🔷

Παραλληλόγραμμα

Τετράπλευρα, ορισμός, ιδιότητες και κριτήρια παραλληλογράμμου

Πώς ανεβαίνει ίσια η πλατφόρμα-ψαλίδα;

Οι ανυψωτικές πλατφόρμες «ψαλίδα» που βλέπεις σε αποθήκες και εργοτάξια στηρίζονται σε μια αλυσίδα από ρόμβους. Όσο ανεβαίνει η πλατφόρμα, οι ρόμβοι στενεύουν και ψηλώνουν — αλλά οι απέναντι πλευρές τους μένουν πάντα παράλληλες, γι' αυτό η πλατφόρμα μένει οριζόντια. Σε αυτό το μάθημα γνωρίζεις το παραλληλόγραμμο και την «οικογένειά» του, και μαθαίνεις να αποδεικνύεις πότε ένα τετράπλευρο ανήκει σε αυτήν.

Τετράπλευρα: μια πρώτη ματιά (§5.1)

Σε ένα κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ οι πλευρές $AB, \Gamma\Delta$ και $B\Gamma, \Delta A$ λέγονται απέναντι, ενώ δύο πλευρές με κοινή κορυφή λέγονται διαδοχικές· τα τμήματα $A\Gamma$ και $B\Delta$ είναι οι διαγώνιοι. Κάθε διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα, γι' αυτό το άθροισμα των γωνιών του είναι $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ .

Ανάλογα με το πόσα ζεύγη απέναντι πλευρών είναι παράλληλα, ξεχωρίζουμε δύο μεγάλες «οικογένειες»:

Παραλληλόγραμμο: και τα δύο ζεύγη απέναντι πλευρών παράλληλα — με ειδικές περιπτώσεις το ορθογώνιο, τον ρόμβο και το τετράγωνο
Τραπέζιο: μόνο ένα ζεύγος απέναντι πλευρών παράλληλο — με ειδική περίπτωση το ισοσκελές τραπέζιο

Ξεκινάμε από τον «πατέρα» της πρώτης οικογένειας.

Το παραλληλόγραμμο και οι ιδιότητές του (§5.2)

Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες: $AB \parallel \Gamma\Delta$ και $A\Delta \parallel B\Gamma$ . Από τον ορισμό αποδεικνύονται οι ιδιότητες:

Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες: $AB = \Gamma\Delta$ , $A\Delta = B\Gamma$
Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες: $\hat{A} = \hat{\Gamma}$ , $\hat{B} = \hat{\Delta}$ (και οι διαδοχικές παραπληρωματικές)
Οι διαγώνιοι διχοτομούνται: τέμνονται στο μέσο $O$ καθεμιάς

Το σημείο $O$ είναι κέντρο συμμετρίας του παραλληλογράμμου — γι' αυτό λέγεται και κέντρο του.

Απόδειξη θεωρίας (ιδιότητες παραλληλογράμμου): Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ να αποδείξετε ότι $AB = \Gamma\Delta$ , $A\Delta = B\Gamma$ , $\hat{B} = \hat{\Delta}$ και ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

Σχήμα: Η $AB$ κάτω και η $\Gamma\Delta$ πάνω, οριζόντιες· οι $A\Delta$ και $B\Gamma$ λοξές και παράλληλες. Φέρνουμε τη διαγώνιο $A\Gamma$ και, στη συνέχεια, και τη $B\Delta$ , που τέμνει την $A\Gamma$ στο $O$ .

Δεδομένα: $AB \parallel \Gamma\Delta$ , $A\Delta \parallel B\Gamma$ .

Απόδειξη: Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Gamma\Delta A$ έχουν:

$A\Gamma$ κοινή
$\hat{BA\Gamma} = \hat{A\Gamma\Delta}$ (εντός εναλλάξ, $AB \parallel \Gamma\Delta$ )
$\hat{B\Gamma A} = \hat{\Gamma A\Delta}$ (εντός εναλλάξ, $A\Delta \parallel B\Gamma$ )

Από το Γ-Π-Γ είναι ίσα, άρα $AB = \Gamma\Delta$ , $B\Gamma = A\Delta$ και $\hat{B} = \hat{\Delta}$ . ✔ (Ομοίως, με τη διαγώνιο $B\Delta$ , $\hat{A} = \hat{\Gamma}$ .)

