🔷

Άθροισμα Γωνιών Κυρτού ν-γώνου

$(\nu-2)\cdot 180^\circ$, εξωτερικές γωνίες $360^\circ$, κανονικά πολύγωνα

Γιατί δεν βλέπεις ποτέ πλακάκια σε σχήμα κανονικού πενταγώνου;

Τα πλακάκια του μπάνιου είναι τετράγωνα, τα κελιά της κηρήθρας εξάγωνα — αλλά κανονικά πεντάγωνα που να καλύπτουν το πάτωμα χωρίς κενά δεν θα βρεις πουθενά. Η εξήγηση κρύβεται σε έναν τύπο αυτού του μαθήματος: το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου. Στο τέλος θα λύσεις το μυστήριο μόνος σου.

Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου (§4.8)

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι $180^\circ$ — δύο ορθές. Τι γίνεται με τετράπλευρα, πεντάγωνα, ν-γωνα;

Το κόλπο: από μία κορυφή κυρτού ν-γώνου φέρνουμε όλες τις διαγωνίους. Αυτές το χωρίζουν σε $\nu - 2$ τρίγωνα, και οι γωνίες όλων των τριγώνων μαζί συνθέτουν ακριβώς τις γωνίες του πολυγώνου.

Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι $2\nu - 4$ ορθές, δηλαδή $(\nu - 2) \cdot 180^\circ$ .

Και ένα εντυπωσιακά σταθερό πόρισμα:

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι $4$ ορθές, δηλαδή $360^\circ$ — ανεξάρτητα από το $\nu$ !

Γιατί; Κάθε ζεύγος εσωτερικής–εξωτερικής δίνει $180^\circ$ , σύνολο $\nu \cdot 180^\circ$ · αφαιρώντας τις εσωτερικές $(\nu-2) \cdot 180^\circ$ μένουν πάντα $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ . Σκέψου το κι αλλιώς: αν περπατήσεις γύρω από το πολύγωνο, σε κάθε κορυφή στρίβεις κατά την εξωτερική γωνία — και στο τέλος έχεις κάνει ακριβώς μία πλήρη στροφή.

$\Sigma_{\text{εσωτ}} = (\nu - 2) \cdot 180^\circ = 2\nu - 4 \ \text{ορθές} \qquad \Sigma_{\text{εξωτ}} = 360^\circ$

Κόλπο μνήμης

Κάνε βόλτα γύρω από ένα κυρτό πολύγωνο. Σε κάθε κορυφή στρίβεις κατά την εξωτερική γωνία. Όταν γυρίσεις στην αφετηρία, κοιτάς προς την ίδια κατεύθυνση όπως στην αρχή — έχεις κάνει ακριβώς μία πλήρη στροφή. Γι' αυτό οι εξωτερικές γωνίες αθροίζουν πάντα $360^\circ$ , είτε το πολύγωνο είναι τρίγωνο είτε εκατοντάγωνο.

Σύρε τις κορυφές και δες ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου μένει καρφωμένο στις $180^\circ$ — αυτό είναι το «δομικό τούβλο» των πολυγώνων: ένα ν-γωνο χωρίζεται από τις διαγωνίους μιας κορυφής σε $\nu-2$ τέτοια τρίγωνα, άρα κληρονομεί άθροισμα $(\nu-2)\cdot 180^\circ$.

Ήξερες ότι;

Ότι το εξαγωνικό πλέγμα της κηρήθρας χωρίζει το επίπεδο σε κελιά ίσου εμβαδού με τη μικρότερη δυνατή συνολική περίμετρο — δηλαδή με το λιγότερο κερί — το είχε ήδη σχολιάσει ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς τον 4ο αιώνα μ.Χ. Η αυστηρή απόδειξη, η λεγόμενη «εικασία της κηρήθρας», δόθηκε μόλις το 1999 από τον Αμερικανό μαθηματικό Thomas Hales.

Μέθοδος: προβλήματα με πολύγωνα

Άθροισμα γωνιών: $\Sigma = (\nu - 2) \cdot 180^\circ$ . Αν ξέρεις το άθροισμα, λύσε ως προς $\nu$ και έλεγξε ότι βγαίνει φυσικός αριθμός $\ge 3$ .
Γωνίες σε λόγο ή με παραμέτρους: γράψε τις γωνίες ως $2k, 3k, \dots$ ή $x, x + 20^\circ, \dots$ και εξίσωσε το άθροισμά τους με $\Sigma$ .
Κανονικό πολύγωνο: δούλεψε με την εξωτερική γωνία $\hat{\varphi}_{\text{εξ}} = 180^\circ - \hat{\varphi}$ και $\nu = \frac{360^\circ}{\hat{\varphi}_{\text{εξ}}}$ . Αν η διαίρεση δεν είναι ακέραια, τέτοιο πολύγωνο δεν υπάρχει.
Διχοτόμοι γωνιών πολυγώνου: εκφράζεις τις γωνίες του τριγώνου που σχηματίζουν μέσω των μισών γωνιών και χρησιμοποιείς το άθροισμα $\Sigma$ .

