνία, και $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ . Αυτές οι τρεις προτάσεις είναι τα «μικρά γρανάζια» που γυρίζουν μέσα σε σχεδόν κάθε απόδειξη του βιβλίου.

Ήξερες ότι;

Σύμφωνα με τον Πρόκλο (5ος αι. μ.Χ.), που επικαλείται τον Εύδημο, την ισότητα των κατακορυφήν γωνιών την ανακάλυψε πρώτος ο Θαλής ο Μιλήσιος. Την αυστηρή απόδειξη όμως τη βρίσκεις στον Ευκλείδη, ως Πρόταση 15 του 1ου βιβλίου των «Στοιχείων». Και χωράει σε μία γραμμή: οι δύο κατακορυφήν γωνίες είναι παραπληρώματα της ίδιας γωνίας, άρα είναι ίσες.

$\hat{\omega} + \hat{\varphi} = 90^\circ \ \text{(συμπληρωματικές)} \qquad \hat{\omega} + \hat{\varphi} = 180^\circ \ \text{(παραπληρωματικές)}$

Σύρε τη μία πλευρά της γωνίας και παρακολούθησε ταυτόχρονα τη γωνία και το παραπλήρωμά της — θα ανακαλύψεις ότι όσο η μία μεγαλώνει, η άλλη μικραίνει ακριβώς όσο χρειάζεται για να μένει το άθροισμα καρφωμένο στις $180^\circ$.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο ευθείες τέμνονται και μία από τις τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται είναι $40^\circ$ . Πόσες είναι οι άλλες τρεις;

Κόλπο μνήμης

Στο «Χ» δύο ευθειών θυμήσου «απέναντι = ίδιες, δίπλα = $180^\circ$ ». Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες (κατακορυφήν), οι διπλανές φτιάχνουν ευθεία γωνία (παραπληρωματικές). Άρα μία γωνία σου φτάνει για να ξέρεις και τις τέσσερις: αν η μία είναι $70^\circ$ , οι τέσσερις είναι $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ$ .

Μέθοδος: προβλήματα με άγνωστη γωνία

Ονόμασε $x$ την άγνωστη γωνία και έκφρασε τις άλλες μέσω του $x$ (π.χ. συμπλήρωμα $90^\circ - x$ , παραπλήρωμα $180^\circ - x$ ).
Γράψε την εξίσωση από τη σχέση που δίνει η εκφώνηση ή το σχήμα: εφεξής σε ευθεία ( $180^\circ$ ), γύρω από σημείο ( $360^\circ$ ), κατακορυφήν (ίσες).
Λύσε την εξίσωση.
Έλεγξε: οι γωνίες πρέπει να είναι θετικές και να ταιριάζουν με το είδος τους (π.χ. ένα συμπλήρωμα υπάρχει μόνο για οξεία γωνία).

Παράδειγμα: Μια γωνία είναι κατά $30^\circ$ μεγαλύτερη από το διπλάσιο του συμπληρώματός της. Να βρεθεί η γωνία.

Λύση: Έστω $x$ η γωνία. Το συμπλήρωμά της είναι $90^\circ - x$ , οπότε:

$x = 2(90^\circ - x) + 30^\circ \Rightarrow x = 180^\circ - 2x + 30^\circ \Rightarrow 3x = 210^\circ \Rightarrow x = 70^\circ$

Επαλήθευση: το συμπλήρωμα είναι $20^\circ$ , και $2 \cdot 20^\circ + 30^\circ = 70^\circ$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Το παραπλήρωμα μιας γωνίας είναι τετραπλάσιο του συμπληρώματός της. Πόση είναι η γωνία;

Απόδειξη θεωρίας (διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών): Οι γωνίες $\hat{xOy}$ και $\hat{yOz}$ είναι εφεξής και παραπληρωματικές, και $O\delta$ , $O\varepsilon$ οι διχοτόμοι τους. Να αποδείξετε ότι $O\delta \perp O\varepsilon$ .

Σχήμα: Οι ημιευθείες $Ox$ και $Oz$ είναι αντικείμενες (σχηματίζουν ευθεία), και η κοινή πλευρά $Oy$ ξεκινά από το $O$ προς τα πάνω. Η $O\delta$ βρίσκεται μέσα στη $\hat{xOy}$ και η $O\varepsilon$ μέσα στη $\hat{yOz}$ , άρα η $Oy$ είναι ανάμεσά τους.

