🔺

Στοιχεία Τριγώνου & 1ο Κριτήριο (Π-Γ-Π)

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία, ίσα τρίγωνα, το κριτήριο Π-Γ-Π και το ισοσκελές τρίγωνο

Γιατί με νοιάζει;

Άνοιξε έναν διαβήτη και «κλείδωσε» το άνοιγμά του. Τα δύο σκέλη έχουν σταθερό μήκος και η γωνία τους δεν αλλάζει — άρα και η απόσταση ανάμεσα στις δύο μύτες είναι καρφωμένη. Όποιος πάρει τον ίδιο διαβήτη με το ίδιο άνοιγμα θα βρει ακριβώς την ίδια απόσταση. Αυτή είναι η ιδέα του 1ου κριτηρίου ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π): δύο πλευρές και η γωνία ανάμεσά τους καθορίζουν ολόκληρο το τρίγωνο. Εδώ γνωρίζεις τα στοιχεία του τριγώνου και το πρώτο — και πιο πολυχρησιμοποιημένο — εργαλείο απόδειξης της Γεωμετρίας.

Τα στοιχεία του τριγώνου (§3.1)

Σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ τα κύρια στοιχεία είναι οι τρεις πλευρές $\alpha = B\Gamma$ , $\beta = \Gamma A$ , $\gamma = AB$ και οι τρεις γωνίες $\hat{A}, \hat{B}, \hat{\Gamma}$ . Από κάθε κορυφή ξεκινούν και τα δευτερεύοντα στοιχεία:

Διάμεσος $\mu_\alpha$ : το τμήμα από την κορυφή $A$ στο μέσο $M$ της απέναντι πλευράς $B\Gamma$
Διχοτόμος $\delta_\alpha$ : το τμήμα της διχοτόμου της $\hat{A}$ από την κορυφή ως την απέναντι πλευρά — χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες
Ύψος $\upsilon_\alpha$ : το κάθετο τμήμα από την κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς

Ως προς τις πλευρές, ένα τρίγωνο είναι σκαληνό (όλες άνισες), ισοσκελές (δύο ίσες) ή ισόπλευρο (όλες ίσες). Ως προς τις γωνίες: οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Γρήγορος έλεγχος

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ το $M$ είναι το μέσο της $B\Gamma$ . Πώς λέγεται το τμήμα $AM$ ;

Ίσα τρίγωνα και το 1ο κριτήριο (§3.2)

Δύο τρίγωνα λέγονται ίσα όταν το ένα μπορεί να μετακινηθεί ώστε να ταυτιστεί με το άλλο. Τότε έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Τα στοιχεία που ταυτίζονται λέγονται ομόλογα — και απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται πάντα ομόλογες (ίσες) πλευρές.

Δεν χρειάζεται να ελέγξουμε και τα έξι στοιχεία. Το πρώτο κριτήριο λέει ότι αρκούν τρία:

1ο Κριτήριο (Π-Γ-Π): Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.

Περιεχόμενη γωνία δύο πλευρών είναι αυτή που σχηματίζουν οι ίδιες οι πλευρές — για τις $AB$ και $A\Gamma$ είναι η $\hat{A}$ . Το κριτήριο αποδεικνύεται με επίθεση: μεταφέρουμε το ένα τρίγωνο ώστε η γωνία του να πέσει πάνω στην ίση γωνία του άλλου· τότε οι ίσες πλευρές πέφτουν η μία πάνω στην άλλη, οι κορυφές ταυτίζονται και μαζί τους ολόκληρα τα τρίγωνα.

Στα επόμενα κεφάλαια προστίθενται το 2ο (Γ-Π-Γ) και το 3ο (Π-Π-Π) κριτήριο.

$\begin{cases} AB = A'B' \\ \hat{A} = \hat{A}' \\ A\Gamma = A'\Gamma' \end{cases} \Rightarrow AB\Gamma = A'B'\Gamma' \quad (\Pi\text{-}\Gamma\text{-}\Pi)$

Κόλπο μνήμης

Σκέψου το Π-Γ-Π σαν σάντουιτς: οι δύο πλευρές είναι οι φέτες ψωμί και η γωνία η γέμιση — πρέπει να βρίσκεται ανάμεσά τους. Αν η ίση γωνία «κάθεται» σε άλλη κορυφή, έξω από τις δύο ίσες πλευρές, δεν έχεις σάντουιτς και το κριτήριο δεν εφαρμόζεται.