Άσκηση: α) Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών κυρτού εξαγώνου, και πόση είναι κάθε γωνία αν το εξάγωνο είναι κανονικό (όλες οι γωνίες ίσες); β) Σε ποιο κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι $1080^\circ$ ;

Λύση: α) Για $\nu = 6$ :

$\Sigma = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$

Σε κανονικό εξάγωνο κάθε γωνία είναι $\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$ — γι' αυτό οι κερήθρες των μελισσών «κουμπώνουν» τέλεια: $3 \times 120^\circ = 360^\circ$ γύρω από κάθε σημείο.

β) Λύνουμε ως προς $\nu$ :

$(\nu - 2) \cdot 180 = 1080 \Rightarrow \nu - 2 = 6 \Rightarrow \nu = 8$

Είναι το οκτάγωνο. Έλεγχος λογικής: το $1080$ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του $180$ — αν δεν είναι, έχεις κάνει λάθος πράξεις. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πενταγώνου;

Γρήγορος έλεγχος

Οι γωνίες ενός κυρτού τετραπλεύρου είναι ανάλογες των αριθμών $2, 3, 3, 4$ . Πόση είναι η μεγαλύτερη γωνία του;

Παράδειγμα (εσωτερικές και εξωτερικές): Σε κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι τετραπλάσιο από το άθροισμα των εξωτερικών. Πόσες πλευρές έχει;

Λύση: Το άθροισμα των εξωτερικών είναι πάντα $360^\circ$ , άρα

$(\nu - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 360^\circ = 1440^\circ \Rightarrow \nu - 2 = 8 \Rightarrow \nu = 10$

Είναι δεκάγωνο. Έλεγχος: $8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$ ✔. Αν είναι και κανονικό, κάθε εξωτερική γωνία είναι $\frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$ και κάθε εσωτερική $144^\circ$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε κανονικό πολύγωνο κάθε εσωτερική γωνία είναι $144^\circ$ . Πόσες πλευρές έχει;

Γρήγορος έλεγχος

Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με κάθε εσωτερική γωνία $130^\circ$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{B}$ τέμνονται στο σημείο $P$ .

α) Να αποδείξετε ότι $\hat{APB} = \frac{\hat{\Gamma} + \hat{\Delta}}{2}$ .

β) Αν $\hat{A} = 110^\circ$ , $\hat{B} = 70^\circ$ , $\hat{\Gamma} = 100^\circ$ και $\hat{\Delta} = 80^\circ$ , να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $APB$ .

Σχήμα: Η πλευρά $AB$ κάτω και οριζόντια, με το $A$ αριστερά και το $B$ δεξιά· οι κορυφές $\Gamma$ (πάνω δεξιά) και $\Delta$ (πάνω αριστερά) κλείνουν το τετράπλευρο. Από τα $A$ και $B$ ξεκινούν οι διχοτόμοι προς τα μέσα και συναντιούνται στο $P$ , σχηματίζοντας το τρίγωνο $APB$ πάνω στην πλευρά $AB$ .

Δεδομένα: $\hat{PAB} = \frac{\hat{A}}{2}$ , $\hat{PBA} = \frac{\hat{B}}{2}$ .

Ζητούμενο: $\hat{APB} = \frac{\hat{\Gamma} + \hat{\Delta}}{2}$ .

Απόδειξη: α) Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου $APB$ :

$\hat{APB} = 180^\circ - \frac{\hat{A}}{2} - \frac{\hat{B}}{2} = 180^\circ - \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}$

Στο τετράπλευρο $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} + \hat{\Delta} = 360^\circ$ , άρα $\hat{A} + \hat{B} = 360^\circ - (\hat{\Gamma} + \hat{\Delta})$ . Αντικαθιστούμε:

$\hat{APB} = 180^\circ - \frac{360^\circ - (\hat{\Gamma} + \hat{\Delta})}{2} = 180^\circ - 180^\circ + \frac{\hat{\Gamma} + \hat{\Delta}}{2} = \frac{\hat{\Gamma} + \hat{\Delta}}{2} \ ✔$

β) Έλεγχος αθροίσματος: $110^\circ + 70^\circ + 100^\circ + 80^\circ = 360^\circ$ ✔. Τότε:

$\hat{PAB} = 55^\circ, \qquad \hat{PBA} = 35^\circ, \qquad \hat{APB} = \frac{100^\circ + 80^\circ}{2} = 90^\circ$

Επαλήθευση: $55^\circ + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ . ✔ Εδώ οι διχοτόμοι είναι κάθετες, επειδή $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$ .

Απομνημόνευσε ΔΥΟ αριθμούς και παράγεις τα πάντα: τρίγωνο $180^\circ$ και εξωτερικές πάντα $360^\circ$ . Από το πρώτο βγαίνει το $(\nu-2)\cdot 180^\circ$ (μέτρα τα τρίγωνα από μία κορυφή), από το δεύτερο λύνονται όλα τα κανονικά πολύγωνα.

