⭕

Χορδές, Αποστήματα & Τόξα

Ίσες χορδές ↔ ίσα αποστήματα ↔ ίσα τόξα, η κάθετη διάμετρος

Πόσο μεγάλο ήταν το σπασμένο πιάτο;

Βρίσκεις ένα κομμάτι από το χείλος ενός σπασμένου πιάτου — ένα μικρό τόξο. Πόσο μεγάλο ήταν ολόκληρο; Χάραξε δύο χορδές πάνω στο τόξο και φέρε τις μεσοκαθέτους τους: τέμνονται στο κέντρο, άρα βρίσκεις και την ακτίνα. Σε αυτό το μάθημα βλέπεις γιατί δουλεύει — και πώς χορδή, απόστημα και ακτίνα «δένουν» σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Το απόστημα: η «ταυτότητα» κάθε χορδής (§3.7)

Απόστημα μιας χορδής λέγεται η απόσταση του κέντρου του κύκλου από τη χορδή — δηλαδή το κάθετο τμήμα από το κέντρο προς αυτήν.

Το πρώτο βασικό θεώρημα δένει χορδή, απόστημα και τόξο σε ένα πακέτο:

Η κάθετη από το κέντρο προς μια χορδή διχοτομεί τη χορδή και τα τόξα της.

Γιατί; Το τρίγωνο που σχηματίζουν οι δύο ακτίνες προς τα άκρα της χορδής είναι ισοσκελές, και η κάθετη από το κέντρο είναι το ύψος προς τη βάση — άρα και διάμεσος και διχοτόμος. Ισοδύναμα: η μεσοκάθετος κάθε χορδής περνά από το κέντρο — γι' αυτό, για να βρεις το «χαμένο» κέντρο ενός κύκλου, αρκούν οι μεσοκάθετοι δύο χορδών του.

Ίσες χορδές ↔ ίσα αποστήματα ↔ ίσα τόξα

Στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους ισχύει η τριπλή ισοδυναμία:

Δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν ίσα αποστήματα, αν και μόνο αν τα αντίστοιχα τόξα τους είναι ίσα.

Και η ανισοτική εκδοχή, που μπερδεύει αν δεν τη σκεφτείς σωστά:

Από δύο άνισες χορδές, η μεγαλύτερη χορδή έχει το μικρότερο απόστημα — και αντίστροφα.

Η εικόνα που το κάνει προφανές: η μεγαλύτερη δυνατή χορδή είναι η διάμετρος, που περνά από το κέντρο — απόστημα μηδέν. Όσο μια χορδή «γλιστράει» μακριά από το κέντρο, τόσο κονταίνει, μέχρι να εκφυλιστεί σε σημείο όταν το απόστημα γίνει ίσο με την ακτίνα. Χορδή και απόστημα κινούνται αντίθετα.

Απόδειξη θεωρίας (ίσες χορδές ⇒ ίσα αποστήματα): Στον κύκλο $(O, \rho)$ οι χορδές $AB$ και $\Gamma\Delta$ είναι ίσες, και $OM$ , $ON$ τα αποστήματά τους. Να αποδείξετε ότι $OM = ON$ .

Σχήμα: Δύο χορδές σε διαφορετικά σημεία του κύκλου. Από το κέντρο πέφτει κάθετο τμήμα σε καθεμία, στα $M$ (πάνω στην $AB$ ) και $N$ (πάνω στη $\Gamma\Delta$ ). Φέρνουμε και τις ακτίνες $OA$ και $O\Gamma$ .

Δεδομένα: $AB = \Gamma\Delta$ , $OM \perp AB$ , $ON \perp \Gamma\Delta$ .

Ζητούμενο: $OM = ON$ .

Απόδειξη: Η κάθετη από το κέντρο διχοτομεί τη χορδή, άρα $MA = \frac{AB}{2}$ και $N\Gamma = \frac{\Gamma\Delta}{2}$ · αφού $AB = \Gamma\Delta$ , είναι $MA = N\Gamma$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $OMA$ και $ON\Gamma$ έχουν:

υποτείνουσες $OA = O\Gamma = \rho$
κάθετες πλευρές $MA = N\Gamma$

Από το κριτήριο υποτείνουσα – κάθετη πλευρά είναι ίσα, άρα $OM = ON$ . ✔ Το αντίστροφο αποδεικνύεται με τα ίδια τρίγωνα, ξεκινώντας από $OM = ON$ .

