🔺

3ο Κριτήριο Ισότητας (Π-Π-Π)

Τρεις πλευρές «κλειδώνουν» το τρίγωνο — και τα τρία κριτήρια μαζί

Γιατί οι γερανοί είναι γεμάτοι τρίγωνα;

Φτιάξε ένα τετράγωνο από τέσσερα καλαμάκια ενωμένα με πινέζες: με ένα σπρώξιμο «πλαγιάζει» σε ρόμβο. Φτιάξε ένα τρίγωνο από τρία καλαμάκια: δεν κουνιέται. Ο λόγος είναι ένα κριτήριο αυτού του μαθήματος, το Π-Π-Π: τρεις πλευρές καθορίζουν πλήρως το τρίγωνο, άρα το σχήμα του δεν αλλάζει. Γι' αυτό οι μηχανικοί γεμίζουν τρίγωνα τους γερανούς, τις στέγες και τις γέφυρες.

Το 3ο κριτήριο (§3.4)

3ο Κριτήριο (Π-Π-Π): Αν δύο τρίγωνα έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

Εδώ δεν χρειάζεται καμία γωνία: τα μήκη μόνα τους αρκούν. Η απόδειξη (παρακάτω) «κολλάει» τα δύο τρίγωνα πάνω σε μια κοινή πλευρά και χρησιμοποιεί δύο ισοσκελή τρίγωνα.

Πόρισμα: Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. Μαζί με το ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα (με το Π-Γ-Π), περιγράφει τη μεσοκάθετο ως γεωμετρικό τόπο — θα τη μελετήσεις αναλυτικά στην §3.7.

Παραμόρφωσε το τρίγωνο και παρατήρησε ότι οι γωνίες αλλάζουν μαζί με τις πλευρές — θα δεις γιατί τρία κατάλληλα στοιχεία «κλειδώνουν» ολόκληρο το σχήμα και κάνουν δύο τρίγωνα ίσα.

Απόδειξη θεωρίας (κριτήριο Π-Π-Π): Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ έχουν $AB = A'B'$ , $B\Gamma = B'\Gamma'$ και $\Gamma A = \Gamma'A'$ . Να αποδείξετε ότι είναι ίσα.

Σχήμα: Μεταφέρουμε το $A'B'\Gamma'$ ώστε η $B'\Gamma'$ να πέσει πάνω στην ίση της $B\Gamma$ , με το $A'$ στο άλλο ημιεπίπεδο της $B\Gamma$ από το $A$ . Ενώνουμε το $A$ με το $A'$ · ας πούμε ότι το τμήμα $AA'$ τέμνει τη $B\Gamma$ σε εσωτερικό της σημείο.

Δεδομένα: μετά τη μεταφορά, $AB = A'B$ και $A\Gamma = A'\Gamma$ .

Ζητούμενο: $\hat{BA\Gamma} = \hat{BA'\Gamma}$ , ώστε να εφαρμοστεί το Π-Γ-Π.

Απόδειξη:

Το τρίγωνο $ABA'$ είναι ισοσκελές ( $AB = A'B$ ), άρα $\hat{BAA'} = \hat{BA'A}$ .
Το τρίγωνο $A\Gamma A'$ είναι ισοσκελές ( $A\Gamma = A'\Gamma$ ), άρα $\hat{\Gamma AA'} = \hat{\Gamma A'A}$ .
Προσθέτοντας κατά μέλη: $\hat{BA\Gamma} = \hat{BA'\Gamma}$ .

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B\Gamma$ έχουν λοιπόν $AB = A'B$ , $A\Gamma = A'\Gamma$ και ίσες τις περιεχόμενες γωνίες, άρα είναι ίσα από το Π-Γ-Π. ✔ (Όταν η $AA'$ περνά από κορυφή ή έξω από τη $B\Gamma$ , η απόδειξη προσαρμόζεται με αφαίρεση αντί για πρόσθεση.)

Γρήγορος έλεγχος

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ έχουν $AB = \Delta E$ , $B\Gamma = EZ$ και $\Gamma A = Z\Delta$ . Ποια γωνία του $\Delta EZ$ είναι ίση με την $\hat{\Gamma}$ ;

Τα τρία κριτήρια μαζί

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Ευτυχώς δεν χρειάζεται να ελέγξουμε και τα έξι στοιχεία — αρκούν τρία κατάλληλα:

1ο Κριτήριο (Π-Γ-Π): δύο πλευρές ίσες μία προς μία και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες
2ο Κριτήριο (Γ-Π-Γ): μία πλευρά ίση και οι προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία
3ο Κριτήριο (Π-Π-Π): και οι τρεις πλευρές ίσες μία προς μία

Για ορθογώνια τρίγωνα, αφού οι ορθές γωνίες είναι ήδη ίσες, αρκούν δύο στοιχεία: δύο ομόλογες πλευρές ίσες, ή μία πλευρά και η ομόλογη οξεία γωνία.

⚠️ Δεν υπάρχει κριτήριο «Γ-Γ-Γ» (τρίγωνα με ίσες γωνίες μπορεί να έχουν διαφορετικό μέγεθος!) ούτε γενικό «Π-Π-Γ» όταν η γωνία δεν είναι περιεχόμενη.

