🛤️

Παράλληλες Ευθείες — Ευκλείδειο Αίτημα

Τέμνουσα, εντός εναλλάξ, κριτήριο παραλληλίας και αίτημα παραλληλίας

Πώς μέτρησε ο Ερατοσθένης τη Γη με μια σκιά;

Γύρω στο 240 π.Χ. ο Ερατοσθένης ήξερε ότι στη Συήνη, ένα καλοκαιρινό μεσημέρι, ο ήλιος δεν έριχνε σκιές, ενώ την ίδια ώρα στην Αλεξάνδρεια ένας κατακόρυφος στύλος έριχνε σκιά με γωνία περίπου $\frac{1}{50}$ του κύκλου ( $7{,}2^\circ$ ). Οι ακτίνες του ήλιου είναι (πρακτικά) παράλληλες, άρα οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες: και η γωνία στο κέντρο της Γης ανάμεσα στις δύο πόλεις ήταν $7{,}2^\circ$ . Η περιφέρεια της Γης ήταν λοιπόν $50$ φορές η απόσταση των δύο πόλεων — ίσως η πιο διάσημη εφαρμογή των παραλλήλων στην ιστορία.

Δύο ευθείες και μία τέμνουσα (§4.1–4.2)

Όταν δύο ευθείες $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ τέμνονται από μια τρίτη ευθεία $\varepsilon$ (την τέμνουσα), σχηματίζονται οκτώ γωνίες με «ονοματεπώνυμο»:

Εντός λέγονται οι τέσσερις γωνίες ανάμεσα στις $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ , εκτός οι άλλες τέσσερις
Εναλλάξ λέγονται δύο γωνίες που βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα της τέμνουσας, επί τα αυτά μέρη όσες βρίσκονται στο ίδιο

Οι πιο διάσημες είναι οι εντός εναλλάξ: το ζευγάρι σχηματίζει ένα «Ζ» πάνω στο σχήμα. Το θεμελιώδες κριτήριο παραλληλίας λέει:

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Στρίψε την τέμνουσα και παρατήρησε τα ζευγάρια των γωνιών — θα δεις ότι οι εντός εναλλάξ γίνονται ίσες ακριβώς τη στιγμή που οι δύο ευθείες γίνονται παράλληλες.

Απόδειξη θεωρίας (κριτήριο παραλληλίας): Δύο ευθείες $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ τέμνονται από τρίτη ευθεία $\varepsilon$ στα $A$ και $B$ και σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Να αποδείξετε ότι $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ .

Σχήμα: Η τέμνουσα $\varepsilon$ λοξή, η $\varepsilon_1$ περνά από το $A$ και η $\varepsilon_2$ από το $B$ . Οι ίσες εντός εναλλάξ γωνίες $\hat{\omega}$ (στο $A$ ) και $\hat{\varphi}$ (στο $B$ ) σχηματίζουν ένα «Ζ».

Δεδομένα: $\hat{\omega} = \hat{\varphi}$ (εντός εναλλάξ).

Ζητούμενο: $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ .

Απόδειξη (με απαγωγή σε άτοπο): Έστω ότι οι $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ τέμνονται σε ένα σημείο $\Gamma$ . Τότε σχηματίζεται το τρίγωνο $AB\Gamma$ , και μία από τις δύο ίσες γωνίες είναι εξωτερική γωνία του, ενώ η άλλη είναι απέναντι εσωτερική. Από το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας η εξωτερική θα έπρεπε να είναι μεγαλύτερη — άτοπο, αφού είναι ίσες. Άρα οι ευθείες δεν τέμνονται: $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ . ✔

Πόρισμα: δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες (οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ορθές, άρα ίσες).

Το αξίωμα της παραλληλίας — το πιο διάσημο αξίωμα στην ιστορία

Αίτημα παραλληλίας (Ευκλείδης): Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία και μόνο μία παράλληλη προς αυτήν.

Πάνω σε αυτή τη «μοναδικότητα» στηρίζεται όλη η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Άμεση συνέπειά της είναι το αντίστροφο του κριτηρίου:

Αν $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ και τέμνονται από τρίτη ευθεία, τότε οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες.

