Κύκλος, Μεσοκάθετος, Διχοτόμος

Απόδειξη θεωρίας (η μεσοκάθετος ως γεωμετρικός τόπος): Έστω $K$ το μέσο του τμήματος $AB$ και $\mu$ η μεσοκάθετός του. Να αποδείξετε ότι ένα σημείο $M$ ανήκει στη $\mu$ αν και μόνο αν $MA = MB$.

Σχήμα: Το $AB$ οριζόντιο με το μέσο $K$· η $\mu$ κατακόρυφη από το $K$. Το σημείο $M$ (εκτός της ευθείας $AB$) ενώνεται με τα $A$, $B$ και $K$, σχηματίζοντας τα τρίγωνα $MKA$ και $MKB$.

Δεδομένα: $KA = KB$, $\mu \perp AB$ στο $K$.

Ζητούμενο: $M \in \mu \iff MA = MB$.

Απόδειξη: ($\Rightarrow$) Αν το $M$ ανήκει στη $\mu$, τα τρίγωνα $MKA$ και $MKB$ έχουν $KA = KB$, $MK$ κοινή και $\hat{MKA} = \hat{MKB} = 90^\circ$. Από το Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα $MA = MB$. ✔

($\Leftarrow$) Αν $MA = MB$, τα τρίγωνα $MKA$ και $MKB$ έχουν $MA = MB$, $KA = KB$ και $MK$ κοινή. Από το Π-Π-Π είναι ίσα, άρα $\hat{MKA} = \hat{MKB}$· είναι εφεξής και παραπληρωματικές, οπότε καθεμία είναι $90^\circ$. Η $MK$ είναι λοιπόν κάθετη στο $AB$ στο μέσο του, δηλαδή το $M$ ανήκει στη $\mu$. ✔

(Αν το $M$ είναι πάνω στην ευθεία $AB$, τότε $MA = MB$ μόνο για $M = K$, που ανήκει στη $\mu$.)

Απόδειξη θεωρίας (σημείο της διχοτόμου): Το σημείο $M$ ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας $\hat{xOy}$, και $MA \perp Ox$, $MB \perp Oy$ (με $A$ στην $Ox$ και $B$ στην $Oy$). Να αποδείξετε ότι $MA = MB$ και $OA = OB$.

Σχήμα: Η γωνία $\hat{xOy}$ ανοίγει από το $O$ προς τα δεξιά, με τη διχοτόμο στη μέση. Από το $M$ πέφτουν δύο κάθετα τμήματα, ένα προς κάθε πλευρά, σχηματίζοντας δύο ορθογώνια τρίγωνα με κοινή πλευρά την $OM$.

Δεδομένα: $\hat{AOM} = \hat{BOM}$, $\hat{OAM} = \hat{OBM} = 90^\circ$.

Ζητούμενο: $MA = MB$, $OA = OB$.

Απόδειξη: Τα ορθογώνια τρίγωνα $OAM$ και $OBM$ έχουν:

• την $OM$ κοινή υποτείνουσα
• $\hat{AOM} = \hat{BOM}$ (διχοτόμος)

Από το κριτήριο υποτείνουσα – οξεία γωνία είναι ίσα, άρα $MA = MB$ και $OA = OB$. ✔

Αυτή είναι η απόδειξη ότι κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Το αντίστροφο (όποιο σημείο ισαπέχει, ανήκει στη διχοτόμο) αποδεικνύεται με το άλλο κριτήριο — δες την ερώτηση παρακάτω.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ και $M$ το μέσο της βάσης $B\Gamma$. Πάνω στις πλευρές $AB$ και $A\Gamma$ παίρνουμε σημεία $\Delta$ και $E$ αντίστοιχα, ώστε $B\Delta = \Gamma E$.

α) Να αποδείξετε ότι $M\Delta = ME$.

β) Να αποδείξετε ότι η $AM$ είναι μεσοκάθετος του τμήματος $\Delta E$.

Σχήμα: Η κορυφή $A$ πάνω, η βάση $B\Gamma$ οριζόντια κάτω με το $M$ στη μέση της. Το $\Delta$ βρίσκεται στην αριστερή πλευρά $AB$ και το $E$ στη δεξιά $A\Gamma$, στο ίδιο «ύψος», αφού απέχουν ίσες αποστάσεις από τις κορυφές της βάσης.

Δεδομένα: $AB = A\Gamma$, $BM = M\Gamma$, $B\Delta = \Gamma E$.

Ζητούμενο: α) $M\Delta = ME$, β) $AM$ μεσοκάθετος του $\Delta E$.

Απόδειξη: α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $B\Delta M$ και $\Gamma EM$. Έχουν:

• $B\Delta = \Gamma E$ (υπόθεση)
• $BM = \Gamma M$ ($M$ μέσο της $B\Gamma$)
• $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ (γωνίες βάσης ισοσκελούς τριγώνου)

Η γωνία είναι περιεχόμενη στις δύο ίσες πλευρές, άρα από το Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα και $M\Delta = ME$. ✔

β) Είναι $A\Delta = AB - B\Delta$ και $AE = A\Gamma - \Gamma E$. Αφού $AB = A\Gamma$ και $B\Delta = \Gamma E$, προκύπτει $A\Delta = AE$. Επομένως:

• το $A$ ισαπέχει από τα $\Delta, E$, άρα ανήκει στη μεσοκάθετο του $\Delta E$
• το $M$ ισαπέχει από τα $\Delta, E$ (ερώτημα α), άρα ανήκει κι αυτό στη μεσοκάθετο του $\Delta E$

Τα $A$ και $M$ είναι διαφορετικά σημεία, οπότε η ευθεία $AM$ είναι η μεσοκάθετος του $\Delta E$. ✔

Πρόσεξε πώς το (α) «τροφοδοτεί» το (β): στα διαγωνίσματα τα ερωτήματα είναι σχεδόν πάντα αλυσίδα — ό,τι αποδείξεις, χρησιμοποίησέ το παρακάτω.

Παράδειγμα (κύκλοι από δύο σημεία): Δίνονται δύο σημεία $A$ και $B$. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από τα $A$ και $B$;

Λύση: Αν ο κύκλος $(K, \rho)$ περνά από τα $A$ και $B$, τότε $KA = KB = \rho$ (ακτίνες), άρα το $K$ ισαπέχει από τα $A, B$ και ανήκει στη μεσοκάθετο του $AB$.

Αντίστροφα, αν το $K$ είναι οποιοδήποτε σημείο της μεσοκαθέτου, τότε $KA = KB$, και ο κύκλος με κέντρο $K$ και ακτίνα $KA$ περνά και από το $B$.

Απάντηση: ο ζητούμενος τόπος είναι ολόκληρη η μεσοκάθετος του $AB$. Ο μικρότερος από αυτούς τους κύκλους έχει κέντρο το μέσο του $AB$ και ακτίνα $\frac{AB}{2}$ — είναι ο κύκλος με διάμετρο $AB$.