📐

Μια Ιδιότητα του Ορθογωνίου Τριγώνου

Η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της· η γωνία των $30^\circ$

Πού πάει το μέσο μιας σκάλας που γλιστράει;

Μια σκάλα ακουμπά σε κατακόρυφο τοίχο και αρχίζει να γλιστράει: η κορυφή της κατεβαίνει στον τοίχο, η βάση της απομακρύνεται στο πάτωμα. Το μέσο της σκάλας όμως κάνει κάτι απρόσμενο: μένει πάντα στην ίδια απόσταση από τη γωνία τοίχου–δαπέδου — ακριβώς το μισό του μήκους της — και διαγράφει ένα τόξο κύκλου. Ο λόγος είναι η ιδιότητα αυτού του κεφαλαίου: σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Η διάμεσος προς την υποτείνουσα (§5.9)

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας: αν $\hat{A} = 90^\circ$ και $M$ το μέσο της $B\Gamma$ , τότε $AM = \frac{B\Gamma}{2}$ .

Δηλαδή $MA = MB = M\Gamma$ : το μέσο της υποτείνουσας ισαπέχει από τις τρεις κορυφές — είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ισχύει και το αντίστροφο: αν σε τρίγωνο μια διάμεσος ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε η απέναντι γωνία είναι ορθή.

Πόρισμα (η γωνία των $30^\circ$ ): Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια οξεία γωνία είναι $30^\circ$ , η απέναντί της κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας — και αντίστροφα, αν μια κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας, η απέναντί της γωνία είναι $30^\circ$ .

$\hat{A} = 90^\circ \iff AM = \frac{B\Gamma}{2} \qquad \text{και, αν } \hat{A} = 90^\circ\text{:} \quad \hat{B} = 30^\circ \iff A\Gamma = \frac{B\Gamma}{2}$

Απόδειξη θεωρίας (διάμεσος προς την υποτείνουσα): Σε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A} = 90^\circ$ ) η $AM$ είναι διάμεσος. Να αποδείξετε ότι $AM = \frac{B\Gamma}{2}$ .

Σχήμα: Η υποτείνουσα $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ της ορθής από πάνω. Προεκτείνουμε τη διάμεσο $AM$ πέρα από το $M$ κατά $M\Delta = AM$ και ενώνουμε το $\Delta$ με τα $B$ και $\Gamma$ .

Δεδομένα: $\hat{A} = 90^\circ$ , $BM = M\Gamma$ , $M\Delta = AM$ .

Ζητούμενο: $AM = \frac{B\Gamma}{2}$ .

Απόδειξη: Στο τετράπλευρο $AB\Delta\Gamma$ οι διαγώνιοι $A\Delta$ και $B\Gamma$ έχουν κοινό μέσο το $M$ , άρα διχοτομούνται και το $AB\Delta\Gamma$ είναι παραλληλόγραμμο. Έχει μία ορθή γωνία ( $\hat{A}$ ), άρα είναι ορθογώνιο, οπότε οι διαγώνιοί του είναι ίσες: $A\Delta = B\Gamma$ . Επομένως

$AM = \frac{A\Delta}{2} = \frac{B\Gamma}{2} \ ✔$

Απόδειξη θεωρίας (η γωνία των $30^\circ$ ): Σε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\hat{A} = 90^\circ$ και $\hat{B} = 30^\circ$ να αποδείξετε ότι $A\Gamma = \frac{B\Gamma}{2}$ .

Σχήμα: Όπως πριν, με το μέσο $M$ της υποτείνουσας και τη διάμεσο $AM$ , που χωρίζει το τρίγωνο στα $ABM$ και $AM\Gamma$ .

Δεδομένα: $\hat{A} = 90^\circ$ , $\hat{B} = 30^\circ$ , $M$ μέσο της $B\Gamma$ .

Ζητούμενο: $A\Gamma = \frac{B\Gamma}{2}$ .

Απόδειξη: Είναι $\hat{\Gamma} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ και $AM = M\Gamma = \frac{B\Gamma}{2}$ (προηγούμενο θεώρημα). Το τρίγωνο $AM\Gamma$ είναι ισοσκελές με γωνία βάσης $\hat{\Gamma} = 60^\circ$ , άρα και $\hat{MA\Gamma} = 60^\circ$ και η τρίτη γωνία του είναι $60^\circ$ : είναι ισόπλευρο. Επομένως $A\Gamma = M\Gamma = \frac{B\Gamma}{2}$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος προς την υποτείνουσα έχει μήκος $6{,}5$ . Πόση είναι η υποτείνουσα;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου το μέσο της υποτείνουσας σαν «κέντρο της παρέας»: απέχει ακριβώς το ίδιο και από τις τρεις κορυφές — $MA = MB = M\Gamma$ . Και για τις $30^\circ$ : «τριάντα → μισό» — η πλευρά που «κοιτάζει» τις $30^\circ$ είναι η μισή υποτείνουσα.