Το ισοσκελές τρίγωνο — ο πρωταγωνιστής του κεφαλαίου

Σε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ (η $B\Gamma$ λέγεται βάση):

Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες: $\hat{B} = \hat{\Gamma}$
Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος προς τη βάση: $\delta_\alpha = \mu_\alpha = \upsilon_\alpha$
Η ευθεία αυτή είναι άξονας συμμετρίας του τριγώνου και μεσοκάθετος της βάσης

Το αντίστροφο (ίσες γωνίες βάσης $\Rightarrow$ ισοσκελές) θα το αποδείξεις με το 2ο κριτήριο. Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλα τα παραπάνω ισχύουν από κάθε κορυφή — και κάθε γωνία του είναι $60^\circ$ .

Απόδειξη θεωρίας (γωνίες βάσης ισοσκελούς): Σε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ να αποδείξετε ότι $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ και ότι η διχοτόμος $A\Delta$ της $\hat{A}$ είναι διάμεσος και ύψος.

Σχήμα: Η βάση $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ από πάνω. Η διχοτόμος της $\hat{A}$ κατεβαίνει και τέμνει τη βάση στο $\Delta$ , χωρίζοντας το τρίγωνο στα «μισά» $AB\Delta$ (αριστερά) και $A\Gamma\Delta$ (δεξιά).

Δεδομένα: $AB = A\Gamma$ , $\hat{BA\Delta} = \hat{\Delta A\Gamma}$ .

Ζητούμενο: $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ , $B\Delta = \Delta\Gamma$ , $A\Delta \perp B\Gamma$ .

Απόδειξη: Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $AB\Delta$ και $A\Gamma\Delta$ . Έχουν:

$AB = A\Gamma$ (υπόθεση)
$A\Delta$ κοινή πλευρά
$\hat{BA\Delta} = \hat{\Delta A\Gamma}$ ( $A\Delta$ διχοτόμος)

Η γωνία είναι περιεχόμενη στις ίσες πλευρές, άρα από το Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα. Επομένως:

$\hat{B} = \hat{\Gamma}$ (απέναντι από την κοινή πλευρά $A\Delta$ ) ✔
$B\Delta = \Delta\Gamma$ , δηλαδή η $A\Delta$ είναι διάμεσος ✔
$\hat{A\Delta B} = \hat{A\Delta\Gamma}$ · είναι εφεξής και παραπληρωματικές, άρα καθεμία είναι $90^\circ$ και η $A\Delta$ είναι ύψος ✔

Ήξερες ότι;

Το θεώρημα «οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες» είναι η Πρόταση 5 του 1ου βιβλίου των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Στα μεσαιωνικά πανεπιστήμια την έλεγαν pons asinorum — «η γέφυρα των γαϊδάρων». Ήταν η πρώτη πραγματικά δύσκολη απόδειξη του βιβλίου, και όποιος δεν τη «διάβαινε», δύσκολα προχωρούσε παρακάτω.

Γρήγορος έλεγχος

Σε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ είναι $\hat{A} = 40^\circ$ . Πόση είναι η γωνία $\hat{B}$ ;

Μέθοδος: απόδειξη ότι δύο τμήματα (ή γωνίες) είναι ίσα

Εντόπισε δύο τρίγωνα που έχουν τα ζητούμενα τμήματα ή γωνίες ως ομόλογα στοιχεία (συνήθως τα ζητούμενα είναι πλευρές τους).
Γράψε «Συγκρίνουμε τα τρίγωνα … και …. Έχουν:» και απαρίθμησε τρία ίσα στοιχεία, το καθένα με την αιτιολόγησή του: υπόθεση, κοινή πλευρά, κοινή γωνία, κατακορυφήν γωνίες, γωνίες βάσης ισοσκελούς.
Ονόμασε το κριτήριο — εδώ Π-Γ-Π — και έλεγξε ότι η ίση γωνία είναι η περιεχόμενη στις δύο ίσες πλευρές.
Συμπέρανε: «άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε και …». Ομόλογες πλευρές είναι αυτές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες — έτσι αποφεύγεις λάθος αντιστοίχιση.
Αν δεν βρίσκεις κατάλληλα τρίγωνα, ψάξε ενδιάμεσο ζεύγος: μια πρώτη ισότητα τριγώνων σου δίνει το στοιχείο που λείπει για τη δεύτερη.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ και σημεία $\Delta, E$ στις πλευρές $AB, A\Gamma$ αντίστοιχα, ώστε $A\Delta = AE$ .

α) Να αποδείξετε ότι $BE = \Gamma\Delta$ .

β) Να αποδείξετε ότι $\hat{ABE} = \hat{A\Gamma\Delta}$ .

Σχήμα: Η κορυφή $A$ πάνω, η βάση $B\Gamma$ κάτω. Το $\Delta$ βρίσκεται στην αριστερή πλευρά $AB$ και το $E$ στη δεξιά $A\Gamma$ , σε ίση απόσταση από το $A$ . Τα τμήματα $BE$ και $\Gamma\Delta$ διασταυρώνονται στο εσωτερικό του τριγώνου.

