📍

Σημείο, Ευθεία & Επίπεδο

Σημείο, ευθύγραμμο τμήμα, ευθεία, ημιευθεία, επίπεδο

Γιατί με νοιάζει;

Πέντε φίλοι συναντιούνται και ο καθένας δίνει το χέρι σε όλους τους άλλους από μία φορά. Πόσες χειραψίες γίνονται; Ίσως δεν το φαντάζεσαι, αλλά είναι ακριβώς η ίδια ερώτηση με το «πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν $5$ σημεία».

Σε αυτό το κεφάλαιο γνωρίζεις τα «δομικά υλικά» της Γεωμετρίας: σημείο, τμήμα, ευθεία, ημιευθεία, επίπεδο. Με αυτά θα φτιάξεις όλα τα σχήματα που ακολουθούν.

Τα δομικά υλικά της Γεωμετρίας

Όπως οι λέξεις φτιάχνονται από γράμματα, έτσι και κάθε γεωμετρικό σχήμα φτιάχνεται από σημεία. Σημείο είναι το ίχνος που αφήνει η μύτη του μολυβιού στο χαρτί — δεν έχει μήκος, ούτε πλάτος. Τα σημεία τα ονομάζουμε με κεφαλαία γράμματα: $A$ , $B$ , $\Gamma$ , $\Delta$ .

Αν ενώσουμε δύο σημεία $A$ και $B$ με τον χάρακα, σχηματίζεται το ευθύγραμμο τμήμα $AB$ . Τα σημεία $A$ και $B$ λέγονται άκρα του τμήματος.

Αν προεκτείνουμε το τμήμα $AB$ απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις, παίρνουμε την ευθεία $AB$ . Η ευθεία δεν έχει άκρα — δεν αρχίζει και δεν τελειώνει πουθενά! Τις ευθείες τις ονομάζουμε και με μικρά γράμματα: $\varepsilon$ , $\zeta$ , ή $x'x$ .

Αν προεκτείνουμε το τμήμα απεριόριστα μόνο προς τη μία κατεύθυνση, παίρνουμε την ημιευθεία $Ax$ : έχει αρχή το σημείο $A$ , αλλά δεν έχει τέλος.

Περπάτησε πάνω στην ευθεία προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και δες τι θα ανακαλύψεις: όσα βήματα κι αν κάνεις, ποτέ δεν φτάνεις σε άκρη — η ευθεία συνεχίζεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Πόσες ευθείες περνούν από ένα ή δύο σημεία;

Από ένα σημείο $A$ περνούν άπειρες ευθείες — φαντάσου έναν τροχό ποδηλάτου: όλες οι ακτίνες περνούν από το κέντρο.

Από δύο διαφορετικά σημεία $A$ και $B$ όμως περνά ακριβώς μία ευθεία. Γι' αυτό λέμε ότι «δύο σημεία ορίζουν μία ευθεία» — και γι' αυτό ο χάρακας χρειάζεται μόνο δύο σημάδια για να τραβήξεις γραμμή!

Τρία ή περισσότερα σημεία που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία λέγονται συνευθειακά.

Ένα σημείο $O$ πάνω σε μια ευθεία $x'x$ τη χωρίζει σε δύο ημιευθείες, την $Ox$ και την $Ox'$ , που λέγονται αντικείμενες: έχουν την ίδια αρχή και μαζί σχηματίζουν ολόκληρη την ευθεία.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσες ευθείες περνούν από δύο διαφορετικά σημεία $A$ και $B$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Τρία σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ είναι συνευθειακά. Πόσες διαφορετικές ευθείες ορίζουν ανά δύο;

Παράδειγμα: Σε μια ευθεία $\varepsilon$ παίρνουμε τα σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ με αυτή τη σειρά. (α) Ποιες ημιευθείες έχουν αρχή το $B$ και περνούν από τα άλλα δύο σημεία; (β) Τι σχέση έχουν μεταξύ τους;

(α) Η ημιευθεία $BA$ (από το $B$ προς το $A$ ) και η ημιευθεία $B\Gamma$ (από το $B$ προς το $\Gamma$ ).

(β) Έχουν την ίδια αρχή $B$ , πηγαίνουν σε αντίθετες κατευθύνσεις και μαζί σχηματίζουν όλη την ευθεία $\varepsilon$ — είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Αντίθετα, οι ημιευθείες $AB$ και $A\Gamma$ ταυτίζονται: ξεκινούν από το $A$ και πηγαίνουν προς την ίδια κατεύθυνση.

