🎯

Αξιοσημείωτοι Κύκλοι Τριγώνου

Περίκεντρο & περιγεγραμμένος, έγκεντρο & εγγεγραμμένος, παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Ποιο είναι το μεγαλύτερο στρογγυλό τραπέζι που χωράει σε τριγωνικό δωμάτιο;

Ένα δωμάτιο έχει σχήμα τριγώνου και θέλεις να βάλεις μέσα το μεγαλύτερο δυνατό στρογγυλό τραπέζι. Το κέντρο του πρέπει να απέχει εξίσου από τους τρεις τοίχους — και υπάρχει ακριβώς ένα τέτοιο σημείο, το έγκεντρο. Αντίστροφα, ένας κύκλος που περνά από τις τρεις γωνίες του δωματίου έχει κέντρο ένα σημείο που ισαπέχει από τις τρεις κορυφές, το περίκεντρο. Εδώ βλέπεις γιατί τα δύο αυτά σημεία υπάρχουν πάντα — και τι κρύβουν.

Περίκεντρο: το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου (§4.5)

Κάθε τρίγωνο κρύβει μέσα του ξεχωριστά σημεία όπου συντρέχουν (περνούν από το ίδιο σημείο) οι σπουδαίες γραμμές του. Ξεκινάμε από τις μεσοκαθέτους.

Οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο $O$ , που ισαπέχει από τις τρεις κορυφές.

Γιατί συντρέχουν; Το σημείο τομής δύο μεσοκαθέτων ισαπέχει από τα $A, B$ (πρώτη μεσοκάθετος) και από τα $B, \Gamma$ (δεύτερη) — άρα ισαπέχει και από τα $A, \Gamma$ , οπότε ανήκει αναγκαστικά και στην τρίτη μεσοκάθετο. Η κοινή απόσταση $R = OA = OB = O\Gamma$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου $(O, R)$ , του κύκλου που περνά και από τις τρεις κορυφές.

Η θέση του περίκεντρου «διαβάζει» το είδος του τριγώνου: σε οξυγώνιο είναι εσωτερικό σημείο, σε αμβλυγώνιο βρίσκεται έξω από το τρίγωνο, και σε ορθογώνιο είναι ακριβώς το μέσο της υποτείνουσας (θα το αποδείξεις στην §5.9).

Έγκεντρο: το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου

Τώρα οι διχοτόμοι:

Οι τρεις διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο $I$ , που ισαπέχει από τις τρεις πλευρές.

Η απόδειξη είναι «δίδυμη» με του περίκεντρου, με τον άλλο γεωμετρικό τόπο: το σημείο τομής δύο διχοτόμων ισαπέχει από τις πλευρές των δύο γωνιών, άρα ισαπέχει και από το τρίτο ζευγάρι πλευρών — οπότε ανήκει και στην τρίτη διχοτόμο. Η κοινή απόσταση $\rho$ από τις πλευρές είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου $(I, \rho)$ , που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές «από μέσα».

Το έγκεντρο είναι πάντα εσωτερικό σημείο, σε κάθε τρίγωνο. Το βιβλίο (§4.5) αναφέρει και τους παρεγγεγραμμένους κύκλους: αν συνδυάσουμε μία εσωτερική διχοτόμο με τις διχοτόμους των δύο απέναντι εξωτερικών γωνιών, παίρνουμε κύκλο που εφάπτεται σε μία πλευρά και στις προεκτάσεις των άλλων δύο — ένας για κάθε πλευρά, τρεις συνολικά.

Απόδειξη θεωρίας (οι διχοτόμοι συντρέχουν): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ τέμνονται στο $I$ . Να αποδείξετε ότι το $I$ ισαπέχει από τις τρεις πλευρές και ότι και η διχοτόμος της $\hat{A}$ περνά από αυτό.

Σχήμα: Τρίγωνο με τις διχοτόμους από τα $B$ και $\Gamma$ να συναντιούνται στο εσωτερικό σημείο $I$ . Από το $I$ φέρνουμε τα κάθετα τμήματα $I\Delta$ , $IE$ , $IZ$ προς τις πλευρές $B\Gamma$ , $\Gamma A$ , $AB$ αντίστοιχα.

