🎯

Εγγεγραμμένα Σχήματα

Εγγεγραμμένες & επίκεντρες γωνίες, εγγράψιμα τετράπλευρα

Εκτός ύλης 2026

Από πού «χωράει» το κτίριο ακριβώς στο κάδρο;

Ένας φωτογράφος έχει φακό που «βλέπει» γωνία $60^\circ$ και θέλει η πρόσοψη ενός κτιρίου να γεμίζει ακριβώς το κάδρο. Πού μπορεί να σταθεί; Σε οποιοδήποτε σημείο ενός συγκεκριμένου τόξου κύκλου που περνά από τις δύο άκρες της πρόσοψης — γιατί όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες. Αυτή η ιδέα είναι η καρδιά του μαθήματος.

Εγγεγραμμένη και επίκεντρη γωνία

Σε κύκλο $(O, \rho)$ ξεχωρίζουμε δύο «βασιλικές» γωνίες:

Επίκεντρη λέγεται μια γωνία με κορυφή το κέντρο $O$ — η επίκεντρη $\hat{B O \Gamma}$ βαίνει στο τόξο $B\Gamma$ που περιέχεται στο εσωτερικό της, και το μέτρο της ισούται με το μέτρο του τόξου αυτού
Εγγεγραμμένη λέγεται μια γωνία με κορυφή πάνω στον κύκλο, της οποίας οι πλευρές είναι χορδές — η $\hat{B A \Gamma}$ βαίνει στο τόξο $B\Gamma$ που «αγκαλιάζει»

Το θεμελιώδες θεώρημα του κεφαλαίου:

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο — δηλαδή με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει.

Σύρε την κορυφή της εγγεγραμμένης γωνίας κατά μήκος του κύκλου — θα ανακαλύψεις ότι η γωνία μένει αμετάβλητη όσο βαίνει στο ίδιο τόξο, και είναι πάντα ακριβώς η μισή της επίκεντρης.

$\hat{B A \Gamma} = \frac{\hat{B O \Gamma}}{2} = \frac{\overset{\frown}{B\Gamma}}{2} \qquad \text{και} \qquad \hat{B A \Gamma} \text{ σε ημικύκλιο} \implies \hat{B A \Gamma} = 90^\circ$

Γρήγορος έλεγχος

Η $B\Gamma$ είναι διάμετρος κύκλου και το $A$ σημείο του κύκλου, με $\hat{B} = 35^\circ$ . Πόση είναι η γωνία $\hat{\Gamma}$ του τριγώνου $AB\Gamma$ ;

Κόλπο μνήμης

Η επίκεντρη γωνία κάθεται στο κέντρο και «βλέπει» το τόξο ολόκληρο. Η εγγεγραμμένη κάθεται πάνω στον κύκλο και το βλέπει «μισό». Κέντρο → ίση με το τόξο, κύκλος → μισή του τόξου.

Τα πορίσματα που λύνουν ασκήσεις

Από το θεμελιώδες θεώρημα προκύπτουν αμέσως:

Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα είναι ίσες
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή — αν το $B\Gamma$ είναι διάμετρος, τότε $\hat{B A \Gamma} = 90^\circ$ για κάθε σημείο $A$ του κύκλου
Γωνία χορδής και εφαπτομένης: η γωνία που σχηματίζει μια χορδή $AB$ με την εφαπτομένη στο άκρο της $A$ ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο $AB$ που περιέχεται σε αυτήν — δηλαδή με το μισό του τόξου

Το τόξο λειτουργεί σαν «κοινό νόμισμα»: κάθε γωνία με κορυφή στον κύκλο μεταφράζεται σε μισό τόξο, και έτσι συγκρίνουμε γωνίες που μοιάζουν άσχετες μεταξύ τους.

Ήξερες ότι;

Το ότι η εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο είναι ορθή λέγεται συχνά θεώρημα του Θαλή. Ο Διογένης Λαέρτιος γράφει, επικαλούμενος την Παμφίλη, ότι ο Θαλής ήταν ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο και ότι θυσίασε ένα βόδι για να γιορτάσει την ανακάλυψη (άλλοι, σημειώνει, το απέδιδαν στον Πυθαγόρα). Αν έγινε πραγματικά, δεν το ξέρουμε — είναι όμως ίσως ο αρχαιότερος «πανηγυρισμός» για ένα θεώρημα.