$\rho^2 = \alpha^2 + \left(\frac{\lambda}{2}\right)^2 \quad (\rho \ \text{ακτίνα}, \ \alpha \ \text{απόστημα}, \ \lambda \ \text{χορδή})$

Ήξερες ότι;

Πριν υπάρξει το ημίτονο, οι αστρονόμοι έκαναν τριγωνομετρία με χορδές. Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αι. μ.Χ.) στη «Μαθηματική Σύνταξη» (γνωστή ως Αλμαγέστη) έφτιαξε πίνακα με το μήκος της χορδής για τόξα από $\frac{1}{2}^\circ$ ως $180^\circ$ , ανά μισή μοίρα, σε κύκλο ακτίνας $60$ . Αφού η χορδή τόξου $2\theta$ είναι $2R\,\eta\mu\theta$ , αυτός ο πίνακας είναι ο πρόγονος των τριγωνομετρικών πινάκων.

Καθρέφτισε τα σημεία ως προς τον άξονα και δες ότι κάθε σημείο και το είδωλό του ισαπέχουν από αυτόν — έτσι ακριβώς η κάθετη από το κέντρο προς μια χορδή είναι άξονας συμμετρίας του κύκλου: διχοτομεί τη χορδή και τα τόξα της, και η μεσοκάθετος κάθε χορδής οδηγεί αλάνθαστα στο κέντρο.

Μέθοδος: υπολογισμοί με χορδές

Φέρε το απόστημα $OM \perp AB$ — το $M$ είναι μέσο της χορδής.
Φέρε την ακτίνα $OA$ προς ένα άκρο της χορδής.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OMA$ (υποτείνουσα η ακτίνα): $\rho^2 = \alpha^2 + \left(\frac{\lambda}{2}\right)^2$ .
Λύσε για τον άγνωστο και θυμήσου να διπλασιάσεις αν ζητείται ολόκληρη η χορδή.
Για σύγκριση χορδών του ίδιου κύκλου αρκεί η σύγκριση των αποστημάτων (αντίστροφη φορά).

Άσκηση: Σε κύκλο $(O, 5)$ μια χορδή $AB$ έχει μήκος $8$ . α) Να βρεθεί το απόστημά της. β) Μια δεύτερη χορδή $\Gamma\Delta$ του ίδιου κύκλου έχει απόστημα $4$ . Ποια χορδή είναι μεγαλύτερη;

Λύση: α) Έστω $M$ το μέσο της $AB$ — η $OM$ είναι το απόστημα και διχοτομεί τη χορδή, άρα $MA = 4$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OMA$ :

$OM^2 = OA^2 - MA^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow OM = 3$

β) Η $\Gamma\Delta$ έχει απόστημα $4 > 3$ . Μεγαλύτερο απόστημα σημαίνει μικρότερη χορδή, άρα $\Gamma\Delta < AB$ . Επιβεβαίωση με υπολογισμό: $\left(\frac{\Gamma\Delta}{2}\right)^2 = 25 - 16 = 9$ , οπότε $\Gamma\Delta = 6 < 8$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλο ακτίνας $10$ μια χορδή έχει απόστημα $6$ . Πόσο είναι το μήκος της χορδής;

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλο ακτίνας $13$ μια χορδή έχει μήκος $24$ . Πόσο είναι το απόστημά της;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε κύκλο $(O, 10)$ οι χορδές $AB = 16$ και $\Gamma\Delta = 12$ είναι παράλληλες.

α) Να βρείτε τα αποστήματα των δύο χορδών.

β) Να βρείτε την απόσταση των δύο χορδών.

Σχήμα: Οι δύο χορδές είναι οριζόντιες. Η κάθετη από το $O$ προς την $AB$ είναι κάθετη και στη $\Gamma\Delta$ (παράλληλες), άρα τα ίχνη $M$ (στην $AB$ ) και $N$ (στη $\Gamma\Delta$ ) βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ευθεία με το $O$ . Οι χορδές μπορεί να είναι από την ίδια μεριά του κέντρου ή από αντίθετες μεριές.

Λύση: α) Με το απόστημα και τη μισή χορδή:

$OM^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \Rightarrow OM = 6, \qquad ON^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \Rightarrow ON = 8$

Όπως αναμενόταν, η μεγαλύτερη χορδή ( $16$ ) έχει το μικρότερο απόστημα ( $6$ ).

β) Η απόσταση των παραλλήλων χορδών είναι το τμήμα $MN$ , πάνω στην ευθεία $MON$ . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Ίδια μεριά του κέντρου: $MN = ON - OM = 8 - 6 = 2$
Αντίθετες μεριές: $MN = OM + ON = 6 + 8 = 14$

Απάντηση: $2$ ή $14$ . Όταν η εκφώνηση δεν διευκρινίζει τη θέση, οι βαθμολογητές περιμένουν και τις δύο περιπτώσεις.