Δεδομένα: το $I$ ανήκει στις διχοτόμους των $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ .

Ζητούμενο: $I\Delta = IE = IZ$ και το $I$ πάνω στη διχοτόμο της $\hat{A}$ .

Απόδειξη:

Το $I$ ανήκει στη διχοτόμο της $\hat{B}$ , άρα ισαπέχει από τις πλευρές της: $IZ = I\Delta$ .
Το $I$ ανήκει στη διχοτόμο της $\hat{\Gamma}$ , άρα $I\Delta = IE$ .
Επομένως $IZ = IE$ : το $I$ είναι εσωτερικό σημείο της $\hat{A}$ με ίσες αποστάσεις από τις πλευρές της, άρα ανήκει στη διχοτόμο της (αντίστροφο του γεωμετρικού τόπου). ✔

Ο κύκλος $(I, \rho)$ με $\rho = I\Delta = IE = IZ$ εφάπτεται στις τρεις πλευρές, αφού καθεμία είναι κάθετη στην ακτίνα του σημείου επαφής: είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος.

Κόλπο μνήμης

Άκου τις λέξεις. Περί-κεντρο: ο κύκλος του πάει γύρω-γύρω από το τρίγωνο, περνώντας από τις κορυφές. Έγ-κεντρο: ο κύκλος του είναι μέσα στο τρίγωνο, ακουμπώντας τις πλευρές. Και οι γραμμές ταιριάζουν: μεσοκάθετοι → κορυφές, διχοτόμοι → πλευρές.

Παραμόρφωσε το τρίγωνο σέρνοντας τις κορυφές του — θα ανακαλύψεις ότι όσο το τρίγωνο γίνεται αμβλυγώνιο, το περίκεντρο «δραπετεύει» έξω από το σχήμα, ενώ το έγκεντρο μένει πεισματικά πάντα μέσα.

Γρήγορος έλεγχος

Θέλουμε να στήσουμε μια βρύση που να απέχει εξίσου από τα τρία σπίτια μιας τριγωνικής γειτονιάς. Σε ποιο σημείο του τριγώνου πρέπει να μπει;

Ήξερες ότι;

Σε κάθε τρίγωνο υπάρχει κι ένας ακόμη διάσημος κύκλος, ο κύκλος των εννέα σημείων, που περνά από τα μέσα των πλευρών, τα ίχνη των υψών και τα μέσα των τμημάτων από το ορθόκεντρο προς τις κορυφές. Το 1822 ο Γερμανός Karl Wilhelm Feuerbach απέδειξε ότι αυτός ο κύκλος εφάπτεται στον εγγεγραμμένο και στους τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους — τέσσερις επαφές ταυτόχρονα, σε κάθε τρίγωνο.

Μέθοδος: ασκήσεις με περίκεντρο και έγκεντρο

«Ισαπέχει από τις κορυφές» → περίκεντρο $O$ : γράψε $OA = OB = O\Gamma = R$ και εκμεταλλεύσου τα ισοσκελή τρίγωνα $OAB$ , $OB\Gamma$ , $O\Gamma A$ .
«Ισαπέχει από τις πλευρές» ή «κύκλος που εφάπτεται στις πλευρές» → έγκεντρο $I$ , που βρίσκεται πάνω στις διχοτόμους.
Εφαπτόμενα τμήματα του εγγεγραμμένου: από κάθε κορυφή τα δύο είναι ίσα· με $\tau$ την ημιπερίμετρο, το τμήμα από την κορυφή $A$ ισούται με $\tau - \alpha$ .
Διχοτόμος + παράλληλη από το έγκεντρο → ισοσκελή τρίγωνα (το μοτίβο των παραλλήλων).

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $AB = 6$ , $A\Gamma = 8$ και $B\Gamma = 10$ . Ο εγγεγραμμένος κύκλος $(I, \rho)$ εφάπτεται στις πλευρές $B\Gamma, \Gamma A, AB$ στα σημεία $\Delta, E, Z$ αντίστοιχα.

α) Να βρείτε τα μήκη $AZ$ , $BZ$ και $\Gamma E$ .