Δεδομένα: $AB = A\Gamma$ , $A\Delta = AE$ .

Ζητούμενο: α) $BE = \Gamma\Delta$ , β) $\hat{ABE} = \hat{A\Gamma\Delta}$ .

Απόδειξη: α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $ABE$ και $A\Gamma\Delta$ . Έχουν:

$AB = A\Gamma$ (υπόθεση — το τρίγωνο είναι ισοσκελές)
$\hat{A}$ κοινή γωνία
$AE = A\Delta$ (υπόθεση)

Η $\hat{A}$ είναι περιεχόμενη στις ίσες πλευρές, άρα από το 1ο Κριτήριο (Π-Γ-Π) τα τρίγωνα είναι ίσα και τα ομόλογα στοιχεία τους ίσα: $BE = \Gamma\Delta$ . ✔

β) Από την ίδια ισότητα, οι γωνίες $\hat{ABE}$ και $\hat{A\Gamma\Delta}$ είναι ομόλογες — βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές $AE$ και $A\Delta$ . Άρα $\hat{ABE} = \hat{A\Gamma\Delta}$ . ✔

Πρόσεξε τη δομή: εντοπίζουμε δύο τρίγωνα που «κρύβουν» τα ζητούμενα, μαζεύουμε τρία ίσα στοιχεία με αιτιολόγηση, ονομάζουμε το κριτήριο και συμπεραίνουμε για τα ομόλογα στοιχεία.

Παράδειγμα (κατακορυφήν γωνίες): Τα ευθύγραμμα τμήματα $AB$ και $\Gamma\Delta$ τέμνονται στο σημείο $O$ , που είναι μέσο και των δύο. Να αποδείξετε ότι $A\Gamma = B\Delta$ και $A\Delta = B\Gamma$ .

Σχήμα: Τα δύο τμήματα σχηματίζουν ένα «Χ» με κέντρο το $O$ · τα $A, B$ είναι τα άκρα του ενός, τα $\Gamma, \Delta$ τα άκρα του άλλου. Ενώνοντας τα άκρα σχηματίζονται δύο ζεύγη «αντικριστών» τριγώνων με κοινή κορυφή το $O$ .

Δεδομένα: $OA = OB$ , $O\Gamma = O\Delta$ .

Ζητούμενο: $A\Gamma = B\Delta$ και $A\Delta = B\Gamma$ .

Απόδειξη: Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $OA\Gamma$ και $OB\Delta$ . Έχουν:

$OA = OB$ (το $O$ μέσο του $AB$ )
$O\Gamma = O\Delta$ (το $O$ μέσο του $\Gamma\Delta$ )
$\hat{AO\Gamma} = \hat{BO\Delta}$ ως κατακορυφήν

Από το Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα $A\Gamma = B\Delta$ (απέναντι από τις ίσες γωνίες στο $O$ ). Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο τα τρίγωνα $OA\Delta$ και $OB\Gamma$ είναι ίσα, οπότε $A\Delta = B\Gamma$ . ✔

Η κατακορυφήν γωνία είναι το «δωρεάν» στοιχείο που δεν αναφέρει ποτέ η εκφώνηση — πρέπει να το βρεις εσύ στο σχήμα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο τρίγωνα έχουν $AB = A'B'$ , $A\Gamma = A'\Gamma'$ και $\hat{B} = \hat{B}'$ . Είναι απαραίτητα ίσα;

Σε κάθε άσκηση ισότητας τριγώνων, σημείωσε πάνω στο σχήμα με παύλες και τόξα τα ίσα στοιχεία πριν γράψεις οτιδήποτε. Ψάξε για «δωρεάν» στοιχεία που δεν αναφέρει η εκφώνηση: κοινές πλευρές, κατακορυφήν γωνίες, γωνίες βάσης ισοσκελούς. Και στο γραπτό σου ονόμασε ΠΑΝΤΑ το κριτήριο (Π-Γ-Π, Γ-Π-Γ, Π-Π-Π) — η αναφορά του πιάνει μονάδες.

Πρόκληση

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ κατασκευάζουμε προς τα έξω τα ισόπλευρα τρίγωνα $AB\Delta$ και $A\Gamma E$ . Να αποδείξετε ότι $\Delta\Gamma = BE$ — όσο «στραβό» κι αν είναι το αρχικό τρίγωνο.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Το κόλπο είναι να βρεις τα δύο τρίγωνα που «κρύβουν» τα τμήματα $\Delta\Gamma$ και $BE$ : είναι τα $\Delta A\Gamma$ και $BAE$ .