Πρόκληση

Το μυστήριο των πλακακιών. Με ποια κανονικά πολύγωνα, όλα ίδια μεταξύ τους, μπορείς να καλύψεις το επίπεδο χωρίς κενά και επικαλύψεις, ώστε σε κάθε κορυφή να συναντιούνται κορυφές πλακακιών;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Σε κάθε κορυφή του πλακόστρωτου συναντιούνται $k$ πλακάκια και οι γωνίες τους γεμίζουν ακριβώς $360^\circ$ . Η γωνία κανονικού $\nu$ -γώνου είναι $\frac{(\nu - 2) \cdot 180^\circ}{\nu}$ , άρα

$k \cdot \frac{(\nu - 2) \cdot 180^\circ}{\nu} = 360^\circ \iff k(\nu - 2) = 2\nu \iff k = \frac{2\nu}{\nu - 2} = 2 + \frac{4}{\nu - 2}$

Για να είναι το $k$ ακέραιος, το $\nu - 2$ πρέπει να διαιρεί το $4$ : $\nu - 2 \in \{1, 2, 4\}$ , δηλαδή:

$\nu = 3$ : $k = 6$ ισόπλευρα τρίγωνα ( $6 \cdot 60^\circ$ )
$\nu = 4$ : $k = 4$ τετράγωνα ( $4 \cdot 90^\circ$ )
$\nu = 6$ : $k = 3$ κανονικά εξάγωνα ( $3 \cdot 120^\circ$ )

Το κανονικό πεντάγωνο έχει γωνία $108^\circ$ και $\frac{360}{108} \approx 3{,}33$ — όχι ακέραιος, άρα αφήνει κενό. Μόνο τρία κανονικά πολύγωνα πλακοστρώνουν το επίπεδο — και οι μέλισσες διάλεξαν ένα από αυτά.

Συνηθισμένα λάθη

$\nu$ αντί για $\nu - 2$ . Το άθροισμα είναι $(\nu - 2) \cdot 180^\circ$ , όχι $\nu \cdot 180^\circ$ . Διόρθωση: έλεγξε τον τύπο στο τρίγωνο ( $\nu = 3 \Rightarrow 180^\circ$ ).
Εξωτερικές που «μεγαλώνουν». Το άθροισμα των εξωτερικών είναι $360^\circ$ για κάθε κυρτό πολύγωνο, ανεξάρτητα από το $\nu$ .
Διαίρεση με $\nu$ σε μη κανονικό. Το $\frac{\Sigma}{\nu}$ δίνει κάθε γωνία μόνο αν όλες οι γωνίες είναι ίσες.
Μη ακέραιο $\nu$ . Αν από μια εξίσωση βγει $\nu$ που δεν είναι φυσικός αριθμός, τέτοιο πολύγωνο δεν υπάρχει — μη στρογγυλοποιείς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου: $(\nu - 2) \cdot 180^\circ = 2\nu - 4$ ορθές.
Άθροισμα εξωτερικών γωνιών: πάντα $360^\circ$ .
Κανονικό ν-γωνο: εξωτερική $\frac{360^\circ}{\nu}$ , εσωτερική $180^\circ - \frac{360^\circ}{\nu}$ .
Διχοτόμοι $\hat{A}, \hat{B}$ τετραπλεύρου: $\hat{APB} = \frac{\hat{\Gamma} + \hat{\Delta}}{2}$ .

Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου (§4.8)

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι

180^\circ

— δύο ορθές. Τι γίνεται με τετράπλευρα, πεντάγωνα, ν-γωνα;

Το κόλπο: από μία κορυφή κυρτού ν-γώνου φέρνουμε όλες τις διαγωνίους. Αυτές το χωρίζουν σε

\nu - 2

τρίγωνα, και οι γωνίες όλων των τριγώνων μαζί συνθέτουν ακριβώς τις γωνίες του πολυγώνου.

Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι $2\nu - 4$ ορθές, δηλαδή $(\nu - 2) \cdot 180^\circ$ .

Και ένα εντυπωσιακά σταθερό πόρισμα:

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι $4$ ορθές, δηλαδή $360^\circ$ — ανεξάρτητα από το $\nu$ !

Γιατί; Κάθε ζεύγος εσωτερικής–εξωτερικής δίνει

180^\circ

, σύνολο

\nu \cdot 180^\circ

· αφαιρώντας τις εσωτερικές

(\nu-2) \cdot 180^\circ

μένουν πάντα

2 \cdot 180^\circ = 360^\circ

. Σκέψου το κι αλλιώς: αν περπατήσεις γύρω από το πολύγωνο, σε κάθε κορυφή στρίβεις κατά την εξωτερική γωνία — και στο τέλος έχεις κάνει ακριβώς μία πλήρη στροφή.