β) Αφού $6^2 + 8^2 = 10^2$ , το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο $A$ . Να αποδείξετε ότι το $AZIE$ είναι τετράγωνο και να βρείτε την ακτίνα $\rho$ .

Σχήμα: Η υποτείνουσα $B\Gamma$ κάτω, η ορθή γωνία στο $A$ από πάνω. Ο κύκλος κάθεται μέσα στο τρίγωνο· από το κέντρο $I$ ξεκινούν τρεις ακτίνες κάθετες στις πλευρές, προς τα $\Delta, E, Z$ .

Λύση: α) Θέτουμε $x = AZ = AE$ , $y = BZ = B\Delta$ , $z = \Gamma\Delta = \Gamma E$ (ίσα εφαπτόμενα τμήματα). Οι πλευρές δίνουν:

$x + y = 6, \qquad x + z = 8, \qquad y + z = 10$

Προσθέτοντας: $2(x + y + z) = 24$ , άρα $x + y + z = 12$ . Τότε:

$x = 12 - 10 = 2, \qquad y = 12 - 8 = 4, \qquad z = 12 - 6 = 6$

Δηλαδή $AZ = 2$ , $BZ = 4$ , $\Gamma E = 6$ . Έλεγχος: $B\Delta + \Delta\Gamma = 4 + 6 = 10 = B\Gamma$ . ✔

β) Στο τετράπλευρο $AZIE$ : $\hat{A} = 90^\circ$ (υπόθεση), $\hat{Z} = 90^\circ$ και $\hat{E} = 90^\circ$ (ακτίνα κάθετη στην εφαπτομένη). Με τρεις ορθές γωνίες, και η τέταρτη είναι $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$ , άρα είναι ορθογώνιο. Επιπλέον δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες, $IZ = IE = \rho$ , οπότε είναι τετράγωνο. ✔ Έτσι:

$\rho = AZ = x = 2$

Το τέχνασμα « $x + y + z =$ ημιπερίμετρος» δίνει κάθε εφαπτόμενο τμήμα με μία αφαίρεση: το τμήμα από μια κορυφή ισούται με την ημιπερίμετρο μείον την απέναντι πλευρά.

Γρήγορος έλεγχος

Τρίγωνο έχει $AB = 5$ , $A\Gamma = 7$ και $B\Gamma = 6$ . Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται στην $AB$ στο $Z$ . Πόσο είναι το $AZ$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ έστω $I$ το έγκεντρο. Από το $I$ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς τη $B\Gamma$ , που τέμνει τις $AB$ και $A\Gamma$ στα $\Delta$ και $E$ αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\Delta BI$ είναι ισοσκελές.

β) Να αποδείξετε ότι $\Delta E = B\Delta + \Gamma E$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου $A\Delta E$ ισούται με $AB + A\Gamma$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ πάνω. Το έγκεντρο $I$ στο εσωτερικό, με τις διχοτόμους $BI$ και $\Gamma I$ . Η οριζόντια ευθεία από το $I$ κόβει την αριστερή πλευρά στο $\Delta$ και τη δεξιά στο $E$ .

Δεδομένα: $\hat{\Delta BI} = \hat{IB\Gamma}$ , $\hat{E\Gamma I} = \hat{I\Gamma B}$ , $\Delta E \parallel B\Gamma$ .

Ζητούμενο: α) $\Delta B = \Delta I$ , β) $\Delta E = B\Delta + \Gamma E$ , γ) $A\Delta + \Delta E + EA = AB + A\Gamma$ .

Απόδειξη: α) Οι παράλληλες $\Delta E$ και $B\Gamma$ τέμνονται από τη $BI$ , άρα $\hat{\Delta IB} = \hat{IB\Gamma}$ (εντός εναλλάξ). Αφού η $BI$ είναι διχοτόμος, $\hat{IB\Gamma} = \hat{\Delta BI}$ . Επομένως $\hat{\Delta IB} = \hat{\Delta BI}$ και το τρίγωνο $\Delta BI$ είναι ισοσκελές με $\Delta B = \Delta I$ . ✔

β) Με τον ίδιο τρόπο (τέμνουσα η $\Gamma I$ ) το τρίγωνο $E\Gamma I$ είναι ισοσκελές με $E\Gamma = EI$ . Άρα $\Delta E = \Delta I + IE = B\Delta + \Gamma E$ . ✔

