📐

Εξωτερική Γωνία & Σχέσεις Πλευρών–Γωνιών

Εξωτερική γωνία > απέναντι εσωτερικές· απέναντι από μεγαλύτερη πλευρά, μεγαλύτερη γωνία

Ποιο σύνορο του οικοπέδου είναι το μακρύτερο;

Ένας τοπογράφος μετράει με το όργανό του μόνο γωνίες — τίποτα μήκη. Το τριγωνικό οικόπεδο έχει γωνίες $75^\circ$ , $60^\circ$ και $45^\circ$ . Μπορεί να πει, χωρίς κανένα μέτρο, ποιο σύνορο είναι το μακρύτερο; Ναι: είναι αυτό που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των $75^\circ$ . Εδώ περνάμε από τις ισότητες στις ανισότητες: μαθαίνεις να συγκρίνεις γωνίες και πλευρές ενός τριγώνου — πρώτα με την εξωτερική γωνία, μετά με τη «ζυγαριά» πλευρών και γωνιών.

Η εξωτερική γωνία «νικάει» τις απέναντι (§3.10)

Μέχρι τώρα στα τρίγωνα μετρούσαμε ισότητες — ίσες πλευρές, ίσες γωνίες, ίσα τρίγωνα. Σε αυτό το μάθημα μαθαίνουμε να συγκρίνουμε: ποια γωνία είναι μεγαλύτερη, ποια πλευρά μικρότερη.

Πρώτο εργαλείο, η εξωτερική γωνία. Αν προεκτείνουμε την πλευρά $B\Gamma$ ενός τριγώνου $AB\Gamma$ πέρα από το $\Gamma$ , σχηματίζεται η εξωτερική γωνία $\hat{\Gamma}_{\text{εξ}}$ , εφεξής και παραπληρωματική της $\hat{\Gamma}$ . Το θεώρημα λέει:

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι εσωτερικές γωνίες.

Δηλαδή $\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} > \hat{A}$ και $\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} > \hat{B}$ . Σκέψου το σαν πόρτα που ανοίγει προς τα έξω: όσο κι αν είναι «κλειστές» οι δύο μέσα γωνίες, η πόρτα που άνοιξε απέξω τις ξεπερνά και τις δύο. Αυτή η ανισότητα είναι ο «πρόγονος» όλων των συγκρίσεων που ακολουθούν.

Απόδειξη θεωρίας (θεώρημα εξωτερικής γωνίας): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ προεκτείνουμε τη $B\Gamma$ πέρα από το $\Gamma$ κατά την ημιευθεία $\Gamma x$ . Να αποδείξετε ότι $\hat{A\Gamma x} > \hat{A}$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, προεκτεινόμενη δεξιά προς το $x$ . Παίρνουμε το μέσο $M$ της $A\Gamma$ , ενώνουμε το $B$ με το $M$ και προεκτείνουμε κατά $M\Delta = BM$ . Το $\Delta$ πέφτει στο εσωτερικό της εξωτερικής γωνίας $\hat{A\Gamma x}$ .

Δεδομένα: $AM = M\Gamma$ , $BM = M\Delta$ .

Ζητούμενο: $\hat{A\Gamma x} > \hat{A}$ .

Απόδειξη: Τα τρίγωνα $ABM$ και $\Gamma\Delta M$ έχουν $AM = M\Gamma$ , $BM = M\Delta$ και $\hat{AMB} = \hat{\Gamma M\Delta}$ (κατακορυφήν). Από το Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα $\hat{BAM} = \hat{M\Gamma\Delta}$ , δηλαδή $\hat{A} = \hat{A\Gamma\Delta}$ .

Η ημιευθεία $\Gamma\Delta$ βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας $\hat{A\Gamma x}$ , οπότε $\hat{A\Gamma x} > \hat{A\Gamma\Delta} = \hat{A}$ . ✔

Για τη $\hat{B}$ δουλεύουμε ομοίως με το μέσο της $B\Gamma$ και την κατακορυφήν γωνία της $\hat{A\Gamma x}$ : έτσι $\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} > \hat{B}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η εξωτερική γωνία στην κορυφή $\Gamma$ είναι $70^\circ$ . Τι ισχύει οπωσδήποτε για τη γωνία $\hat{A}$ ;

Μεγάλη πλευρά ↔ μεγάλη απέναντι γωνία

Το κεντρικό θεώρημα της ενότητας §3.11 συνδέει πλευρές και γωνίες σαν ζυγαριά:

Σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται μεγαλύτερη γωνία — και αντίστροφα, απέναντι από μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται μεγαλύτερη πλευρά.