Γρήγορος έλεγχος

Η χορδή $AB$ και η εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ σχηματίζουν γωνία που περιέχει το τόξο $\overset{\frown}{AB} = 110^\circ$ . Πόση είναι η γωνία αυτή;

Εγγεγραμμένο και εγγράψιμο τετράπλευρο

Εγγεγραμμένο σε κύκλο λέγεται ένα τετράπλευρο με και τις τέσσερις κορυφές πάνω στον κύκλο. Οι ιδιότητές του:

Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές: $\hat{A} + \hat{\Gamma} = \hat{B} + \hat{\Delta} = 180^\circ$
Κάθε εξωτερική γωνία του ισούται με την απέναντι εσωτερική
Κάθε πλευρά φαίνεται από τις δύο απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο)

Εγγράψιμο λέγεται ένα τετράπλευρο που μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Κριτήρια: ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν ισχύει οποιοδήποτε από τα παρακάτω:

Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές
Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική
Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες

Δηλαδή οι ιδιότητες του εγγεγραμμένου αντιστρέφονται — και αυτό είναι το ισχυρότερο εργαλείο για να «κατασκευάζεις» κύκλους μέσα σε ασκήσεις.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι πάντα εγγράψιμο σε κύκλο;

Μετακίνησε τις κορυφές του τετραπλεύρου και παρακολούθησε το άθροισμα των απέναντι γωνιών — θα ανακαλύψεις ότι γίνεται ακριβώς $180^\circ$ μόνο τη στιγμή που και οι τέσσερις κορυφές κάθονται στον ίδιο κύκλο.

Μέθοδος: ασκήσεις με εγγεγραμμένες γωνίες

Μετάφρασε κάθε γωνία σε τόξο: εγγεγραμμένη $=$ μισό τόξο, επίκεντρη $=$ τόξο, γωνία χορδής–εφαπτομένης $=$ μισό τόξο.
Ψάξε διαμέτρους: κάθε εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
Για να δείξεις ότι τέσσερα σημεία είναι ομοκυκλικά, δοκίμασε με τη σειρά: δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές → εξωτερική ίση με την απέναντι εσωτερική → μία πλευρά φαίνεται από τις δύο άλλες κορυφές υπό ίσες γωνίες.
Αφού αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, εκμεταλλεύσου τις ιδιότητές του για νέες ισότητες γωνιών.

Άσκηση: Τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, με $\hat{A} = 70^\circ$ και $\hat{B} = 85^\circ$ . α) Να βρεθούν οι $\hat{\Gamma}$ και $\hat{\Delta}$ . β) Πόση είναι η εξωτερική γωνία στην κορυφή $\Gamma$ ;

Λύση: α) Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές:

$\hat{\Gamma} = 180^\circ - \hat{A} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

$\hat{\Delta} = 180^\circ - \hat{B} = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$

Επαλήθευση: $70^\circ + 85^\circ + 110^\circ + 95^\circ = 360^\circ$ . ✔

β) Η εξωτερική γωνία στην $\Gamma$ είναι παραπληρωματική της $\hat{\Gamma}$ :

$\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ = \hat{A}$

Ακριβώς όπως λέει η θεωρία: η εξωτερική γωνία εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την απέναντι εσωτερική.

Άσκηση (τα ύψη και ο κύκλος): Σε οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ φέρνουμε τα ύψη $B\Delta$ (με $\Delta$ στην $A\Gamma$ ) και $\Gamma E$ (με $E$ στην $AB$ ).

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $B\Gamma\Delta E$ είναι εγγράψιμο.

β) Να αποδείξετε ότι $\hat{A\Delta E} = \hat{B}$ και, αν $\hat{B} = 70^\circ$ , να βρείτε τη $\hat{A\Delta E}$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια βάση, το $A$ από πάνω. Το $E$ βρίσκεται πάνω στην αριστερή πλευρά $AB$ και το $\Delta$ πάνω στη δεξιά $A\Gamma$ . Το τετράπλευρο $B\Gamma\Delta E$ έχει τη $B\Gamma$ ως «βάση» και το $E\Delta$ ως «οροφή».

Δεδομένα: $B\Delta \perp A\Gamma$ , $\Gamma E \perp AB$ .

Ζητούμενο: α) $B\Gamma\Delta E$ εγγράψιμο, β) $\hat{A\Delta E} = \hat{B}$ .

Απόδειξη: α) Είναι $\hat{BE\Gamma} = 90^\circ$ και $\hat{B\Delta\Gamma} = 90^\circ$ . Η πλευρά $B\Gamma$ φαίνεται λοιπόν από τις κορυφές $E$ και $\Delta$ υπό ίσες γωνίες, άρα το $B\Gamma\Delta E$ είναι εγγράψιμο. ✔ (Ο κύκλος του έχει διάμετρο τη $B\Gamma$ , αφού και οι δύο ορθές βαίνουν σε αυτήν.)

β) Το $A$ βρίσκεται στην προέκταση της $\Gamma\Delta$ πέρα από το $\Delta$ , άρα η $\hat{A\Delta E}$ είναι η εξωτερική γωνία του εγγράψιμου τετραπλεύρου στην κορυφή $\Delta$ . Αυτή ισούται με την απέναντι εσωτερική, δηλαδή τη γωνία στο $B$ :

$\hat{A\Delta E} = \hat{EB\Gamma} = \hat{B} = 70^\circ \ ✔$

Με τον ίδιο τρόπο $\hat{AE\Delta} = \hat{\Gamma}$ : το τρίγωνο $A\Delta E$ έχει τις ίδιες γωνίες με το $AB\Gamma$ , αλλά «ανεστραμμένες».