$A\Delta = AB$ (πλευρές του ισόπλευρου $AB\Delta$ )
$A\Gamma = AE$ (πλευρές του ισόπλευρου $A\Gamma E$ )
$\hat{\Delta A \Gamma} = \hat{\Delta A B} + \hat{B A \Gamma} = 60^\circ + \hat{A}$ και $\hat{B A E} = \hat{B A \Gamma} + \hat{\Gamma A E} = \hat{A} + 60^\circ$ , άρα οι περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες

Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα $\Delta A\Gamma$ και $BAE$ είναι ίσα, οπότε είναι ίσες και οι πλευρές απέναντι από τις ίσες γωνίες: $\Delta\Gamma = BE$ . ✔

Η «στροφή»: το ένα τρίγωνο προκύπτει από το άλλο αν το περιστρέψεις κατά $60^\circ$ γύρω από το $A$ — το $\Delta$ πάει στο $B$ και το $\Gamma$ στο $E$ .

Συνηθισμένα λάθη

«Π-Π-Γ» με μη περιεχόμενη γωνία. Δύο ίσες πλευρές και μια ίση γωνία που ΔΕΝ βρίσκεται ανάμεσά τους δεν αποδεικνύουν τίποτα. Διόρθωση: πριν γράψεις Π-Γ-Π, έλεγξε ότι η γωνία σχηματίζεται από τις δύο ίσες πλευρές.
Λάθος αντιστοίχιση ομόλογων στοιχείων. Από δύο ίσα τρίγωνα δεν είναι ίσες οι πλευρές που απλώς «μοιάζουν» στο σχήμα. Διόρθωση: ομόλογες πλευρές είναι όσες βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες — γράψε τα τρίγωνα με τις ομόλογες κορυφές στην ίδια σειρά.
«Γ-Γ-Γ» ως κριτήριο. Τρεις ίσες γωνίες δίνουν ίδιο σχήμα, όχι ίδιο μέγεθος. Διόρθωση: σε κάθε κριτήριο χρειάζεται τουλάχιστον μία ίση πλευρά.
Ισότητες χωρίς αιτιολόγηση. Το « $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ » χωρίς «γωνίες βάσης ισοσκελούς» χάνει μονάδες. Διόρθωση: δίπλα σε κάθε ίσο στοιχείο γράφε γιατί ισχύει.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κύρια στοιχεία: τρεις πλευρές και τρεις γωνίες· δευτερεύοντα: διάμεσος (ως το μέσο), διχοτόμος (μισή γωνία), ύψος (κάθετο).
Ίσα τρίγωνα ταυτίζονται· απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ομόλογες (ίσες) πλευρές.
Π-Γ-Π: δύο πλευρές ίσες μία προς μία και η περιεχόμενη γωνία ίση $\Rightarrow$ ίσα τρίγωνα.
Ισοσκελές ( $AB = A\Gamma$ ): $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ και η διχοτόμος της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.
«Δωρεάν» ίσα στοιχεία: κοινή πλευρά, κοινή γωνία, κατακορυφήν γωνίες.

Τα στοιχεία του τριγώνου (§3.1)

Σε ένα τρίγωνο

AB\Gamma

τα κύρια στοιχεία είναι οι τρεις πλευρές

\alpha = B\Gamma

\beta = \Gamma A

\gamma = AB

και οι τρεις γωνίες

\hat{A}, \hat{B}, \hat{\Gamma}

. Από κάθε κορυφή ξεκινούν και τα δευτερεύοντα στοιχεία:

Διάμεσος

\mu_\alpha

: το τμήμα από την κορυφή

A

στο μέσο

M

της απέναντι πλευράς

B\Gamma

Διχοτόμος

\delta_\alpha

: το τμήμα της διχοτόμου της

\hat{A}

από την κορυφή ως την απέναντι πλευρά — χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες

Ύψος

\upsilon_\alpha

: το κάθετο τμήμα από την κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς

Ίσα τρίγωνα και το 1ο κριτήριο (§3.2)

Δεν χρειάζεται να ελέγξουμε και τα έξι στοιχεία. Το πρώτο κριτήριο λέει ότι αρκούν τρία:

1ο Κριτήριο (Π-Γ-Π): Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.

Περιεχόμενη γωνία δύο πλευρών είναι αυτή που σχηματίζουν οι ίδιες οι πλευρές — για τις

AB

και

A\Gamma

είναι η

\hat{A}

. Το κριτήριο αποδεικνύεται με επίθεση: μεταφέρουμε το ένα τρίγωνο ώστε η γωνία του να πέσει πάνω στην ίση γωνία του άλλου· τότε οι ίσες πλευρές πέφτουν η μία πάνω στην άλλη, οι κορυφές ταυτίζονται και μαζί τους ολόκληρα τα τρίγωνα.

Στα επόμενα κεφάλαια προστίθενται το 2ο (Γ-Π-Γ) και το 3ο (Π-Π-Π) κριτήριο.