Ήξερες ότι;

Οι ξυλουργοί βρίσκουν το κέντρο ενός στρογγυλού κομματιού ξύλου με έναν απλό γνώμονα: ακουμπούν την κορυφή της ορθής γωνίας πάνω στον κύκλο και σημαδεύουν τα δύο σημεία όπου οι πλευρές του γνώμονα τον κόβουν — το τμήμα που τα ενώνει είναι διάμετρος. Επαναλαμβάνοντας σε άλλη θέση, οι δύο διάμετροι τέμνονται στο κέντρο. Δουλεύει ακριβώς επειδή το μέσο της υποτείνουσας ισαπέχει από τις τρεις κορυφές.

Μέθοδος: ασκήσεις με ορθογώνιο τρίγωνο

Ορθή γωνία + μέσο υποτείνουσας → γράψε αμέσως $MA = MB = M\Gamma = \frac{B\Gamma}{2}$ και δούλεψε με τα ισοσκελή τρίγωνα $MAB$ και $MA\Gamma$ .
Γωνία $30^\circ$ σε ορθογώνιο → η απέναντι κάθετη $= \frac{\text{υποτείνουσα}}{2}$ (και η άλλη οξεία είναι $60^\circ$ ).
Για να αποδείξεις ορθή γωνία, δείξε ότι μια διάμεσος ισούται με το μισό της πλευράς της (αντίστροφο).
Πολλά ύψη σε ένα σχήμα → πολλά ορθογώνια τρίγωνα με κοινή υποτείνουσα: το μέσο της ισαπέχει από όλες τις κορυφές τους.

Παράδειγμα: Ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $\hat{A} = 90^\circ$ , $\hat{\Gamma} = 30^\circ$ και υποτείνουσα $B\Gamma = 14$ . Αν $M$ το μέσο της $B\Gamma$ , να βρεθούν τα $AB$ , $AM$ και η γωνία $\hat{BAM}$ .

Λύση: Απέναντι από τη $\hat{\Gamma} = 30^\circ$ βρίσκεται η $AB$ , άρα $AB = \frac{14}{2} = 7$ . Η διάμεσος προς την υποτείνουσα είναι $AM = \frac{14}{2} = 7$ .

Το τρίγωνο $ABM$ έχει $AB = AM = BM = 7$ — είναι ισόπλευρο, οπότε $\hat{BAM} = 60^\circ$ .

Έλεγχος: $\hat{B} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ , όπως πρέπει σε ισόπλευρο ✔, και $\hat{MA\Gamma} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ = \hat{\Gamma}$ , άρα και το $AM\Gamma$ είναι ισοσκελές ( $MA = M\Gamma$ ) ✔.

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η διάμεσος $AM$ είναι ίση με $\frac{B\Gamma}{2}$ . Τι συμπεραίνουμε;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $\hat{A} = 90^\circ$ , $\hat{B} = 30^\circ$ και υποτείνουσα $B\Gamma = 10$ . Έστω $M$ το μέσο της $B\Gamma$ και $A\Delta$ το ύψος προς την υποτείνουσα.

α) Να βρείτε το μήκος της $A\Gamma$ .

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $AM\Gamma$ είναι ισόπλευρο.

γ) Να βρείτε τα μήκη $\Gamma\Delta$ και $B\Delta$ .

Σχήμα: Η υποτείνουσα $B\Gamma$ οριζόντια, το $B$ αριστερά και το $\Gamma$ δεξιά, η κορυφή $A$ της ορθής από πάνω, πιο κοντά στο $\Gamma$ (γιατί $\hat{\Gamma} = 60^\circ > \hat{B}$ ). Το $M$ είναι στη μέση της $B\Gamma$ και το ίχνος $\Delta$ του ύψους ανάμεσα στο $M$ και το $\Gamma$ .

Λύση: α) Η $A\Gamma$ είναι η κάθετη πλευρά απέναντι από τη γωνία $\hat{B} = 30^\circ$ , άρα ισούται με το μισό της υποτείνουσας:

$A\Gamma = \frac{B\Gamma}{2} = 5$

β) Η $AM$ είναι διάμεσος προς την υποτείνουσα, άρα $AM = \frac{B\Gamma}{2} = 5$ . Επίσης $M\Gamma = 5$ ( $M$ μέσο) και $A\Gamma = 5$ (ερώτημα α). Το τρίγωνο $AM\Gamma$ έχει τρεις ίσες πλευρές, άρα είναι ισόπλευρο. ✔ (Εναλλακτικά: είναι ισοσκελές με $\hat{\Gamma} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ .)