Για τις διαγωνίους: τα τρίγωνα $OAB$ και $O\Gamma\Delta$ έχουν $AB = \Gamma\Delta$ (μόλις το δείξαμε), $\hat{OAB} = \hat{O\Gamma\Delta}$ και $\hat{OBA} = \hat{O\Delta\Gamma}$ (εντός εναλλάξ). Από το Γ-Π-Γ είναι ίσα, άρα $OA = O\Gamma$ και $OB = O\Delta$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ είναι $\hat{A} = 3\hat{B}$ . Πόση είναι η γωνία $\hat{\Gamma}$ ;

Ήξερες ότι;

Στη Φυσική, δύο δυνάμεις που ασκούνται στο ίδιο σημείο προστίθενται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου: η συνισταμένη είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν. Ο Νεύτωνας τον διατύπωσε ως Πόρισμα Ι, αμέσως μετά τους τρεις νόμους της κίνησης, στις «Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας» (1687).

Κριτήρια: πώς αποδεικνύω ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο

Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει οποιοδήποτε από τα παρακάτω:

Οι απέναντι πλευρές είναι ανά δύο παράλληλες (ορισμός)
Οι απέναντι πλευρές είναι ανά δύο ίσες
Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες
Οι απέναντι γωνίες είναι ανά δύο ίσες
Οι διαγώνιοι διχοτομούνται

Το πιο οικονομικό στη πράξη είναι συνήθως το (3): αρκεί να δουλέψεις με ένα μόνο ζευγάρι πλευρών. Το (5) λάμπει όταν η άσκηση μιλά για μέσα τμημάτων.

Καθρέφτισε και περίστρεψε τα τετράπλευρα — θα δεις ότι το παραλληλόγραμμο έχει κέντρο συμμετρίας, ενώ ορθογώνιο και ρόμβος αποκτούν επιπλέον άξονες συμμετρίας: η συμμετρία «κουβαλά» τις ιδιότητες των διαγωνίων τους.

Γρήγορος έλεγχος

Σε τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ είναι $AB = \Gamma\Delta$ και $A\Delta \parallel B\Gamma$ . Είναι σίγουρα παραλληλόγραμμο;

Μέθοδος: αποδεικνύω ότι τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο

Διάβασε τι σου δίνουν: μέσα τμημάτων → κριτήριο «οι διαγώνιοι διχοτομούνται»· ένα ζευγάρι πλευρών → «ίσες και παράλληλες»· γωνίες → «απέναντι γωνίες ίσες».
Απόδειξε τις ισότητες που χρειάζεται το κριτήριο (συχνά με ισότητα τριγώνων ή με παράλληλες).
Γράψε το συμπέρασμα ονομάζοντας το κριτήριο.
Κλείσε με ό,τι ζητείται μετά: ίσα τμήματα ή γωνίες από τις ιδιότητες, μέσα τμημάτων από το ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

Παράδειγμα (κριτήριο διαγωνίων): Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ παίρνουμε πάνω στη διαγώνιο $B\Delta$ δύο σημεία $E$ και $Z$ ώστε $BE = \Delta Z$ , με $BE < \frac{B\Delta}{2}$ . Να αποδείξετε ότι το $AE\Gamma Z$ είναι παραλληλόγραμμο.

Σχήμα: Οι διαγώνιοι $A\Gamma$ και $B\Delta$ τέμνονται στο κέντρο $O$ . Πάνω στη $B\Delta$ , με σειρά από το $B$ προς το $\Delta$ , βρίσκονται τα σημεία $B, E, O, Z, \Delta$ — το $E$ ανάμεσα στο $B$ και το $O$ , το $Z$ ανάμεσα στο $O$ και το $\Delta$ .

Δεδομένα: $AB\Gamma\Delta$ παραλληλόγραμμο, $BE = \Delta Z$ .