Το επίπεδο

Η επιφάνεια του πίνακα, του τζαμιού ή μιας ήρεμης λίμνης μάς δίνει την ιδέα του επιπέδου. Όπως η ευθεία, έτσι και το επίπεδο εκτείνεται απεριόριστα προς όλες τις κατευθύνσεις — εμείς σχεδιάζουμε μόνο ένα κομμάτι του και το ονομάζουμε με κεφαλαίο γράμμα, συνήθως $\Pi$ .

Δύο βασικές ιδιότητες:

Από κάθε δύο σημεία ενός επιπέδου, η ευθεία που τα ενώνει βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο επίπεδο.
Κάθε ευθεία $\varepsilon$ ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα, όπως ένας δρόμος χωρίζει ένα χωράφι σε δύο μεριές.

Κάθε γεωμετρικό σχήμα — τρίγωνο, κύκλος, τετράγωνο — δεν είναι παρά ένα σύνολο σημείων του επιπέδου.

Ήξερες ότι;

Τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ορίζουν πάντα ένα επίπεδο. Γι' αυτό τα τρίποδα των φωτογράφων έχουν τρία πόδια: πατάνε σταθερά ακόμη και σε ανώμαλο έδαφος. Ένα τραπέζι με τέσσερα πόδια, αντίθετα, συχνά «κουτσαίνει», γιατί το τέταρτο πόδι μπορεί να μένει λίγο στον αέρα.

Παράδειγμα: Δίνονται τρία σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ που δεν είναι συνευθειακά. Πόσα ευθύγραμμα τμήματα και πόσες ευθείες ορίζουν;

Ενώνουμε τα σημεία ανά δύο:

Τμήματα: $AB$ , $B\Gamma$ , $A\Gamma$ — δηλαδή 3 τμήματα, που σχηματίζουν τρίγωνο.
Ευθείες: κάθε ζευγάρι σημείων ορίζει μία ευθεία, άρα 3 ευθείες.

Προσοχή: αν τα τρία σημεία ήταν συνευθειακά, θα όριζαν πάλι 3 τμήματα, αλλά μόνο 1 ευθεία — όλα θα «κάθονταν» στην ίδια γραμμή!

Μέθοδος: πόσα τμήματα ορίζουν πολλά σημεία;

Ονόμασε τα σημεία, π.χ. $A$ , $B$ , $\Gamma$ , $\Delta$ .
Ένωσε το πρώτο με όλα τα επόμενα, μετά το δεύτερο με όλα τα δικά του επόμενα κ.ο.κ. — ποτέ προς τα πίσω, γιατί το $AB$ και το $BA$ είναι το ίδιο τμήμα.
Μέτρησε: για $4$ σημεία είναι $3 + 2 + 1 = 6$ τμήματα, για $5$ σημεία $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ .
Για τις ευθείες πρόσεξε αν κάποια σημεία είναι συνευθειακά: τότε πολλά ζευγάρια δίνουν την ίδια ευθεία.

Παράδειγμα: Τέσσερα σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ , $\Delta$ , από τα οποία ανά τρία δεν είναι συνευθειακά (όπως οι κορυφές ενός τετραπλεύρου). Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν;

Από το $A$ : $AB$ , $A\Gamma$ , $A\Delta$ ( $3$ ). Από το $B$ : $B\Gamma$ , $B\Delta$ ( $2$ ). Από το $\Gamma$ : $\Gamma\Delta$ ( $1$ ).

Σύνολο $3 + 2 + 1 = 6$ τμήματα: οι $4$ πλευρές του τετραπλεύρου και οι $2$ διαγώνιοί του. Επειδή κανένα τρίο δεν είναι συνευθειακό, τα σημεία ορίζουν και $6$ διαφορετικές ευθείες.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν $5$ σημεία, από τα οποία ανά τρία δεν είναι συνευθειακά;

Γρήγορος έλεγχος

Τι από τα παρακάτω ισχύει για την ημιευθεία $Ax$ ;

Ξεχώρισε τα τρία «συγγενικά» αντικείμενα από τα άκρα τους: τμήμα $AB$ — δύο άκρα, μετριέται· ημιευθεία $Ax$ — μία αρχή, δεν μετριέται· ευθεία $\varepsilon$ ή $x'x$ — κανένα άκρο. Στο διαγώνισμα, πριν απαντήσεις, κοίτα προσεκτικά το όνομα και το σχήμα: ένα βελάκι στην άκρη της γραμμής σημαίνει ότι αυτή συνεχίζεται απεριόριστα!