Δεδομένα: $\hat{xOy} + \hat{yOz} = 180^\circ$ , $\hat{\delta Oy} = \frac{\hat{xOy}}{2}$ , $\hat{yO\varepsilon} = \frac{\hat{yOz}}{2}$ .

Ζητούμενο: $\hat{\delta O\varepsilon} = 90^\circ$ .

Απόδειξη: Αφού η $Oy$ βρίσκεται στο εσωτερικό της $\hat{\delta O\varepsilon}$ :

$\hat{\delta O\varepsilon} = \hat{\delta Oy} + \hat{yO\varepsilon} = \frac{\hat{xOy}}{2} + \frac{\hat{yOz}}{2} = \frac{\hat{xOy} + \hat{yOz}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \ ✔$

Αριθμητικό παράδειγμα: αν $\hat{xOy} = 130^\circ$ , τότε $\hat{yOz} = 50^\circ$ , $\hat{\delta Oy} = 65^\circ$ και $\hat{yO\varepsilon} = 25^\circ$ — πράγματι $65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Οι ευθείες $x'x$ και $y'y$ τέμνονται στο $O$ . Η $Oz$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{xOy}$ και $Oz'$ η αντικείμενη ημιευθεία της $Oz$ .

α) Να αποδείξετε ότι η $Oz'$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{x'Oy'}$ .

β) Αν $\hat{xOy} = 3 \cdot \hat{x'Oy}$ , να βρείτε τη γωνία $\hat{zOx'}$ .

Σχήμα: Δύο ευθείες σε σχήμα «Χ» με κέντρο $O$ . Η $Oz$ μοιράζει στη μέση τη γωνία ανάμεσα στις $Ox$ και $Oy$ · η προέκτασή της πέρα από το $O$ , η $Oz'$ , μπαίνει στην απέναντι (κατακορυφήν) γωνία $\hat{x'Oy'}$ .

Δεδομένα: $\hat{xOz} = \hat{zOy}$ , οι $Oz, Oz'$ αντικείμενες.

Απόδειξη: α) Οι γωνίες $\hat{x'Oz'}$ και $\hat{xOz}$ έχουν πλευρές αντικείμενες ημιευθείες ( $Ox'$ με $Ox$ , $Oz'$ με $Oz$ ), άρα είναι κατακορυφήν και ίσες. Ομοίως $\hat{y'Oz'} = \hat{yOz}$ . Αφού $\hat{xOz} = \hat{zOy}$ :

$\hat{x'Oz'} = \hat{xOz} = \hat{zOy} = \hat{y'Oz'}$

Η $Oz'$ βρίσκεται στο εσωτερικό της $\hat{x'Oy'}$ (κατακορυφήν της $\hat{xOy}$ , που περιέχει την $Oz$ ) και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες — είναι λοιπόν η διχοτόμος της. ✔

β) Οι $\hat{xOy}$ και $\hat{x'Oy}$ είναι εφεξής και παραπληρωματικές:

$3\,\hat{x'Oy} + \hat{x'Oy} = 180^\circ \Rightarrow \hat{x'Oy} = 45^\circ, \quad \hat{xOy} = 135^\circ$

Άρα $\hat{zOy} = 67{,}5^\circ$ και $\hat{zOx'} = \hat{zOy} + \hat{yOx'} = 67{,}5^\circ + 45^\circ = 112{,}5^\circ$ .

Επαλήθευση: οι $\hat{xOz}$ και $\hat{zOx'}$ είναι εφεξής με μη κοινές πλευρές τις αντικείμενες $Ox, Ox'$ , άρα παραπληρωματικές: $67{,}5^\circ + 112{,}5^\circ = 180^\circ$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Τι ισχύει για τις διχοτόμους δύο κατακορυφήν γωνιών;

Όταν κυνηγάς γωνίες σε ένα σχήμα, ψάξε με αυτή τη σειρά: κατακορυφήν (ίσες, δωρεάν), εφεξής σε ευθεία (παραπληρωματικές, άθροισμα $180^\circ$ ), γύρω από σημείο (άθροισμα $360^\circ$ ). Τα περισσότερα «βρες τη γωνία» λύνονται με αλυσίδα από αυτά τα τρία. Και θυμήσου τη διαφορά: συμ-πληρωματικές → $90^\circ$ , παρα-πληρωματικές → $180^\circ$ — το «παρά» πάει με το «παραπάνω».