Με σύμβολα, στο τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές $\alpha = B\Gamma$ , $\beta = \Gamma A$ , $\gamma = AB$ :

$\alpha > \beta \iff \hat{A} > \hat{B}$

Φαντάσου ότι «τεντώνεις» μια πλευρά: για να μακρύνει, η απέναντι κορυφή πρέπει να «ανοίξει» τη γωνία της — δεν γίνεται το ένα χωρίς το άλλο. Άμεσα πορίσματα:

Σε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες — και αντίστροφα ίσες γωνίες σημαίνουν ίσες απέναντι πλευρές
Σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά, γιατί βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία ( $90^\circ$ )
Αν από σημείο εκτός ευθείας φέρουμε την κάθετη και πλάγια τμήματα, η κάθετη είναι μικρότερη από κάθε πλάγιο

Απόδειξη θεωρίας (μεγαλύτερη πλευρά ⇒ μεγαλύτερη απέναντι γωνία): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $A\Gamma > AB$ . Να αποδείξετε ότι $\hat{B} > \hat{\Gamma}$ .

Σχήμα: Πάνω στη μεγαλύτερη πλευρά $A\Gamma$ παίρνουμε σημείο $\Delta$ με $A\Delta = AB$ (χωράει, αφού $AB < A\Gamma$ ) και ενώνουμε το $B$ με το $\Delta$ . Η $B\Delta$ βρίσκεται μέσα στη γωνία $\hat{B}$ .

Δεδομένα: $A\Gamma > AB$ , $A\Delta = AB$ .

Ζητούμενο: $\hat{B} > \hat{\Gamma}$ .

Απόδειξη:

Το τρίγωνο $AB\Delta$ είναι ισοσκελές, άρα $\hat{AB\Delta} = \hat{A\Delta B}$ .
Η $\hat{A\Delta B}$ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου $B\Delta\Gamma$ , άρα $\hat{A\Delta B} > \hat{\Gamma}$ .
Αφού η $B\Delta$ είναι στο εσωτερικό της $\hat{B}$ : $\hat{B} > \hat{AB\Delta} = \hat{A\Delta B} > \hat{\Gamma}$ . ✔

Αντίστροφο (με απαγωγή σε άτοπο): αν $\hat{B} > \hat{\Gamma}$ αλλά δεν ίσχυε $A\Gamma > AB$ , τότε ή $A\Gamma = AB$ (ισοσκελές, άρα $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ ) ή $A\Gamma < AB$ (οπότε από το ευθύ $\hat{B} < \hat{\Gamma}$ ) — άτοπο και στις δύο περιπτώσεις.

Κόλπο μνήμης

Σκέψου τη γωνία σαν ανοιχτά χέρια: όσο πιο πολύ τα ανοίγεις, τόσο πιο μακριά απέχουν οι παλάμες σου. Η γωνία και η πλευρά απέναντί της «μεγαλώνουν μαζί» — η μεγαλύτερη γωνία «κοιτάζει» τη μεγαλύτερη πλευρά, η μικρότερη τη μικρότερη.

Σύρε μια κορυφή του τριγώνου και παρακολούθησε ταυτόχρονα πλευρές και γωνίες — θα ανακαλύψεις ότι μόλις μια πλευρά γίνει η μεγαλύτερη, η απέναντι γωνία της γίνεται αυτόματα η μεγαλύτερη, σαν να είναι δεμένες με αόρατο νήμα.

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\hat{A} = 80^\circ$ , $\hat{B} = 60^\circ$ και $\hat{\Gamma} = 40^\circ$ . Ποια είναι η μεγαλύτερη πλευρά του;

Γρήγορος έλεγχος

Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $AB = 5$ , $B\Gamma = 7$ και $A\Gamma = 9$ . Ποια είναι η σωστή διάταξη των γωνιών του;

Ήξερες ότι;

Το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας είναι η Πρόταση 16 του 1ου βιβλίου των «Στοιχείων» — και δεν ισχύει πάνω σε σφαίρα. Πάρε τρίγωνο με κορυφές τον Βόρειο Πόλο και δύο σημεία του Ισημερινού: οι γωνίες στον Ισημερινό είναι ορθές, οπότε η εξωτερική γωνία εκεί είναι $90^\circ$ , ίση με την απέναντι εσωτερική. Η απόδειξη του Ευκλείδη «σπάει» γιατί πάνω στη σφαίρα οι «ευθείες» (μέγιστοι κύκλοι) είναι κλειστές, και η προέκταση του $BM$ κατά ίσο τμήμα μπορεί να βγει έξω από τη γωνία.

