🧭

Βασικές Κατασκευές Τριγώνων

ΠΠΠ, ΠΓΠ, ΓΠΓ με κανόνα & διαβήτη — και πλήρης διερεύνηση

Πώς κόβεις ακριβές αντίγραφο ενός τριγωνικού πανιού;

Ένας ιστιοράπτης ξέρει μόνο τα τρία μήκη των πλευρών ενός τριγωνικού πανιού. Απλώνει στο πάτωμα ένα σκοινί ίσο με τη μία πλευρά, δένει στις άκρες του δύο σκοινιά με τα άλλα δύο μήκη και τα τεντώνει μέχρι να συναντηθούν. Το σημείο συνάντησης είναι η τρίτη κορυφή — και το πανί βγαίνει ακριβώς ίδιο. Τα σκοινιά κάνουν τη δουλειά του διαβήτη: αυτή είναι η κατασκευή ΠΠΠ. Εδώ μαθαίνεις να κατασκευάζεις τρίγωνα από τα στοιχεία των κριτηρίων ισότητας και, κυρίως, να λες πότε η κατασκευή είναι δυνατή.

Κατασκευές τριγώνων και διερεύνηση (§3.18)

Ένα τρίγωνο κατασκευάζεται όταν δίνονται στοιχεία που το ορίζουν μονοσήμαντα — ακριβώς τα δεδομένα των κριτηρίων ισότητας:

ΠΠΠ — τρεις πλευρές $\alpha, \beta, \gamma$ : γράφουμε τμήμα $B\Gamma = \alpha$ , κύκλο $(B, \gamma)$ και κύκλο $(\Gamma, \beta)$ · η κορυφή $A$ είναι τομή τους. Διερεύνηση: λύση υπάρχει ακριβώς όταν ισχύει η τριγωνική ανισότητα $|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$ — αλλιώς οι κύκλοι δεν τέμνονται
ΠΓΠ — δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία: κατασκευάζουμε τη γωνία, παίρνουμε πάνω στις πλευρές της τα δοσμένα μήκη και ενώνουμε. Λύση πάντα μία
ΓΠΓ — μία πλευρά και οι δύο προσκείμενες γωνίες $\hat{B}, \hat{\Gamma}$ : κατασκευάζουμε τις γωνίες στα άκρα της πλευράς. Διερεύνηση: λύση υπάρχει μόνο αν $\hat{B} + \hat{\Gamma} < 180^\circ$ — αλλιώς οι ημιευθείες δεν συναντιούνται ποτέ

Η διερεύνηση δεν είναι τυπικότητα: είναι το σημείο όπου η κατασκευή «κουμπώνει» με τη θεωρία των ανισοτικών σχέσεων.

Μέθοδος: κατασκευή τριγώνου από στοιχεία

Αναγνώρισε το κριτήριο: τρεις πλευρές → ΠΠΠ· δύο πλευρές και περιεχόμενη γωνία → ΠΓΠ· πλευρά και προσκείμενες γωνίες → ΓΠΓ.
Διερεύνηση πρώτα: τριγωνική ανισότητα για το ΠΠΠ, $\hat{B} + \hat{\Gamma} < 180^\circ$ για το ΓΠΓ· το ΠΓΠ έχει πάντα λύση.
Κατασκευή: ξεκίνα από την πλευρά ή τη γωνία που «στερεώνει» το σχήμα· γωνίες μόνο με μεταφορά γωνίας ή από γνωστές κατασκευές ( $90^\circ$ , $60^\circ$ και τις διχοτομήσεις τους).
Απόδειξη: δείξε ότι το τρίγωνο έχει τα ζητούμενα στοιχεία (ακτίνες, κατασκευασμένες γωνίες).
Πλήθος λύσεων: δύο σημεία τομής συμμετρικά ως προς την πλευρά δίνουν ίσα τρίγωνα — μετράνε ως μία λύση.

Άσκηση: Να κατασκευαστεί τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\alpha = 6$ , $\beta = 4$ , $\gamma = 3$ , και να γίνει η διερεύνηση.

Διερεύνηση πρώτα: Ελέγχουμε την τριγωνική ανισότητα για τη μεγαλύτερη πλευρά:

$6 < 4 + 3 = 7 \ ✔$

Άρα το τρίγωνο υπάρχει και είναι μοναδικό (ως προς ισότητα).