$\Pi\text{-}\Gamma\text{-}\Pi: \begin{cases} AB = A'B' \\ \hat{A} = \hat{A}' \\ A\Gamma = A'\Gamma' \end{cases} \quad \Gamma\text{-}\Pi\text{-}\Gamma: \begin{cases} \hat{B} = \hat{B}' \\ B\Gamma = B'\Gamma' \\ \hat{\Gamma} = \hat{\Gamma}' \end{cases} \quad \Pi\text{-}\Pi\text{-}\Pi: \begin{cases} AB = A'B' \\ B\Gamma = B'\Gamma' \\ \Gamma A = \Gamma'A' \end{cases}$

Ήξερες ότι;

Στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη τα τρία κριτήρια είναι οι Προτάσεις 4 (Π-Γ-Π), 8 (Π-Π-Π) και 26 (Γ-Π-Γ) του 1ου βιβλίου. Την Πρόταση 4 ο Ευκλείδης την αποδεικνύει «τοποθετώντας» το ένα τρίγωνο πάνω στο άλλο — μέθοδο που οι μεταγενέστεροι θεώρησαν όχι αρκετά αυστηρή. Γι' αυτό ο David Hilbert, στα «Θεμέλια της Γεωμετρίας» (1899), έβαλε μια μορφή του Π-Γ-Π ανάμεσα στα αξιώματα, αντί να την αποδεικνύει.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος από τους παρακάτω συνδυασμούς ίσων στοιχείων δεν εξασφαλίζει ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα;

Μέθοδος: ποιο κριτήριο να διαλέξω

Μέτρα τις ίσες πλευρές που έχεις: από την υπόθεση, κοινές, από προηγούμενη ισότητα τριγώνων.
Τρεις πλευρές → Π-Π-Π, χωρίς να ψάξεις γωνίες.
Δύο πλευρές και μία γωνία → Π-Γ-Π, μόνο αν η γωνία είναι περιεχόμενη.
Μία πλευρά και δύο γωνίες → Γ-Π-Γ, μόνο αν οι γωνίες είναι προσκείμενες στην πλευρά.
Μετά την ισότητα «διάβασε» τα ζητούμενα: απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Το Π-Π-Π είναι ο κλασικός τρόπος να αποδείξεις ισότητα γωνιών όταν ξέρεις μόνο μήκη.

Παράδειγμα (δύο ισοσκελή με κοινή βάση): Τα ισοσκελή τρίγωνα $AB\Gamma$ ( $AB = A\Gamma$ ) και $\Delta B\Gamma$ ( $\Delta B = \Delta\Gamma$ ) έχουν κοινή βάση $B\Gamma$ , και το $\Delta$ βρίσκεται στο εσωτερικό του $AB\Gamma$ . Να αποδείξετε ότι η $A\Delta$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{BA\Gamma}$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια· πάνω της ένα ψηλό ισοσκελές με κορυφή $A$ και, μέσα του, ένα χαμηλότερο με κορυφή $\Delta$ . Φέρνουμε το τμήμα $A\Delta$ .

Απόδειξη: Τα τρίγωνα $AB\Delta$ και $A\Gamma\Delta$ έχουν:

$AB = A\Gamma$ (υπόθεση)
$\Delta B = \Delta\Gamma$ (υπόθεση)
$A\Delta$ κοινή

Από το Π-Π-Π είναι ίσα, άρα $\hat{BA\Delta} = \hat{\Gamma A\Delta}$ (απέναντι από τις ίσες πλευρές $\Delta B$ και $\Delta\Gamma$ ): η $A\Delta$ είναι διχοτόμος της $\hat{A}$ . ✔

Καμία γωνία δεν δόθηκε — το Π-Π-Π τη «βρήκε» μόνο με μήκη.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Στο κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ είναι $AB = A\Delta$ και $\Gamma B = \Gamma\Delta$ (σχήμα «χαρταετού»).

α) Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος $A\Gamma$ διχοτομεί τις γωνίες $\hat{A}$ και $\hat{\Gamma}$ .

β) Να αποδείξετε ότι $\hat{B} = \hat{\Delta}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $A\Gamma$ είναι μεσοκάθετος της διαγωνίου $B\Delta$ .

Σχήμα: Η διαγώνιος $A\Gamma$ κατακόρυφη, με το $A$ πάνω και το $\Gamma$ κάτω· το $B$ αριστερά και το $\Delta$ δεξιά, συμμετρικά. Η οριζόντια διαγώνιος $B\Delta$ τέμνει την $A\Gamma$ .

Δεδομένα: $AB = A\Delta$ , $\Gamma B = \Gamma\Delta$ .

Ζητούμενο: α) $\hat{BA\Gamma} = \hat{\Gamma A\Delta}$ και $\hat{B\Gamma A} = \hat{A\Gamma\Delta}$ , β) $\hat{B} = \hat{\Delta}$ , γ) η $A\Gamma$ μεσοκάθετος της $B\Delta$ .

