📏

Κάθετος & Ισότητα Ορθογώνιων Τριγώνων

Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου, τα 2 κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Ποιος είναι ο πιο γρήγορος δρόμος προς την ακτή;

Κολυμπάς ανοιχτά και θες να βγεις στην παραλία όσο πιο γρήγορα γίνεται. Ενστικτωδώς κολυμπάς κάθετα προς την ακτή — και έχεις δίκιο: από ένα σημείο προς μια ευθεία υπάρχει μία μόνο κάθετη, και είναι η συντομότερη διαδρομή. Εδώ αποδεικνύεις γιατί είναι μοναδική και μαθαίνεις τα «ειδικά» κριτήρια που κάνουν τα ορθογώνια τρίγωνα τα πιο βολικά τρίγωνα της Γεωμετρίας.

Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου (§3.5)

Από σημείο $A$ εκτός ευθείας $\varepsilon$ διέρχεται μία και μόνο μία κάθετη προς την $\varepsilon$ .

Η πρόταση έχει δύο μισά, και τα δύο χρειάζονται απόδειξη:

Ύπαρξη: Παίρνουμε τυχαίο σημείο της $\varepsilon$ και «διπλώνουμε» το επίπεδο: κατασκευάζουμε το συμμετρικό $A'$ του $A$ ως προς την $\varepsilon$ (με δύο κύκλους από σημεία της ευθείας). Η ευθεία $AA'$ τέμνει την $\varepsilon$ και σχηματίζει εφεξής ίσες γωνίες — δηλαδή ορθές. Κάθετη βρέθηκε.
Μοναδικότητα: Έστω ότι υπήρχαν δύο κάθετες $AK$ και $A\Lambda$ από το $A$ . Τότε το τρίγωνο $AK\Lambda$ θα είχε δύο ορθές γωνίες — αδύνατο, γιατί η εξωτερική γωνία στο $\Lambda$ θα ήταν ορθή, ίση με την απέναντι εσωτερική στο $K$ , ενώ το θεώρημα εξωτερικής γωνίας απαιτεί να είναι μεγαλύτερη. Άτοπο.

Το ίχνος της καθέτου πάνω στην ευθεία λέγεται προβολή του $A$ στην $\varepsilon$ , και η απόσταση $A$ –προβολής είναι η απόσταση σημείου από ευθεία — η μικρότερη δυνατή διαδρομή.

Σύρε μια κορυφή και προσπάθησε να φτιάξεις τρίγωνο με δύο ορθές γωνίες — θα ανακαλύψεις ότι είναι αδύνατο: το άθροισμα μένει $180^\circ$, οπότε μόλις δύο γωνίες πλησιάσουν τις $90^\circ$ η τρίτη εξαφανίζεται. Γι' αυτό η κάθετη από σημείο είναι μοναδική.

Γρήγορος έλεγχος

Από σημείο $A$ εκτός ευθείας $\varepsilon$ , πόσες κάθετες προς την $\varepsilon$ μπορούμε να φέρουμε;

Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων (§3.6)

Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν ήδη μία ίση γωνία «δώρο» — την ορθή. Γι' αυτό τους αρκούν δύο μόνο επιπλέον στοιχεία, και μάλιστα όχι απαραίτητα τα στοιχεία των γενικών κριτηρίων:

Κριτήριο 1: Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις υποτείνουσες ίσες και μία οξεία γωνία ίση.

Κριτήριο 2: Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις υποτείνουσες ίσες και μία κάθετη πλευρά ίση.

Το πρώτο βγαίνει σχεδόν αμέσως: οι οξείες γωνίες ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές, άρα ίση υποτείνουσα + ίση οξεία γωνία δίνουν ΓΠΓ «μεταμφιεσμένο». Το δεύτερο είναι το πιο ενδιαφέρον — ΔΕΝ είναι ΠΓΠ (η ίση γωνία δεν περιέχεται ανάμεσα στις ίσες πλευρές!) και αποδεικνύεται με «κόλλημα» των τριγώνων ώστε να σχηματιστεί ισοσκελές.

Φυσικά ισχύουν και τα γενικά κριτήρια: δύο ίσες κάθετες πλευρές δίνουν ισότητα μέσω ΠΓΠ (με περιεχόμενη την ορθή), και κάθετη πλευρά + προσκείμενη οξεία γωνία δίνουν ΓΠΓ.

Ήξερες ότι;

Η λέξη υποτείνουσα έρχεται κατευθείαν από τον Ευκλείδη. Στα «Στοιχεία» γράφει «ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρά»: η πλευρά που «τεντώνεται κάτω από» την ορθή γωνία, όπως η χορδή κάτω από ένα τόξο. Γι' αυτό υποτείνουσα είναι πάντα και μόνο η πλευρά απέναντι από την ορθή.