Κατασκευή:

Με τον κανόνα γράφουμε τμήμα $B\Gamma = 6$
Με κέντρο $B$ και ακτίνα $\gamma = 3$ γράφουμε κύκλο
Με κέντρο $\Gamma$ και ακτίνα $\beta = 4$ γράφουμε κύκλο
Οι κύκλοι τέμνονται σε σημείο $A$ (και στο συμμετρικό του $A'$ ) — το $AB\Gamma$ είναι το ζητούμενο

Απόδειξη: $AB = 3 = \gamma$ και $A\Gamma = 4 = \beta$ ως ακτίνες, $B\Gamma = 6 = \alpha$ από την κατασκευή. ✔

Αντιπαράδειγμα: για $\alpha = 8$ , $\beta = 3$ , $\gamma = 4$ θα ήταν $8 > 3 + 4 = 7$ — οι κύκλοι των βημάτων 2–3 δεν τέμνονται και λύση δεν υπάρχει.

Γρήγορος έλεγχος

Ζητείται τρίγωνο με $\beta = 5$ , $\gamma = 3$ και περιεχόμενη γωνία $\hat{A} = 120^\circ$ . Τι δείχνει η διερεύνηση;

Παράδειγμα (ορθογώνιο τρίγωνο): Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A} = 90^\circ$ ) με υποτείνουσα $B\Gamma = 5$ και κάθετη πλευρά $A\Gamma = 3$ .

Ανάλυση: Αν το τρίγωνο υπήρχε, θα είχαμε δύο κάθετες ημιευθείες από το $A$ · πάνω στη μία θα ήταν το $\Gamma$ σε απόσταση $3$ , και πάνω στην άλλη το $B$ , σε απόσταση $5$ από το $\Gamma$ . Άρα το $B$ είναι τομή μιας ευθείας με τον κύκλο $(\Gamma, 5)$ .

Κατασκευή:

Γράφουμε ευθεία $x'x$ , παίρνουμε πάνω της σημείο $A$ και φέρνουμε στο $A$ την κάθετη $Ay$ (με τη μεσοκάθετο, όπως στην Κατασκευή 1)
Με κέντρο $A$ και ακτίνα $3$ ορίζουμε πάνω στην $Ay$ το σημείο $\Gamma$
Με κέντρο $\Gamma$ και ακτίνα $5$ γράφουμε κύκλο που τέμνει την $x'x$ στο $B$

Απόδειξη: $\hat{BA\Gamma} = 90^\circ$ (κατασκευή), $A\Gamma = 3$ και $B\Gamma = 5$ (ακτίνες). ✔

Διερεύνηση: Ο κύκλος $(\Gamma, 5)$ τέμνει την $x'x$ μόνο αν η ακτίνα του είναι μεγαλύτερη από την απόσταση $\Gamma A = 3$ του κέντρου από την ευθεία — δηλαδή αν η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από την κάθετη. Εδώ $5 > 3$ ✔· τα δύο σημεία τομής $B, B'$ είναι συμμετρικά ως προς την $Ay$ και δίνουν ίσα τρίγωνα, άρα η λύση είναι μοναδική (ως προς την ισότητα). Αν ήταν $B\Gamma \le A\Gamma$ , λύση δεν θα υπήρχε.

Παράδειγμα (ΠΓΠ με γωνία $60^\circ$ ): Να κατασκευαστεί τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = 3$ , $A\Gamma = 5$ και $\hat{A} = 60^\circ$ .

Κατασκευή:

Πάνω σε ημιευθεία $Ax$ παίρνουμε τμήμα $A\Gamma = 5$
Κατασκευάζουμε γωνία $60^\circ$ στο $A$ : με κέντρα $A$ και $\Gamma$ και ακτίνα $5$ γράφουμε δύο κύκλους· ένα σημείο τομής τους $K$ δίνει το ισόπλευρο τρίγωνο $AK\Gamma$ , άρα $\hat{KA\Gamma} = 60^\circ$
Πάνω στην ημιευθεία $AK$ παίρνουμε $AB = 3$ και ενώνουμε το $B$ με το $\Gamma$

Απόδειξη: $A\Gamma = 5$ και $AB = 3$ από την κατασκευή, και $\hat{BA\Gamma} = \hat{KA\Gamma} = 60^\circ$ ως γωνία ισόπλευρου τριγώνου. ✔

Διερεύνηση: η λύση υπάρχει πάντα και είναι μοναδική (ως προς την ισότητα) — το τρίγωνο στο άλλο ημιεπίπεδο της $A\Gamma$ είναι ίσο με αυτό.