Πρόκληση

Οι δείκτες του ρολογιού σχηματίζουν γωνίες όλη μέρα. α) Πόση γωνία σχηματίζουν στις $3{:}40$ , και πόσο είναι το παραπλήρωμά της; β) Μετά τις $12{:}00$ , σε πόσα λεπτά σχηματίζουν για πρώτη φορά ορθή γωνία; γ) Πόσες φορές σε $12$ ώρες σχηματίζουν ορθή γωνία;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο λεπτοδείκτης κάνει $360^\circ$ σε $60$ λεπτά, δηλαδή $6^\circ$ το λεπτό. Ο ωροδείκτης κάνει $30^\circ$ την ώρα, δηλαδή $0{,}5^\circ$ το λεπτό. Μετράμε από τη θέση του $12$ , δεξιόστροφα.

α) Στις $3{:}40$ ο λεπτοδείκτης είναι στις $40 \cdot 6^\circ = 240^\circ$ . Ο ωροδείκτης έχει προχωρήσει από το $3$ (στις $90^\circ$ ) κατά $40 \cdot 0{,}5^\circ = 20^\circ$ , άρα είναι στις $110^\circ$ . Η γωνία τους είναι $240^\circ - 110^\circ = 130^\circ$ και το παραπλήρωμά της $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ .

β) Ο λεπτοδείκτης «κερδίζει» $6^\circ - 0{,}5^\circ = 5{,}5^\circ$ το λεπτό. Για να ανοίξει γωνία $90^\circ$ χρειάζεται $\frac{90}{5{,}5} = \frac{180}{11} \approx 16{,}4$ λεπτά. Δηλαδή λίγο μετά τις $12{:}16$ — όχι στις $12{:}15$ , γιατί στο μεταξύ ο ωροδείκτης έχει προχωρήσει.

γ) Σε $12$ ώρες $= 720$ λεπτά ο λεπτοδείκτης κερδίζει $720 \cdot 5{,}5^\circ = 3960^\circ = 11 \cdot 360^\circ$ : προσπερνά τον ωροδείκτη $11$ φορές. Σε κάθε τέτοιο «γύρο» η γωνία τους γίνεται ορθή δύο φορές (όταν η διαφορά είναι $90^\circ$ και όταν είναι $270^\circ$ ). Άρα $11 \cdot 2 = 22$ φορές — όχι $24$ , όπως θα μάντευες βιαστικά.

Συνηθισμένα λάθη

Συμπλήρωμα ή παραπλήρωμα; Συμπληρωματικές → $90^\circ$ , παραπληρωματικές → $180^\circ$ . Διόρθωση: γράψε δίπλα στο $x$ τι παριστάνει πριν στήσεις εξίσωση.
Εφεξής $\neq$ παραπληρωματικές. Δύο εφεξής γωνίες μπορεί να έχουν οποιοδήποτε άθροισμα. Διόρθωση: μόνο αν οι μη κοινές πλευρές σχηματίζουν ευθεία το άθροισμα είναι $180^\circ$ .
Κατακορυφήν ή εφεξής στο «Χ»; Στο «Χ» οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, ενώ οι γειτονικές είναι παραπληρωματικές.
Γωνία που «φαίνεται» διχοτομημένη. Διόρθωση: απόδειξε την ισότητα των δύο μισών με κατακορυφήν γωνίες ή παραπληρώματα, όχι με το μάτι.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Συμπληρωματικές: $\hat{\omega} + \hat{\varphi} = 90^\circ$ · παραπληρωματικές: $\hat{\omega} + \hat{\varphi} = 180^\circ$ .
Εφεξής και παραπληρωματικές $\Rightarrow$ οι μη κοινές πλευρές σχηματίζουν ευθεία.
Κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες· οι διχοτόμοι τους είναι αντικείμενες ημιευθείες.
Οι διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.
Κυνηγητό γωνιών: κατακορυφήν (ίσες), εφεξής σε ευθεία ( $180^\circ$ ), γύρω από σημείο ( $360^\circ$ ).

Το λεξιλόγιο των γωνιών (§2.16)

Εφεξής λέγονται δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο — κάθονται «πλάτη με πλάτη» σαν δύο φέτες πίτσας

Συμπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα

90^\circ

— η καθεμία είναι το συμπλήρωμα της άλλης

Παραπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα

180^\circ

— η καθεμία είναι το παραπλήρωμα της άλλης

Κατακορυφήν λέγονται δύο γωνίες με κοινή κορυφή, των οποίων οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες — σχηματίζονται όταν δύο ευθείες τέμνονται, σαν το «Χ»