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλο ακτίνας $6$ μια χορδή έχει μήκος $12$ . Πόσο είναι το απόστημά της;

Γρήγορος έλεγχος

Στον ίδιο κύκλο δύο χορδές έχουν αποστήματα $3$ και $4$ . Τι συμπεραίνουμε για τα μήκη τους;

Μόλις δεις χορδή σε άσκηση, φέρε αυτόματα το απόστημα: γεννιέται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την ακτίνα και κάθετες πλευρές το απόστημα και τη μισή χορδή — και σχεδόν πάντα η λύση είναι ένα Πυθαγόρειο μακριά. Απομνημόνευσε τη «σπρώχνει-κονταίνει» εικόνα: χορδή που απομακρύνεται από το κέντρο μικραίνει. Και για εύρεση κέντρου: μεσοκάθετοι δύο οποιωνδήποτε χορδών.

Πρόκληση

Σε κύκλο $(O, 5)$ παίρνουμε σημείο $P$ με $OP = 3$ . Από το $P$ περνούν άπειρες χορδές. α) Ποια είναι η μικρότερη και ποια η μεγαλύτερη; β) Πόσες χορδές που περνούν από το $P$ έχουν ακέραιο μήκος;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Για χορδή μήκους $\lambda$ από το $P$ με απόστημα $OM = d$ ισχύει $\lambda = 2\sqrt{25 - d^2}$ : όσο μεγαλύτερο το απόστημα, τόσο μικρότερη η χορδή.

α) Το $OM$ είναι κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου $OMP$ με υποτείνουσα $OP$ (ή $M = P$ ), άρα $d \le OP = 3$ . Ισότητα έχουμε όταν η χορδή είναι κάθετη στην $OP$ : τότε $\lambda_{\min} = 2\sqrt{25 - 9} = 8$ . Η μεγαλύτερη είναι η διάμετρος από το $P$ ( $d = 0$ ): $\lambda_{\max} = 10$ . Κάθε χορδή από το $P$ έχει λοιπόν μήκος από $8$ ως $10$ .

β) Οι ακέραιες τιμές είναι $8, 9, 10$ . Μήκος $8$ : μία χορδή (η κάθετη στην $OP$ ). Μήκος $10$ : μία (η διάμετρος). Μήκος $9$ : χρειάζεται $d^2 = 25 - 4{,}5^2 = 4{,}75$ , δηλαδή $d \approx 2{,}18$ , με $0 < d < 3$ — τέτοιες χορδές είναι δύο, συμμετρικές ως προς την ευθεία $OP$ . Σύνολο: $1 + 2 + 1 = 4$ χορδές.

Η «στροφή»: το ερώτημα μοιάζει να θέλει άπειρο ψάξιμο, αλλά το απόστημα μετατρέπει τις άπειρες χορδές σε έναν μόνο αριθμό $d$ που κινείται στο $[0, 3]$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ολόκληρη αντί για μισή χορδή. Στο Πυθαγόρειο μπαίνει $\frac{\lambda}{2}$ , όχι $\lambda$ . Διόρθωση: σημείωσε στο σχήμα ότι το $M$ είναι μέσο πριν γράψεις τον τύπο.
Λάθος υποτείνουσα. Υποτείνουσα είναι η ακτίνα: $\alpha^2 = \rho^2 - \left(\frac{\lambda}{2}\right)^2$ , όχι άθροισμα.
Σύγκριση σε διαφορετικούς κύκλους. Το «μικρότερο απόστημα ↔ μεγαλύτερη χορδή» ισχύει μόνο στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους.
Μία μόνο περίπτωση. Σε παράλληλες χορδές εξέτασε αν βρίσκονται από την ίδια ή από αντίθετες μεριές του κέντρου.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Η κάθετη από το κέντρο σε χορδή τη διχοτομεί (και τα τόξα της)· η μεσοκάθετος κάθε χορδής περνά από το κέντρο.
$\rho^2 = \alpha^2 + \left(\frac{\lambda}{2}\right)^2$ ( $\alpha$ απόστημα, $\lambda$ χορδή).
Στον ίδιο κύκλο: ίσες χορδές $\iff$ ίσα αποστήματα $\iff$ ίσα τόξα.
Μεγαλύτερη χορδή $\iff$ μικρότερο απόστημα· η διάμετρος έχει απόστημα $0$ .
Παράλληλες χορδές: απόσταση $= |\alpha_1 - \alpha_2|$ ή $\alpha_1 + \alpha_2$ .

Το απόστημα: η «ταυτότητα» κάθε χορδής (§3.7)

Το πρώτο βασικό θεώρημα δένει χορδή, απόστημα και τόξο σε ένα πακέτο:

Η κάθετη από το κέντρο προς μια χορδή διχοτομεί τη χορδή και τα τόξα της.