Ήξερες ότι;

Ο κανόνας είναι… περιττός! Το θεώρημα Mohr–Mascheroni λέει ότι κάθε σημείο που κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη κατασκευάζεται και μόνο με διαβήτη (μια ευθεία θεωρείται «γνωστή» όταν έχουμε δύο σημεία της). Το απέδειξε ο Δανός Georg Mohr το 1672, αλλά το βιβλίο του ξεχάστηκε, και ο Ιταλός Lorenzo Mascheroni το ξαναβρήκε ανεξάρτητα το 1797.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Να κατασκευαστεί τρίγωνο $AB\Gamma$ με $B\Gamma = 5$ , $\hat{B} = 60^\circ$ και $\hat{\Gamma} = 45^\circ$ , και να γίνει διερεύνηση.

Σχήμα: Η πλευρά $B\Gamma$ οριζόντια. Από το $B$ ανεβαίνει ημιευθεία που σχηματίζει $60^\circ$ με τη $B\Gamma$ , από το $\Gamma$ ημιευθεία που σχηματίζει $45^\circ$ με τη $\Gamma B$ · συναντιούνται στην κορυφή $A$ από πάνω.

Δεδομένα: $B\Gamma = 5$ , $\hat{B} = 60^\circ$ , $\hat{\Gamma} = 45^\circ$ .

Ζητούμενο: το τρίγωνο $AB\Gamma$ (κριτήριο ΓΠΓ).

Ανάλυση: Αν το τρίγωνο υπήρχε, η κορυφή $A$ θα ήταν η τομή δύο ημιευθειών στο ίδιο ημιεπίπεδο της $B\Gamma$ : μίας από το $B$ με γωνία $60^\circ$ και μίας από το $\Gamma$ με γωνία $45^\circ$ .

Κατασκευή:

Γράφουμε τμήμα $B\Gamma = 5$
Στο $B$ κατασκευάζουμε γωνία $60^\circ$ (ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά τη $B\Gamma$ ) και παίρνουμε την ημιευθεία $B\beta$
Στο $\Gamma$ φέρνουμε την κάθετη στη $B\Gamma$ προς το ίδιο ημιεπίπεδο και διχοτομούμε την ορθή γωνία που σχηματίζει με τη $\Gamma B$ · παίρνουμε την ημιευθεία $\Gamma\gamma$ με $\hat{B\Gamma\gamma} = 45^\circ$
Το σημείο τομής των $B\beta$ και $\Gamma\gamma$ είναι η κορυφή $A$

Απόδειξη: $B\Gamma = 5$ (κατασκευή), $\hat{B} = 60^\circ$ (γωνία ισόπλευρου), $\hat{\Gamma} = 45^\circ$ (μισό της ορθής). ✔

Διερεύνηση: οι ημιευθείες τέμνονται, γιατί $60^\circ + 45^\circ = 105^\circ < 180^\circ$ · η λύση είναι μοναδική (ως προς την ισότητα), με τρίτη γωνία $\hat{A} = 75^\circ$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ζητείται τρίγωνο με μία πλευρά και προσκείμενες γωνίες $\hat{B} = 95^\circ$ και $\hat{\Gamma} = 90^\circ$ . Τι θα δείξει η διερεύνηση;

Γρήγορος έλεγχος

Ζητείται η κατασκευή τριγώνου με πλευρές $\alpha = 10$ , $\beta = 4$ , $\gamma = 5$ . Τι δείχνει η διερεύνηση;

Σε άσκηση κατασκευής, γράφε ΠΑΝΤΑ τα τέσσερα μέρη με τη σειρά: ανάλυση → κατασκευή → απόδειξη → διερεύνηση — ο βαθμολογητής τα περιμένει όλα, και η διερεύνηση χαρίζει μονάδες που οι περισσότεροι χάνουν. Στην απόδειξη, τα μόνα όπλα σου είναι γεωμετρικοί τόποι (μεσοκάθετος, διχοτόμος, κύκλος) και κριτήρια ισότητας — μην επικαλείσαι ποτέ το σχήμα. Και απομνημόνευσε τις δύο συνθήκες ύπαρξης: τριγωνική ανισότητα για ΠΠΠ, άθροισμα γωνιών $< 180^\circ$ για ΓΠΓ.