Απόδειξη του κριτηρίου «υποτείνουσα – κάθετη πλευρά»

Δεδομένα: ορθογώνια τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ με $\hat{A} = \hat{A}' = 90^\circ$ , $B\Gamma = B'\Gamma'$ (υποτείνουσες) και $AB = A'B'$ (κάθετες πλευρές).

Ζητούμενο: $AB\Gamma = A'B'\Gamma'$ .

Απόδειξη: Προεκτείνουμε την $\Gamma A$ πέρα από το $A$ κατά τμήμα $A\Delta = A'\Gamma'$ . Τότε και η $\hat{BA\Delta}$ είναι ορθή, ως παραπληρωματική της ορθής $\hat{BA\Gamma}$ .

Τα τρίγωνα $AB\Delta$ και $A'B'\Gamma'$ έχουν $AB = A'B'$ , $A\Delta = A'\Gamma'$ και περιεχόμενες γωνίες ορθές, άρα είναι ίσα (Π-Γ-Π). Επομένως $B\Delta = B'\Gamma'$ και $\hat{\Delta} = \hat{\Gamma}'$ .
Αφού $B'\Gamma' = B\Gamma$ , προκύπτει $B\Delta = B\Gamma$ : το τρίγωνο $B\Gamma\Delta$ είναι ισοσκελές, οπότε $\hat{\Gamma} = \hat{\Delta} = \hat{\Gamma}'$ .
Τα αρχικά τρίγωνα έχουν ίσες υποτείνουσες και ίσες οξείες γωνίες $\hat{\Gamma} = \hat{\Gamma}'$ , άρα είναι ίσα από το κριτήριο 1. ✔

Η ιδέα: «κολλάμε» ένα αντίγραφο του δεύτερου τριγώνου δίπλα στο πρώτο, ώστε οι δύο υποτείνουσες να γίνουν τα ίσα σκέλη ενός ισοσκελούς.

Μέθοδος: ισότητα ορθογώνιων τριγώνων

Εντόπισε τις ορθές γωνίες (ύψη, αποστάσεις από ευθεία, εφαπτομένη–ακτίνα) και γράψε ρητά « $\hat{\Delta} = \hat{E} = 90^\circ$ ».
Βρες τις υποτείνουσες — είναι οι πλευρές απέναντι από τις ορθές. Συχνά είναι κοινή πλευρά των δύο τριγώνων.
Βρες ένα ακόμη ίσο στοιχείο: κάθετη πλευρά ή οξεία γωνία.
Ονόμασε το κριτήριο: υποτείνουσα–οξεία, υποτείνουσα–κάθετη, ή (χωρίς υποτείνουσα) Π-Γ-Π με δύο κάθετες πλευρές / Γ-Π-Γ με κάθετη και προσκείμενη οξεία.

Κόλπο μνήμης

Στα ορθογώνια τρίγωνα η ορθή γωνία είναι «δωρεάν» — είναι ήδη ίση και στα δύο. Σου αρκούν λοιπόν άλλα δύο ίσα στοιχεία, με τουλάχιστον μία πλευρά ανάμεσά τους: δύο πλευρές, ή μία πλευρά και μία οξεία γωνία (αντίστοιχες). Δύο οξείες γωνίες μόνες τους δεν φτάνουν — δίνουν ίδιο σχήμα, όχι ίδιο μέγεθος.

Άσκηση: Σε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $AB = A\Gamma$ ) φέρουμε τα ύψη $B\Delta$ και $\Gamma E$ προς τις ίσες πλευρές. Να αποδειχθεί ότι $B\Delta = \Gamma E$ .

Λύση: Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα $B\Delta\Gamma$ και $\Gamma E B$ :

Είναι ορθογώνια: $\hat{\Delta} = \hat{E} = 90^\circ$ (ύψη)
$B\Gamma$ κοινή υποτείνουσα
$\hat{\Gamma} = \hat{B}$ ως προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου

Από το κριτήριο 1 (υποτείνουσα – οξεία γωνία) τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα και τα αντίστοιχα στοιχεία τους: $B\Delta = \Gamma E$ . ✔

Παρατήρησε την οικονομία: με τα γενικά κριτήρια θα χρειαζόμασταν περισσότερη δουλειά — τα ειδικά κριτήρια των ορθογώνιων «κουμπώνουν» με δύο μόνο στοιχεία.

Παράδειγμα (κάθετες προς τη διάμεσο): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η $AM$ είναι διάμεσος. Από τα $B$ και $\Gamma$ φέρνουμε τις κάθετες $B\Delta$ και $\Gamma E$ προς την ευθεία $AM$ . Να αποδείξετε ότι $B\Delta = \Gamma E$ .