Ζητούμενο: $AE\Gamma Z$ παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα $OA = O\Gamma$ και $OB = O\Delta$ . Τότε:

$OE = OB - BE = O\Delta - \Delta Z = OZ$

Στο τετράπλευρο $AE\Gamma Z$ οι διαγώνιοι είναι οι $A\Gamma$ και $EZ$ , και έχουν κοινό μέσο το $O$ ( $OA = O\Gamma$ , $OE = OZ$ ). Άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και το $AE\Gamma Z$ είναι παραλληλόγραμμο. ✔

Με ισότητα τριγώνων θα χρειαζόμασταν δύο ζεύγη τριγώνων — το κριτήριο των διαγωνίων το κάνει σε τρεις γραμμές.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ τα $E$ και $Z$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $\Gamma\Delta$ αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι το $AE\Gamma Z$ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα $A\Gamma$ , $B\Delta$ και $EZ$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

γ) Να αποδείξετε ότι $\Delta E = BZ$ .

Σχήμα: Η $AB$ κάτω, η $\Gamma\Delta$ πάνω, οριζόντιες. Το $E$ στη μέση της κάτω πλευράς, το $Z$ στη μέση της πάνω. Οι διαγώνιοι $A\Gamma$ , $B\Delta$ τέμνονται στο κέντρο $O$ , και το τμήμα $EZ$ περνά κι αυτό από εκεί.

Δεδομένα: $AB\Gamma\Delta$ παραλληλόγραμμο, $AE = EB$ , $\Gamma Z = Z\Delta$ .

Ζητούμενο: α) $AE\Gamma Z$ παραλληλόγραμμο, β) οι $A\Gamma, B\Delta, EZ$ συντρέχουν, γ) $\Delta E = BZ$ .

Απόδειξη: α) Αφού $AB = \Gamma\Delta$ , τα μισά τους είναι ίσα: $AE = Z\Gamma$ . Επίσης $AE \parallel Z\Gamma$ , ως τμήματα των παράλληλων $AB, \Gamma\Delta$ . Το $AE\Gamma Z$ έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. ✔

β) Οι διαγώνιοι του $AE\Gamma Z$ είναι οι $A\Gamma$ και $EZ$ , και διχοτομούνται· άρα η $EZ$ περνά από το μέσο $O$ της $A\Gamma$ . Όμως το $O$ είναι και μέσο της $B\Delta$ (διαγώνιοι του $AB\Gamma\Delta$ ). Επομένως και τα τρία τμήματα περνούν από το $O$ . ✔

γ) Ομοίως $EB = \Delta Z$ και $EB \parallel \Delta Z$ , άρα το $EBZ\Delta$ είναι παραλληλόγραμμο και οι απέναντι πλευρές του $\Delta E$ και $BZ$ είναι ίσες. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Στο παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ οι διαγώνιοι τέμνονται στο $O$ , με $OA = 3$ και $OB = 5$ . Πόσο είναι το άθροισμα $A\Gamma + B\Delta$ ;

Όταν σου ζητούν «να αποδείξετε ότι το $AB\Gamma\Delta$ είναι παραλληλόγραμμο», διάλεξε το κριτήριο με τα λιγότερα βήματα: μέσα διαγωνίων → κριτήριο διχοτόμησης· ένα ζευγάρι πλευρών → «ίσες ΚΑΙ παράλληλες». Για ρόμβο/ορθογώνιο/τετράγωνο γράψε ρητά ΔΥΟ βήματα: 1) παραλληλόγραμμο, 2) το επιπλέον στοιχείο.

Πρόκληση

Η διάμεσος και το ημιάθροισμα. Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η $AM$ είναι διάμεσος. Να αποδείξετε ότι $AM < \frac{AB + A\Gamma}{2}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Διπλασιάζουμε τη διάμεσο: $M\Delta = AM$ .