Έτσι έχουμε πλήρη ισοδυναμία — και επιπλέον: οι εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες, ενώ οι εντός και επί τα αυτά μέρη είναι παραπληρωματικές. Χρήσιμες είναι και οι προτάσεις: δύο ευθείες παράλληλες προς τρίτη είναι παράλληλες μεταξύ τους· αν μια ευθεία τέμνει τη μία από δύο παράλληλες, τέμνει και την άλλη.

$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \iff \underbrace{\hat{\omega} = \hat{\varphi}}_{\text{εντός εναλλάξ}} \iff \underbrace{\hat{\omega} = \hat{\psi}}_{\text{εντός–εκτός επί τα αυτά}} \iff \underbrace{\hat{\omega} + \hat{\theta} = 180^\circ}_{\text{εντός και επί τα αυτά}}$

Κόλπο μνήμης

Ψάξε γράμματα στο σχήμα:

«Ζ» → εντός εναλλάξ → ίσες
«F» → εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη → ίσες
«Π» → εντός και επί τα αυτά μέρη → παραπληρωματικές

Το «Ζ» και το «F» δίνουν ισότητα, το «Π» δίνει άθροισμα $180^\circ$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη και δύο εντός εναλλάξ γωνίες είναι $3x + 10^\circ$ και $5x - 30^\circ$ . Πόσο είναι το $x$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες $70^\circ$ και $110^\circ$ . Τι συμπεραίνουμε;

Ήξερες ότι;

Ο Ευκλείδης δεν διατύπωσε το αίτημα όπως το μαθαίνεις. Το 5ο αίτημα των «Στοιχείων» λέει ότι αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, οι δύο ευθείες, αν προεκταθούν, συναντιούνται από εκείνη τη μεριά. Η σύντομη μορφή «από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη» έγινε γνωστή από τον Σκωτσέζο John Playfair (1795) και λέγεται συχνά αξίωμα του Playfair.

Μέθοδος: απόδειξη παραλληλίας και «κυνηγητό γωνιών»

Εντόπισε την τέμνουσα των δύο ευθειών και ονόμασε το ζεύγος γωνιών που σε ενδιαφέρει (εντός εναλλάξ, εντός εκτός και επί τα αυτά, εντός και επί τα αυτά).
Για να αποδείξεις $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ : δείξε ότι δύο εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (ή δύο εντός και επί τα αυτά παραπληρωματικές). Το συμπέρασμα έρχεται στο τέλος, όχι ως υπόθεση.
Όταν ξέρεις ότι $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ : μετέφερε γωνίες από τη μία ευθεία στην άλλη με τις ισότητες/παραπληρώσεις.
Αν καμία τέμνουσα δεν «δένει» τα δεδομένα, φέρε βοηθητική παράλληλη από κατάλληλο σημείο (κορυφή ή σημείο ανάμεσα στις παράλληλες).
Κλείσε με άθροισμα γωνιών τριγώνου ή εξωτερική γωνία και κάνε επαλήθευση.

Παράδειγμα (η «σπασμένη» γωνία ανάμεσα σε παράλληλες): Δύο παράλληλες ευθείες $\varepsilon_1$ (πάνω) και $\varepsilon_2$ (κάτω). Σημείο $A$ της $\varepsilon_1$ και σημείο $B$ της $\varepsilon_2$ , και σημείο $\Sigma$ ανάμεσα στις παράλληλες, δεξιά της ευθείας $AB$ . Οι ημιευθείες $Ax$ της $\varepsilon_1$ και $By$ της $\varepsilon_2$ δείχνουν προς τα δεξιά, με $\hat{xA\Sigma} = 35^\circ$ και $\hat{yB\Sigma} = 50^\circ$ . Να βρεθεί η γωνία $\hat{A\Sigma B}$ .

Δεδομένα: $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ , $\hat{xA\Sigma} = 35^\circ$ , $\hat{yB\Sigma} = 50^\circ$ .

Ζητούμενο: $\hat{A\Sigma B}$ .