γ) Στο ισόπλευρο τρίγωνο $AM\Gamma$ το ύψος $A\Delta$ είναι και διάμεσος, άρα το $\Delta$ είναι μέσο της $M\Gamma$ :

$\Gamma\Delta = \frac{M\Gamma}{2} = 2{,}5 \qquad B\Delta = B\Gamma - \Gamma\Delta = 10 - 2{,}5 = 7{,}5$

Επαλήθευση: στο ορθογώνιο τρίγωνο $A\Delta\Gamma$ είναι $\hat{\Gamma A \Delta} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ , οπότε η απέναντι κάθετη $\Gamma\Delta$ ισούται με το μισό της υποτείνουσας $A\Gamma$ : $\frac{5}{2} = 2{,}5$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα $12$ η μία οξεία γωνία είναι $30^\circ$ . Πόση είναι η κάθετη πλευρά απέναντι από αυτήν;

Πρόκληση

Τα ίχνη των υψών. Σε οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ φέρνουμε τα ύψη $B\Delta$ και $\Gamma E$ , και $M$ είναι το μέσο της $B\Gamma$ . α) Να αποδείξετε ότι $M\Delta = ME$ . β) Να αποδείξετε ότι $\hat{\Delta ME} = 180^\circ - 2\hat{A}$ και να βρείτε για ποια $\hat{A}$ το τρίγωνο $M\Delta E$ είναι ισόπλευρο.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Τα τρίγωνα $B\Delta\Gamma$ και $BE\Gamma$ είναι ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα $B\Gamma$ , και οι διάμεσοί τους προς αυτήν ισούνται με το μισό της: $M\Delta = \frac{B\Gamma}{2} = ME$ . ✔

β) Αφού $ME = MB$ , το τρίγωνο $MBE$ είναι ισοσκελές με $\hat{MEB} = \hat{B}$ , άρα $\hat{BME} = 180^\circ - 2\hat{B}$ . Ομοίως $M\Delta = M\Gamma$ δίνει $\hat{\Gamma M\Delta} = 180^\circ - 2\hat{\Gamma}$ . Οι τρεις γωνίες στο $M$ γεμίζουν την ευθεία γωνία $\hat{BM\Gamma}$ :

$\hat{\Delta ME} = 180^\circ - (180^\circ - 2\hat{B}) - (180^\circ - 2\hat{\Gamma}) = 2(\hat{B} + \hat{\Gamma}) - 180^\circ = 180^\circ - 2\hat{A}$

Το $M\Delta E$ είναι ισοσκελές ( $M\Delta = ME$ ) και γίνεται ισόπλευρο όταν η γωνία της κορυφής του είναι $60^\circ$ : $180^\circ - 2\hat{A} = 60^\circ$ , δηλαδή $\hat{A} = 60^\circ$ . ✔

Συνηθισμένα λάθη

Το «μισό της υποτείνουσας» παντού. Το $AM = \frac{B\Gamma}{2}$ ισχύει μόνο για τη διάμεσο προς την υποτείνουσα, και η πλευρά $= \frac{\text{υποτείνουσα}}{2}$ μόνο απέναντι από $30^\circ$ .
Λάθος κάθετη στις $30^\circ$ . Μισή υποτείνουσα είναι η κάθετη απέναντι από τις $30^\circ$ , όχι αυτή που «ακουμπά» τη γωνία.
Ξεχασμένο αντίστροφο. Για να αποδείξεις ορθή γωνία, το αντίστροφο είναι συχνά ο πιο σύντομος δρόμος.
Ορθή γωνία που δεν δόθηκε. Η ιδιότητα θέλει ορθογώνιο τρίγωνο· σε τυχαίο τρίγωνο η διάμεσος δεν είναι το μισό της πλευράς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σε ορθογώνιο τρίγωνο: $AM = \frac{B\Gamma}{2}$ , δηλαδή $MA = MB = M\Gamma$ — το μέσο της υποτείνουσας είναι το περίκεντρο.
Αντίστροφο: διάμεσος $=$ μισό της πλευράς της $\Rightarrow$ η απέναντι γωνία είναι ορθή.
Γωνία $30^\circ$ σε ορθογώνιο $\iff$ απέναντι κάθετη $= \frac{\text{υποτείνουσα}}{2}$ .
Απόδειξη: διπλασιασμός της διαμέσου → ορθογώνιο με ίσες διαγωνίους.
Πολλά ύψη → ορθογώνια τρίγωνα με κοινή υποτείνουσα και ίσες διαμέσους.

Η διάμεσος προς την υποτείνουσα (§5.9)

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας: αν $\hat{A} = 90^\circ$ και $M$ το μέσο της $B\Gamma$ , τότε $AM = \frac{B\Gamma}{2}$ .

Δηλαδή

MA = MB = M\Gamma

: το μέσο της υποτείνουσας ισαπέχει από τις τρεις κορυφές — είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Πόρισμα (η γωνία των $30^\circ$ ): Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια οξεία γωνία είναι

30^\circ

, η απέναντί της κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας — και αντίστροφα, αν μια κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας, η απέναντί της γωνία είναι

30^\circ