Σχήμα: Η ευθεία $AM$ προεκτείνεται πέρα από το $M$ . Τα ίχνη $\Delta$ (της καθέτου από το $B$ ) και $E$ (της καθέτου από το $\Gamma$ ) βρίσκονται πάνω της, εκατέρωθεν του $M$ .

Απόδειξη: Τα ορθογώνια τρίγωνα $B\Delta M$ και $\Gamma EM$ ( $\hat{\Delta} = \hat{E} = 90^\circ$ ) έχουν:

υποτείνουσες $BM = \Gamma M$ ( $M$ μέσο της $B\Gamma$ )
$\hat{BM\Delta} = \hat{\Gamma ME}$ (κατακορυφήν)

Από το κριτήριο υποτείνουσα – οξεία γωνία είναι ίσα, άρα $B\Delta = \Gamma E$ . ✔ Δηλαδή τα $B$ και $\Gamma$ ισαπέχουν από κάθε ευθεία που περνά από το μέσο της $B\Gamma$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ και $M$ το μέσο της βάσης $B\Gamma$ . Από το $M$ φέρνουμε $M\Delta \perp AB$ και $ME \perp A\Gamma$ .

α) Να αποδείξετε ότι $M\Delta = ME$ .

β) Να αποδείξετε ότι $A\Delta = AE$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $AM$ είναι μεσοκάθετος του $\Delta E$ .

Σχήμα: Η βάση $B\Gamma$ οριζόντια, το $A$ πάνω από το $M$ . Από το $M$ ξεκινούν δύο κάθετα τμήματα, το $M\Delta$ προς την αριστερή πλευρά $AB$ και το $ME$ προς τη δεξιά $A\Gamma$ . Σχηματίζονται τα ορθογώνια τρίγωνα $B\Delta M$ , $\Gamma EM$ (κάτω) και $A\Delta M$ , $AEM$ (πάνω).

Δεδομένα: $AB = A\Gamma$ , $BM = M\Gamma$ , $\hat{M\Delta B} = \hat{ME\Gamma} = 90^\circ$ .

Απόδειξη: α) Τα ορθογώνια τρίγωνα $B\Delta M$ και $\Gamma EM$ έχουν:

υποτείνουσες $BM = \Gamma M$ ( $M$ μέσο)
$\hat{B} = \hat{\Gamma}$ (γωνίες βάσης ισοσκελούς)

Από το κριτήριο υποτείνουσα – οξεία γωνία είναι ίσα, άρα $M\Delta = ME$ . ✔

β) Τα ορθογώνια τρίγωνα $A\Delta M$ και $AEM$ έχουν:

την $AM$ κοινή υποτείνουσα
$M\Delta = ME$ (ερώτημα α)

Από το κριτήριο υποτείνουσα – κάθετη πλευρά είναι ίσα, άρα $A\Delta = AE$ . ✔

γ) Το $A$ ισαπέχει από τα $\Delta, E$ (β) και το $M$ επίσης (α). Δύο διαφορετικά σημεία της μεσοκαθέτου του $\Delta E$ την ορίζουν, άρα η $AM$ είναι η μεσοκάθετος του $\Delta E$ . ✔

Στην ίδια άσκηση χρησιμοποιήθηκαν και τα δύο κριτήρια ορθογωνίων — ακριβώς αυτό ελέγχουν οι εξεταστές.

Γρήγορος έλεγχος

Ορθογώνια τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ ( $\hat{A} = \hat{\Delta} = 90^\circ$ ) έχουν $AB = \Delta E$ και $\hat{B} = \hat{E} = 35^\circ$ . Είναι ίσα;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη στοιχείων ΔΕΝ αρκεί για να συμπεράνουμε ότι δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα;

Μόλις δεις ύψη, αποστάσεις από ευθεία ή εφαπτόμενα τμήματα σε άσκηση, σκέψου αμέσως «ορθογώνια τρίγωνα → ειδικά κριτήρια». Το δίδυμο που λύνει τις περισσότερες ασκήσεις είναι κοινή υποτείνουσα + κάτι ίσο. Και πρόσεξε την παγίδα της θεωρίας: το κριτήριο «υποτείνουσα – κάθετη πλευρά» ΔΕΝ είναι εφαρμογή του ΠΓΠ — είναι αυτοτελές θεώρημα, και στις προαγωγικές ζητείται η διατύπωσή του.