Απόδειξη: α) Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A\Delta\Gamma$ έχουν $AB = A\Delta$ , $\Gamma B = \Gamma\Delta$ (υπόθεση) και $A\Gamma$ κοινή. Από το Π-Π-Π είναι ίσα, οπότε $\hat{BA\Gamma} = \hat{\Delta A\Gamma}$ (απέναντι από τις ίσες $\Gamma B, \Gamma\Delta$ ) και $\hat{B\Gamma A} = \hat{\Delta\Gamma A}$ (απέναντι από τις ίσες $AB, A\Delta$ ). ✔

β) Από την ίδια ισότητα, $\hat{B} = \hat{\Delta}$ (απέναντι από την κοινή $A\Gamma$ ). ✔

γ) Το $A$ ισαπέχει από τα $B, \Delta$ και το $\Gamma$ επίσης. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του (πόρισμα του Π-Π-Π), άρα τα $A, \Gamma$ ανήκουν στη μεσοκάθετο της $B\Delta$ · δύο διαφορετικά σημεία την ορίζουν, οπότε η $A\Gamma$ είναι η μεσοκάθετος της $B\Delta$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $AB\Delta$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $AB$ και έχουν $A\Gamma = A\Delta$ και $B\Gamma = B\Delta$ . Τι συμπεραίνουμε;

Πρόκληση

Ίσες πλευρές και ίση διάμεσος. Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ έχουν $AB = A'B'$ , $A\Gamma = A'\Gamma'$ και ίσες τις διαμέσους $AM = A'M'$ (προς τις $B\Gamma$ και $B'\Gamma'$ ). Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Δεν έχουμε ούτε τρίτη πλευρά ούτε γωνία. Διπλασιάζουμε τις διαμέσους: $M\Delta = AM$ και $M'\Delta' = A'M'$ .

Τα τρίγωνα $AM\Gamma$ και $\Delta MB$ είναι ίσα (Π-Γ-Π: $AM = M\Delta$ , $M\Gamma = MB$ , κατακορυφήν γωνίες στο $M$ ). Άρα $B\Delta = A\Gamma$ και $\hat{B\Delta A} = \hat{\Delta A\Gamma}$ . Ομοίως $B'\Delta' = A'\Gamma'$ και $\hat{B'\Delta'A'} = \hat{\Delta'A'\Gamma'}$ .
Τα τρίγωνα $AB\Delta$ και $A'B'\Delta'$ έχουν $AB = A'B'$ , $B\Delta = A\Gamma = A'\Gamma' = B'\Delta'$ και $A\Delta = 2AM = 2A'M' = A'\Delta'$ . Από το Π-Π-Π είναι ίσα, άρα $\hat{BA\Delta} = \hat{B'A'\Delta'}$ και $\hat{B\Delta A} = \hat{B'\Delta'A'}$ .
Τότε $\hat{BA\Gamma} = \hat{BA\Delta} + \hat{\Delta A\Gamma} = \hat{BA\Delta} + \hat{B\Delta A}$ , και το ίδιο στο δεύτερο τρίγωνο, οπότε $\hat{A} = \hat{A}'$ .
Τα αρχικά τρίγωνα έχουν $AB = A'B'$ , $A\Gamma = A'\Gamma'$ και $\hat{A} = \hat{A}'$ : είναι ίσα από το Π-Γ-Π. ✔

Συνηθισμένα λάθη

Αναζήτηση γωνίας στο Π-Π-Π. Με τρεις ίσες πλευρές τελείωσες — μην προσθέτεις γωνίες που δεν χρειάζονται.
Ξεχασμένη κοινή πλευρά. Η κοινή πλευρά δύο τριγώνων μετράει ως ίσο στοιχείο· γράψε ρητά « $A\Gamma$ κοινή».
Λάθος ομόλογες γωνίες. Μετά το Π-Π-Π, ίσες είναι οι γωνίες απέναντι από ίσες πλευρές. Διόρθωση: για κάθε γωνία που θέλεις, βρες ποια πλευρά «κοιτάζει».
Μεσοκάθετος από ένα μόνο σημείο. Ένα σημείο που ισαπέχει από τα άκρα δεν ορίζει ευθεία. Διόρθωση: βρες δύο τέτοια σημεία.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κριτήρια ισότητας: Π-Γ-Π (περιεχόμενη γωνία), Γ-Π-Γ (προσκείμενες γωνίες), Π-Π-Π· δεν υπάρχουν «Γ-Γ-Γ» και γενικό «Π-Π-Γ».
Σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες (ομόλογες) πλευρές.
Ισοσκελές ( $AB = A\Gamma$ ) $\iff$ $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ · η διχοτόμος της κορυφής είναι και διάμεσος και ύψος.
Πόρισμα του Π-Π-Π: σημείο με $MA = MB$ ανήκει στη μεσοκάθετο του $AB$ .
«Δωρεάν» ίσα στοιχεία: κοινές πλευρές, κοινές γωνίες, κατακορυφήν γωνίες, γωνίες βάσης ισοσκελούς.

Το 3ο κριτήριο (§3.4)

3ο Κριτήριο (Π-Π-Π): Αν δύο τρίγωνα έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.