Πρόκληση

Σε ένα τουρνουά σκακιού κάθε παίκτης παίζει μία παρτίδα με κάθε άλλο παίκτη. (α) Αν οι παίκτες είναι $8$ , πόσες παρτίδες θα γίνουν; (β) Σε άλλο τουρνουά έγιναν $45$ παρτίδες. Πόσοι ήταν οι παίκτες;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Είναι το ίδιο με το πόσα τμήματα ορίζουν τα σημεία: κάθε παρτίδα είναι ένα «ζευγάρι».

(α) Ο πρώτος παίκτης παίζει με $7$ επόμενους, ο δεύτερος με $6$ καινούργιους κ.ο.κ.: $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$ παρτίδες.

(β) Προσθέτουμε $1 + 2 + 3 + \dots$ μέχρι να φτάσουμε το $45$ : $1 + 2 + \dots + 8 = 36$ και $36 + 9 = 45$ . Ο πρώτος παίκτης έπαιξε λοιπόν με $9$ άλλους, άρα οι παίκτες ήταν $10$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ευθεία με άκρα. Η ευθεία δεν έχει άκρα ούτε μήκος· μήκος έχει μόνο το τμήμα.
Το $x$ της ημιευθείας $Ax$ ως σημείο. Το $x$ δείχνει μόνο την κατεύθυνση· η ημιευθεία δεν τελειώνει εκεί.
Διπλομέτρημα τμημάτων. Το $AB$ και το $BA$ είναι το ίδιο τμήμα — μέτρα κάθε ζευγάρι μία φορά.
Συνευθειακά σημεία σαν τρίγωνο. Τρία συνευθειακά σημεία ορίζουν $3$ τμήματα αλλά μόνο $1$ ευθεία.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τμήμα $AB$ : δύο άκρα, έχει μήκος· ημιευθεία $Ax$ : μία αρχή, χωρίς τέλος· ευθεία: κανένα άκρο.
Από ένα σημείο περνούν άπειρες ευθείες· από δύο σημεία περνά ακριβώς μία.
Συνευθειακά: σημεία της ίδιας ευθείας· αντικείμενες ημιευθείες: ίδια αρχή, αντίθετες κατευθύνσεις.
Πλήθος τμημάτων: $4$ σημεία → $3 + 2 + 1 = 6$ , $5$ σημεία → $10$ .
Κάθε ευθεία του επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα.

Τα δομικά υλικά της Γεωμετρίας

A

B

\Gamma

\Delta

Αν ενώσουμε δύο σημεία

A

και

B

με τον χάρακα, σχηματίζεται το ευθύγραμμο τμήμα

AB

. Τα σημεία

A

και

B

λέγονται άκρα του τμήματος.

Αν προεκτείνουμε το τμήμα

AB

απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις, παίρνουμε την ευθεία

AB

. Η ευθεία δεν έχει άκρα — δεν αρχίζει και δεν τελειώνει πουθενά! Τις ευθείες τις ονομάζουμε και με μικρά γράμματα:

\varepsilon

\zeta

, ή

x'x

Αν προεκτείνουμε το τμήμα απεριόριστα μόνο προς τη μία κατεύθυνση, παίρνουμε την ημιευθεία

Ax

: έχει αρχή το σημείο

A

, αλλά δεν έχει τέλος.

Πόσες ευθείες περνούν από ένα ή δύο σημεία;

Από ένα σημείο

A

περνούν άπειρες ευθείες — φαντάσου έναν τροχό ποδηλάτου: όλες οι ακτίνες περνούν από το κέντρο.

Από δύο διαφορετικά σημεία

A

και

B

όμως περνά ακριβώς μία ευθεία. Γι' αυτό λέμε ότι «δύο σημεία ορίζουν μία ευθεία» — και γι' αυτό ο χάρακας χρειάζεται μόνο δύο σημάδια για να τραβήξεις γραμμή!

Τρία ή περισσότερα σημεία που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία λέγονται συνευθειακά.

Ένα σημείο

O

πάνω σε μια ευθεία

x'x

τη χωρίζει σε δύο ημιευθείες, την

Ox

και την

Ox'

, που λέγονται αντικείμενες: έχουν την ίδια αρχή και μαζί σχηματίζουν ολόκληρη την ευθεία.

Το επίπεδο

\Pi

Δύο βασικές ιδιότητες:

Από κάθε δύο σημεία ενός επιπέδου, η ευθεία που τα ενώνει βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο επίπεδο.

Κάθε ευθεία

\varepsilon

ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα, όπως ένας δρόμος χωρίζει ένα χωράφι σε δύο μεριές.

Κάθε γεωμετρικό σχήμα — τρίγωνο, κύκλος, τετράγωνο — δεν είναι παρά ένα σύνολο σημείων του επιπέδου.