Γρήγορος έλεγχος

Εγγεγραμμένη γωνία $\hat{B A \Gamma}$ βαίνει σε τόξο $\overset{\frown}{B\Gamma} = 100^\circ$ . Πόσο είναι το μέτρο της;

Σε ασκήσεις με κύκλους, μετάφραζε κάθε γωνία σε τόξο: σημείωσε δίπλα σε κάθε εγγεγραμμένη το διπλάσιο τόξο της και τα ίσα τόξα αποκαλύπτουν τις ίσες γωνίες. Μόλις δεις διάμετρο, ψάξε την ορθή εγγεγραμμένη που βαίνει στο ημικύκλιο. Και όταν η εκφώνηση ζητά «να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά» ή «το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο», τα κριτήρια είναι μόνο τρία — δοκίμασε πρώτα τα παραπληρωματικά ζευγάρια και μετά τις ίσες γωνίες προς την ίδια πλευρά.

Πρόκληση

Χορδές που τέμνονται. Δύο χορδές $AB$ και $\Gamma\Delta$ ενός κύκλου τέμνονται σε εσωτερικό σημείο $P$ . Να αποδείξετε ότι η γωνία $\hat{A P \Gamma}$ ισούται με το ημιάθροισμα των τόξων $\overset{\frown}{A\Gamma}$ και $\overset{\frown}{B\Delta}$ που «πιάνουν» η γωνία και η κατακορυφήν της. Εφαρμογή: αν $\overset{\frown}{A\Gamma} = 100^\circ$ και $\overset{\frown}{B\Delta} = 60^\circ$ , πόση είναι η $\hat{A P \Gamma}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Φέρνουμε τη χορδή $B\Gamma$ . Στο τρίγωνο $PB\Gamma$ η $\hat{A P \Gamma}$ είναι εξωτερική γωνία (η $PA$ είναι προέκταση της $BP$ ), άρα

$\hat{A P \Gamma} = \hat{P B \Gamma} + \hat{P \Gamma B} = \hat{A B \Gamma} + \hat{\Delta \Gamma B}$

Η $\hat{A B \Gamma}$ είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο $\overset{\frown}{A\Gamma}$ , ενώ η $\hat{\Delta \Gamma B}$ βαίνει στο $\overset{\frown}{B\Delta}$ . Άρα

$\hat{A P \Gamma} = \frac{\overset{\frown}{A\Gamma}}{2} + \frac{\overset{\frown}{B\Delta}}{2} = \frac{\overset{\frown}{A\Gamma} + \overset{\frown}{B\Delta}}{2}$

Εφαρμογή: $\hat{A P \Gamma} = \frac{100^\circ + 60^\circ}{2} = 80^\circ$ .

Η «στροφή»: μία βοηθητική χορδή μετατρέπει μια γωνία «στο πουθενά» — ούτε στο κέντρο ούτε πάνω στον κύκλο — σε άθροισμα δύο εγγεγραμμένων.

Συνηθισμένα λάθη

Εγγεγραμμένη ίση με το τόξο. Ίση με το τόξο είναι η επίκεντρη· η εγγεγραμμένη είναι το μισό.
Λάθος τόξο. Κάθε χορδή ορίζει δύο τόξα. Διόρθωση: η γωνία βαίνει στο τόξο που βρίσκεται στο εσωτερικό της — σημείωσέ το στο σχήμα.
Ίσες αντί για παραπληρωματικές. Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, όχι ίσες όπως στο παραλληλόγραμμο.
Ιδιότητα αντί για κριτήριο. Δεν γράφεις «απέναντι γωνίες παραπληρωματικές» πριν αποδείξεις ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Διόρθωση: πρώτα κριτήριο, μετά ιδιότητες.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Επίκεντρη γωνία $=$ τόξο της· εγγεγραμμένη $=$ μισό του τόξου στο οποίο βαίνει.
Εγγεγραμμένες στο ίδιο (ή σε ίσα) τόξα είναι ίσες· σε ημικύκλιο είναι ορθές.
Γωνία χορδής–εφαπτομένης $=$ εγγεγραμμένη στο τόξο που περιέχει.
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο: $\hat{A} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ , εξωτερική $=$ απέναντι εσωτερική.
Κριτήρια εγγράψιμου: απέναντι γωνίες παραπληρωματικές ή πλευρά που φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Εγγεγραμμένη και επίκεντρη γωνία

Σε κύκλο

(O, \rho)

ξεχωρίζουμε δύο «βασιλικές» γωνίες:

Επίκεντρη λέγεται μια γωνία με κορυφή το κέντρο

O

— η επίκεντρη

\hat{B O \Gamma}

βαίνει στο τόξο

B\Gamma

που περιέχεται στο εσωτερικό της, και το μέτρο της ισούται με το μέτρο του τόξου αυτού

Εγγεγραμμένη λέγεται μια γωνία με κορυφή πάνω στον κύκλο, της οποίας οι πλευρές είναι χορδές — η

\hat{B A \Gamma}

βαίνει στο τόξο

B\Gamma

που «αγκαλιάζει»

Το θεμελιώδες θεώρημα του κεφαλαίου:

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο — δηλαδή με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει.