🔶

Ρόμβος & Τετράγωνο

Κάθετες διαγώνιοι που διχοτομούν τις γωνίες — και το τετράγωνο, ορθογώνιο και ρόμβος μαζί

Γιατί η πτυσσόμενη πόρτα ανοιγοκλείνει χωρίς να «γέρνει»;

Οι πτυσσόμενες σιδερένιες πόρτες των καταστημάτων και τα ψαλιδωτά κάγκελα είναι φτιαγμένα από ράβδους που σχηματίζουν ρόμβους. Όσο τα ανοίγεις, οι ρόμβοι πλαταίνουν ή στενεύουν, αλλά οι διαγώνιοί τους μένουν πάντα κάθετες — η μία οριζόντια, η άλλη κατακόρυφη — γι' αυτό η πόρτα κινείται ίσια. Κι όταν ένας ρόμβος αποκτήσει και ορθές γωνίες, γίνεται το πιο συμμετρικό τετράπλευρο απ' όλα: το τετράγωνο.

Ρόμβος (§5.4)

Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες — άρα, αφού οι απέναντι είναι ίσες, και τις τέσσερις πλευρές ίσες.

Ιδιότητες: όλες του παραλληλογράμμου και επιπλέον:

Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.

Κριτήρια: ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος αν:

έχει όλες τις πλευρές του ίσες
είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες
είναι παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους
είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του

Απόδειξη θεωρίας (οι διαγώνιοι του ρόμβου): Σε ρόμβο $AB\Gamma\Delta$ οι διαγώνιοι τέμνονται στο $O$ . Να αποδείξετε ότι $A\Gamma \perp B\Delta$ και ότι η $A\Gamma$ διχοτομεί τη γωνία $\hat{A}$ .

Σχήμα: Ο ρόμβος «όρθιος», με το $A$ πάνω, το $\Gamma$ κάτω, το $B$ δεξιά και το $\Delta$ αριστερά· οι διαγώνιοι τέμνονται στο κέντρο $O$ .

Δεδομένα: $AB = A\Delta$ , $OB = O\Delta$ (οι διαγώνιοι διχοτομούνται).

Ζητούμενο: $A\Gamma \perp B\Delta$ , $\hat{BAO} = \hat{\Delta AO}$ .

Απόδειξη: Τα τρίγωνα $ABO$ και $A\Delta O$ έχουν $AB = A\Delta$ , $OB = O\Delta$ και $AO$ κοινή· από το Π-Π-Π είναι ίσα. Άρα $\hat{BAO} = \hat{\Delta AO}$ — η $A\Gamma$ διχοτομεί την $\hat{A}$ — και $\hat{AOB} = \hat{AO\Delta}$ . Οι δύο τελευταίες είναι εφεξής και παραπληρωματικές, άρα ορθές: $A\Gamma \perp B\Delta$ . ✔ Ομοίως για τις άλλες κορυφές.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο επιπλέον στοιχείο αρκεί για να είναι ένα παραλληλόγραμμο ρόμβος;

Ήξερες ότι;

Το «πάτωμα» κάθε κελιού της κηρήθρας δεν είναι επίπεδο: κλείνει με τρεις ίσους ρόμβους που σχηματίζουν μια μικρή «πυραμίδα». Το 1712 ο αστρονόμος Giacomo Maraldi μέτρησε τις γωνίες αυτών των ρόμβων και βρήκε περίπου $109^\circ 28'$ και $70^\circ 32'$ — δύο παραπληρωματικές γωνίες, όπως πρέπει να έχουν οι διαδοχικές γωνίες κάθε ρόμβου.

Τετράγωνο (§5.5)

Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος μαζί. Κληρονομεί λοιπόν όλες τις ιδιότητες: όλες οι πλευρές ίσες, όλες οι γωνίες ορθές, διαγώνιοι ίσες και κάθετες, που διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες — άρα σχηματίζουν $45^\circ$ με τις πλευρές.

Κριτήρια: ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν:

είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες ή με κάθετες διαγωνίους
είναι ρόμβος με μία ορθή γωνία ή με ίσες διαγωνίους

Με άλλα λόγια: χρειάζεσαι ένα κριτήριο ορθογωνίου και ένα κριτήριο ρόμβου.

Η οικογένεια με μια ματιά

Ορθογώνιο: παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία (άρα όλες ορθές). Επιπλέον ιδιότητα: οι διαγώνιοι είναι ίσες.
Ρόμβος: παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (άρα όλες ίσες). Επιπλέον: οι διαγώνιοι είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.
Τετράγωνο: ορθογώνιο ΚΑΙ ρόμβος μαζί — κληρονομεί τα πάντα: διαγώνιοι ίσες, κάθετες, διχοτόμοι των γωνιών.

Αντίστοιχα κριτήρια: παραλληλόγραμμο με ίσες διαγωνίους είναι ορθογώνιο· με κάθετες διαγωνίους (ή διαγώνιο που διχοτομεί γωνία) είναι ρόμβος. Πρόσεξε την προϋπόθεση: πρώτα δείχνεις ότι είναι παραλληλόγραμμο, μετά «αναβαθμίζεις».

