Ορθογώνιο

Απόδειξη θεωρίας (οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες): Σε ορθογώνιο $AB\Gamma\Delta$ να αποδείξετε ότι $A\Gamma = B\Delta$.

Σχήμα: Η $AB$ οριζόντια κάτω, οι $A\Delta$ και $B\Gamma$ κατακόρυφες. Οι διαγώνιοι $A\Gamma$ και $B\Delta$ σχηματίζουν ένα «Χ».

Δεδομένα: $\hat{A} = \hat{B} = 90^\circ$, $A\Delta = B\Gamma$ (απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου).

Ζητούμενο: $A\Gamma = B\Delta$.

Απόδειξη: Τα ορθογώνια τρίγωνα $AB\Gamma$ και $BA\Delta$ έχουν:

• $AB$ κοινή
• $B\Gamma = A\Delta$ (απέναντι πλευρές)
• $\hat{AB\Gamma} = \hat{BA\Delta} = 90^\circ$ (περιεχόμενες γωνίες)

Από το Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα $A\Gamma = B\Delta$. ✔

Απόδειξη θεωρίας (κριτήριο: ίσες διαγώνιοι): Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ είναι $A\Gamma = B\Delta$. Να αποδείξετε ότι είναι ορθογώνιο.

Σχήμα: Παραλληλόγραμμο με την $AB$ κάτω· φέρνουμε τις δύο διαγωνίους και κοιτάμε τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $BA\Delta$ που «πατάνε» στην κοινή πλευρά $AB$.

Δεδομένα: $AB\Gamma\Delta$ παραλληλόγραμμο, $A\Gamma = B\Delta$.

Ζητούμενο: $\hat{A} = 90^\circ$.

Απόδειξη: Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $BA\Delta$ έχουν $AB$ κοινή, $B\Gamma = A\Delta$ (απέναντι πλευρές) και $A\Gamma = B\Delta$ (υπόθεση). Από το Π-Π-Π είναι ίσα, άρα $\hat{AB\Gamma} = \hat{BA\Delta}$. Όμως οι $\hat{A}$ και $\hat{B}$ είναι διαδοχικές γωνίες παραλληλογράμμου, άρα παραπληρωματικές: $2\hat{A} = 180^\circ$, δηλαδή $\hat{A} = 90^\circ$. Το παραλληλόγραμμο έχει μία ορθή γωνία, άρα είναι ορθογώνιο. ✔

Παράδειγμα (η γωνία των διαγωνίων): Σε ορθογώνιο $AB\Gamma\Delta$ οι διαγώνιοι τέμνονται στο $O$ και σχηματίζουν γωνία $\hat{AOB} = 60^\circ$. Αν $A\Gamma = 10$, να βρεθούν η πλευρά $AB$ και οι γωνίες $\hat{OAB}$ και $\hat{OA\Delta}$.

Λύση: Οι διαγώνιοι είναι ίσες και διχοτομούνται, άρα $OA = OB = \frac{10}{2} = 5$. Το τρίγωνο $OAB$ είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής $60^\circ$, οπότε οι γωνίες βάσης είναι $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$: είναι ισόπλευρο. Επομένως $AB = 5$ και $\hat{OAB} = 60^\circ$.

Τέλος $\hat{OA\Delta} = 90^\circ - \hat{OAB} = 30^\circ$, αφού η $\hat{A}$ είναι ορθή.

Έλεγχος: στο τρίγωνο $OA\Delta$ είναι $OA = O\Delta = 5$, άρα ισοσκελές με $\hat{O\Delta A} = \hat{OA\Delta} = 30^\circ$ και $\hat{AO\Delta} = 120^\circ$ — παραπληρωματική της $\hat{AOB} = 60^\circ$ ✔.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ και $AM$ το ύψος του προς τη βάση. Από το $A$ φέρνουμε ευθεία $\varepsilon \parallel B\Gamma$ και από το $\Gamma$ την κάθετη στη $B\Gamma$, που τέμνει την $\varepsilon$ στο $\Delta$.

α) Να αποδείξετε ότι το $AM\Gamma\Delta$ είναι ορθογώνιο.

β) Να αποδείξετε ότι $M\Delta = AB$.

γ) Αν $\hat{B} = 50^\circ$, να βρείτε τη γωνία $\hat{AM\Delta}$.

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ πάνω από το μέσο $M$. Η $\varepsilon$ περνά οριζόντια από το $A$· η κατακόρυφη από το $\Gamma$ τη συναντά στο $\Delta$, πάνω από το $\Gamma$. Σχηματίζεται το «κουτί» $AM\Gamma\Delta$ με διαγωνίους $A\Gamma$ και $M\Delta$.

Δεδομένα: $AB = A\Gamma$, $AM \perp B\Gamma$, $A\Delta \parallel B\Gamma$, $\Gamma\Delta \perp B\Gamma$.

Ζητούμενο: α) $AM\Gamma\Delta$ ορθογώνιο, β) $M\Delta = AB$, γ) η $\hat{AM\Delta}$.

Απόδειξη: α) $A\Delta \parallel M\Gamma$ (η $\varepsilon$ είναι παράλληλη στη $B\Gamma$) και $AM \parallel \Delta\Gamma$ (κάθετες στην ίδια ευθεία $B\Gamma$). Το $AM\Gamma\Delta$ έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο, και αφού $\hat{AM\Gamma} = 90^\circ$ είναι ορθογώνιο. ✔

β) Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες: $M\Delta = A\Gamma = AB$. ✔

γ) Στο ισοσκελές $\hat{\Gamma} = \hat{B} = 50^\circ$, και στο ορθογώνιο τρίγωνο $AM\Gamma$ είναι $\hat{MA\Gamma} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. Αν $O$ το κέντρο του ορθογωνίου, το τρίγωνο $OAM$ είναι ισοσκελές ($OA = OM$), άρα $\hat{AMO} = \hat{OAM} = 40^\circ$, δηλαδή $\hat{AM\Delta} = 40^\circ$.