Στο τετράπλευρο $AB\Delta\Gamma$ οι διαγώνιοι $A\Delta$ και $B\Gamma$ έχουν κοινό μέσο το $M$ , άρα διχοτομούνται και το $AB\Delta\Gamma$ είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως $B\Delta = A\Gamma$ .
Στο τρίγωνο $AB\Delta$ , από την τριγωνική ανισότητα: $A\Delta < AB + B\Delta = AB + A\Gamma$ .
Αφού $A\Delta = 2AM$ : $2AM < AB + A\Gamma$ , δηλαδή $AM < \frac{AB + A\Gamma}{2}$ . ✔

Η «στροφή»: ο διπλασιασμός της διαμέσου φτιάχνει ένα παραλληλόγραμμο που «μεταφέρει» την $A\Gamma$ δίπλα στην $AB$ — και η τριγωνική ανισότητα κάνει τα υπόλοιπα.

Συνηθισμένα λάθη

Ίσες και παράλληλες — αλλά όχι το ίδιο ζευγάρι. Αν $AB = \Gamma\Delta$ και $A\Delta \parallel B\Gamma$ , το σχήμα μπορεί να είναι ισοσκελές τραπέζιο. Διόρθωση: το κριτήριο θέλει το ίδιο ζευγάρι πλευρών ίσο και παράλληλο.
Απέναντι ή διαδοχικές γωνίες; Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, οι διαδοχικές παραπληρωματικές — μην τις μπερδεύεις.
Ίσες διαγώνιοι σε κάθε παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι απλώς διχοτομούνται· ίσες είναι μόνο στο ορθογώνιο.
Λάθος σειρά κορυφών. Στο $AB\Gamma\Delta$ οι κορυφές διαβάζονται κυκλικά· απέναντι πλευρές είναι οι $AB, \Gamma\Delta$ και $B\Gamma, \Delta A$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τετράπλευρο: άθροισμα γωνιών $360^\circ$ · οικογένειες παραλληλόγραμμα και τραπέζια.
Παραλληλόγραμμο: απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες, απέναντι γωνίες ίσες, διαδοχικές παραπληρωματικές, διαγώνιοι διχοτομούνται.
Κριτήρια: απέναντι πλευρές ίσες· δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες· απέναντι γωνίες ίσες· διαγώνιοι διχοτομούνται.
Το κέντρο $O$ (τομή των διαγωνίων) είναι κέντρο συμμετρίας.
Τέχνασμα: διπλασιασμός της διαμέσου $\Rightarrow$ παραλληλόγραμμο.

Τετράπλευρα: μια πρώτη ματιά (§5.1)

Σε ένα κυρτό τετράπλευρο

AB\Gamma\Delta

οι πλευρές

AB, \Gamma\Delta

και

B\Gamma, \Delta A

λέγονται απέναντι, ενώ δύο πλευρές με κοινή κορυφή λέγονται διαδοχικές· τα τμήματα

A\Gamma

και

B\Delta

είναι οι διαγώνιοι. Κάθε διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα, γι' αυτό το άθροισμα των γωνιών του είναι

2 \cdot 180^\circ = 360^\circ

Ανάλογα με το πόσα ζεύγη απέναντι πλευρών είναι παράλληλα, ξεχωρίζουμε δύο μεγάλες «οικογένειες»:

Παραλληλόγραμμο: και τα δύο ζεύγη απέναντι πλευρών παράλληλα — με ειδικές περιπτώσεις το ορθογώνιο, τον ρόμβο και το τετράγωνο

Τραπέζιο: μόνο ένα ζεύγος απέναντι πλευρών παράλληλο — με ειδική περίπτωση το ισοσκελές τραπέζιο

Ξεκινάμε από τον «πατέρα» της πρώτης οικογένειας.

Το παραλληλόγραμμο και οι ιδιότητές του (§5.2)

Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες:

AB \parallel \Gamma\Delta

και

A\Delta \parallel B\Gamma

. Από τον ορισμό αποδεικνύονται οι ιδιότητες:

Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες:

AB = \Gamma\Delta

A\Delta = B\Gamma

Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες:

\hat{A} = \hat{\Gamma}

\hat{B} = \hat{\Delta}

(και οι διαδοχικές παραπληρωματικές)

Οι διαγώνιοι διχοτομούνται: τέμνονται στο μέσο

O

καθεμιάς

Το σημείο

O

είναι κέντρο συμμετρίας του παραλληλογράμμου — γι' αυτό λέγεται και κέντρο του.