Μέθοδος: ασκήσεις ανισοτήτων στο τρίγωνο

Γωνίες ή πλευρές στο ίδιο τρίγωνο; Μετάφρασε με το «απέναντι από μεγαλύτερη πλευρά, μεγαλύτερη γωνία» (και αντίστροφα).
Γωνία σε προέκταση; Αναγνώρισε την εξωτερική γωνία κάποιου τριγώνου: είναι μεγαλύτερη από καθεμία απέναντι εσωτερική (και ίση με το άθροισμά τους).
Αμβλεία ή ορθή γωνία; Είναι η μεγαλύτερη του τριγώνου, άρα η απέναντι πλευρά είναι η μεγαλύτερη.
Γράψε ρητά ποιο θεώρημα χρησιμοποιείς σε κάθε ανισότητα.

Παράδειγμα (κάθετη και πλάγια): Από σημείο $A$ εκτός ευθείας $\varepsilon$ φέρνουμε την κάθετη $AK$ και ένα πλάγιο τμήμα $AB$ ( $B$ στην $\varepsilon$ , $B \neq K$ ). Να αποδείξετε ότι $AK < AB$ .

Σχήμα: Η $\varepsilon$ οριζόντια, το $A$ από πάνω. Το $AK$ πέφτει κατακόρυφα στην $\varepsilon$ και το $AB$ καταλήγει λοξά σε άλλο σημείο της· σχηματίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AKB$ .

Απόδειξη: Στο τρίγωνο $AKB$ η εξωτερική γωνία στο $K$ είναι ορθή (παραπληρωματική της ορθής $\hat{AKB}$ ), άρα από το θεώρημα εξωτερικής γωνίας $\hat{B} < 90^\circ = \hat{K}$ . Απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία $\hat{K}$ βρίσκεται η μεγαλύτερη πλευρά: $AB > AK$ . ✔

Γι' αυτό η απόσταση σημείου από ευθεία μετριέται πάνω στην κάθετη: είναι η συντομότερη διαδρομή, όπως του κολυμβητή που βγαίνει κάθετα στην ακτή.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $AB < A\Gamma$ και η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ τέμνει τη $B\Gamma$ στο $\Delta$ .

α) Να αποδείξετε ότι $\hat{A\Delta B} < \hat{A\Delta\Gamma}$ .

β) Να αποδείξετε ότι η γωνία $\hat{A\Delta\Gamma}$ είναι αμβλεία.

γ) Να αποδείξετε ότι $A\Delta < A\Gamma$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, το $A$ από πάνω, πιο κοντά στο $B$ (αφού $AB < A\Gamma$ ). Η διχοτόμος $A\Delta$ κατεβαίνει στη βάση και τη χωρίζει σε δύο γωνίες στο $\Delta$ : την $\hat{A\Delta B}$ αριστερά και την $\hat{A\Delta\Gamma}$ δεξιά.

Δεδομένα: $AB < A\Gamma$ , $\hat{BA\Delta} = \hat{\Delta A\Gamma} = \frac{\hat{A}}{2}$ .

Απόδειξη: α) Η $\hat{A\Delta B}$ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου $A\Delta\Gamma$ , και η $\hat{A\Delta\Gamma}$ εξωτερική του $AB\Delta$ . Άρα:

$\hat{A\Delta B} = \frac{\hat{A}}{2} + \hat{\Gamma}, \qquad \hat{A\Delta\Gamma} = \frac{\hat{A}}{2} + \hat{B}$

Στο $AB\Gamma$ είναι $AB < A\Gamma$ , οπότε και οι απέναντι γωνίες: $\hat{\Gamma} < \hat{B}$ . Επομένως $\hat{A\Delta B} < \hat{A\Delta\Gamma}$ . ✔

β) Οι δύο γωνίες είναι εφεξής και παραπληρωματικές, με άθροισμα $180^\circ$ . Αφού η $\hat{A\Delta\Gamma}$ είναι η μεγαλύτερη, είναι μεγαλύτερη από το μισό: $\hat{A\Delta\Gamma} > 90^\circ$ , δηλαδή αμβλεία. ✔

γ) Στο τρίγωνο $A\Delta\Gamma$ η αμβλεία γωνία στο $\Delta$ είναι η μεγαλύτερη, άρα η απέναντί της πλευρά $A\Gamma$ είναι η μεγαλύτερη: $A\Delta < A\Gamma$ . ✔

Παρατήρησε την αλυσίδα: πλευρές → γωνίες (α), γωνίες → είδος γωνίας (β), γωνία → πλευρές (γ).