γ) $A\Delta + \Delta E + EA = A\Delta + (\Delta B + E\Gamma) + EA = (A\Delta + \Delta B) + (AE + E\Gamma) = AB + A\Gamma$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο, πού βρίσκεται το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου;

Πρόκληση

Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος και η ημιπερίμετρος. Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $AB\Gamma$ που αντιστοιχεί στην πλευρά $B\Gamma$ εφάπτεται στη $B\Gamma$ στο $\Delta$ και στις προεκτάσεις των $AB$ και $A\Gamma$ στα $K$ και $\Lambda$ . Να αποδείξετε ότι $AK = A\Lambda = \tau$ , όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Χρησιμοποιούμε μόνο την ισότητα των εφαπτόμενων τμημάτων:

από το $A$ : $AK = A\Lambda$
από το $B$ : $BK = B\Delta$
από το $\Gamma$ : $\Gamma\Lambda = \Gamma\Delta$

Τα $K$ και $\Lambda$ βρίσκονται στις προεκτάσεις πέρα από τα $B$ και $\Gamma$ , άρα $AK = AB + BK$ και $A\Lambda = A\Gamma + \Gamma\Lambda$ . Προσθέτοντας:

$AK + A\Lambda = AB + A\Gamma + (B\Delta + \Delta\Gamma) = AB + A\Gamma + B\Gamma = 2\tau$

Αφού $AK = A\Lambda$ , προκύπτει $AK = A\Lambda = \tau$ . ✔

Η «στροφή»: η πλευρά $B\Gamma$ «σπάει» στο $\Delta$ σε δύο κομμάτια που μεταφέρονται στις προεκτάσεις — και η περίμετρος «ξεδιπλώνεται» σε δύο ίσα τμήματα από το $A$ .

Συνηθισμένα λάθη

Κορυφές ή πλευρές; Το περίκεντρο ισαπέχει από τις κορυφές, το έγκεντρο από τις πλευρές. Διόρθωση: «περι-» → κύκλος που περνά από τις κορυφές, «εγ-» → κύκλος μέσα που αγγίζει τις πλευρές.
Περίκεντρο πάντα μέσα. Μόνο στο οξυγώνιο· στο αμβλυγώνιο είναι έξω, στο ορθογώνιο στο μέσο της υποτείνουσας.
Σημείο επαφής στο μέσο της πλευράς. Ο εγγεγραμμένος κύκλος δεν αγγίζει τις πλευρές στα μέσα τους (εκτός αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο)· τα τμήματα βρίσκονται με το $\tau - \alpha$ .
Απόσταση μετρημένη πλάγια. Η απόσταση του έγκεντρου από μια πλευρά είναι το κάθετο τμήμα — αυτό είναι η ακτίνα $\rho$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μεσοκάθετοι → περίκεντρο $O$ , $OA = OB = O\Gamma = R$ : κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.
Θέση του $O$ : μέσα (οξυγώνιο), μέσο υποτείνουσας (ορθογώνιο), έξω (αμβλυγώνιο).
Διχοτόμοι → έγκεντρο $I$ , ίσες αποστάσεις $\rho$ από τις πλευρές· πάντα εσωτερικό.
Εφαπτόμενο τμήμα του εγγεγραμμένου από την κορυφή $A$ : $\tau - \alpha$ .
Τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι, ένας για κάθε πλευρά· τα εφαπτόμενα τμήματα από το $A$ προς τον απέναντι παρεγγεγραμμένο ισούνται με $\tau$ .

Περίκεντρο: το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου (§4.5)

Οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο $O$ , που ισαπέχει από τις τρεις κορυφές.

Γιατί συντρέχουν; Το σημείο τομής δύο μεσοκαθέτων ισαπέχει από τα

A, B

(πρώτη μεσοκάθετος) και από τα

B, \Gamma

(δεύτερη) — άρα ισαπέχει και από τα

A, \Gamma

, οπότε ανήκει αναγκαστικά και στην τρίτη μεσοκάθετο. Η κοινή απόσταση

R = OA = OB = O\Gamma

είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

(O, R)

, του κύκλου που περνά και από τις τρεις κορυφές.