Λύση: Από το $\Sigma$ φέρνουμε ευθεία $\zeta \parallel \varepsilon_1$ (άρα και $\zeta \parallel \varepsilon_2$ , ως παράλληλες προς την ίδια ευθεία). Έστω $\Sigma z$ η ημιευθεία της $\zeta$ που δείχνει προς τα αριστερά, δηλαδή προς την $AB$ . Αυτή βρίσκεται μέσα στη γωνία $\hat{A\Sigma B}$ και τη χωρίζει σε δύο κομμάτια:

$\hat{A\Sigma z} = \hat{xA\Sigma} = 35^\circ$ , ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $\varepsilon_1, \zeta$ με τέμνουσα $A\Sigma$
$\hat{B\Sigma z} = \hat{yB\Sigma} = 50^\circ$ , ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $\varepsilon_2, \zeta$ με τέμνουσα $B\Sigma$

Άρα:

$\hat{A\Sigma B} = \hat{A\Sigma z} + \hat{z\Sigma B} = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ$

Γενικά: η γωνία στο «σπάσιμο» ισούται με το άθροισμα των δύο γωνιών που σχηματίζουν τα σκέλη της με τις παράλληλες — ένα αποτέλεσμα που πέφτει πολύ συχνά, αλλά στο γραπτό πρέπει να το αποδεικνύεις με τη βοηθητική παράλληλη.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνει την πλευρά $A\Gamma$ στο $\Delta$ . Από το $\Delta$ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς τη $B\Gamma$ , που τέμνει την $AB$ στο $E$ .

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $EB\Delta$ είναι ισοσκελές.

β) Αν $\hat{A} = 70^\circ$ και $\hat{\Gamma} = 50^\circ$ , να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $EB\Delta$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια βάση. Το τμήμα $E\Delta$ είναι οριζόντιο, πιο ψηλά, με το $E$ στην $AB$ και το $\Delta$ στην $A\Gamma$ . Η διχοτόμος $B\Delta$ ξεκινά από το $B$ και ανεβαίνει διαγώνια ως το $\Delta$ .

Δεδομένα: $\hat{AB\Delta} = \hat{\Delta B\Gamma}$ (διχοτόμος), $E\Delta \parallel B\Gamma$ .

Ζητούμενο: α) $EB = E\Delta$ , β) οι γωνίες του $EB\Delta$ .

Απόδειξη: α) Οι παράλληλες $E\Delta$ και $B\Gamma$ τέμνονται από τη $B\Delta$ , οπότε οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες:

$\hat{E\Delta B} = \hat{\Delta B\Gamma}$

Όμως $\hat{\Delta B\Gamma} = \hat{EB\Delta}$ , γιατί η $B\Delta$ είναι διχοτόμος. Άρα $\hat{E\Delta B} = \hat{EB\Delta}$ : το τρίγωνο $EB\Delta$ έχει δύο ίσες γωνίες, επομένως είναι ισοσκελές με $EB = E\Delta$ . ✔

β) Από το άθροισμα γωνιών του $AB\Gamma$ : $\hat{B} = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$ . Η διχοτόμος τη μοιράζει: $\hat{EB\Delta} = \hat{E\Delta B} = 30^\circ$ . Τέλος:

$\hat{BE\Delta} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$

Επαλήθευση: οι $\hat{BE\Delta}$ και $\hat{EB\Gamma}$ είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων $E\Delta, B\Gamma$ (τέμνουσα $AB$ ), άρα παραπληρωματικές: $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ . ✔

Το μοτίβο «διχοτόμος + παράλληλη ⇒ ισοσκελές» είναι από τα πιο συχνά θέματα του κεφαλαίου — αναγνώρισέ το με την πρώτη ματιά.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη και μία εντός γωνία είναι $65^\circ$ . Πόση είναι η εντός και επί τα αυτά μέρη γωνία της;

Στο «κυνηγητό γωνιών» δούλεψε με σύστημα: σημείωσε σε ΚΑΘΕ βήμα στο σχήμα την τιμή που βρήκες και δίπλα την αιτιολόγηση (εντός εναλλάξ, παραπληρωματικές, άθροισμα τριγώνου, εξωτερική). Όταν βλέπεις παράλληλες, ψάξε το «Ζ» των εντός εναλλάξ — και όταν λείπει βοηθητική ευθεία, φέρε παράλληλη από κατάλληλη κορυφή: είναι το πιο συνηθισμένο βοηθητικό βήμα όλου του κεφαλαίου.