Γρήγορος έλεγχος

Ένα παραλληλόγραμμο έχει διαγωνίους ίσες και κάθετες. Τι είδους τετράπλευρο είναι;

Κόλπο μνήμης

Θυμήσου τις διαγωνίους με δύο εικόνες:

Ορθογώνιο → διαγώνιοι ίσες, σαν τα δύο ίσα χιαστί δοκάρια στην πόρτα μιας αποθήκης
Ρόμβος → διαγώνιοι κάθετες, σαν τα καλάμια ενός χαρταετού

Το τετράγωνο είναι και τα δύο μαζί: διαγώνιοι ίσες και κάθετες.

Μέθοδος: ρόμβος ή τετράγωνο;

Ρόμβος: δείξε ότι έχει τέσσερις ίσες πλευρές — ή πρώτα ότι είναι παραλληλόγραμμο και μετά ένα από: δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, κάθετες διαγώνιοι, διαγώνιος που διχοτομεί γωνία.
Τετράγωνο: δείξε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος — ένα κριτήριο από το καθένα.
Σε δοσμένο ρόμβο δούλεψε στα τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζουν οι διαγώνιοι (Πυθαγόρειο, γωνίες ίσες με τα μισά των γωνιών του ρόμβου).
Σε δοσμένο τετράγωνο γράψε αμέσως: διαγώνιος–πλευρά $45^\circ$ , $OA = OB = O\Gamma = O\Delta$ , διαγώνιοι κάθετες.

Παράδειγμα (πλευρά από τις διαγωνίους): Ρόμβος έχει διαγωνίους $6$ και $8$ . Να βρεθούν η πλευρά και η περίμετρός του.

Λύση: Οι διαγώνιοι διχοτομούνται και είναι κάθετες, άρα χωρίζουν τον ρόμβο σε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές $\frac{6}{2} = 3$ και $\frac{8}{2} = 4$ . Η πλευρά του ρόμβου είναι η υποτείνουσα:

$\alpha = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Περίμετρος: $4 \cdot 5 = 20$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ρόμβος έχει πλευρά $4$ και μία γωνία $60^\circ$ . Πόσο είναι η μικρή διαγώνιός του;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ και $M$ το μέσο της βάσης $B\Gamma$ . Από το $M$ φέρνουμε $M\Delta \parallel A\Gamma$ ( $\Delta$ πάνω στην $AB$ ) και $ME \parallel AB$ ( $E$ πάνω στην $A\Gamma$ ).

α) Να αποδείξετε ότι το $A\Delta ME$ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Να αποδείξετε ότι $A\Delta = \Delta M$ .

γ) Να αποδείξετε ότι το $A\Delta ME$ είναι ρόμβος και ότι, αν $\hat{A} = 90^\circ$ , είναι τετράγωνο.

Σχήμα: Η βάση $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ πάνω από το $M$ . Από το $M$ ξεκινούν δύο τμήματα παράλληλα στις πλευρές του τριγώνου, προς την αριστερή πλευρά ( $\Delta$ ) και προς τη δεξιά ( $E$ )· μαζί με την κορυφή $A$ σχηματίζουν έναν «όρθιο» ρόμβο με διαγώνιο την $AM$ .

Δεδομένα: $AB = A\Gamma$ , $BM = M\Gamma$ , $M\Delta \parallel A\Gamma$ , $ME \parallel AB$ .

Ζητούμενο: α) $A\Delta ME$ παραλληλόγραμμο, β) $A\Delta = \Delta M$ , γ) ρόμβος· τετράγωνο αν $\hat{A} = 90^\circ$ .

Απόδειξη: α) $A\Delta \parallel EM$ (η $A\Delta$ είναι πάνω στην $AB$ και $ME \parallel AB$ ) και $AE \parallel \Delta M$ (η $AE$ είναι πάνω στην $A\Gamma$ και $M\Delta \parallel A\Gamma$ ). Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. ✔

β) Στο ισοσκελές η διάμεσος $AM$ είναι και διχοτόμος: $\hat{\Delta AM} = \hat{MAE}$ . Οι παράλληλες $M\Delta$ και $A\Gamma$ τέμνονται από την $AM$ , άρα $\hat{\Delta MA} = \hat{MAE}$ (εντός εναλλάξ). Επομένως $\hat{\Delta MA} = \hat{\Delta AM}$ και το τρίγωνο $A\Delta M$ είναι ισοσκελές: $A\Delta = \Delta M$ . ✔

γ) Το παραλληλόγραμμο $A\Delta ME$ έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος. ✔ Αν επιπλέον $\hat{A} = 90^\circ$ , ο ρόμβος έχει μία ορθή γωνία, άρα είναι τετράγωνο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τετράπλευρο έχει κάθετες διαγωνίους. Είναι σίγουρα ρόμβος;

Παράδειγμα (τετράγωνο μέσα σε τετράγωνο): Σε τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ πλευράς $\alpha$ παίρνουμε σημεία $E, Z, H, \Theta$ πάνω στις πλευρές $AB, B\Gamma, \Gamma\Delta, \Delta A$ αντίστοιχα, ώστε $AE = BZ = \Gamma H = \Delta\Theta$ . Να αποδείξετε ότι το $EZH\Theta$ είναι τετράγωνο.