Πρόκληση

Τρίγωνο από δύο πλευρές και μια διάμεσο. Να κατασκευαστεί τρίγωνο $AB\Gamma$ όταν δίνονται οι πλευρές $AB = \gamma$ , $A\Gamma = \beta$ και η διάμεσος $AM = \mu$ προς τη $B\Gamma$ . Πότε υπάρχει λύση;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ανάλυση: Αν το τρίγωνο υπήρχε, διπλασιάζοντας τη διάμεσο ( $M\Delta = AM$ ) θα είχαμε $B\Delta = A\Gamma = \beta$ , αφού τα τρίγωνα $AM\Gamma$ και $\Delta MB$ είναι ίσα (Π-Γ-Π). Το τρίγωνο $AB\Delta$ έχει λοιπόν γνωστές και τις τρεις πλευρές: $\gamma$ , $\beta$ και $2\mu$ .

Κατασκευή:

Κατασκευάζουμε (ΠΠΠ) τρίγωνο $AB\Delta$ με $AB = \gamma$ , $B\Delta = \beta$ , $A\Delta = 2\mu$
Βρίσκουμε το μέσο $M$ της $A\Delta$ (μεσοκάθετος)
Προεκτείνουμε τη $BM$ κατά $M\Gamma = BM$ · το $AB\Gamma$ είναι το ζητούμενο

Απόδειξη: Τα τρίγωνα $\Delta MB$ και $AM\Gamma$ είναι ίσα (Π-Γ-Π: $M\Delta = MA$ , $MB = M\Gamma$ , κατακορυφήν), άρα $A\Gamma = B\Delta = \beta$ · επίσης $AB = \gamma$ , και το $M$ είναι μέσο της $B\Gamma$ με $AM = \mu$ . ✔

Διερεύνηση: λύση υπάρχει ακριβώς όταν υπάρχει το τρίγωνο $AB\Delta$ , δηλαδή όταν $|\beta - \gamma| < 2\mu < \beta + \gamma$ .

Συνηθισμένα λάθη

Κατασκευή χωρίς έλεγχο ύπαρξης. Ξεκινάς να σχεδιάζεις και οι κύκλοι δεν τέμνονται. Διόρθωση: κάνε πρώτα τη διερεύνηση (τριγωνική ανισότητα ή άθροισμα γωνιών).
Γωνία με μοιρογνωμόνιο. Επιτρέπονται μόνο κανόνας και διαβήτης· γωνίες $90^\circ$ , $60^\circ$ , $45^\circ$ , $30^\circ$ βγαίνουν με κάθετες, ισόπλευρα και διχοτομήσεις.
Δύο «λύσεις» που είναι ίδιες. Τα δύο σημεία τομής εκατέρωθεν της πλευράς δίνουν ίσα τρίγωνα — μία λύση, όχι δύο.
Ημιευθείες σε διαφορετικά ημιεπίπεδα. Στο ΓΠΓ οι δύο γωνίες κατασκευάζονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της πλευράς, αλλιώς οι ημιευθείες δεν συναντιούνται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τρίγωνο κατασκευάζεται από τα στοιχεία των κριτηρίων ισότητας: ΠΠΠ, ΠΓΠ, ΓΠΓ.
ΠΠΠ: λύση $\iff |\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$ .
ΠΓΠ: πάντα μία λύση.
ΓΠΓ: λύση $\iff \hat{B} + \hat{\Gamma} < 180^\circ$ .
Κάθε κατασκευή: ανάλυση → κατασκευή → απόδειξη → διερεύνηση.

Κατασκευές τριγώνων και διερεύνηση (§3.18)

ΠΠΠ — τρεις πλευρές

\alpha, \beta, \gamma

: γράφουμε τμήμα

B\Gamma = \alpha

, κύκλο

(B, \gamma)

και κύκλο

(\Gamma, \beta)

· η κορυφή

A

είναι τομή τους. Διερεύνηση: λύση υπάρχει ακριβώς όταν ισχύει η τριγωνική ανισότητα

|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma

— αλλιώς οι κύκλοι δεν τέμνονται

ΠΓΠ — δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία: κατασκευάζουμε τη γωνία, παίρνουμε πάνω στις πλευρές της τα δοσμένα μήκη και ενώνουμε. Λύση πάντα μία

ΓΠΓ — μία πλευρά και οι δύο προσκείμενες γωνίες

\hat{B}, \hat{\Gamma}

: κατασκευάζουμε τις γωνίες στα άκρα της πλευράς. Διερεύνηση: λύση υπάρχει μόνο αν

\hat{B} + \hat{\Gamma} < 180^\circ

— αλλιώς οι ημιευθείες δεν συναντιούνται ποτέ