Πρόκληση

Οι διχοτόμοι ανάμεσα σε δύο παράλληλες. Δύο παράλληλες ευθείες $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ τέμνονται από την ευθεία $\varepsilon$ στα $A$ και $B$ . Οι διχοτόμοι των δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών με κορυφές $A$ και $B$ τέμνονται στο $\Sigma$ . Να αποδείξετε ότι $\hat{A\Sigma B} = 90^\circ$ — χωρίς να χρησιμοποιήσεις το άθροισμα γωνιών τριγώνου.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $\hat{\omega}$ και $\hat{\varphi}$ οι δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες· σε παράλληλες είναι παραπληρωματικές: $\hat{\omega} + \hat{\varphi} = 180^\circ$ .

Από το $\Sigma$ φέρνουμε ευθεία $\zeta \parallel \varepsilon_1$ (άρα και $\zeta \parallel \varepsilon_2$ ). Όπως στο παράδειγμα με τη «σπασμένη» γωνία, η $\zeta$ χωρίζει τη $\hat{A\Sigma B}$ σε δύο κομμάτια, καθένα εντός εναλλάξ με τη γωνία που σχηματίζει το αντίστοιχο σκέλος με την παράλληλη.
Το σκέλος $A\Sigma$ είναι διχοτόμος, άρα σχηματίζει με την $\varepsilon_1$ γωνία $\frac{\hat{\omega}}{2}$ · ομοίως το $B\Sigma$ σχηματίζει με την $\varepsilon_2$ γωνία $\frac{\hat{\varphi}}{2}$ .
Επομένως $\hat{A\Sigma B} = \frac{\hat{\omega}}{2} + \frac{\hat{\varphi}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ . ✔

Η «στροφή»: η ίδια βοηθητική παράλληλη που έλυσε τη «σπασμένη» γωνία λύνει και αυτό — η γωνία στο «σπάσιμο» είναι το άθροισμα των γωνιών των σκελών με τις παράλληλες.

Συνηθισμένα λάθη

Κυκλική απόδειξη. Για να δείξεις ότι $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ , χρησιμοποιείς «εντός εναλλάξ ίσες επειδή είναι παράλληλες». Διόρθωση: για να αποδείξεις παραλληλία, βρες την ισότητα γωνιών από άλλα δεδομένα.
Μπέρδεμα ίσες/παραπληρωματικές. Εντός εναλλάξ και εντός εκτός επί τα αυτά είναι ίσες, ενώ οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές. Διόρθωση: ζωγράφισε το «Ζ» (ίσες) και το «Π» (άθροισμα $180^\circ$ ).
Βοηθητική ευθεία χωρίς δήλωση. Διόρθωση: γράφε ρητά «φέρνουμε από το $\Sigma$ ευθεία $\zeta \parallel \varepsilon_1$ » — ορίζεται μονοσήμαντα χάρη στο αίτημα παραλληλίας.
Παράλληλες «με το μάτι». Δύο ευθείες που φαίνονται παράλληλες στο σχήμα δεν είναι δεδομένο. Διόρθωση: απόδειξε την παραλληλία με το κριτήριο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τέμνουσα δύο ευθειών: εντός/εκτός, εναλλάξ/επί τα αυτά μέρη.
Κριτήριο: εντός εναλλάξ ίσες (ή εντός και επί τα αυτά παραπληρωματικές) $\Rightarrow$ παράλληλες.
Αίτημα παραλληλίας: από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη.
$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \iff$ εντός εναλλάξ ίσες $\iff$ εντός εκτός και επί τα αυτά ίσες $\iff$ εντός και επί τα αυτά παραπληρωματικές.
Μοτίβα: βοηθητική παράλληλη από κορυφή· διχοτόμος + παράλληλη $\Rightarrow$ ισοσκελές.

Δύο ευθείες και μία τέμνουσα (§4.1–4.2)

Όταν δύο ευθείες

\varepsilon_1, \varepsilon_2

τέμνονται από μια τρίτη ευθεία

\varepsilon

(την τέμνουσα), σχηματίζονται οκτώ γωνίες με «ονοματεπώνυμο»:

Εντός λέγονται οι τέσσερις γωνίες ανάμεσα στις

\varepsilon_1, \varepsilon_2

, εκτός οι άλλες τέσσερις

Εναλλάξ λέγονται δύο γωνίες που βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα της τέμνουσας, επί τα αυτά μέρη όσες βρίσκονται στο ίδιο

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.