Σχήμα: Ένα «στραμμένο» τετράγωνο εγγεγραμμένο στο αρχικό, με μία κορυφή σε κάθε πλευρά· στις τέσσερις γωνίες του αρχικού μένουν τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα.

Απόδειξη: Είναι $AE = BZ = \Gamma H = \Delta\Theta$ , άρα και τα υπόλοιπα κομμάτια των πλευρών είναι ίσα: $EB = Z\Gamma = H\Delta = \Theta A$ . Τα τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα $AE\Theta$ , $BZE$ , $\Gamma HZ$ , $\Delta\Theta H$ έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία και ορθή την περιεχόμενη γωνία, άρα είναι ίσα (Π-Γ-Π). Επομένως $E\Theta = ZE = HZ = \Theta H$ : το $EZH\Theta$ έχει τέσσερις ίσες πλευρές, άρα είναι ρόμβος.

Για τη γωνία στο $E$ : από την ισότητα των τριγώνων $AE\Theta$ και $BZE$ είναι $\hat{BEZ} = \hat{A\Theta E}$ , και στο ορθογώνιο τρίγωνο $AE\Theta$ ισχύει $\hat{AE\Theta} + \hat{A\Theta E} = 90^\circ$ . Άρα $\hat{AE\Theta} + \hat{BEZ} = 90^\circ$ και

$\hat{\Theta EZ} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Ρόμβος με μία ορθή γωνία είναι τετράγωνο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ , πόση είναι η γωνία που σχηματίζει η διαγώνιος $A\Gamma$ με την πλευρά $AB$ ;

Πρόκληση

Η γωνία των $15^\circ$ . Στο εσωτερικό τετραγώνου $AB\Gamma\Delta$ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο $ABE$ με βάση την πλευρά $AB$ . Να βρείτε τη γωνία $\hat{E\Delta\Gamma}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$AE = AB$ (ισόπλευρο) και $AB = A\Delta$ (τετράγωνο), άρα $AE = A\Delta$ : το τρίγωνο $A\Delta E$ είναι ισοσκελές.
Η γωνία της κορυφής του είναι $\hat{\Delta AE} = \hat{\Delta AB} - \hat{EAB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ , οπότε οι γωνίες βάσης είναι $\hat{A\Delta E} = \hat{AE\Delta} = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ$ .
Τέλος $\hat{E\Delta\Gamma} = \hat{A\Delta\Gamma} - \hat{A\Delta E} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$ .

Μπόνους: με την ίδια λογική $\hat{E\Gamma\Delta} = 15^\circ$ , οπότε το τρίγωνο $E\Gamma\Delta$ είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής $\hat{\Delta E\Gamma} = 150^\circ$ .

Συνηθισμένα λάθη

«Αναβάθμιση» χωρίς πρώτα παραλληλόγραμμο. Ένα τετράπλευρο με κάθετες διαγωνίους δεν είναι κατ' ανάγκη ρόμβος (π.χ. ο «χαρταετός»). Διόρθωση: απόδειξε πρώτα ότι είναι παραλληλόγραμμο και μετά εφάρμοσε το κριτήριο.
Ίσες διαγώνιοι στον ρόμβο. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, όχι ίσες — ίσες γίνονται μόνο στο τετράγωνο.
Τετράγωνο με ένα μόνο κριτήριο. Χρειάζεσαι ιδιότητα ορθογωνίου και ιδιότητα ρόμβου· τέσσερις ίσες πλευρές μόνες τους δίνουν απλώς ρόμβο.
Γωνία $45^\circ$ σε κάθε ρόμβο. Ισχύει μόνο στο τετράγωνο· στον ρόμβο η διαγώνιος σχηματίζει με την πλευρά το μισό της γωνίας του.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ρόμβος: παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες — άρα με τέσσερις ίσες πλευρές.
Διαγώνιοι ρόμβου: κάθετες, διχοτομούν τις γωνίες του.
Κριτήρια ρόμβου: τέσσερις ίσες πλευρές· παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους ή με διαγώνιο που διχοτομεί γωνία.
Τετράγωνο: ορθογώνιο και ρόμβος — διαγώνιοι ίσες, κάθετες, σε γωνία $45^\circ$ με τις πλευρές.
Κάθετες ή ίσες διαγώνιοι χωρίς παραλληλόγραμμο δεν αρκούν.

Ρόμβος (§5.4)

Ιδιότητες: όλες του παραλληλογράμμου και επιπλέον:

Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.

Κριτήρια: ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος αν:

έχει όλες τις πλευρές του ίσες

είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες

είναι παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους

είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του

Τετράγωνο (§5.5)

45^\circ

με τις πλευρές.

Κριτήρια: ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν:

είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες ή με κάθετες διαγωνίους

είναι ρόμβος με μία ορθή γωνία ή με ίσες διαγωνίους

Με άλλα λόγια: χρειάζεσαι ένα κριτήριο ορθογωνίου και ένα κριτήριο ρόμβου.