Στις προαγωγικές, οι ασκήσεις σύγκρισης λύνονται σχεδόν πάντα με μετάφραση: γωνίες → πλευρές ή πλευρές → γωνίες μέσω του «απέναντι από μεγαλύτερη, μεγαλύτερη». Αν η εκφώνηση συγκρίνει τμήματα που δεν είναι στο ίδιο τρίγωνο, ψάξε ένα βοηθητικό τρίγωνο που να τα περιέχει και τα δύο. Και όταν βλέπεις γωνία σε προέκταση πλευράς, ρώτα αμέσως: «εξωτερική ποιου τριγώνου;»

Πρόκληση

Προς τα πού «γέρνει» η διάμεσος; Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $AB < A\Gamma$ και $AM$ η διάμεσος. Να αποδείξετε ότι $\hat{BAM} > \hat{MA\Gamma}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Διπλασιάζουμε τη διάμεσο: $M\Delta = AM$ .

Τα τρίγωνα $AMB$ και $\Delta M\Gamma$ είναι ίσα (Π-Γ-Π: $AM = M\Delta$ , $BM = M\Gamma$ , κατακορυφήν γωνίες στο $M$ ). Άρα $\Gamma\Delta = AB$ και $\hat{M\Delta\Gamma} = \hat{BAM}$ .
Στο τρίγωνο $A\Gamma\Delta$ είναι $A\Gamma > AB = \Gamma\Delta$ . Απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά $A\Gamma$ βρίσκεται μεγαλύτερη γωνία: $\hat{A\Delta\Gamma} > \hat{\Delta A\Gamma}$ .
Όμως $\hat{A\Delta\Gamma} = \hat{BAM}$ και $\hat{\Delta A\Gamma} = \hat{MA\Gamma}$ , άρα $\hat{BAM} > \hat{MA\Gamma}$ . ✔

Η διάμεσος λοιπόν σχηματίζει μεγαλύτερη γωνία με τη μικρότερη πλευρά — δηλαδή «γέρνει» προς τη μεγαλύτερη πλευρά $A\Gamma$ .

Συνηθισμένα λάθη

Πλευρά με τη «γειτονική» γωνία. Η πλευρά $B\Gamma$ συγκρίνεται με τη γωνία $\hat{A}$ που βρίσκεται απέναντι, όχι με τις $\hat{B}$ ή $\hat{\Gamma}$ στα άκρα της.
Εξωτερική σε σύγκριση με την εφεξής της. Το θεώρημα συγκρίνει την εξωτερική γωνία με τις απέναντι εσωτερικές· με την εφεξής της είναι απλώς παραπληρωματική.
Σύγκριση σε διαφορετικά τρίγωνα. Το «μεγαλύτερη πλευρά ↔ μεγαλύτερη γωνία» ισχύει μέσα στο ίδιο τρίγωνο. Διόρθωση: βρες τρίγωνο που περιέχει και τα δύο στοιχεία.
Αντίστροφο χωρίς αιτιολόγηση. Από γωνίες σε πλευρές περνάς με το αντίστροφο θεώρημα — γράψε ρητά ποιο χρησιμοποιείς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εξωτερική γωνία $>$ καθεμία από τις απέναντι εσωτερικές.
$\alpha > \beta \iff \hat{A} > \hat{B}$ : απέναντι από μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται μεγαλύτερη γωνία.
Σε ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο τρίγωνο η πλευρά απέναντι από την ορθή ή την αμβλεία γωνία είναι η μεγαλύτερη.
Η κάθετη από σημείο σε ευθεία είναι μικρότερη από κάθε πλάγιο τμήμα.
Τέχνασμα: διπλασιασμός της διαμέσου για να συγκρίνεις γωνίες.

Η εξωτερική γωνία «νικάει» τις απέναντι (§3.10)

Πρώτο εργαλείο, η εξωτερική γωνία. Αν προεκτείνουμε την πλευρά

B\Gamma

ενός τριγώνου

AB\Gamma

πέρα από το

\Gamma

, σχηματίζεται η εξωτερική γωνία

\hat{\Gamma}_{\text{εξ}}

, εφεξής και παραπληρωματική της

\hat{\Gamma}

. Το θεώρημα λέει:

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι εσωτερικές γωνίες.

Δηλαδή

\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} > \hat{A}

και

\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} > \hat{B}

. Σκέψου το σαν πόρτα που ανοίγει προς τα έξω: όσο κι αν είναι «κλειστές» οι δύο μέσα γωνίες, η πόρτα που άνοιξε απέξω τις ξεπερνά και τις δύο. Αυτή η ανισότητα είναι ο «πρόγονος» όλων των συγκρίσεων που ακολουθούν.