Πρόκληση

Το αντίστροφο. Στην άσκηση είδες ότι σε ισοσκελές τρίγωνο τα ύψη προς τις ίσες πλευρές είναι ίσα. Ισχύει και το ανάποδο; Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με ύψη $B\Delta$ (προς την $A\Gamma$ ) και $\Gamma E$ (προς την $AB$ ), τέτοια ώστε $B\Delta = \Gamma E$ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα $B\Delta\Gamma$ και $\Gamma E B$ ( $\hat{\Delta} = \hat{E} = 90^\circ$ ):

$B\Gamma$ κοινή υποτείνουσα
$B\Delta = \Gamma E$ (δεδομένο) — κάθετες πλευρές

Από το κριτήριο υποτείνουσα – κάθετη πλευρά τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα είναι ίσες και οι γωνίες απέναντι από τις ίσες κάθετες πλευρές: απέναντι από τη $B\Delta$ είναι η $\hat{B \Gamma \Delta} = \hat{\Gamma}$ , απέναντι από τη $\Gamma E$ η $\hat{\Gamma B E} = \hat{B}$ . Επομένως $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ και το τρίγωνο είναι ισοσκελές με $AB = A\Gamma$ . ✔

Η «στροφή»: εδώ δεν ξέρεις καμία γωνία, οπότε το κριτήριο «υποτείνουσα – οξεία γωνία» της άσκησης δεν βοηθά. Χρειάζεται το άλλο κριτήριο.

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος υποτείνουσα. Υποτείνουσα είναι μόνο η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία. Διόρθωση: σημείωσε πρώτα την ορθή και μετά ονόμασε τις πλευρές.
«Υποτείνουσα–κάθετη» ως Π-Γ-Π. Η ορθή γωνία δεν περιέχεται ανάμεσα στην υποτείνουσα και την κάθετη. Διόρθωση: γράψε το ως αυτοτελές κριτήριο ορθογωνίων τριγώνων.
Ξεχασμένες ορθές. Αν δεν γράψεις ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια, τα ειδικά κριτήρια δεν εφαρμόζονται. Διόρθωση: πρώτη γραμμή πάντα « $\hat{\Delta} = \hat{E} = 90^\circ$ (ύψη)».
Δύο οξείες γωνίες. Τρεις ίσες γωνίες δεν δίνουν ισότητα. Διόρθωση: χρειάζεται πάντα και μία ίση πλευρά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο κάθετη (ύπαρξη με συμμετρικό, μοναδικότητα με άτοπο).
Ορθογώνια τρίγωνα ίσα αν: υποτείνουσα + οξεία γωνία, ή υποτείνουσα + κάθετη πλευρά.
Ισχύουν και τα γενικά: δύο κάθετες (Π-Γ-Π), κάθετη + προσκείμενη οξεία (Γ-Π-Γ).
Απόσταση σημείου από ευθεία: το μήκος της μοναδικής καθέτου — η μικρότερη διαδρομή.
Ύψη, αποστάσεις και εφαπτόμενες → ψάξε ορθογώνια τρίγωνα με κοινή υποτείνουσα.

Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου (§3.5)

Από σημείο $A$ εκτός ευθείας $\varepsilon$ διέρχεται μία και μόνο μία κάθετη προς την $\varepsilon$ .

Η πρόταση έχει δύο μισά, και τα δύο χρειάζονται απόδειξη:

Ύπαρξη: Παίρνουμε τυχαίο σημείο της

\varepsilon

και «διπλώνουμε» το επίπεδο: κατασκευάζουμε το συμμετρικό

A'

του

A

ως προς την

\varepsilon

(με δύο κύκλους από σημεία της ευθείας). Η ευθεία

AA'

τέμνει την

\varepsilon

και σχηματίζει εφεξής ίσες γωνίες — δηλαδή ορθές. Κάθετη βρέθηκε.

Μοναδικότητα: Έστω ότι υπήρχαν δύο κάθετες

AK

και

A\Lambda

από το

A

. Τότε το τρίγωνο

AK\Lambda

θα είχε δύο ορθές γωνίες — αδύνατο, γιατί η εξωτερική γωνία στο

\Lambda

θα ήταν ορθή, ίση με την απέναντι εσωτερική στο

K

, ενώ το θεώρημα εξωτερικής γωνίας απαιτεί να είναι μεγαλύτερη. Άτοπο.

Το ίχνος της καθέτου πάνω στην ευθεία λέγεται προβολή του

A

στην

\varepsilon

, και η απόσταση

A

–προβολής είναι η απόσταση σημείου από ευθεία — η μικρότερη δυνατή διαδρομή.

Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων (§3.6)

Κριτήριο 1: Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις υποτείνουσες ίσες και μία οξεία γωνία ίση.

Κριτήριο 2: Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις υποτείνουσες ίσες και μία κάθετη πλευρά ίση.